সেট ও ফাংশন - Set and Function (অনুশীলনী ২.১)

• 📚 Topics
• 📝 MCQ Test
• ✅ Exercise Solution

১. নিচের সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো:

ক) {x ∈ N : x² > 9 এবং x³ < 130}

খ) {x ∈ Z : x² > 5 এবং x³ < 36}

গ) {x ∈ N : 1,36 এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতক }

ঘ) {x ∈ N : x³ > 25 এবং x⁴ < 264}

১. ক) {x ∈ N : x² > 9 এবং x³ < 130}

এখানে

স্বাভাবিক সংখ্যা N = {1,2,3,4,... }

x² > 9 ⟹ x > 3 (যেহেতু x স্বাভাবিক সংখ্যা, x ≥ 4)

x³ < 130

এবং

4³ = 64 < 130 ✓

5³ = 125 < 130 ✓

6³ = 216 < 130 ✗

সুতরাং x ≤ 5

x ≥ 4 এবং x ≤ 5 → x = 4,5

উত্তর (ক): {4,5}



খ) {x ∈ Z : x² > 5 এবং x³ ≤ 36}

Z (পূর্ণসংখ্যা) = {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,…}

x² > 5 ⇒ |x| > √ 5   ⇒ |x| ≥ 3 (কারণ 3² = 9 > 5, 2² = 4 ≯ 5)

x³ ≤ 36

- ধনাত্মক x: x = 3 ⇒ 27≤ 36 ✓

x = 4 ⇒ 64≤ 36 ✗

সুতরাং ধনাত্মক অংশে x = 3

- ঋণাত্মক x: x = -3 ⇒ (-3)³ = -27≤ 36 ✓

x = -4 ⇒ (-4)³ = -64≤ 36 ✓

x = -5 ⇒ (-5)³ = -125≤ 36 ✓

x = -6 ⇒ (-6)³ = -216≤ 36 ✓

এভাবে x ≤ -3 পর্যন্ত সব ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা শর্ত ২ পূরণ করে (কারণ ঋণাত্মক সংখ্যার ঘন সর্বদা 36 থেকে ছোট বা সমান হবে)।

|x| ≥ 3 এর সাথে x ঋণাত্মক হলে -3,-4,-5,... সবাই

সেট = ...,-5,-4,-3,3

লক্ষ্য করি, x³ ≤ 36 এ x = 4 কাজ করে না কিন্তু x = -4,-5,... সব কাজ করে।

সুতরাং সেট হলো: {3} ∪ {x ∈ Z : x ≤ -3}

অর্থাৎ {x ∈ Z : x ≤ -3} ∪ {3}

তালিকা পদ্ধতিতে → {..., -6,-5,-4,-3,3} (ইনফিনিট সেট)

উত্তর (খ): {..., -6,-5,-4,-3,3}





গ) {x ∈ N : x, 36 এর গুণনীয়তা এবং 6 এর গুণিতক}

36-এর গুণনীয়ক: 1,2,3,4,6,9,12,18,36

6-এর গুণিতক (স্বাভাবিক): 6,12,18,24,30,36,...

উভয় শর্ত পূরণ করে → ছেদ: 6,12,18,36

উত্তর (গ): {6,12,18,36}



ঘ) {x ∈ N : x³ > 25 এবং x⁴ < 264}

x³ > 25 ⟹ x > ³√ 25   ≈ 2.92 → x ≥ 3 (স্বাভাবিক)

x⁴ < 264

x = 4 ⇒ 256<264 ✓

x = 5 ⇒ 625<264 ✗

x = 3 → 3³ = 27>25 ✓ এবং 3⁴ = 81 < 264 ✓

x = 4 → 64>25 ✓ এবং 256<264 ✓

x = 5 → দ্বিতীয় শর্ত ব্যর্থ।

সুতরাং x = {3,4}

উত্তর (ঘ): {3,4}

চূড়ান্ত উত্তর:

ক) {4,5}

খ) {..., -6,-5,-4,-3,3}

গ) {6,12,18,36}

ঘ) {3,4}

২. নিচের সেটগুলোকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করো:

ক) {3, 5, 7, 9, 11}

খ) {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

গ) {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40}

ঘ) (±4, ±5, ±6}

ক) {3, 5, 7, 9, 11}

- এখানে সংখ্যাগুলো 3 থেকে 11 পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যা।

- সেট গঠন পদ্ধতি:

{x ∈ ℕ : 3 ≤ x ≤ 11, x বিজোড়}

অথবা

{x ∈ ℕ : x = 2n+1, n ∈ ℕ, 1 ≤ n ≤ 5}



খ) {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

- সব সংখ্যা 36-কে নিঃশেষে ভাগ করে।

- সেট গঠন পদ্ধতি:

{x ∈ ℕ : x বিভাজক করে 36}

গণিতের ভাষায়:

{x ∈ ℕ : x | 36}

(x | 36 মানে x দিয়ে 36 ভাগ করা যায়)



গ) {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40}

- সংখ্যাগুলো 4 দিয়ে শুরু, 4 করে বাড়ছে, 40 পর্যন্ত। অর্থাৎ 4-এর গুণিতক।

- সেট গঠন পদ্ধতি:

{x ∈ ℕ : x = 4n, n ∈ ℕ, 1 ≤ n ≤ 10}

অথবা

{x ∈ ℕ : 4 ≤ x ≤ 40, 4 | x}

ঘ) {±4, ±5, ±6}

- অর্থাৎ -6,-5,-4,4,5,6।

- মূল বিষয়: এদের পরম মান (|x|) 4, 5, 6।

- সেট গঠন পদ্ধতি:

{x ∈ Z : 4 ≤ |x| ≤ 6}

সংক্ষেপে নিয়ম:

1. সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে কী মিল আছে দেখো।

2. সেই মিলকে শর্ত আকারে লিখো:

{x ∈ কোন সংখ্যা সেট} : শর্ত

3. শর্তে সমীকরণ, অসমতা, ভাজ্যতা, গুণিতকতা ইত্যাদি ব্যবহার করো।

৩. A = {2, 3, 4} এবং B = {1, 2, a} এবং C = {2, a, b} হলে, নিচের সেটগুলো নির্ণয় করো:

ক) B \ C

খ) A U B

গ) A ∩ C

ঘ) A U (B ∩ C)

ঙ) A ∩ (B U C)

নিচে প্রতিটি অংশ ধাপে ধাপে সমাধান দেওয়া হলো।

দেওয়া আছে:

A = {2, 3, 4}

B = {1, 2, a}

C = {2, a, b}

এখানে a, b ধ্রুবক চিহ্ন, অর্থাৎ নির্দিষ্ট সংখ্যা বা বীজগাণিতিক রাশি।

ক) B - C

সংজ্ঞা: B - C = {x ∈ B : x ∉ C}

B এর উপাদান 1, 2, a

C এর উপাদান 2, a, b



- 1 ∈ B এবং 1 ∉ C → 1 থাকবে

- 2 ∈ B এবং 2 ∈ C → 2 থাকবে না

সুতরাং B - C = {1}

{1}



খ) A ∪ B

সংজ্ঞা: A ∪ B = {x : x ∈ A বা x ∈ B}

A = {2,3,4, B = 1,2,a}

সবগুলো উপাদান একত্র করি:

2,3,4,1,a → সেট করলে {1,2,3,4,a}

{1,2,3,4,a}



গ) A ∩ C

A = {2,3,4}, C = {2,a,b}

সাধারণ উপাদান খুঁজি:

শুধু 2 আছে A তেও, C তেও

3 নেই C তে, 4 নেই C তে, a নেই A তে, b নেই A তে

সুতরাং A ∩ C = {2}

{2}

ঘ) A ∪ (B ∩ C)

প্রথমে B ∩ C বের করি:

B = {1,2,a}, C = {2,a,b}

সাধারণ উপাদান: 2 ও a → 2, a

A ∪ {2, a} = {2,3,4} ∪ {2,a} = {2,3,4,a}

{2,3,4,a}

ঙ) A ∩ (B ∪ C)

প্রথমে B ∪ C বের করি:

B = {1,2,a}, C = {2,a,b}

ইউনিয়ন = 1,2,a,b

A = {2,3,4}

A ∩ {1,2,a,b} = সাধারণ উপাদান শুধু 2

সুতরাং A ∩ (B ∪ C) = {2}

{2}

চূড়ান্ত উত্তর:

ক) {1}

খ) {1,2,3,4,a}

গ) {2}

ঘ) {2,3,4,a}

ঙ) {2}

8. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} এবং C = {3, 4, 5, 6, 7} হলে, নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে সত্যতা যাচাই করো:

ক) (A U B)′ = A′ ∩ B′

খ) (B ∩ C)′ = B′ U C′

গ) (A U B) ∩ C = (A ∩ C) U (B ∩ C)

ঘ) (A ∩ B) U C = (A U C) ∩ (B U C)

আমরা প্রতিটি অংশ ডি মরগানের সূত্র ও বণ্টন বিধি ব্যবহার করে ধাপে ধাপে যাচাই করব।

দেওয়া আছে:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A = {1, 3, 5}

B = {2, 4, 6}

C = {3, 4, 5, 6, 7}

ক) (A ∪ B)' = A' ∩ B'

A ∪ B = {1,3,5} ∪ {2,4,6} = {1,2,3,4,5,6}

(A ∪ B)' = U - {1,2,3,4,5,6} = {7}

A' = U - {1,3,5} = {2,4,6,7}

B' = U - {2,4,6} = {1,3,5,7}

A' ∩ B' = {2,4,6,7} ∩ {1,3,5,7} = {7}

(A ∪ B)' = {7} এবং A' ∩ B' = {7} → সমান।

সত্য



খ) (B ∩ C)' = B' ∪ C'

B ∩ C = {2,4,6} ∩ {3,4,5,6,7} = {4,6}

(B ∩ C)' = U - {4,6} = {1,2,3,5,7}

B' = {1,3,5,7} (আগেই পেয়েছি)

C' = U - {3,4,5,6,7} = {1,2}

B' ∪ C' = {1,3,5,7} ∪ {1,2} = {1,2,3,5,7}

বামপক্ষ {1,2,3,5,7} = ডানপক্ষ {1,2,3,5,7} → সমান

সত্য



গ) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

A ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

(A ∪ B) ∩ C = {1,2,3,4,5,6} ∩ {3,4,5,6,7} = {3,4,5,6}

A ∩ C = {1,3,5} ∩ {3,4,5,6,7} = {3,5}

B ∩ C = {2,4,6} ∩ {3,4,5,6,7} = {4,6}

(A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = {3,5} ∪ {4,6} = {3,4,5,6}

বামপক্ষ {3,4,5,6} = ডানপক্ষ {3,4,5,6} → সমান

সত্য

ঘ) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

A ∩ B = {1,3,5} ∩ {2,4,6} = ∅

(A ∩ B) ∪ C = ∅ ∪ C = C = {3,4,5,6,7}

A ∪ C = {1,3,5} ∪ {3,4,5,6,7} = {1,3,4,5,6,7}

B ∪ C = {2,4,6} ∪ {3,4,5,6,7} = {2,3,4,5,6,7}

(A ∪ C) ∩ (B ∪ C) = {1,3,4,5,6,7} ∩ {2,3,4,5,6,7}

= {3,4,5,6,7}

বামপক্ষ {3,4,5,6,7} = ডানপক্ষ {3,4,5,6,7} → সমান

সত্য

চূড়ান্ত ফলাফল:

ক) সত্য

খ) সত্য

গ) সত্য

ঘ) সত্য

৫. Q = {x, y} এবং R = {m, n, l} হলে, P(Q) এবং P(R) নির্ণয় করো।

পাওয়ার সেটের সংজ্ঞা:

কোনো সেটের সকল উপসেটের সেটকে তার পাওয়ার সেট বলে।

দেওয়া আছে:

Q = {x, y}

R = {m, n, l}

ক) P(Q)

উপাদান সংখ্যা |Q| = 2

মোট উপসেট সংখ্যা 2² = 4

উপসেটগুলো:

1. ∅ (শূন্য সেট)

2. {x}

3. {y}

4. {x, y}

সুতরাং:

P(Q) = { ∅, {x}, {y}, {x, y} }



খ) P(R)

|R| = 3 → মোট উপসেট সংখ্যা 2³ = 8

উপসেটগুলো:

- {m}, {n}, {l}

- {m, n}, {m, l}, {n, l}

- {m, n, l}

সুতরাং:

P(R) = { ∅, {m}, {n}, {l}, {m, n}, {m, l}, {n, l}, {m, n, l} }

চূড়ান্ত উত্তর:

P(Q) = { ∅, {x}, {y}, {x, y} }

P(R) = { ∅, {m}, {n}, {l}, {m, n}, {m, l}, {n, l}, {m, n, l} }

৬. A = {a, b}, B = {a, b, c) এবং C = A U B হলে, দেখাও যে, P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2", যেখানে n হচ্ছে C এর উপাদান সংখ্যা।

প্রথমে দেওয়া তথ্য পরিষ্কার করে নিই:

A = {a, b}, B = {a, b, c}

C = A ∪ B

C নির্ণয় করি

A ∪ B = {a, b} ∪ {a, b, c} = {a, b, c}

সুতরাং:

C = {a, b, c}

C -এর উপাদান সংখ্যা n বের করি

|C| = 3 ⇒ n = 3

P(C) -এর উপাদান সংখ্যা নির্ণয়

পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যার সূত্র:

যদি কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হয়, তাহলে |P(C)| = 2ⁿ

এখানে n = 3 , তাই:

|P(C)| = 2³ = 8

শর্তানুযায়ী সত্যতা যাচাই

প্রশ্নে বলা হয়েছে: দেখাও যে, P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2ⁿ , যেখানে n হচ্ছে C এর উপাদান সংখ্যা।

আমরা দেখলাম:

- |C| = n = 3

- |P(C)| = 8 = 2³

অর্থাৎ:

|P(C)| = 2ⁿ

সুতরাং বিবৃতিটি সত্য।

দেখানো হলো

৭. ক) (x - 1, y + 2) = (y - 2, 2x + 1) হলে, x এবং y এর মান নির্ণয় করো।

খ) (ax - cy, a² - c²) = (0, ay - cx) হলে, (x, y) এর মান নির্ণয় করো।

গ) (6x - y, 13) = (1, 3x + 2y) হলে, (x, y) নির্ণয় করো।

প্রত্যেকটি ক্রমজোড়ের সমতা থেকে x ও y নির্ণয় করব।

ক) (x - 1, y + 2) = (y - 2, 2x + 1)

ক্রমজোড় সমতার শর্ত: প্রথম উপাদান = প্রথম উপাদান, দ্বিতীয় উপাদান = দ্বিতীয় উপাদান।

x - 1 = y - 2 ….. (1)

y + 2 = 2x + 1 ….. (2)

(1) থেকে: x - y = -1 → x = y - 1

(2)-এ বসাই: y + 2 = 2(y - 1) + 1

y + 2 = 2y - 2 + 1

y + 2 = 2y - 1

2 + 1 = 2y - y

3 = y

তাহলে x = y - 1 = 3 - 1 = 2

x = 2, y = 3



খ) (ax - cy, a² - c²) = (0, ay - cx)

প্রথম উপাদান:

ax - cy = 0 ⇒ ax = cy ..... (1)

দ্বিতীয় উপাদান:

a² - c² = ay - cx ….. (2)

(1) থেকে x =   c  a   y যদি a ≠ 0 ; তবে এখানে a, c ধ্রুবক।

(2)-এ বসাই: a² - c² = a y - c ·   c  a   y

a² - c² = a y -   c²    a   y

a² - c² = y (a -   c²    a  )

a² - c² = y ·   a² - c²          a  

যদি a² - c² ≠ 0 , তাহলে 1 =   y  a   → y = a

(1) থেকে x =   c  a   · a = c

যদি a² - c² = 0 হয়, তাহলে a = ± c

- a = c হলে: (1) ax = ay → a(x - y) = 0 → হয় a = 0 (নিচ্ছি না) অথবা x = y ।

(2) a² - a² = ay - ax = a(y-x) = 0 → স্বয়ংক্রিয় সত্য। তাহলে x = y যেকোনো মান।

- a = -c হলে: (1) ax = -a y → a(x + y) = 0 → x + y = 0 বা a=0 ।

(2) a² - a² = a y - (-a)x = ay + ax = a(x+y) = 0 → স্বয়ংক্রিয় সত্য।

সাধারণ ধ্রুবক a, c এর জন্য বিশেষ ক্ষেত্র বাদ দিয়ে:

x = c, y = a (যদি a² ≠ c² এবং a≠ 0)}

(সম্পূর্ণ সাধারণ সমাধান a, c এর ওপর নির্ভরশীল)



গ) (6x - y, 13) = (1, 3x + 2y)

প্রথম উপাদান:

6x - y = 1 …. (1)

দ্বিতীয় উপাদান:

13 = 3x + 2y ⇒ 3x + 2y = 13 …. (2)

(1) থেকে y = 6x - 1

(2)-এ বসাই: 3x + 2(6x - 1) = 13

3x + 12x - 2 = 13

15x - 2 = 13

15x = 15

x = 1

তাহলে y = 6(1) - 1 = 5

x = 1, y = 5

সারসংক্ষেপ উত্তর:

ক) x = 2, y = 3

খ) x = c, y = a (যদি a² ≠ c², a ≠ 0 )

গ) x = 1, y = 5

৮. ক) P = {a}, Q = {b, c} হলে, P × Q এবং Q × P নির্ণয় করো।

খ) A = {3, 4, 5}, B = {4, 5, 6} এবং C = {x, y} হলে, ( A ∩ B) × C নির্ণয় করো।

গ) P = {3, 5, 7}, Q = {5, 7} এবং R = P \ Q হলে, (P U Q ) × R নির্ণয় করো।

ক) P = {a}, Q = {b, c}

ক্রুশ গুণনের সংজ্ঞা:

P x Q = {(p,q) : p ∈ P, q ∈ Q}

Q x P = {(q,p) : q ∈ Q, p ∈ P}

# P x Q :

P থেকে a , Q থেকে b এবং c নিয়ে জোড়া:

P x Q = {(a,b), (a,c)}

# Q x P :

Q থেকে b, c , P থেকে a :

Q x P = {(b,a), (c,a)}

P x Q = {(a,b), (a,c)}, Q x P = {(b,a), (c,a)}



খ) A = {3,4,5}, B = {4,5,6}, C = {x,y}

# A ∩ B নির্ণয় করি

A ∩ B = {4,5}

# (A ∩ B) x C

{4,5} x {x,y} = {(4,x), (4,y), (5,x), (5,y)}

(A ∩ B) x C = {(4,x), (4,y), (5,x), (5,y)}



গ) P = {3,5,7}, Q = {5,7}, R = P - Q

# R = P - Q

P - Q = P থেকে Q -এর উপাদান বাদ দিয়ে বাকি উপাদান

R = {3,5,7} - {5,7} = {3}

# P ∪ Q

P ∪ Q = {3,5,7} ∪ {5,7} = {3,5,7}

# (P ∪ Q) x R

{3,5,7} x {3} = {(3,3), (5,3), (7,3)}

(P ∪ Q) x R = {(3,3), (5,3), (7,3)}

সব উত্তর একসাথে:

ক) P x Q = {(a,b),(a,c)}, Q x P = {(b,a),(c,a)

খ) (A ∩ B) x C = {(4,x),(4,y),(5,x),(5,y)}

গ) (P ∪ Q) x R = {(3,3),(5,3),(7,3)}

৯. A ও B যথাক্রমে 35 এবং 45 এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে, A U B ও A ∩ B নির্ণয় করো।

প্রথমে A ও B সেট দুইটি বের করি।

A = 35-এর সকল গুণনীয়কের সেট

35 = 5 x 7

গুণনীয়কগুলো: 1, 5, 7, 35

A = {1, 5, 7, 35}

B = 45-এর সকল গুণনীয়কের সেট

45 = 3² x 5

গুণনীয়কগুলো:

1, 3, 5, 9, 15, 45

B = {1, 3, 5, 9, 15, 45}

A ∪ B

দুটি সেটের সব উপাদান একত্র করে লিখি:

A ∪ B = {1, 3, 5, 7, 9, 15, 35, 45}

A ∩ B

সাধারণ উপাদানগুলো: A ও B উভয় সেটে আছে 1 ও 5

A ∩ B = {1, 5}

A ∪ B = {1, 3, 5, 7, 9, 15, 35, 45}

A ∩ B = {1, 5}

১০. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346 এবং 556 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে, এদের সেট নির্ণয় করো।

১. সমস্যা বোঝা

যখন কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা d দিয়ে 346 ও 556 কে ভাগ করলে ভাগশেষ 31 থাকে।

অর্থাৎ:

346 = d · q₁ + 31

556 = d · q₂ + 31

যেখানে q₁, q₂ পূর্ণসংখ্যা, d > 31 (কারণ ভাগশেষ < ভাজক)।

২. সমীকরণ তৈরি করি

প্রথম সমীকরণ থেকে:

346 - 31 = d · q₁ ⟹ 315 = d · q₁

556 - 31 = d · q₂ ⟹ 525 = d · q₂

সুতরাং d কে 315 ও 525 উভয় সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

অর্থাৎ d হলো 315 ও 525 -এর সাধারণ গুণনীয়ক (গসাগু-এর গুণনীয়ক)।

৩. গসাগু নির্ণয় করি

315 = 3² x 5 x 7

525 = 3 x 5² x 7

গসাগু = 3 x 5 x 7 = 105

d হবে 105 -এর যেকোনো গুণনীয়ক, কিন্তু শর্ত d > 31 দিতে হবে।

৪. 105-এর গুণনীয়ক

105 = 3 x 5 x 7

গুণনীয়ক: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105

শর্ত d > 31 ⇒ d = 35, 105

৫. যাচাই

346 ÷ 35 = 9 ভাগশেষ 346 - 315 = 31 ✓

556 ÷ 35 = 15 ভাগশেষ 556 - 525 = 31 ✓

346 ÷ 105 = 3 ভাগশেষ 346 - 315 = 31 ✓

556 ÷ 105 = 5 ভাগশেষ 556 - 525 = 31 ✓

{35, 105}

১১. কোনো শ্রেণির 30 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 20 জন ফুটবল এবং 15 জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে। দুইটি খেলাই পছন্দ করে এরূপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা 10। কতজন শিক্ষার্থী দুইটি খেলাই পছন্দ করে না তা ভেন চিত্রের সাহায্যে নির্ণয় করো।

ধাপে ধাপে ভেন চিত্রের সাহায্যে সমাধান করা যাক।

১. তথ্যগুলো সেট আকারে লিখি

ধরি,

U = মোট শিক্ষার্থী = 30

F = ফুটবল খেলা পছন্দ করে = 20

C = ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে = 15

F ∩ C = দুইটি খেলাই পছন্দ করে = 10

২. ভেন চিত্রের অংশগুলো বের করি

- শুধু ফুটবল পছন্দ করে = F - C = F - (F ∩ C) = 20 - 10 = 10

- শুধু ক্রিকেট পছন্দ করে = C - F = 15 - 10 = 5

- যেকোনো একটি খেলা পছন্দ করে = 10 + 5 + 10 = 25

৩. কোনো খেলাই পছন্দ করে না

মোট শিক্ষার্থী 30 জন।

খেলা পছন্দ করে না = U - (F ∪ C)

F ∪ C = 25

30 - 25 = 5

৪. ভেন চিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন

```

F (20) C (15)

Insert diagram (F∩C=10)

বাইরে = 5 (কোনোটিই না)

```

5

উত্তর: ৫ জন শিক্ষার্থী ফুটবল বা ক্রিকেট কোনোটিই পছন্দ করে না।

১২. 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 65 শিক্ষার্থী বাংলায়, 48 শিক্ষার্থী বাংলা ও ইংরেজি উভয় বিষয়ে পাশ এবং 15 শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।

ক) (1, x + y) = (2x - y, 5) হলে (x, y) নির্ণয় করো।

খ) শুধু বাংলায় ও ইংরেজিতে পাশ করেছে তাদের সংখ্যা নির্ণয় করো।

গ) উভয় বিষয়ে পাশ এবং উভয় বিষয়ে ফেল সংখ্যাদ্বয়ের মৌলিক গুণনীয়কসমূহের সেট দুইটির সংযোগ সেট নির্ণয় করো।

ক) (1, x + y) = (2x - y, 5) হলে (x, y) নির্ণয়

ক্রমজোড়ের সমতা থেকে:

1 = 2x - y …. (1)

x + y = 5 …. (2)

(1) ও (2) যোগ করি:

(2x - y) + (x + y) = 1 + 5

3x = 6 ⟹ x = 2

(2) থেকে 2 + y = 5 ⟹ y = 3

(x, y) = (2, 3)



খ) শুধু বাংলায় ও ইংরেজিতে পাশ করেছে তাদের সংখ্যা

ধরি,

U = 100 (মোট শিক্ষার্থী)

B = বাংলায় পাশ = 65

E = ইংরেজিতে পাশ = অজানা

B ∩ E = উভয় বিষয়ে পাশ = 48

উভয় বিষয়ে ফেল = 15

প্রথমে E বের করি।

উভয় বিষয়ে ফেল = U - (B ∪ E) = 15

অতএব B ∪ E = 100 - 15 = 85

আমরা জানি:

B ∪ E = B + E - (B ∩ E)

85 = 65 + E - 48

85 = 17 + E ⟹ E = 68

এখন:

- শুধু বাংলায় পাশ = B - E = B - (B ∩ E) = 65 - 48 = 17

- শুধু ইংরেজিতে পাশ = E - B = E - (B ∩ E) = 68 - 48 = 20

শুধু বাংলায় পাশ = 17, শুধু ইংরেজিতে পাশ = 20}



গ) উভয় বিষয়ে পাশ এবং উভয় বিষয়ে ফেল সংখ্যাদ্বয়ের মৌলিক গুণনীয়কসমূহের সেট দুইটির সংযোগ সেট

উভয় বিষয়ে পাশের সংখ্যা = 48

উভয় বিষয়ে ফেলের সংখ্যা = 15

48-এর মৌলিক গুণনীয়কের সেট:

48 = 2⁴ x 3

মৌলিক গুণনীয়ক = {2, 3}

15-এর মৌলিক গুণনীয়কের সেট:

15 = 3 x 5

মৌলিক গুণনীয়ক = {3, 5}

সংযোগ সেট:

{2, 3} ∪ {3, 5} = {2, 3, 5}

{2, 3, 5}

সব উত্তর একসাথে:

ক) (x, y) = (2, 3)

খ) শুধু বাংলায় পাশ = 17, শুধু ইংরেজিতে পাশ = 20

গ) {2, 3, 5}