ত্রিকোণমিতিক অনুপাত - Trigonometric Ratio (অনুশীলনী ৯.১)

• 📚 Topics
• 📝 MCQ Test
• ✅ Exercise Solution

১. নিচের গাণিতিক উক্তিগুলোর সত্য-মিথ্যা যাচাই করো। তোমার উত্তরের পক্ষে যুক্তি দাও।

ক) tan A এর মান সর্বদা 1 এর চেয়ে কম

খ) cot A হলো cot ও A এর গুণফল

গ) A এর কোন একটি মানের জন্য sec A =  12   5 

ঘ) cos হলো cotangent এর সংক্ষিপ্ত রূপ

1.

নিচে প্রতিটি গাণিতিক উক্তির সত্য-মিথ্যা যাচাই করে যুক্তি দেওয়া হলো:


ক) tan A এর মান সর্বদা 1 এর চেয়ে কম

মিথ্যা।

যুক্তি: tan A =   sin A   cos A   

• A = 45° হলে tan 45° = 1 (1-এর সমান, কম নয়)

• A = 60° হলে tan 60° = √ 3   ≈ 1.732 > 1


সুতরাং tan A এর মান 1-এর চেয়ে বড়ো, সমান বা ছোটো হতে পারে—সর্বদা কম নয়।








খ) cot A হলো cot ও A এর গুণফল

মিথ্যা।

যুক্তি: গাণিতিক পরিভাষায় cot A একটি একক প্রতীক, যা cot A =      1   tan A   নির্দেশ করে। এখানে “cot” স্বতন্ত্র কোনো রাশি নয়, বরং কোণ A-এর একটি ত্রিকোণমিতিক অপারেটর। সুতরাং cot ও A গুণ আকারে পৃথক সত্তা নয়।






গ) A এর কোন একটি মানের জন্য sec A =   12    5  

সত্য।

যুক্তি: sec A =      1  cos A  


  12    5   = 2.4 → cos A =    5   12   ≈ 0.4167।

যেহেতু cos A-এর মান -1 থেকে 1 এর মধ্যে, আর 0.4167 এই সীমার মধ্যে পড়ে, তাই A = cos^-1 (  5  12 ) একটি বাস্তব কোণ (প্রায় 65.38°) বিদ্যমান।







ঘ) cos হলো cotangent এর সংক্ষিপ্ত রূপ

মিথ্যা।

যুক্তি:

• cos = cosine (কোসাইন)-এর সংক্ষিপ্ত রূপ

• cot = cotangent (কোট্যানজেন্ট)-এর সংক্ষিপ্ত রূপ



উভয়ই ভিন্ন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।

সারসংক্ষেপ:

ক) মিথ্যা

খ) মিথ্যা

গ) সত্য

ঘ) মিথ্যা

 

২. sin A =  3  4  হলে, A কোণের অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয় করো।

2.

প্রদত্ত:

sin A =   3   4  

আমরা জানি,

sin² A + cos² A = 1

⇒ cos² A = 1 - sin² A 

⇒ cos² A= 1 - (  3   4  )²

⇒ cos² A = 1 -    9   16   

⇒ cos² A =   16 - 9      16   

⇒ cos² A =    7   16  


⇒ cos A = ±   √ 7       4  

এখানে A যদি সূক্ষ্মকোণ (০° থেকে ৯০°) হয়, তাহলে cos A =   √ 7        4   (ধনাত্মক)।


তাহলে অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাত:

• tan A =   sin A   cos A   


            =       3   4       √ 7       4     


            =     3  √ 7    




• cot A =     1  tan A   =   √ 7        3  


• sec A =      1  cos A   =    4  √ 7    


• cosec A =     1  sin A   =   4   3  



উত্তর (সূক্ষ্মকোণের জন্য):

cos A =   √ 7       4  , 


tan A =    3  √ 7    , 


cot A =   √ 7       3  , 


sec A =    4  √ 7    , 


cosec A =   4   3  

A যদি দ্বিতীয় চতুর্ভাগের কোণ হয় (যেখানে sin ধনাত্মক, cos ঋণাত্মক), তাহলে cos A = - √ 7      4   হবে, এবং সেক্ষেত্রে tan A, sec A, cot A এর মানও চিহ্ন পরিবর্তিত হবে। সাধারণত প্রদত্ত তথ্যে A কে সূক্ষ্মকোণ ধরা হয়।

 

৩. দেওয়া আছে, 15cot A = 8, sin A ও sec A এর মান বের করো।

3.

দেওয়া আছে:

15 cot A = 8

⇒ cot A =    8   15  



ত্রিভুজ চিহ্নিতকরণ

আমরা জানি,

cot A =   সন্নিহিত বাহু            লম্ব   =    8   15  



তাহলে, 


সন্নিহিত বাহু = 8k, 


লম্ব = 15k   (এখানে k>0 একটি ধ্রুবক)


অতিভুজ নির্ণয়

পিথাগোরাসের সূত্র:

অতিভুজ = $\sqrt{{8k}^2+{15k}^2}$ 


                = $\sqrt{64k^2+225k^2}$ 


                = $\sqrt{289k^2}$ 


                = 17k




sin A ও sec A নির্ণয়

sin A =       লম্ব  অতিভুজ   


         =   15k   17k   


         =   15   17  


sec A =      1  cos A   


         =     অতিভুজ   সন্নিহিত বাহু   


         =   17k    8k   


         =   17    8  



উত্তর:

sin A =   15   17  , 


sec A =   17    8  

8. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠C সমকোণ, AB = 13 সে.মি., BC = 12 সে.মি. এবং ∠ABC = θ হলে, sin θ cos θ ও tan θ এর মান বের করো।

4.

চিত্র:

ত্রিভুজ ABC সমকোণী, ∠C = 90°।

AB = 13 সে.মি. (অতিভুজ, কারণ সমকোণের বিপরীত বাহু),

BC = 12 সে.মি. (একটি বাহু),

∠ABC = θ (B কোণটি θ)।



তৃতীয় বাহু AC নির্ণয়

পিথাগোরাসের সূত্র:

AB² = AC² + BC²

⇒ 13² = AC² + 12²

⇒ 169 = AC² + 144

⇒ AC² = 25

⇒ AC = 5 (ধনাত্মক দৈর্ঘ্য)

θ-এর সংলগ্ন ও বিপরীত বাহু চিহ্নিতকরণ



θ = ∠ABC অর্থাৎ শীর্ষ B কোণ θ।

• সমকোণ C (∠C = 90°)

• তাই B কোণের সাপেক্ষে:


অতিভুজ = AB (13)


সন্নিহিত বাহু (θ-এর পাশের বাহু) = BC (12)


বিপরীত বাহু (θ-এর বিপরীতে) = AC (5)



সুতরাং,

sin θ =   বিপরীত  অতিভুজ   =   AC   AB   =    5   13  


cos θ =   সন্নিহিত   অতিভুজ   =   BC   AB   =   12   13  


tan θ =   sin θ   cos θ   =     5  13    12  13   =    5   12  




sinθ cosθ এর মান

sinθ cosθ =    5   13   ×   12   13   =    60   169  



উত্তর:

sinθ cosθ =    60   169  

tanθ =    5   12  

৫. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tan A = √ 3  হলে, এর সত্যতা যাচাই করো। √ 3 sin A. cos A =  3  4 

5.

প্রথমে প্রদত্ত তথ্যগুলো স্পষ্ট করে নিই:

ত্রিভুজ ABC সমকোণী, ∠B = 90°

tan A =  √ 3



আমাদের যাচাই করতে হবে: √3 sin a cos a = 3/4

tan A থেকে A নির্ণয়

tan A = √ 3  



সূক্ষ্মকোণের জন্য:

A = 60°

(কারণ tan 60° = √3)



sin A ও cos A নির্ণয়



sin 60° =   √ 3        2  , 


cos 60° =   1   2  



বামপক্ষের মান নির্ণয়

√ 3   sin A cos A = √ 3 ×   √ 3       2   ×   1   2  

⇒ √ 3   sin A cos A =   (√ 3  × √ 3 )            4   

⇒ √ 3   sin A cos A =   3   4  



তুলনা

ডানপক্ষও   3   4   ।


সুতরাং:

√ 3   sin A cos A =   3   4  

সত্য।

উত্তর: প্রদত্ত সমীকরণটি সত্য, যেহেতু tan A = √3 হলে A = 60°, এবং √ 3   sin 60° cos 60° =   3   4   হয়।

 

প্রমাণ করো (৬ - ২০) :

৬. ক)     1  sec²A  +     1  cosec²A  = 1

খ)     1  cos²A  -     1  cot²A  = 1

গ)     1  sin²A  -     1  tan²A  = 1

6.

ক)

      1  sec² A   +       1  cosec² A   = 1


খ)

      1  cos² A   -       1  cot² A   = 1


গ)

      1  sin² A   -       1  tan² A   = 1

নিচে প্রতিটি প্রমাণ করা হলো।




ক) প্রমাণ:

      1  sec² A   +         1  cosec² A  


আমরা জানি,

        1    sec² A   = cos² A,

        1   cosec² A   = sin² A




তাই বামপক্ষ

cos² A + sin² A = 1



সুতরাং,       1  sec² A   +        1  cosec² A   = 1 (প্রমাণিত)








খ) প্রমাণ:

     1  cos² A   -     1  cot² A  



আমরা জানি,

cot A =    cos A    sin A   


⟹ cot² A =   cos² A   sin² A  



সুতরাং

      1  cot² A   =   sin² A  cos² A  




তাহলে বামপক্ষ

=       1  cos² A   -   sin² A   cos² A  

=    1 - sin² A      cos² A  

=   cos² A   cos² A   


= 1


সুতরাং,       1  cos² A   -       1  cot² A   = 1 (প্রমাণিত)












গ) প্রমাণ:

      1  sin² A   -      1  tan² A  



আমরা জানি,

tan A =   sin A   cos A   


⟹ tan² A =   sin² A  cos² A  



সুতরাং

      1  tan² A   =   cos² A   sin² A  




তাহলে বামপক্ষ

=      1  sin² A   -   cos² A   sin² A  

=   1 - cos² A      sin² A  

=   sin² A   sin² A   


= 1


সুতরাং,       1  sin² A   -      1  tan² A   = 1 (প্রমাণিত)

সবগুলো সূত্র প্রমাণিত।

 

৭. ক)    sin A  cosec A  +    cos A  sec A  = 1

খ)   sec A  cos A  -   tan A  cot A  = 1

গ)        1  1 + sin² A  +         1  1 + cosec² A  = 1

7.

ক)

   sin A  cosec A   +   cos A   sec A   = 1


প্রমাণ:

cosec A =     1  sin A  , 
sec A =     1  cos A  



   sin A  cosec A   = sin A × sin A = sin² A


  cos A   sec A   = cos A × cos A = cos² A


বামপক্ষ = sin² A + cos² A = 1 (প্রমাণিত)









খ)

  sec A   cos A   -   tan A   cot A   = 1


প্রমাণ:

প্রথম অংশ:   

  sec A   cos A   


=             1  cos A               cos A   


=        1    cos² A  



দ্বিতীয় অংশ

  tan A   cot A   


=        tan A            1   tan A       


= tan² A





বামপক্ষ:

=       1  cos² A   - tan² A



= sec² A - tan² A



= 1   [আমরা জানি, sec² A - tan² A = 1 ]




সুতরাং,

  sec A   cos A   -   tan A   cot A   = 1 (প্রমাণিত)







গ) 

আমরা প্রমাণ করব:

        1  1 + sin² A   +          1  1 + csc² A   = 1



প্রমাণ:

আমরা জানি,

cosec A =      1   sin A   
 
⇒ cosec² A =       1   sin² A  



দ্বিতীয় পদটির হর:

1 + cosec² A = 1 +      1  sin² A   


                     =   sin² A + 1      sin² A  


সুতরাং,

        1  1 + csc² A   


=           1    1 +       1    sin² A        


=            1      1 + sin² A     sin² A        



=      sin² A     sin² A +1   





এখন বামপক্ষ:

          1  1 + sin² A   +      sin² A  1 + sin² A  



=   1 + sin² A   1 + sin² A     [হর একই (1 + sin² A), তাই যোগ করি]


= 1



সুতরাং,

          1  1 + sin² A   +          1  1 + csc² A   = 1



(প্রমাণিত) ✅


এটি সব A-এর জন্য সত্য যেখানে sin A ≠ 0 (অন্যথায় cosec A অসংজ্ঞায়িত)।


উত্তর সংক্ষেপে:

ক) সত্য (প্রমাণিত)

খ) সত্য (প্রমাণিত)

গ) সত্য (প্রমাণিত)


 

৮. ক)    tan A  1 - cot A  +    cot A  1 - tan A  = sec A.cosec A

খ)        1  1 + tan² A  +        1  1 + cot² A  = 1

8.

ক) প্রমাণ করো:

    tan A  1 - cot A   +     cot A  1 - tan A   = sec A cosec A + 1



প্রমাণ:

ধরি, tan A = x


তাহলে cot A =   1   x  


প্রথম পদ:

    tan A  1 - cot A   

=       x          1 -   1   x   


=       x           x - 1      x    


=    x²  x - 1    




দ্বিতীয় পদ:

     cot A  1 - tan A   



=       1   x      1 - x     

=        1   x(1 - x)   

= -       1  x(x - 1)  




যোগ করে:

    x²   x - 1   + (-       1  x(x - 1)  )



=     x²   x - 1   -        1   x(x - 1)   




=    x³ - 1   x(x - 1)  




=  (x - 1)(x² + x + 1)          x(x - 1)     [সূত্র, x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)]




=   x² + x + 1          x   




= x + 1 +   1   x  





অর্থাৎ:

= tan A + 1 + cot A





এখন,

tan A + cot A + 1




= (  sin A   cos A   +   cos A   sin A   ) + 1




=   sin² A + cos² A      sin A cos A   + 1




=          1  sin A cos A   + 1




= sec A cosec A + 1




সুতরাং:

tan A + 1 + cot A = 1 + sec A cosec A




∴ প্রমাণিত যে:

    tan A  1 - cot A   +     cot A  1 - tan A   = 1 + sec A cosec A








খ) প্রমাণ করো:

         1  1 + tan² A   +         1  1 + cot² A   = 1


প্রমাণ:

আমরা জানি,

1 + tan² A = sec² A

1 + cot² A = cosec² A


তাই:

         1  1 + tan² A   =       1  sec² A   = cos² A

        1  1 + cot² A   =        1  cosec² A   = sin² A


বামপক্ষ:

cos² A + sin² A = 1

∴ প্রমাণিত।




সারসংক্ষেপ:

(ক) সম্পূর্ণ সঠিক ও প্রমাণিত।

(খ) সম্পূর্ণ সঠিক ও প্রমাণিত।

৯.    cos A  1 - tan A  +    sin A  1 - cot A  = sin A + cos A

9.

প্রমাণ করতে হবে:

    cos A  1 - tan A   +     sin A  1 - cot A   = sin A + cos A


প্রমাণ:

আমরা জানি,

tan A =   sin A   cos A  , 


cot A =   cos A   sin A  





প্রথম পদ:

   cos A  1 - tan A   


=       cos A    1 -   sin A   cos A       

=           cos A                 cos A - sin A        cos A  


=   cos A · cos A   cos A - sin A   


=       cos² A  cos A - sin A  




দ্বিতীয় পদ:

    sin A  1 - cot A   


=       sin A   1 -   cos A   sin A       

=        sin A  sin A - cos A        sin A 


=   sin A · sin A   sin A - cos A   
=        sin² A  sin A - cos A      [লক্ষ্য করি, sin A - cos A = -(cos A - sin A)]



তাই দ্বিতীয় পদ:

        sin² A  sin A - cos A   
=           sin² A  -(cos A - sin A)   
= -       sin² A  cos A - sin A  




এখন বামপক্ষ:

        cos² A  cos A - sin A   -         sin² A  cos A - sin A  


=      cos² A - sin² A       cos A - sin A            [সূত্র, cos² A - sin² A = (cos A - sin A)(cos A + sin A)]
=   (cos A - sin A)(cos A + sin A)                   cos A - sin A   


= cos A + sin A


∴ বামপক্ষ = sin A + cos A


প্রমাণিত:

    cos A  1 - tan A   +      sin A  1 - cot A   = sin A + cos A

✅

 

১০. $\tan A·\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sin A$

10.

প্রশ্ন:

$\tan A·\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sin A$


সমাধান (সরল পদ্ধতি):

LHS :

= $\tan A·\sqrt{1-{\sin }^{2}A}$

= $\tan A·\sqrt{{\cos }^{2}A}$     [(কেননা 1 - sin² A = cos² A), ত্রিকোণমিতিক অভেদ ব্যবহার করে]

= tan A · |cos A|     [(কেননা √ cos² A   = |cos A|), বর্গমূল থেকে ধনাত্মক মান নেওয়ার শর্ত]

=   sin A   cos A   · |cos A|     [(কেননা tan A =   sin A  cos A  ), ট্যান ব্যবহার]

= sin A ·   cos A   cos A  

= sin A 


সুতরাং, LHS = sin A · 1 = sin A = RHS  [সমীকরণ সত্য]

১১.    sec A + tan A  cosec A + cot A  =  cosec A - cot A  sec A - tan A 

11.


 sec A + tan A  csc A + cot A   =   csc A - cot A   sec A - tan A  


সমাধান:

বামপক্ষ (LHS) :

=   sec A + tan A  csc A + cot A  


=           1  cos A   +    sin A   cos A                1   sin A   +    cos A    sin A       [sec A, tan A, cosec A, cot A-কে sin ও cos-এ প্রকাশ]



=      1 + sin A    cos A             1 + cos A     sin A     [লব ও হরের ভগ্নাংশ সরলীকরণ]



=   1 + sin A    cos A   ×      sin A  1 + cos A       [ভাগকে গুণে রূপান্তর]


=     sin A(1 + sin A)   cos A(1 + cos A)       [গুণ করে লব ও হর নির্ধারণ]



ডানপক্ষ (RHS) :
=   csc A - cot A  sec A - tan A  


=           1  sin A   -  cos A sin A               1  cos A -   sin A  cos A          [cosec A, cot A, sec A, tan A-কে sin ও cos-এ প্রকাশ]


=      1 - cos A     sin A           1 - sin A    cos A           [লব ও হরের ভগ্নাংশ সরলীকরণ]


=   1 - cos A     sin A   ×     cos A  1 - sin A        [ভাগকে গুণে রূপান্তর]


=   cos A(1 - cos A)   sin A(1 - sin A)       [গুণ করে লব ও হর নির্ধারণ]




এখন LHS ও RHS সরাসরি সমান দেখাচ্ছে না। কিন্তু আমরা জানি ত্রিকোণমিতির অভেদ থেকে:

sec² A - tan² A = 1       [মৌলিক অভেদ]

⇒ (sec A - tan A)(sec A + tan A) = 1       [a² - b² = (a-b)(a+b) ব্যবহার করে]

⇒ sec A + tan A =            1  sec A - tan A        [উভয়পক্ষকে (sec A - tan A) দ্বারা ভাগ]


অনুরূপভাবে, 
cosec² A - cot² A = 1    [অপর মৌলিক অভেদ]

⇒ (cosec A - cot A)(cosec A + cot A) = 1      [[a² - b² = (a-b)(a+b) ব্যবহার করে]

⇒ cosec A + cot A =            1  csc A - cot A       [উভয়পক্ষকে (cosec A - cot A) দ্বারা ভাগ]



এখন বামপক্ষ 

=   sec A + tan A   csc A + cot A  


=                1  sec A - tan A                    1  csc A - cot A     [উপরের অভেদ দুটি বসিয়ে]

=            1  sec A - tan A   ×   csc A - cot A            1          [ভাগকে গুণে রূপান্তর]



=   csc A - cot A   sec A - tan A  



= ডানপক্ষ

[প্রমাণিত]






চূড়ান্ত মন্তব্য:

  sec A + tan A   csc A + cot A   =   csc A - cot A   sec A - tan A  

[এটি একটি সত্য ত্রিকোণমিতিক অভেদ, যা মৌলিক অভেদ sec² A - tan² A = 1 ও cosec² A - cot² A = 1 থেকে প্রমাণিত]

 

১২.     cosec A  cosec A - 1  +     cosec A  cosec A + 1  = 2sec² A

12.

    csc A  csc A - 1   +     csc A  csc A + 1   = 2sec² A



সমাধান:

বামপক্ষ (LHS) :

=     csc A  csc A - 1   +     csc A  csc A + 1  


= cosec A [       1  csc A - 1   +        1  csc A + 1 ]       [cosec A সাধারণ বের করে]



= cosec A [ (csc A + 1) + (csc A - 1)    (csc A - 1)(csc A + 1)  ]        [ভগ্নাংশের যোগফলের জন্য হর এককরণ]


= cosec A [   2csc A  csc² A - 1 ]       [লব সরলীকরণ ও হরে (a-b)(a+b)=a²-b² ব্যবহার]



=    2csc² A  csc² A - 1        [আমরা জানি: cosec² A - 1 = cot² A]




সুতরাং LHS :

=   2csc² A   cot² A         [হরে cosec² A - 1 = cot² A বসিয়ে]

= 2 ×   csc² A   cot² A         [পৃথক করে]

= 2 ×         1  sin² A          cos² A   sin² A         [cosec A =     1  sin A  , cot A =   cos A   sin A   
= 2 ×       1  sin² A   ×   sin² A  cos² A         [ভাগকে গুণে রূপান্তর]

= 2 ×       1  cos² A         [sin² A বাতিল]

= 2 sec² A        [       1  cos² A   = sec² A]

= ডানপক্ষ (RHS)

[প্রমাণিত]



চূড়ান্ত মন্তব্য:

    csc A  csc A - 1   +     csc A  csc A + 1   = 2sec² A

[এটি একটি সত্য ত্রিকোণমিতিক অভেদ, যা সরল বীজগণিত ও মৌলিক অভেদ cosec² A - 1 = cot² A ব্যবহার করে প্রমাণিত]

 

১৩.       1  1 + sinA  +       1  1 - sin A  = 2sec² A

13.


        1  1 + sin A   +        1  1 - sin A   = 2sec² A


সমাধান:

বামপক্ষ (LHS) 
=           1  1 + sin A   +           1  1 - sin A  


=   (1 - sin A) + (1 + sin A)   (1 + sin A)(1 - sin A)      [ভগ্নাংশের যোগফলের জন্য হর এককরণ]



=   1 - sin A + 1 + sin A          1 - sin² A         [লব সরলীকরণ; হরে (a+b)(a-b) = a² - b² ব্যবহার করে 1 - sin² A পাওয়া]

=        2  1 - sin² A  

=       2  cos² A     [আমরা জানি:  sin² A + cos² A = 1 ]

= 2 ×     1  cos² A          [পৃথক করে]

= 2 sec² A             [       1   cos² A   = sec² A]

= ডানপক্ষ (RHS)

[প্রমাণিত]






চূড়ান্ত মন্তব্য:

       1  1 + sin A   +        1  1 - sin A   = 2sec² A

[এটি একটি সত্য ত্রিকোণমিতিক অভেদ, যা সরল বীজগণিত ও মৌলিক অভেদ 1 - sin² A = cos² A ব্যবহার করে প্রমাণিত]

 

১৪.       1  cosec A - 1  -        1  cosec A + 1  = 2tan² A

14.


       1  csc A - 1   -        1  csc A + 1   = 2tan² A



সমাধান:

বামপক্ষ (LHS) 
=        1  csc A - 1   -        1  csc A + 1  


=   (csc A + 1) - (csc A - 1)   (csc A - 1)(csc A + 1)    [ভগ্নাংশের বিয়োগের জন্য হর এককরণ]



=   csc A + 1 - csc A + 1          csc² A - 1    [লব সরলীকরণ; হরে (a-b)(a+b) = a² - b² ব্যবহার করে cosec² A - 1]



=         2  csc² A - 1     [লবের cosec A - cosec A বাতিল]


=         2  cot² A - 1     [আমরা জানি: cosec² A - cot² A = 1] 


= 2 ×       1  cot² A     [পৃথক করে]

= 2 × tan² A      [     1  cot A   = tan A  ⇒        1  cot² A   = tan² A]

= 2tan² A

= ডানপক্ষ (RHS)

[প্রমাণিত]




চূড়ান্ত মন্তব্য:

        1  csc A - 1   -        1  csc A + 1   = 2tan² A

[এটি একটি সত্য ত্রিকোণমিতিক অভেদ, যা সরল বীজগণিত ও মৌলিক অভেদ cosec² A - 1 = cot² A ব্যবহার করে প্রমাণিত]

 

১৫.    sin A  1 - cos A  +  1 - cos A     sin A  = 2cosec A

15.


    sin A  1 - cos A   +   1 - cos A      sin A   = 2cosec A



সমাধান:

বামপক্ষ (LHS): 

=     sin A  1 - cos A   +   1 - cos A      sin A        [প্রদত্ত সমীকরণের বামপক্ষ]

=   sin A · sin A + (1 - cos A)(1 - cos A)                  sin A (1 - cos A)     [ভগ্নাংশের যোগফলের জন্য হর এককরণ]

=   sin² A + (1 - cos A)²      sin A (1 - cos A)      [লব সরলীকরণ]



=    sin² A + 1 - 2cos A + cos² A               sin A (1 - cos A)      [(1 - cos A)² = 1 - 2cos A + cos² A]


=    (sin² A + cos² A) + 1 - 2cos A               sin A (1 - cos A)   


=     1 + 1 - 2cos A     sin A (1 - cos A)   


=        2 - 2cos A      sin A (1 - cos A)   


=      2(1 - cos A)   sin A (1 - cos A)      [লবের মান বসিয়ে]



=      2   sin A       [(1 - cos A)  বাতিল]



= 2 cosec A    [    1  sin A   = cosec A]

= ডানপক্ষ (RHS)

[প্রমাণিত]




চূড়ান্ত মন্তব্য:

    sin A  1 - cos A   +   1 - cos A      sin A   = 2cosec A

[এটি একটি সত্য ত্রিকোণমিতিক অভেদ, যা বীজগাণিতিক সরলীকরণ ও মৌলিক অভেদ sin² A + cos² A = 1 ব্যবহার করে প্রমাণিত]

 

১৬.    tan A  sec A + 1  -  sec A - 1     tan A  = 0

16.


    tan A  sec A + 1   -   sec A - 1      tan A   = 0



সমাধান:

বামপক্ষ (LHS): 

=     tan A  sec A + 1   -   sec A - 1      tan A      [প্রদত্ত সমীকরণের বামপক্ষ]



বামপক্ষের প্রথম ভগ্নাংশের লব ও হরকে (sec A - 1) দিয়ে গুণ করি:

=     tan A  sec A + 1   

=        tan A (sec A - 1)  (sec A + 1)(sec A - 1)   


=   tan A (sec A - 1)        sec² A - 1        [হরে (a+b)(a-b) = a² - b² ব্যবহার]

=   tan A (sec A - 1)            tan² A    


=   sec A - 1      tan A       [একটি tan A বাতিল]




তাহলে, LHS =   sec A - 1      tan A   -   sec A - 1      tan A       [প্রথম ভগ্নাংশ সরলীকৃত মান বসিয়ে]

                     = 0     [একই রাশি থেকে একই রাশি বিয়োগ]

                     = ডানপক্ষ (RHS)

[প্রমাণিত]




বিকল্প পদ্ধতি (সরাসরি হর এককরণ করে):


LHS :

=      tan A  sec A + 1   -   sec A - 1      tan A  

=   tan² A - (sec A - 1)(sec A + 1)               tan A (sec A + 1)      [হর tan A (sec A + 1) এককরণ]

=   tan² A - (sec² A - 1)      tan A (sec A + 1)       [(sec A - 1)(sec A + 1) = sec² A - 1]

=    tan² A - tan² A  tan A (sec A + 1)        [sec² A - 1 = tan² A]

=                0  tan A (sec A + 1)   


= 0    [লব শূন্য]

= RHS

[প্রমাণিত]




চূড়ান্ত মন্তব্য:

     tan A  sec A + 1   -   sec A - 1      tan A   = 0

[এটি একটি সত্য ত্রিকোণমিতিক অভেদ, যা মৌলিক অভেদ sec² A - 1 = tan² A ব্যবহার করে প্রমাণিত]

 

১৭. (tan θ + sec θ)² =  1 + sin θ  1 - sin θ 

17.

(tan θ + sec θ)² =   1 + sin θ   1 - sin θ  

সমাধান:

বামপক্ষ (LHS) = (tan θ + sec θ)²   [প্রদত্ত সমীকরণের বামপক্ষ]

= (   sin θ   cos θ   +     1  cos θ   )²       [tan θ =   sin θ   cos θ  , sec θ =     1  cos θ  ]

= (   sin θ + 1      cos θ   )²       [লব যোগ করে]

=   (1 + sin θ)²      cos² θ        [বর্গ করে] 


=   (1 + sin θ)²      cos² θ     


=   (1 + sin θ)²    1 - sin² θ       [আমরা জানি, cos² θ = 1 - sin² θ, মৌলিক অভেদ sin² θ + cos² θ = 1]


=          (1 + sin θ)²   (1 - sin θ)(1 + sin θ)       [cos² θ এর মান বসিয়ে]

=   1 + sin θ   1 - sin θ         [লব ও হর থেকে (1 + sin θ) বাতিল]

= ডানপক্ষ (RHS)

[প্রমাণিত]




চূড়ান্ত মন্তব্য:

(tan θ + sec θ)² =   1 + sin θ   1 - sin θ  

[এটি একটি সত্য ত্রিকোণমিতিক অভেদ, যা tan θ ও sec θ কে sin θ, cos θ -এ প্রকাশ করে এবং cos² θ = 1 - sin² θ ব্যবহার করে প্রমাণিত]

 

১৮.  cot A + tan B  cot B + tan A  = cot A . tan B

18.


  cot A + tan B   cot B + tan A   = cot A · tan B

সমাধান:

বামপক্ষ (LHS) :


=   cot A + tan B  cot B + tan A  


=       cos A  sin A  +   sin B   cos B        cos B   sin B   +   sin A  cos A               [cot =   cos   sin  , tan =   sin   cos  ]


=       cos A cos B + sin A sin B            sin A . cos B         cos A cos B + sin A sin B            sin B . cos A             [লব ও হরের ভগ্নাংশ সরলীকরণ]



=    cos A cos B + sin A sin B                sin A cos B   ×              sin B cos A    cos A cos B + sin A sin B  


=    cos(A - B)   sin A cos B   ×    sin B cos A    cos(A - B)           [ভাগকে গুণে রূপান্তর]

=   sin B cos A   sin A cos B          [cos(A-B) বাতিল]

=   cos A   sin A   ×   sin B  cos B          [পুনর্বিন্যাস]

= cot a · tan B        [cot A =   cos A  sin A  , tan B =   sin B  cos B  ]

= ডানপক্ষ (RHS)

[প্রমাণিত] 

১৯. $\sqrt{\frac{1-\sin A}{1+\sin A}}$ = sec A - tan A

19.

$\sqrt{\frac{1-\sin A}{1+\sin A}}$ = sec A - tan A


সমাধান:

বামপক্ষ (LHS)

= $\sqrt{\frac{1-\sin A}{1+\sin A}}$


= $\sqrt{\frac{1-\sin A}{1+\sin A}}\times \frac{1-\sin A}{1-\sin A}$      [লব ও হরকে (1 - sin A) দিয়ে গুণ করে যুক্তিযুক্তকরণ]


= $\sqrt{\frac{{(1-\sin A)}^2}{1-{\sin }^{2}A}}$       [হরে (1 + sin A)(1 - sin A) = 1 - sin² A]


= $\sqrt{\frac{{(1-\sin A)}^2}{{\cos }^{2}A}}$    [1 - sin² A = cos² A]
   

=   |1 - sin A|     |cos A|        [$\sqrt{x^2}$ = |x|]




চিহ্ন বিবেচনা:

সাধারণত A সূক্ষ্মকোণ (0° থেকে 90°) নিলে:

 1 - sin A ≥ 0, তাই |1 - sin A| = 1 - sin A

 cos A > 0, তাই |cos A| = cos A



তখন LHS: 

=   1 - sin A      cos A       [চিহ্ন সরলীকরণ]

=       1  cos A   -   sin A  cos A        [ভগ্নাংশ পৃথক করে]

= sec a - tan A       [     1   cos A   = sec A,   sin A   cos A   = tan A]

= ডানপক্ষ (RHS)


[প্রমাণিত]

২০. $\sqrt{\frac{\sec A+1}{\sec A-1}}$ = cot A + cosec A

20.


$\sqrt{\frac{\sec A+1}{\sec A-1}}$ = cot A + cosec A

সমাধান:

বামপক্ষ (LHS) :


= $\sqrt{\frac{\sec A+1}{\sec A-1}}$


= $\sqrt{\frac{\sec A+1}{\sec A-1}}\times \frac{\sec A+1}{\sec A+1}$    [লব ও হরকে (sec A + 1) দিয়ে গুণ করে যুক্তিযুক্তকরণ]


= $\sqrt{\frac{{(\sec A+1)}^2}{{\sec }^{2}A-1}}$     [হরে (a-b)(a+b) = a² - b² ব্যবহার]


= $\sqrt{\frac{{(\sec A+1)}^2}{{\tan }^{2}A}}$      [sec² A - 1 = tan² A]


=   |sec A + 1|     |tan A|         [√ x²   = |x|]




চিহ্ন বিবেচনা:


সাধারণত A সূক্ষ্মকোণ (0° থেকে 90°) নিলে:

- sec A + 1 > 0, তাই |sec A + 1| = sec A + 1

- tan A > 0, তাই |tan A| = tan A


তখন LHS 


=   sec A + 1      tan A       [চিহ্ন সরলীকরণ]

=          1   cos A   + 1         sin A  cos A          [sec A =      1  cos A  , tan A =   sin A  cos A  ]

=      1 + cos A      cos A            sin A  cos A        [লব সরলীকরণ]

=   1 + cos A      cos A   ×     cos A  sin A       [ভাগকে গুণে রূপান্তর]

=   1 + cos A      sin A          [cos A বাতিল]

=      1  sin A   +   cos A   sin A        [ভগ্নাংশ পৃথক করে]

= cosec a + cot A    [    1  sin A   = cosec A,   cos A   sin A   = cot A]

= ডানপক্ষ (RHS)

[প্রমাণিত]

২১. cos A + sin A = √ 2 cos A হলে, তবে প্রমাণ করো যে, cos A - sin A = √ 2 sin A

21.

প্রদত্ত:

cos A + sin A = √ 2   cos A



প্রমাণ করতে হবে:

cos A - sin A = √ 2   sin A


সমাধান (প্রমাণ):

প্রদত্ত সমীকরণ:

cos A + sin A = √ 2   cos A

সমীকরণ থেকে sin A-এর মান নির্ণয়

sin A = √ 2   cos A - cos A

sin A = (√ 2   - 1) cos A  ....(1)



cos A - sin A-এর মান বের করতে চাই

cos A - sin A 

= cos A - (√ 2   - 1) cos A

= cos A [1 - (√ 2   - 1)]

= cos A [1 - √ 2   + 1]

= cos A [2 - √ 2  ]

cos A - sin A =  cos A [2 - √ 2  ] ..... (2)


ডানপক্ষ √ 2   sin A-এর মান বের করি

√ 2   sin A = √ 2   × (√ 2   - 1) cos A

⇒ √ 2   sin A = (2 - √ 2  ) cos A  .... (3)


তুলনা

(2) থেকে পাই:

cos A - sin A = (2 - √ 2  ) cos A


ধাপ ৩ থেকে পাই:

√ 2   sin A = (2 - √ 2  ) cos A

সুতরাং:

cos A - sin A = √ 2   sin A

[প্রমাণিত]





চূড়ান্ত মন্তব্য:

cos A - sin A = √ 2   sin A

[প্রদত্ত শর্ত cos A + sin A = √ 2   cos A থেকে sin A = (√ 2   - 1)cos A বের করে সরল বীজগণিতে প্রমাণিত] 

২২. যদি tan A =    1  √ 3   হয়, তবে  cosec² A - sec² A  cosec² A + sec² A  এর মান নির্ণয় করো।

22.

প্রদত্ত:

tan A =    1  √ 3    

আমরা জানি, tan 30° =    1  √ 3    

সুতরাং A = 30° (সূক্ষ্মকোণ ধরে)।



cosec² A ও sec² A নির্ণয়

A = 30°

sin 30° =  1  2   ⇒ cosec 30° = 2  ⇒ cosec² A = 4

cos 30° =   √ 3        2   

⇒ sec 30° =    2  √ 3     

⇒ sec² A =   4   3  





প্রদত্ত রাশির মান নির্ণয়

  csc² A - sec² A  csc² A + sec² A  

=  4 -    4    3     4 +   4   3     

=      12 - 4       3        12 + 4        3     

=      8   3        16     3     

=    8   16   
=  1  2 



উত্তর:

  1   2  

২৩. cosec A - cot A =  4  3  হলে, cosec A + cot A এর মান কত?

23.

আমরা জানি,

cosec² A - cot² A = 1


⇒ (cosec A - cot A)(cosec A + cot A) = 1   [সূত্র অনুযায়ী পাই]





প্রদত্ত,

cosec A - cot A =   4   3  



তাহলে,

cosec A - cot A =   4   3  

=   4   3   × (cosec A + cot A) = 1

⇒ cosec A + cot A =      1      4   3       

⇒ cosec A + cot A =   3   4   




উত্তর:

  3   4  

২৪. cot A =  b  a  হলে,  asin A - bcos A  asin A + bcos A  এর মান নির্ণয় করো।

24

প্রদত্ত:

cot A =   b   a  

আমরা জানি,

cot A =   cos A   sin A  



সুতরাং,

   cos A   sin A   =   b   a  

সমীকরণ থেকে সম্পর্ক নির্ণয়

a cos A = b sin A





প্রদত্ত রাশি

R =   a sin A - b cos A   a sin A + b cos A  

[লব ও হরে b cos A-এর জায়গায় cos A =   b   a   sin A বসানো যুক্তিযুক্ত]

b cos A = b ×   b   a   sin A =   b²    a   sin A

তাহলে:

লব:

a sin A -   b²   a   sin A = sin A (a -   b²   a  )



হর:

a sin A +   b²   a   sin A = sin A (a +   b²   a  )



সরলীকরণ

R =     a -   b²    a      a +   b²    a       


⇒ R =       a² - b²      a        a² + b²        a      


⇒ R =   a² - b²  a² + b²  





উত্তর:

  a² - b²  a² + b²  

২৫. cosecA - cotA = x এবং cosecA + cotA = y

ক) sin θ =   5  13  হলে, secθ এর মান নির্ণয় করো।

(খ) দেখাও যে, sec A =  1 + x²  1 - x² 

(গ)  x  y  = 7 - 4√ 3  হলে, A এর মান নির্ণয় করো।

25

প্রদত্ত:

cosec A - cot A = x, 


cosec A + cot A = y

আমরা জানি,

(cosec A - cot A)(cosec A + cot A) = cosec² A - cot² A = 1





সুতরাং,

x · y = 1  


⇒ y =   1  x  



(ক) sin θ =    5   13   হলে, sec θ এর মান নির্ণয়

sin θ =    5  13  

cos² θ = 1 - sin² θ 


⇒ cos² θ = 1 -    25   169   


⇒ cos² θ =   144   169  

⇒ cos θ = ±   12   13  

⇒     1  cos θ   = ±  13  12    


⇒ sec θ = ±   13   12  



সুতরাং,(সাধারণত সূক্ষ্মকোণ ধরে sec θ =   13   12  )


উত্তর (ক):

  13   12  













(খ) দেখাও যে, sec A =   1 + x²   1 - x²  

আমরা জানি,

x = cosec A - cot A

cosec A =   1 + x²     2x  , 
cot A =   1 - x²     2x  

(এটি সূত্র: cosec A - cot A = x হলে, cosec A =   x² + 1      2x  , cot A =   1 - x²     2x  )



যাচাই:

cosec A + cot A 


=   1 + x²      2x   +   1 - x²      2x   


=   x² + 1      2x   +   1 - x²      2x   


=    x² + 1 + 1 - x²              2x   


=    2   2x   


=   1   x   


= y

ঠিক আছে।



এখন, sec² A = 1 + tan² A = 1 +      1  cot² A  







অথবা সরাসরি:

sec A =      1  cos A  



আমরা জানি,

cot A =   cos A  sin A  

এবং cosec A =      1  sin A  





সুতরাং,

cot A =   1 - x²     2x  , 


 cosec A =   1 + x²      2x  





sin A =      1  csc A   =     2x  1 + x²  



cos A = cot A · sin A =   1 - x²     2x   ×     2x  1 + x²   =   1 - x²  1 + x²  





সুতরাং,

sec A =      1  cos A   =   1 + x²   1 - x²  

প্রমাণিত।













(গ)   x   y   = 7 - 4√ 3   হলে, A এর মান নির্ণয়



আমরা জানি,

y =   1   x  

সুতরাং,

  x   y   =      x      1   x     = x² = 7 - 4√ 3  



লক্ষ্য করি,

7 - 4√ 3   


= 4 + 3 - 4√ 3   


= (2)² + (√ 3  )² - 2 · 2 · √ 3  

= (2 - √ 3  )²





সুতরাং,

x² = (2 - √ 3  )²

x = 2 - √ 3   (ধনাত্মক ধরা হলে, কারণ cosec A - cot A > 0 সূক্ষ্মকোণে)





আমরা জানি,

cosec A - cot A = 2 - √ 3  

এবং

cosec A + cot A =   1   x   =      1  2 - √ 3     = 2 + √ 3  





যোগ করে:

2cosec A = (2 - √ 3  ) + (2 + √ 3  ) = 4 


⇒ 2cosec A = 4


⇒ cosec A = 2



sin A =  1  2 


⇒ A = 30° (সূক্ষ্মকোণ)





উত্তর (গ):

30°