১. স্থান, তল, রেখা এবং বিন্দুর ধারণা দাও।
1.
প্রশ্ন: স্থান, তল, রেখা এবং বিন্দুর ধারণা দাও।
১. স্থান (Space):
আমাদের চারপাশে যে অসীম বিস্তৃত শূন্য অংশে সকল বস্তু অবস্থান করে, তাকে স্থান (Space) বলে। কোনো ঘনবস্তু যে স্থান দখল করে, তা তিন দিকে বিস্তৃত থাকে। তাই স্থান ত্রিমাত্রিক (Three-dimensional)।
২. তল (Surface):
ঘনবস্তুর বাইরের আবরণ বা উপরিভাগকে তল (Surface) বলে। তলের শুধু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, কিন্তু উচ্চতা নেই। তাই তল দ্বিমাত্রিক (Two-dimensional)।
৩. রেখা (Line):
দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে যে পথ সৃষ্টি হয়, তাকে রেখা (Line) বলে। রেখার শুধু দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নেই। তাই রেখা একমাত্রিক (One-dimensional)।
৪. বিন্দু (Point):
রেখার একটি নির্দিষ্ট অবস্থানকে বিন্দু (Point) বলে। বিন্দুর কোনো দৈর্ঘ্য, প্রস্থ বা উচ্চতা নেই। এটি কেবল একটি অবস্থান নির্দেশ করে এবং শূন্যমাত্রিক (Zero-dimensional)।
| ধারণা | স্থান (Space) | তল (Surface) | রেখা (Line) | বিন্দু (Point) |
|---|---|---|---|---|
| মাত্রা | ৩ মাত্রা | ২ মাত্রা | ১ মাত্রা | ০ মাত্রা |
| বৈশিষ্ট্য | দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে | দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে | শুধু দৈর্ঘ্য আছে | শুধু অবস্থান নির্দেশ করে |
২. ইউক্লিডের পাঁচটি স্বীকার্য বর্ণনা করো।
2.
গণিতবিদ ইউক্লিড জ্যামিতির ভিত্তি স্থাপনের জন্য পাঁচটি মৌলিক স্বীকার্য (Postulates) প্রদান করেন। এগুলো প্রমাণ ছাড়াই সত্য বলে গ্রহণ করা হয়।
ইউক্লিডের পাঁচটি স্বীকার্য হলো—
১. প্রথম স্বীকার্য:
যেকোনো দুটি পৃথক বিন্দুর মধ্যে একটি এবং কেবল একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
২. দ্বিতীয় স্বীকার্য:
একটি সসীম সরলরেখাকে উভয় দিকে অসীম পর্যন্ত বর্ধিত করা যায়।
৩. তৃতীয় স্বীকার্য:
যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র এবং যেকোনো দৈর্ঘ্যকে ব্যাসার্ধ ধরে একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
৪. চতুর্থ স্বীকার্য:
সব সমকোণ (৯০°) পরস্পর সমান।
৫. পঞ্চম স্বীকার্য (সমান্তরাল স্বীকার্য):
যদি একটি সরলরেখা দুটি সরলরেখাকে এমনভাবে ছেদ করে যে একই পাশে সৃষ্ট অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ (১৮০°)-এর কম হয়, তবে ঐ দুটি সরলরেখাকে ওই দিকে বর্ধিত করলে তারা অবশ্যই পরস্পর ছেদ করবে।
পরীক্ষার জন্য সংক্ষিপ্ত আকারে
১. দুটি বিন্দুর মধ্যে একটি মাত্র সরলরেখা আঁকা যায়।
২. সসীম সরলরেখাকে উভয় দিকে অসীম পর্যন্ত বর্ধিত করা যায়।
৩. যেকোনো কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
৪. সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
৫. অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°-এর কম হলে রেখাদ্বয় বর্ধিত করলে একদিকে মিলিত হয়।
৩. পাঁচটি আপতন স্বীকার্য বর্ণনা করো।
3.
আপতন স্বীকার্য (Axioms) হলো এমন কিছু সাধারণ সত্য, যা প্রমাণ ছাড়াই সত্য বলে গ্রহণ করা হয়। এগুলো শুধু জ্যামিতিতেই নয়, গণিতের সব শাখায় প্রযোজ্য।
পাঁচটি আপতন স্বীকার্য হলো—
১. প্রথম আপতন স্বীকার্য:
যে সকল বস্তু একই বস্তুর সমান, তারা পরস্পরও সমান।
২. দ্বিতীয় আপতন স্বীকার্য:
সমান সমানের সঙ্গে যোগ করলে যোগফলও সমান হয়।
৩. তৃতীয় আপতন স্বীকার্য:
সমান সমান থেকে বিয়োগ করলে বিয়োগফলও সমান হয়।
৪. চতুর্থ আপতন স্বীকার্য:
যে সকল বস্তু পরস্পরের সঙ্গে সম্পূর্ণ মিলে যায় (পরস্পরের ওপর স্থাপন করলে একে অপরকে সম্পূর্ণ আবৃত করে), তারা পরস্পর সমান।
৫. পঞ্চম আপতন স্বীকার্য:
সম্পূর্ণ অংশ তার যেকোনো অংশের চেয়ে বড়।
পরীক্ষার জন্য সংক্ষিপ্ত আকারে
১. একই বস্তুর সমান বস্তু পরস্পর সমান।
২. সমানের সঙ্গে সমান যোগ করলে যোগফল সমান হয়।
৩. সমান থেকে সমান বিয়োগ করলে বিয়োগফল সমান হয়।
৪. পরস্পরের সঙ্গে সম্পূর্ণ মিলে যাওয়া বস্তু সমান।
৫. সমগ্র তার অংশের চেয়ে বড়।
৪. দূরত্ব স্বীকার্যটি বর্ণনা করো।
4.
দূরত্ব স্বীকার্য (Distance Axiom):
যেকোনো দুটি পৃথক বিন্দুর মধ্যে সরলরেখাংশের দৈর্ঘ্যই তাদের মধ্যকার সর্বনিম্ন দূরত্ব।
অর্থাৎ, দুটি বিন্দুকে সংযোগ করার বিভিন্ন পথ থাকতে পারে, কিন্তু সরলরেখা বরাবর পথই সবচেয়ে ছোট বা সর্বনিম্ন দূরত্ব।
পরীক্ষার জন্য সংক্ষিপ্ত উত্তর
দূরত্ব স্বীকার্য:
দুটি পৃথক বিন্দুর মধ্যে সরলরেখাংশের দৈর্ঘ্যই তাদের মধ্যকার সর্বনিম্ন দূরত্ব।
সহজ উদাহরণ
ধরা যাক,
দুটি বিন্দু A ও B আছে।
AB সরলরেখাংশের দৈর্ঘ্য = ৮ সেমি।
অন্য কোনো বাঁকা বা ভাঙা পথে A থেকে B-তে যেতে হলে দূরত্ব ৮ সেমির বেশি হবে।
অতএব, AB সরলরেখাংশই A ও B-এর মধ্যকার সর্বনিম্ন দূরত্ব, যা দূরত্ব স্বীকার্যকে নির্দেশ করে।
৫. রুলার স্বীকার্যটি বর্ণনা করো।
5.
রুলার স্বীকার্য (Ruler Axiom):
একটি সরলরেখার প্রতিটি বিন্দুর সঙ্গে একটি করে বাস্তব সংখ্যা এবং প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার সঙ্গে সরলরেখার একটি করে বিন্দুর এক-একটি (one-to-one) সম্পর্ক স্থাপন করা যায়। ফলে সরলরেখার যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব তাদের সংশ্লিষ্ট সংখ্যাদ্বয়ের পার্থক্যের পরম মানের সমান হয়।
অর্থাৎ, একটি সরলরেখাকে রুলারের মতো সংখ্যায় চিহ্নিত করা যায় এবং সেই সংখ্যা ব্যবহার করে যেকোনো দুটি বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করা সম্ভব।
পরীক্ষার জন্য সংক্ষিপ্ত উত্তর
রুলার স্বীকার্য:
একটি সরলরেখার প্রতিটি বিন্দুর সঙ্গে একটি করে বাস্তব সংখ্যা নির্ধারণ করা যায়, যাতে যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব তাদের সংশ্লিষ্ট সংখ্যাদ্বয়ের পার্থক্যের পরম মানের সমান হয়।
সহজ উদাহরণ
ধরা যাক,
একটি সরলরেখায়—
A বিন্দুর সংখ্যা = ২
B বিন্দুর সংখ্যা = ৯
তাহলে,
AB = ∣9 − 2∣ = 7 একক
অর্থাৎ, A ও B বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব ৭ একক।
৬. সংখ্যারেখা বর্ণনা করো।
6.
সংখ্যারেখা (Number Line):
যে সরলরেখার একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে ০ (শূন্য) ধরা হয় এবং শূন্যের ডানদিকে ধনাত্মক সংখ্যা ও বামদিকে ঋণাত্মক সংখ্যা সমান দূরত্বে ক্রমানুসারে চিহ্নিত করা থাকে, তাকে সংখ্যারেখা বলে।
সংখ্যারেখায় ডানদিকে গেলে সংখ্যার মান বৃদ্ধি পায় এবং বামদিকে গেলে সংখ্যার মান হ্রাস পায়।
পরীক্ষার জন্য সংক্ষিপ্ত উত্তর
সংখ্যারেখা:
যে সরলরেখায় একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে শূন্য ধরে তার ডানদিকে ধনাত্মক সংখ্যা এবং বামদিকে ঋণাত্মক সংখ্যা সমান দূরত্বে চিহ্নিত করা থাকে, তাকে সংখ্যারেখা বলে।
সহজ চিত্র
০ (শূন্য) হলো মূলবিন্দু (Origin)।
ডানদিকে: +১, +২, +৩, ... (ধনাত্মক সংখ্যা)
বামদিকে: −১, −২, −৩, ... (ঋণাত্মক সংখ্যা)
মনে রাখবে
সংখ্যারেখা একটি সরলরেখা।
০ সংখ্যারেখার মূলবিন্দু (Origin)।
ডানদিকে গেলে সংখ্যার মান বাড়ে এবং বামদিকে গেলে কমে।
সংখ্যারেখায় প্রতিটি সংখ্যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
৭. রুলার স্থাপন স্বীকার্যটি বর্ণনা করো।
7.
রুলার স্থাপন স্বীকার্য (Ruler Placement Axiom):
একটি সরলরেখার যেকোনো দুটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্যে প্রথম বিন্দুর স্থানাঙ্ক ০ এবং দ্বিতীয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা হবে—এভাবে সরলরেখার ওপর একটি সংখ্যা-ব্যবস্থা (রুলার) স্থাপন করা যায়।
অর্থাৎ, সরলরেখার যেকোনো একটি বিন্দুকে ০ ধরে এবং অপর একটি বিন্দুকে একটি ধনাত্মক সংখ্যা ধরে পুরো সরলরেখায় সংখ্যাগুলো নির্ধারণ করা সম্ভব।
পরীক্ষার জন্য সংক্ষিপ্ত উত্তর
রুলার স্থাপন স্বীকার্য:
একটি সরলরেখার যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে প্রথম বিন্দুর স্থানাঙ্ক ০ এবং দ্বিতীয় বিন্দুর স্থানাঙ্ক একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা হবে—এভাবে সরলরেখায় একটি রুলার স্থাপন করা যায়।
সহজ উদাহরণ
ধরা যাক,
একটি সরলরেখায় A ও B দুটি বিন্দু আছে।
A বিন্দুর স্থানাঙ্ক = ০
B বিন্দুর স্থানাঙ্ক = ৫
তাহলে ঐ সরলরেখায় একটি রুলার স্থাপন করা হয়েছে, যেখানে AB = ৫ একক।
মনে রাখবে
রুলার স্বীকার্য বলে দূরত্ব কীভাবে নির্ণয় করা যায়।
রুলার স্থাপন স্বীকার্য বলে কীভাবে সরলরেখায় সংখ্যার (রুলারের) অবস্থান নির্ধারণ করা যায়।
সহজে মনে রাখার কৌশল:
রুলার স্বীকার্য = দূরত্বের নিয়ম
রুলার স্থাপন স্বীকার্য = রুলার বসানোর নিয়ম
৮. পরস্পরছেদী সরলরেখা ও সমান্তরাল সরলরেখার সংজ্ঞা দাও।
8.
১. পরস্পরছেদী সরলরেখা (Intersecting Lines)
সংজ্ঞা:
একই সমতলে অবস্থিত দুটি সরলরেখা যদি একটি মাত্র বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে, তবে তাদের পরস্পরছেদী সরলরেখা বলে।
উদাহরণ:
সরলরেখা AB ও CD যদি O বিন্দুতে ছেদ করে, তবে AB ও CD পরস্পরছেদী সরলরেখা।
চিত্র: পরস্পরছেদী সরলরেখা
A
B
C
D
O
২. সমান্তরাল সরলরেখা (Parallel Lines)
সংজ্ঞা:
একই সমতলে অবস্থিত দুটি সরলরেখাকে উভয় দিকে যতই বর্ধিত করা হোক না কেন, যদি তারা কখনো পরস্পরকে ছেদ না করে, তবে তাদের সমান্তরাল সরলরেখা বলে।
উদাহরণ:
যদি AB ও CD সরলরেখা কখনো পরস্পরকে ছেদ না করে, তবে AB ∥ CD (AB সমান্তরাল CD)।
পরীক্ষার জন্য সংক্ষিপ্ত উত্তর
পরস্পরছেদী সরলরেখা:
একই সমতলে অবস্থিত দুটি সরলরেখা যদি একটি মাত্র বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে, তবে তাদের পরস্পরছেদী সরলরেখা বলে।
সমান্তরাল সরলরেখা:
একই সমতলে অবস্থিত দুটি সরলরেখাকে উভয় দিকে বর্ধিত করলেও যদি তারা কখনো পরস্পরকে ছেদ না করে, তবে তাদের সমান্তরাল সরলরেখা বলে।
চিত্র: সমান্তরাল সরলরেখা
A
B
C
D
