১. cos θ= 1 2 হলে, cot θ এর মান কোনটি?
ক) 1 √ 3
খ) 1
গ) √ 3
ঘ) 2
1.
আমরা জানি,
cos θ = 1 2
অতএব, θ = 60° (প্রথম চতুর্ভুজে) বা θ = 300° (চতুর্থ চতুর্ভুজে) হতে পারে।
কিন্তু যেকোনো ক্ষেত্রে tan θ এর পরম মান √ 3 হবে, যেহেতু:
• sin 60° = √ 3 2
⇒ tan 60° = √ 3
• sin 300° = - √ 3 2
• tan 300° = -√ 3
cot θ = 1 tan θ হলে,
cot 60° = 1 √ 3 , এবং
cot 300° = - 1 √ 3
প্রশ্নে বলছে cot θ এর মান কোনটি? যদি ধরি θ সূক্ষ্মকোণ বা প্রথম চতুর্ভুজে, তবে:
cot θ = 1 √ 3
উত্তর: ক) 1 √ 3
২. cos2 θ - sin2 θ = 1 3 হলে, cos4 θ - sin4 θ এর মান কত?
ক) 3
খ) 2
গ) 1
ঘ) 1 3
2.
প্রশ্নে দেওয়া আছে:
cos2 θ - sin2 θ = 1 3
আমরা জানি,
cos2 θ - sin2 θ = cos 2θ
কাজেই:
cos 2θ = 1 3
এখন, cos4 θ - sin4 θ কে বর্গের অন্তররূপে লেখা যাক:
cos4 θ - sin4 θ
= (cos2 θ - sin2 θ)(cos2 θ + sin2 θ)
= (cos2 θ - sin2 θ) × 1
= cos2 θ - sin2 θ
সুতরাং:
cos4 θ - sin4 θ = 1 3
উত্তর: ঘ) 1 3
৩. cot(θ - 30°) = 1 √ 3 হলে, sin θ = কত?
ক) 1 2
খ) 0
গ) 1
ঘ) √ 3 2
3.
আমরা জানি,
cot(θ - 30°) = 1 √ 3
এবং, tan(θ - 30°) = √ 3
এবং, tan 60° = √ 3
সুতরাং:
θ - 30° = 60°
⇒ θ = 90°
তাহলে:
sin θ
= sin 90°
= 1
উত্তর: গ) 1
8. tan(3A) = √ 3 , A = কত?
ক) 45°
খ) 30°
গ) 20°
ঘ) 15°
4.
এখানে,
tan(3A) = √ 3
⇒ tan 60° = √ 3
সুতরাং:
3A = 60°
⇒ A = 20°
উত্তর: গ) 20° ✅
মান নির্ণয় করো (৫ - ৮)
৫. 1 - cot260° 1 + cot260°
5.
রাশি:
1 - cot2 60° 1 + cot2 60°
আমরা জানি,
cot 60° = 1 √ 3
⇒ cot2 60° = 1 3
তাহলে,
1 - 1 3 1 + 1 3
= 3 - 1 3 3 + 1 3
= 2 3 × 3 4
= 2 4
= 1 2
উত্তর: 1 2
৬. tan 45° . sin260° . tan 30° . tan 60°
6.
রাশি:
tan 45° · sin2 60° · tan 30° · tan 60°
প্রতিটি মান বের করি:
• tan 45° = 1
• sin 60° = √ 3 2
⟹ sin2 60° = ( √ 3 2 )2
⟹ sin2 60° = 3 4
• tan 30° = 1 √ 3
• tan 60° = √ 3
এখন,
tan 45° · sin2 60° · tan 30° · tan 60°
= 1 × 3 4 × 1 √ 3 × √ 3
= 3 4 × √ 3 √ 3
= 3 4 × 1
= 3 4
উত্তর: 3 4
৭. 1 - cot260° 1 + cot260° + sec260°
7.
রাশি:
1 - cot2 60° 1 + cot2 60° + sec2 60°
আমরা জানি:
cot 60° = 1 √ 3
⇒ cot2 60° = 1 3
আবার,
sec 60° = 2
⟹ sec2 60° = 4
মান বসাই:
1 - cot2 60° 1 + cot2 60° + sec2 60°
= 1 - 1 3 1 + 1 3 + 4
= 2 3 4 3 + 4
= 2 4 + 4
= 2 + 16 4
= 18 4
= 9 2
উত্তর: 9 2
৮. cos 45° . cot260° . cosec230°
8.
রাশি:
cos 45° · cot2 60° · cosec2 30°
প্রতিটি মান বের করি:
cos 45° = 1 √ 2
এবং,
cot 60° = 1 √ 3
⟹ cot2 60° = 1 3
এবং,
cosec 30° = 1 sin 30°
⟹ cosec 30° = 1 1 2
⟹ cosec 30° = 2
⟹ cosec2 30° = 4
এখন:
cos 45° · cot2 60° · cosec2 30°
= 1 √ 2 × 1 3 × 4
= 4 3√ 2
= 4√ 2 3 × 2
= 2√ 2 3
উত্তর: 2√ 2 3
দেখাও যে, (৯ - ১৪)
৯. cos230° - sin230° = cos 60°
9.
বামপক্ষ (LHS):
cos2 30° - sin2 30°
আমরা জানি:
cos 30° = √ 3 2 ,
sin 30° = 1 2
তাহলে,
cos2 30° - sin2 30°
= ( √ 3 2 )2 - ( 1 2 )2
= 3 4 - 1 4
= 3 - 1 4
= 2 4
= 1 2
ডানপক্ষ (RHS):
cos 60° = 1 2
তাই,
cos2 30° - sin2 30° = 1 2 = cos 60°
অতএব, প্রমাণিত।
১০. sin 60° . cos 30° + cos 60° . sin 30° = sin 90°
10.
আমরা বামপক্ষ (LHS) থেকে শুরু করি:
sin 60° cos 30° + cos 60° sin 30°
আমরা জানি:
sin 60° = √ 3 2 ,
cos 30° = √ 3 2 ,
cos 60° = 1 2 ,
sin 30° = 1 2
প্রথম পদ:
sin 60° cos 30°
= √ 3 2 × √ 3 2
= 3 4
দ্বিতীয় পদ:
cos 60° sin 30°
= 1 2 × 1 2
= 1 4
এখন
sin 60° cos 30° + cos 60° sin 30°
= 3 4 + 1 4
= 4 4
= 1
ডানপক্ষ (RHS):
sin 90° = 1
তাই,
sin 60° cos 30° + cos 60° sin 30° = 1 = sin 90°
অতএব, প্রমাণিত।
১১. cos 60° . cos 30° + sin 60° . sin 30°= cos 30°
11.
বামপক্ষ (LHS):
cos 60° cos 30° + sin 60° sin 30°
আমরা জানি:
cos 60° = 1 2 ,
cos 30° = √ 3 2
sin 60° = √ 3 2 ,
sin 30° = 1 2
এখন,
cos 60° cos 30° + sin 60° sin 30°
= 1 2 × √ 3 2 + √ 3 2 × 1 2
= √ 3 4 + √ 3 4
= 2√ 3 4
= √ 3 2
ডানপক্ষ (RHS):
cos 30° = √ 3 2
তাই,
cos 60° cos 30° + sin 60° sin 30° = √ 3 2 = cos 30°
অতএব, প্রমাণিত।
১২. sin 3A = cos 3A যদি A = 15° হয়।
12.
আমরা দেখাব,
sin 3A = cos 3A
যখন A = 15°
প্রথমে A = 15° বসাই:
3A
= 3 × 15°
= 45°
এখন বামপক্ষ (LHS):
sin 3A
= sin 45°
= 1 √ 2
ডানপক্ষ (RHS):
cos 3A
= cos 45°
= 1 √ 2
তাই,
sin 3A
= cos 3A
= 1 √ 2
অতএব, A = 15° হলে sin 3A = cos 3A সত্য।
প্রমাণিত।
১৩. sin 2A = 2tan A 1 + tan2 A যদি A = 45° হয়।
13.
প্রদত্ত: A = 45° হলে,
sin 2A
= sin 90°
= 1
ডানপক্ষ:
2 tan A 1 + tan2 A
= 2 × 1 1 + 12 [tan 45° = 1 বসিয়ে পাই]
= 2 1 + 1
= 2 2
= 1
তাই, sin 2A = 2tan A 1 + tan2 A যখন A = 45°।
প্রমাণিত।
১৪. tan 2A = 2tan A 1 - tan2A যদি A = 30° হয়।
14.
প্রদত্ত: A = 30°
বামপক্ষ:
tan 2A = tan 60° = √ 3
ডানপক্ষ:
2tan A 1 - tan2 A
= 2 × tan 30° 1 - (tan 30°)2 [tan 30° = 1 √ 3 বসাই]
= 2 × 1 √ 3 1 - 1 √ 32
= 2 √ 3 1 - 1 3
= 2 √ 3 2 3
= 2 √ 3 × 3 2
= 3 √ 3
= √ 3
তাই,
tan 2A = 2tan A 1 - tan2 A (A = 30° এর জন্য সত্য)
প্রমাণিত।
১৫. 2cos(A + B) = 1 = 2sin(A - B) এবং A, B সূক্ষ্মকোণ হলে দেখাও যে, A = 45°, B = 15°।
15.
আমরা জানি,
2cos(A + B) = 1
⇒ cos(A + B) = 1 2
2sin(A - B) = 1
⇒ sin(A - B) = 1 2
A এবং B সূক্ষ্মকোণ (acute angles) বলে 0° < A,B < 90°।
এবং A+B এবং A-B-এর সম্ভাব্য মান বের করি।
প্রথম সমীকরণ:
cos(A + B) = 1 2
cosθ = 1 2 এর সাধারণ সমাধান: θ = 60° বা θ = 300° ইত্যাদি।
কিন্তু 0° < A,B < 90° ⇒ 0° < A+B < 180°।
সেই সীমার মধ্যে cosθ = 1 2 হলে θ = 60°।
অতএব:
A + B = 60° ….. (1)
দ্বিতীয় সমীকরণ:
sin(A - B) = 1 2
sin π = 1 2 এর সাধারণ সমাধান: π = 30° বা 150°।
কিন্তু A - B এর মান:
-90° < A-B < 90° (কারণ A,B সূক্ষ্মকোণ)
এ সীমার মধ্যে sin π = 1 2 হলে π = 30°।
অতএব:
A - B = 30° ..... (2)
(1) ও (2) তাহলে,
(A + B) + (A - B) = 60° + 30°
⇒ 2A = 90°
⇒ A = 45°
(1) থেকে:
45° + B = 60°
⇒ B = 15°
অতএব, A = 45°, B = 15° (প্রমাণিত)।
১৬. cos(A - B) = 1, 2sin(A + B) = √ 3 এবং A, B সূক্ষ্মকোণ হলে, A এবং B এর মান নির্ণয় করো।
16.
প্রদত্ত:
cos(A - B) = 1
⇒ 2sin(A + B) = √ 3
⇒ sin(A + B) = √ 3 2
A, B সূক্ষ্মকোণ (acute angles): 0° < A, B < 90°
প্রথম সমীকরণ:
cos(A - B) = 1
cosθ = 1 হলে θ = 0°, 360°, ...
কিন্তু A, B সূক্ষ্মকোণ হলে A - B কোণের মান -90° < A - B < 90°।
এই পরিসরে cosθ = 1 হলে θ = 0°।
অতএব:
A - B = 0°
⇒ A = B ..... (1)
দ্বিতীয় সমীকরণ:
sin(A + B) = √ 3 2
sin π = √ 3 2 এর সাধারণ সমাধান: π = 60°, 120°, ...
A, B সূক্ষ্মকোণ ⇒ 0° < A, B < 90° ⇒ 0° < A + B < 180°।
এই পরিসরে sin π = √ 3 2 হলে π = 60° বা 120°।
(i) যদি A + B = 60° হয়
তাহলে (1) থেকে
A = B
⇒ 2A = 60°
⇒ A = 30°,
B = 30°
A + B = 60° সন্তুষ্ট, A, B সূক্ষ্মকোণ।
(ii) যদি A + B = 120° হয়
তাহলে,
A = B
⇒ 2A = 120°
⇒ A = 60°,
B = 60°
A + B = 120° সন্তুষ্ট, A, B সূক্ষ্মকোণ।
উভয়ই শর্ত পূরণ করে।
সুতরাং A ও B-এর মান:
(A, B) = (30°, 30°) অথবা (60°, 60°)
উত্তর: A = 30°, B = 30° অথবা A = 60°, B = 60°।
১৭. সমাধান করো: cos A - sin A cos A + sin A = √ 3 - 1 √ 3 + 1
17.
দেওয়া আছে:
cos A - sin A cos A + sin A = √ 3 - 1 √ 3 + 1
প্রথমে ডানপক্ষ সরল করি:
√ 3 - 1 √ 3 + 1 × √ 3 - 1 √ 3 - 1
= (√ 3 - 1)2 3 - 1
= 3 + 1 - 2√ 3 2
= 4 - 2√ 3 2
= 2 - √ 3 .
আমরা জানি,
tan 15° = 2 - √ 3
বামপক্ষের রূপান্তর:
cos A - sin A cos A + sin A
= 1 - tan A 1 + tan A
= tan(45° - a)
সুতরাং সমীকরণটি হয়:
tan(45° - A) = tan 15°
সাধারণ সমাধান:
45° - A = 15° + n · 180° , n ∈ Z
⇒ -A = 15° - 45° + n · 180°
⇒ -A = -30° + n · 180°
⇒ A = 30° - n · 180°
n = 0 দিলে:
A = 30°
A = 30° (উত্তর)
১৮. A ও B সূক্ষ্মকোণ এবং cot(A + B) = 1, cot(A - B) = √ 3 হলে, A ও B এর মান নির্ণয় করো।
18.
দেওয়া আছে,
A ও B সূক্ষ্মকোণ (acute angles)।
cot(A + B) = 1
cot(A - B) = √ 3
প্রথম সমীকরণ:
cot θ = 1
⇒ tan θ = 1
⇒ θ = 45° + n · 180°
কিন্তু 0° < A, B < 90° ⇒ 0° < A + B < 180° ⇒ A + B = 45° (কারণ 45° এবং 225° ইত্যাদির মধ্যে শুধু 45° সীমার মধ্যে পড়ে)
A + B = 45° ..... (1)
দ্বিতীয় সমীকরণ:
cot(A - B) = √ 3
⇒ tan(A - B) = 1 √ 3
⇒ tan(A - B) = tan 30° [সূক্ষ্মকোণ A,B ⇒ -90° < A - B < 90° ⇒ A - B = 30° ]
⇒ A - B = 30° ..... (2)
(1) ও (2) যোগ করে পাই:
(A + B) + (A - B) = 45° + 30°
⇒ 2A = 75°
⇒ A = 37.5°
(1) থেকে:
37.5° + B = 45°
⇒ B = 7.5°
উত্তর:
A = 37.5°,
B = 7.5°
১৯. দেখাও যে, cos 3A = 4cos3 A - 3cos A যদি A = 30° হয়।
19.
প্রদত্ত: A = 30°
বামপক্ষ (LHS):
cos 3A = cos(3 × 30°) = cos 90° = 0
ডানপক্ষ (RHS):
4cos3 A - 3cos A
cos 30° = √ 3 2
cos3 30° = ( √ 3 2 )3
= 3√ 3 8
4cos3 A = 4 × 3√ 3 8
= 12√ 3 8
= 3√ 3 2
3cos A = 3 × √ 3 2
= 3√ 3 2
তাই,
4cos3 A - 3cos A = 3√ 3 2 - 3√ 3 2 = 0
বামপক্ষ = 0, ডানপক্ষ = 0।
অতএব, A = 30° হলে
cos 3A = 4cos3 A - 3cos A
সত্য (প্রমাণিত)।
২০. সমাধান করো: sin θ + cos θ = 1, যখন 0° ≤ θ ≤ 90°
20.
সমাধান:
sin θ + cos θ = 1, 0° ≤ θ ≤ 90°
বর্গ করে সমাধান
sin θ + cos θ = 1
⇒ sin2 θ + cos2 θ + 2sinθ cosθ = 1 [উভয় পক্ষ বর্গ করে]
⇒ 1 + sin 2θ = 1
⇒ sin 2θ = 0 [0° ≤ θ ≤ 90° ⇒ 0° ≤ 2θ ≤ 180°]
এখন,
2θ = 0°
বা
2θ = 180°
এখন,
-2θ = 0°
⇒ θ = 0°
আবার,
-2θ = 180°
⇒ θ = 90°
বর্গ করার ফলে বহিরাগত সমাধান আসতে পারে, যাচাই করতে হবে
θ = 0°: sin 0° + cos 0° = 0 + 1 = 1 ✔
θ = 90°: sin 90° + cos 90° = 1 + 0 = 1 ✔
উভয়ই সঠিক।
বিকল্প পদ্ধতি :
ত্রিকোণমিতিক রূপান্তর
sinθ + cosθ = √ 2 sin(θ + 45°)
সমীকরণ:
√ 2 sin(θ + 45°) = 1
⇒ sin(θ + 45°) = 1 √ 2 = sin 45°
θ + 45° = 45° + n · 360°
বা
θ + 45° = 135° + n · 360°
প্রথম ক্ষেত্রে:
θ = n · 360°
⇒ 0° ≤ θ ≤ 90°
⇒ θ = 0° (n=0)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে:
θ = 90° + n · 360°
⇒ 0° ≤ θ ≤ 90°
⇒ θ = 90° (n=0)
উত্তর:
θ = 0° অথবা θ = 90°
২১. সমাধান করো: cos2 θ - sin2 θ = 2 - 5cos θ যখন θ সূক্ষ্মকোণ।
21.
সমীকরণ:
cos2 θ - sin2 θ = 2 - 5cos θ
যেখানে θ সূক্ষ্মকোণ (0° < θ < 90°)।
পরিচিতি ব্যবহার
আমরা জানি,
cos2 θ - sin2 θ = cos 2θ = 2cos2 θ - 1
2cos2 θ - 1 = 2 - 5cos θ
সমীকরণ সরলীকরণ
2cos2 θ - 1 - 2 + 5cos θ = 0
2cos2 θ + 5cos θ - 3 = 0
দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান
cos θ = × ধরলে:
2x2 + 5x - 3 = 0
⇒ x = -5 ± √ 25 + 24 2 · 2
⇒ x = -5 ± 7 4
এখানে,
⇒ x = -5 + 7 4
= 2 4
= 1 2
আবার,
⇒ x = -5 - 7 4
= -12 4
= -3
cos θ = -3 সম্ভব নয়।
θ-এর মান
cos θ = 1 2
⇒ θ = 60° (কারণ 0° < θ < 90°)
উত্তর:
θ = 60°
২২. সমাধান করো: 2sin2 θ + 3cos θ - 3 = 0, θ সূক্ষ্মকোণ।
22.
সমীকরণ:
2sin2 θ + 3cos θ - 3 = 0, θ সূক্ষ্মকোণ (0° < θ < 90°)
আমরা জানি,
sin2 θ + cos2 θ = 1
⇒ sin2 θ = 1 - cos2 θ
⇒ 2(1 - cos2 θ) + 3cos θ - 3 = 0
⇒ 2 - 2cos2 θ + 3cos θ - 3 = 0
⇒ -2cos2 θ + 3cos θ - 1 = 0
⇒ 2cos2 θ - 3cos θ + 1 = 0
দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান
ধরি,
x = cos θ:
তাহলে,
2x2 - 3x + 1 = 0
⇒ x = 3 ± √ 9 - 8 4
⇒ x = 3 ± 1 4
এখানে,
⇒ x = 3 + 1 4
= 4 4
= 1
আবার,
⇒ x = 3 - 1 4
= 2 4
= 1 2
θ-এর মান নির্ণয়
cos θ = 1 ⟹ θ = 0° (কিন্তু 0° < θ দেওয়া আছে সূক্ষ্মকোণ, অর্থাৎ 0° বাদ)
cos θ = 1 2 ⟹ θ = 60° (এটি 0° < θ < 90°-এর মধ্যে)
উত্তর:
θ = 60°
২৩. সমাধান করো: tan2 θ - (1 + √ 3 )tan θ + √ 3 = 0
23.
সমীকরণ:
tan2 θ - (1 + √ 3 ) tan θ + √ 3 = 0
দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান
ধরি,
x = tan θ:
x2 - (1 + √ 3 ) x + √ 3 = 0
⇒ x2 - x - √ 3 . x + √ 3 = 0 [উৎপাদকে বিশ্লেষণ]
⇒ x (x - 1) - √ 3 (x - 1) = 0
⇒ (x - 1)(x - √ 3 ) = 0
x = 1 বা × = √ 3
অতএব,
tan θ = 1
⟹ θ = 45° + n · 180°, n ∈ Z
আবার,
tan θ = √ 3
⟹ θ = 60° + n · 180°, n ∈ Z
দুটি সেটের সমাধান:
θ = 45° + n · 180°
অথবা
θ = 60° + n · 180°
উত্তর:
θ = 45° + n · 180° বা
θ = 60° + n · 180°, n ∈ Z
২৪. মান নির্ণয় করো: 3cot260° + 1 4 cosec230° + 5sin245° - 4cos260°
24.
রাশি:
3cot2 60° + 1 4 cosec2 30° + 5sin2 45° - 4cos2 60°
প্রতিটি ত্রিকোণমিতিক মান নির্ণয়
• cot 60° = 1 √ 3
⇒ cot2 60° = 1 3
• cosec 30° = 1 sin 30°
⇒ cosec 30° = 1 1 2
⇒ cosec 30° = 2
⇒ cosec2 30° = 4
• sin 45° = 1 √ 2
⇒ sin2 45° = 1 2
• cos 60° = 1 2
⇒ cos2 60° = 1 4
সরলীকরণ
3cot2 60° + 1 4 cosec2 30° + 5sin2 45° - 4cos2 60°
= 3 × 1 3 + 1 4 × 4 + 5 × 1 2 - 4 × 1 4
= 1 + 1 + 5 2 - 1
= 2 + 2 + 5 - 1 2
= 7 2
উত্তর:
7 2
২৫. △ABC এর ∠B = 90°, AB = 5 সে.মি., BC = 12 সে.মি.।
ক) AC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
খ) ∠C = θ হলে sin + cos এর মান নির্ণয় করো।
গ) উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, sec2 A + cosec2 A = sec2 A . cosec2 A
25.
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজ △ABC ,
∠B = 90° ,
AB = 5 সেমি ,
BC = 12 সেমি .
(ক) AC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো
△ABC সমকোণী B-তে।
পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে:
AC2 = AB2 + BC2
⇒ AC2 = 52 + 122
⇒ AC2 = 25 + 144
⇒ AC2 = 169
⇒ AC = √ 169
⇒ AC = 13
উত্তর (ক): AC = 13 সেমি
(খ) ∠C = θ হলে, sin θ + cos θ এর মান নির্ণয় করো
△ABC -এ ∠B = 90° , তাই ∠C = θ হলে, ∠A = 90° - θ , কিন্তু সরাসরি সংজ্ঞা:
sin θ = AB AC = 5 13
cos θ = BC AC = 12 13
সুতরাং:
sin θ + cos θ = 5 13 + 12 13
= 17 13
উত্তর (খ): sin θ + cos θ = 17 13
(গ)
দেখাও যে,
sec2 A + cosec2 A = sec2 A · cosec2 A
△ABC -এ ∠B = 90° , A-এর সাপেক্ষে:
sec A = AC AB = 13 5
cosec A = AC BC = 13 12
বামপক্ষ:
sec2 A + cosec2 A = ( 13 5 )2 + ( 13 12 )2
= 169 25 + 169 144
= 169( 1 25 + 1 144 )
= 169( 144 + 25 25 × 144 )
= 169 × 169 3600
= 1692 3600
ডানপক্ষ:
sec2 A · cosec2 A = ( 169 25) × ( 169 144 )
= 1692 3600
অতএব, sec2 A + cosec2 A = sec2 A · cosec2 A (প্রমাণিত)।
উত্তর (গ): প্রমাণিত।
২৬. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = এক সমকোণ এবং AB = BC হলে প্রমাণ করো যে, BCcos C - ACcos B BCcos B - ACcos A + cos C = 0
26.
আমরা দেওয়া তথ্যগুলো লিখি:
△ABC, ∠B = 90°, AB = BC
ধরি,
AB = BC = a (যেহেতু AB = BC)
∠B = 90° হওয়ায় AC হবে অতিভুজ।
পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে:
AC =
=
= a√ 2
কোণগুলোর ত্রিকোণমিতিক মান বের করি:
ত্রিভুজে, ∠B = 90°,
∠A +∠C = 90°।
AB = BC,
সুতরাং ∠A =∠C = 45°।
তাহলে:
cos A = cos 45° = 1 √ 2
cos C = cos 45° = 1 √ 2
cos B = cos 90° = 0
প্রদত্ত রাশি:
BC cos C - AC cos B BC cos B - AC cos A + cos C
প্রাপ্ত মান বসাই
লব:
BC cos C - AC cos B
= a · 1 √ 2 - a√ 2 · 0
= a · 1 √ 2 - 0
= a √ 2
হর:
BC cos B - AC cos A
= a · 0 - a√ 2 · 1 √ 2
= 0 - a
= -a
ভগ্নাংশ সরলীকরণ
BC cos C - AC cos B BC cos B - AC cos A + cos C
= a √ 2 -a + 1 √ 2
= - 1 √ 2 + 1 √ 2
= 0
উত্তর:
0
প্রমাণিত।
২৭. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = এক সমকোণ এবং cot A + cot B = 2cot C হলে প্রমাণ করো যে, AC2 + BC2 = 2AB2
27.
দেওয়া তথ্যগুলো লিখি:
△ABC,
∠B = 90°,
cot A + cot B = 2cot C
কোণ সম্পর্ক ও ত্রিকোণমিতিক মান বের করা
∠B = 90°
⟹ A + C = 90°
⟹ C = 90° - A
cot B = cot 90° = 0
cot C = cot(90° - A) = tan A
প্রদত্ত সমীকরণ:
cot A + 0 = 2tan A
⇒ cot A = 2tan A
সমীকরণ সমাধান
cot A = 1 tan A
⇒ 1 tan A = 2tan A
⇒ 1 = 2tan2 A
⇒ tan2 A = 1 2
⇒ tan A = 1 √ 2 (ধনাত্মক, কারণ A সূক্ষ্মকোণ)
ত্রিভুজের বাহুর অনুপাত নির্ণয়
∠B = 90° হওয়ায় অতিভুজ AC।
tan A = BC AB = 1 √ 2
ধরি,
BC = k,
AB = k√ 2
পিথাগোরাসের সূত্র:
⇒ AC2 = AB2 + BC2
⇒ AC2 = (k√ 2 )2 + k2
⇒ AC2 = 2k2 + k2
⇒ AC2 = 3k2
⇒ AC = k√ 3
প্রমাণ করতে হবে,
AC2 + BC2 = 2AB2
LHS:
AC2 + BC2
= 3k2 + k2
= 4k2
RHS:
2AB2
= 2 × (k√ 2 )2
= 2 × 2k2 = 4k2
সুতরাং AC2 + BC2 = 2AB2।
উত্তর: প্রমাণিত।
নমুনা প্রশ্ন
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
১. 0° ≤ θ ≤ 90° এর জন্য, sin θ এর সর্বোচ্চ মান কত?
ক) -1
খ) 0
গ) 1 2
ঘ) 1
M-1.
0° ≤ θ ≤ 90° ব্যবধিতে sin θ-এর সর্বোচ্চ মান পাওয়া যায় θ = 90° হলে,
sin 90° = 1
অতএব, সঠিক উত্তর: ঘ) 1
২. ABC সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ AC = 2, AB = 1 হলে-
(i) ∠ACB = 30°
(ii) tan A = √ 3
(in) sin(A + C) = 0
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i
খ) ii
গ) i ও ii
ঘ) ii ও iii
M-2
প্রদত্ত:
△ABC -তে ∠B = 90° , অতিভুজ AC = 2 , AB = 1 ।
BC বের করি
পিথাগোরাসের সূত্র:
BC2 = AC2 - AB2
= 4 - 1
= 3
⟹ BC = √ 3
কোণ বের করি
sin(∠ACB) = AB AC = 1 2
⟹∠ACB = 30° ✔ (i) সত্য।
tan A = BC AB = √ 3 1 = √ 3 ✔ (ii) সত্য।
A + C = 90° (কারণ ∠B = 90° )
⇒ sin(A + C) = sin 90° = 1
(iii) বলে sin(A+C) = 0 → এটি মিথ্যা।
সঠিক অপশন নির্বাচন
(i) ও (ii) সত্য, (iii) মিথ্যা ⇒ গ) i ও ii।
উত্তর:
গ
পাশের চিত্রে ABC সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ AC = 2 একক, AB = 1 একক। এই তথ্যের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
৩. tan C = কত?
ক) 2
খ) √ 3
গ) 1
ঘ) 1 √ 3
M-3
প্রদত্ত:
△ABC-এ∠B = 90°, AC = 2, AB = 1
BC নির্ণয়
পিথাগোরাসের সূত্র:
BC =
= √ 4 - 1
= √ 3
tan C নির্ণয়
tan C = AB BC = 1 √ 3
উত্তর:
ঘ
8. sin2 A - cos2 A এর মান কত?
ক) 1 2
খ) √ 3 2
গ) 1
ঘ) 0
M-4
প্রশ্নে বলা আছে: sin2 A - cos2 A এর মান কত?
কিন্তু আগের তথ্য অনুযায়ী △ABC-এ ∠B = 90° , AC = 2 , AB = 1 , BC = √ 3 এবং কোণ A ও C -এর মান জানা।
আমরা আগে পেয়েছি:
∠C = 30°
⇒∠A = 60° (যেহেতু A + C = 90°)
এখন A = 60° বসিয়ে:
sin2 60° - cos2 60°
= √ 3 22 - ( 1 2 )2
= 3 4 - 1 4
= 2 4
= 1 2
উত্তর: ক) 1 2
সৃজনশীল প্রশ্ন
৫. sin θ = p, cos θ = q, tan θ = r, যেখানে θ সূক্ষ্মকোণ।
ক) r = √ (3)-1 হলে, θ এর মান নির্ণয় করো।
খ) p + q = √ 2 হলে, প্রমাণ করো যে, θ = 45°
গ) 7p2 + 3q2 = 4 হলে, দেখাও যে, tan θ = 1 √ 3
M-5.
প্রদত্ত: sin θ = p, cos θ = q, tan θ = r,
যেখানে θ সূক্ষ্মকোণ (0° < θ < 90°)।
(ক) r = √ 3 -1 হলে, θ-এর মান নির্ণয় করো।
r = √ 3 -1
= 1 √ 3
tan θ = 1 √ 3
আমরা জানি, tan 30° = 1 √ 3 এবং θ সূক্ষ্মকোণ।
সুতরাং:
θ = 30°
উত্তর (ক): θ = 30°
(খ) p + q = √ 2 হলে, প্রমাণ করো θ = 45°।
p = sin θ,
q = cos θ
প্রদত্ত:
sin θ + cos θ = √ 2
⟹ sin2θ + cos2θ + 2sinθcosθ = 2 [বর্গ করে, সূত্র অনুযায়ী]
⟹ 1 + sin 2θ = 2
⟹ sin 2θ = 1
⟹ sin 2θ = sin 90°
⟹ 2θ = 90°
⟹ θ = 45°
(যেহেতু θ সূক্ষ্মকোণ)
প্রমাণিত।
(গ)
7p2 + 3q2 = 4 হলে,
দেখাও tan θ = 1 √ 3
7sin2θ + 3cos2θ = 4
⟹ 3sin2θ + 3cos2θ + 4sin2θ = 4
⟹ 3(sin2θ + cos2θ) + 4sin2θ = 4 [sin2θ + cos2θ = 1 ব্যবহার করি:]
⟹ 3 + 4sin2θ = 4
⟹ 4sin2θ = 1
⟹ sin2θ = 1 4
⟹ sinθ = 1 2
(θ সূক্ষ্মকোণ বলে sinθ > 0)
তাহলে θ = 30°,
⟹ tanθ = 1 √ 3
দেখানো হলো।
সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন
৬. ক) দেখাও যে, tan2 A - sin2 A = tan2 A . sin2 A
খ) △ABC এর ∠B = 90°, BC = 6 সে.মি. এবং AB = 8 সে.মি. হলে, sinA এর মান নির্ণয় করো।
গ) sin2 A = 1 + cos2 A হলে, A এর মান নির্ণয় করে; যখন A সূক্ষ্মকোণ।
ঘ) A = 15° হলে দেখাও যে, cos33A = sin33A
M-6.
ক) দেখাও যে, tan2 A - sin2 A = tan2 A · sin2 A
বামপক্ষ:
tan2 A - sin2 A = sin2 A cos2 A - sin2 A
= sin2 A ( 1 cos2 A - 1 )
= sin2 A ( 1 - cos2 A cos2 A )
= sin2 A · sin2 A cos2 A
= sin2 A · tan2 A
ডানপক্ষের সমান।
প্রমাণিত।
৬. খ)
△ABC-এ ∠B = 90°,
BC = 6 cm,
AB = 8 cm,
sin A = ?
পিথাগোরাসের সূত্র:
AC2 = AB2 + BC2
⟹ AC2 = 82 + 62
⟹ AC2 = 64 + 36
⟹ AC2 = 100
⟹ AC = 10
sin A = বিপরীত বাহু অতিভুজ
= BC AC
= 6 10
= 3 5
উত্তর (খ): sin A = 3 5
৬. গ)
sin 2A = 1 + cos 2A হলে A (সূক্ষ্মকোণ) নির্ণয় করো।
sin 2A = 1 + cos 2A
⟹ sin 2A - cos 2A = 1
⟹ sin 2A - cos 2A = √ 2 sin(2A - 45°)
⟹ √ 2 sin(2A - 45°) = 1
⟹ sin(2A - 45°) = sin 45°
সূক্ষ্মকোণের জন্য A এর পরিসর
0° < A < 90°
⟹ 0° < 2A < 180°
⟹ -45° < 2A - 45° < 135°
sin x = 1 √ 2 ⇒ x = 45° বা x = 135°
• 2A - 45° = 45°
⟹ 2A = 90°
⟹ A = 45°
• 2A - 45° = 135°
⟹ 2A = 180°
⟹ A = 90° (সূক্ষ্মকোণ নয়, বাদ)
উত্তর (গ): A = 45°
৬. ঘ)
A = 15° হলে,
দেখাও, cos3 3A = sin3 3A
A = 15°
⟹ 3A = 45°
cos 45° = 1 √ 2 ,
sin 45° = 1 √ 2
• cos3 45° = ( 1 √ 2 )3
= 1 2√ 2
• sin3 45° = ( 1 √ 2 )3
= 1 2√ 2
সমান, তাই প্রমাণিত।
