উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো (১- ৩০):
১. ab(x - y) - bc(x - y)
ab(x - y) - bc(x - y)
= (x - y)(ab - bc) [(x - y) সাধারণ বের করলাম]
= (x - y) · b(a - c) [ab - bc থেকে b সাধারণ বের করলাম]
= b(x - y)(a - c)
= b(x - y)(a - c) [উত্তর]
মন্তব্য:
এখানে প্রথমে (x - y) সাধারণ উৎপাদক এবং পরে b সাধারণ উৎপাদক বের করে নেওয়া হয়েছে।
২. 9x2 + 24x + 16
9x2 + 24x + 16
= (3x)2 + 2 · 3x · 4 + 42 [প্রথম পদ 9x2 = (3x)2, শেষ পদ 16 = 42, মাঝের পদ 24x = 2 · 3x · 4]
= (3x + 4)2 [সূত্র: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2]
= (3x + 4)2 [উত্তর]
মন্তব্য:
রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ দ্বিঘাত রাশি। a = 3x এবং b = 4 ধরে সরাসরি সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
৩. a4 - 27a2 + 1
a4 - 27a2 + 1
= (a2)2 - 27(a2) + 1 [a⁴ কে (a²)² করে লিখলাম]
= (a2 + 1)2 - 29a2 [একটি কৌশল: (a² + 1)² '= a⁴ + 2a² + 1, কিন্তু আমাদের আছে - 27a², তাই - 29a² যোগ করে মিলানো]
= (a2 + 1)2 - (√ 29 a)2 [এটি এখন বর্গের অন্তর]
= (a2 + 1 - √ 29 a)(a2 + 1 + √ 29 a) [সূত্র: p² - q² = (p - q) (p + q)]
= (a2 - √ 29 a + 1)(a2 + √ 29 a + 1) [পদগুলো সাজিয়ে লিখলাম]
মন্তব্য:
29 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা না হওয়ায় উৎপাদকে √ 29 থাকছে। পূর্ণসাংখ্যিক সহগ দিয়ে উৎপাদক সম্ভব নয়।
8. x4 - 6x2 * y2 + y4
x4 - 6x2 y2 + y4
= (x4 - 2x2 y2 + y4) - 4x2 y2 [x⁴ + y⁴ থেকে - 2x²y² দিয়ে (x² - y²)² বানালাম, তারপর বাকি - 4x²y² রাখলাম]
= (x2 - y2)2 - (2xy)2 [(x² - y²)² থেকে (2xy)² বিয়োগ করা হলো ]
= (x2 - y2 - 2xy)(x2 - y2 + 2xy) [সূত্র: p² - q² '= (p - q)(p + q)]
= (x2 - 2xy - y2)(x2 + 2xy - y2) [শুধু দ্বিতীয় বন্ধনীতে x² - y² + 2xy কে সাজালাম]
উত্তর
x2 - y2 - 2xy x2 - y2 + 2xy
৫. (a2 - b2) (x2 - y2) + 4abxy
(a2 - b2)(x2 - y2) + 4abxy
= a2 x2 - a2 y2 - b2 x2 + b2 y2 + 4abxy
= (a2 x2 + b2 y2 + 2abxy) + ( - a2 y2 - b2 x2 + 2abxy) [এখানে 4abxy কে 2abxy + 2abxy ভাগ করলাম]
= (a2 x2 + 2abxy + b2 y2) - (a2 y2 - 2abxy + b2 x2)
= (ax + by)2 - (ay - bx)2 [প্রথম বন্ধনী (ax + by)², দ্বিতীয় বন্ধনী (ay - bx)²]
= (ax + by - ay + bx)(ax + by + ay - bx) [সূত্র: p² - q²= (p - q)(p + q)]
= [a(x - y) + b(x + y)]·[a(x + y) + b(y - x)]
= (ax - ay + bx + by)(ax + ay - bx + by) [একটু সাজিয়ে]
= (a(x - y) + b(x + y)) (a(x + y) + b(y - x))
উত্তরটি আরও সুন্দর করে লিখতে পারেন:
(ax + bx + by - ay)(ax - bx + ay + by)
অথবা
(a(x - y) + b(x + y)) (a(x + y) - b(x - y))
এটি পূর্ণসাংখ্যিক সহগসম্পন্ন উৎপাদক।
৬. 4a2 - 12ab + 9b2 - 4c2
4a2 - 12ab + 9b2 - 4c2
= (4a2 - 12ab + 9b2) - 4c2 [প্রথম তিনটি পদ একসাথে রাখলাম]
= ( (2a)2 - 2 · 2a · 3b + (3b)2 ) - 4c2 [লক্ষ্য করি: 4a2 '= (2a)2, 9b2 '= (3b)2, - 12ab '= - 2 · 2a · 3b]
= (2a - 3b)2 - (2c)2 [প্রথম অংশটি (2a - 3b)² এবং 4c² '= (2c)²]
= (2a - 3b - 2c)(2a - 3b + 2c) [সূত্র: p2 - q2 = (p - q)(p + q), এখানে p = 2a - 3b এবং q = 2c ধরে]
= (2a - 3b + 2c)(2a - 3b - 2c) [শুধু গুণনীয়কের ক্রম বদলালাম]
উত্তর:
(2a - 3b + 2c)(2a - 3b - 2c)
৭. a2 + 6a + 8 - y2 + 2y
a2 + 6a + 8 - y2 + 2y
= (a2 + 6a + 8) - (y2 - 2y) [পদগুলো সাজালাম, - y² + 2y কে - (y² - 2y) লিখলাম]
= (a2 + 6a + 8) - (y2 - 2y + 1 - 1) [y² - 2y - এর সাথে 1 যোগ ও বিয়োগ করে পূর্ণবর্গ বানাতে]
= (a2 + 6a + 8) - [(y - 1)2 - 1] [সূত্র অনুসারে, y² - 2y + 1 = (y - 1)²]
= (a2 + 6a + 8) - (y - 1)2 + 1 [বন্ধনীর ভিতরের - 1 বেরিয়ে + 1 হলো ]
= (a2 + 6a + 9) - (y - 1)2 [এখানে, 8 + 1 = 9]
= (a + 3)2 - (y - 1)2 [সূত্র অনুসারে, a² + 6a + 9 = (a + 3)²]
= [(a + 3) - (y - 1)] · [(a + 3) + (y - 1)] [সূত্র অনুসারে, p² - q² = (p - q)(p + q)]
= (a + 3 - y + 1) (a + 3 + y - 1) [বন্ধনী খুললাম]
= (a - y + 4) (a + y + 2) [সাজালাম]
= (a + y + 2) (a - y + 4) [উত্তর]
মন্তব্য:
এখানে, a2 + 6a + 8 এর সাথে 1 যোগ করে (a + 3)2 বানানো, এবং y2 - 2y এর সাথে 1 যোগ করে (y - 1)2 বানানো। তারপর বর্গের অন্তর সূত্র প্রয়োগ।
৮. 16x2 - 25y2 - 8xz + 10yz
16x2 - 25y2 - 8xz + 10yz
= (16x2 - 25y2) - (8xz - 10yz) [প্রথম দুটি ও শেষ দুটি পদ আলাদা করলাম]
= (16x2 - 25y2) - 2z(4x - 5y) [দ্বিতীয় বন্ধনী থেকে 2z সাধারণ বের করলাম]
= (4x - 5y)(4x + 5y) - 2z(4x - 5y) [প্রথম বন্ধনী a² - b² সূত্রে উৎপাদক]
= (4x - 5y) · (4x + 5y) - (4x - 5y) · 2z [উভয় পদে (4x - 5y) সাধারণ দেখা যাচ্ছে]
= (4x - 5y) [ (4x + 5y) - 2z ] [(4x - 5y) সাধারণ বের করলাম]
= (4x - 5y) (4x + 5y - 2z)
= (4x - 5y) (4x + 5y - 2z) [উত্তর]
মন্তব্য:
এখানে মূল কৌশল হলো 16x2 - 25y2 কে (4x - 5y)(4x + 5y) উৎপাদক করা এবং লক্ষ্য করা যে শেষের দুই পদ - 8xz + 10yz = - 2z(4x - 5y) - এর মধ্যেও (4x - 5y) সাধারণ। তারপর (4x - 5y) বের করে এনে উত্তর পাওয়া।
৯. x2 + 13x + 36
x2 + 13x + 36
= x2 + 13x + 36 [প্রদত্ত রাশি]
= x2 + (4 + 9)x + 4 x 9 [13 = 4 + 9 এবং 36 = 4 × 9]
= x2 + 4x + 9x + 36 [মাঝের পদকে ভাঙলাম]
= x(x + 4) + 9(x + 4) [প্রথম দুই পদে x, শেষ দুই পদে 9 সাধারণ]
= (x + 4)(x + 9) [(x + 4) সাধারণ বের করলাম]
= (x + 4)(x + 9) [উত্তর]
মন্তব্য:
দ্বিঘাত রাশি x2 + 13x + 36 - এর ক্ষেত্রে, দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের যোগফল 13 এবং গুণফল 36। সংখ্যা দুটি হলো 4 এবং 9।
১০. x4 + x2 - 20
x4 + x2 - 20
= (x2)2 + x2 - 20 [x⁴ কে (x²)² করে লিখলাম]
ধরি, u = x2 [সহজ করার জন্য u পরিবর্তশীল নিলাম]
u2 + u - 20 [এখন এটি u - তে একটি দ্বিঘাত রাশি]
= u2 + (5 - 4)u - 20 [দুটি সংখ্যা খুঁজি যাদের যোগফল 1 এবং গুণফল - 20; সংখ্যা দুটি 5 এবং - 4]
= u2 + 5u - 4u - 20 [মাঝের পদ ভাঙলাম]
= u(u + 5) - 4(u + 5) [প্রথম দুই পদে u, শেষ দুই পদে - 4 সাধারণ]
= (u + 5)(u - 4) [(u + 5) সাধারণ বের করলাম]
= (x2 + 5)(x2 - 4) [u = x² বসালাম]
= (x2 + 5)(x2 - 22) [সূত্র অনুসারে, x² - 4 = x² - 2²]
= (x2 + 5)(x - 2)(x + 2) [সূত্র অনুসারে, x² - 2² = (x - 2)(x + 2)]
= (x + 2)(x - 2)(x2 + 5)
মন্তব্য:
এখানে প্রথমে x4 + x2 - 20 - কে x2 - এর দ্বিঘাত রাশি ধরে উৎপাদক করা হয়েছে (x2 + 5)(x2 - 4)। তারপর x2 - 4 কে (x + 2)(x - 2) আকারে ভাঙা হয়েছে। x2 + 5 বাস্তব সংখ্যায় আর ভাঙানো সম্ভব নয় (জটিল সংখ্যা ব্যবহার করলে (x + i√ 5 )(x - i√ 5 ) পাওয়া যেত)।
১১. a2 - 30a + 216
a2 - 30a + 216
= a2 - 30a + 216 [প্রদত্ত রাশি]
= a2 + ( - 18 - 12)a + ( - 18)( - 12) [ - 30 = - 18 + ( - 12) এবং 216 = ( - 18) × ( - 12)]
= a2 - 18a - 12a + 216 [মাঝের পদ ( - 30a) কে ( - 18a - 12a) আকারে ভাঙলাম]
= a(a - 18) - 12(a - 18) [প্রথম দুই পদে a, শেষ দুই পদে - 12 সাধারণ]
= (a - 18)(a - 12) [(a - 18) সাধারণ বের করলাম]
= (a - 18)(a - 12) [উত্তর]
মন্তব্য:
দ্বিঘাত রাশি a2 - 30a + 216 - এর ক্ষেত্রে, দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের যোগফল - 30 এবং গুণফল + 216। সংখ্যা দুটি হলো - 18 এবং - 12, কারণ:
( - 18) + ( - 12) = - 30, ( - 18) x ( - 12) = + 216
১২. a8 - a4 - 2
a8 - a4 - 2
= (a4)2 - a4 - 2 [a⁸ কে (a⁴)² করে লিখলাম]
ধরি, u = a4 [সহজ করার জন্য u পরিবর্তশীল নিলাম]
u2 - u - 2 [এখন এটি u - তে একটি দ্বিঘাত রাশি]
= u2 + ( - 2 + 1)u - 2 [দুটি সংখ্যা খুঁজি যাদের যোগফল - 1 এবং গুণফল - 2; সংখ্যা দুটি - 2 এবং 1]
= u2 - 2u + u - 2 [মাঝের পদ - u কে ( - 2u + u) আকারে ভাঙলাম]
= u(u - 2) + 1(u - 2) [প্রথম দুই পদে u, শেষ দুই পদে + 1 সাধারণ]
= (u - 2)(u + 1) [(u - 2) সাধারণ বের করলাম]
= (a4 - 2)(a4 + 1) [u = a⁴ বসালাম]
= (a4 - 2)(a4 + 1) [উত্তর]
মন্তব্য:
এখানে a8 - a4 - 2 - কে প্রথমে a4 - এর দ্বিঘাত রাশি ধরে উৎপাদক করা হয়েছে (a4 - 2)(a4 + 1)।
⇒ a4 - 2 আরও উৎপাদক করা যেতে পারে: (a2 - √ 2 )(a2 + √ 2 )
⇒ a4 + 1 বাস্তব সংখ্যায় উৎপাদক করা গেলেও জটিল সংখ্যা লাগে: (a2 + √ 2 a + 1)(a2 - √ 2 a + 1)
যেহেতু প্রশ্নে সহজ আকারে উত্তর চাওয়া হয়েছে, তাই (a4 - 2)(a4 + 1) - ই যথেষ্ট।
১৩. x2 - 37x - 650
x2 - 37x - 650
= x2 - 37x - 650 [প্রদত্ত রাশি]
= x2 + (13 - 50)x + 13 x ( - 50) [ - 37 = 13 + ( - 50) এবং - 650 = 13 × ( - 50)]
= x2 + 13x - 50x - 650 [মাঝের পদ ( - 37x) কে (13x - 50x) আকারে ভাঙলাম]
= x(x + 13) - 50(x + 13) [প্রথম দুই পদে x, শেষ দুই পদে - 50 সাধারণ]
= (x + 13)(x - 50) [(x + 13) সাধারণ বের করলাম]
= (x + 13)(x - 50) [উত্তর]
মন্তব্য:
দ্বিঘাত রাশি x2 - 37x - 650 - এর ক্ষেত্রে, দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের যোগফল - 37 এবং গুণফল - 650। সংখ্যা দুটি হলো 13 এবং - 50, কারণ:
13 + ( - 50) = - 37, 13 x ( - 50) = - 650
১৪. 9x2 y2 - 5xy2 - 14y2
9x2 y2 - 5xy2 - 14y2
= y2(9x2 - 5x - 14) [y² সাধারণ বের করলাম] [এখন 9x2 - 5x - 14 কে উৎপাদকে ভাঙতে হবে]
= y2(9x2 - 5x - 14) [দুটি সংখ্যা খুঁজি যাদের গুণফল - 126 এবং যোগফল - 5]
= y2(9x2 + 9x - 14x - 14) [ -5x কে 9x - 14x আকারে ভাঙলাম]
= y2[9x(x + 1) - 14(x + 1)] [প্রথম দুই পদে 9x, শেষ দুই পদে - 14 সাধারণ]
= y2(x + 1)(9x - 14) [(x + 1) সাধারণ বের করলাম]
= y2(x + 1)(9x - 14) [ উত্তর ]
মন্তব্য:
এখানে প্রথমে y2 সাধারণ বের করে নেওয়া হয়েছে। তারপর 9x2 - 5x - 14 কে উৎপাদক করা হয়েছে।
লক্ষ্য করি: 9x2 - 5x - 14 = (x + 1)(9x - 14)
কারণ (x + 1)(9x - 14) = 9x2 - 14x + 9x - 14 = 9x2 - 5x - 14
১৫. 4x4 - 27x2 - 81
4x4 - 27x2 - 81
= 4x4 - 27x2 - 81 [প্রদত্ত রাশি]
ধরি, u = x2 [সহজ করার জন্য u পরিবর্তশীল নিলাম]
4u2 - 27u - 81 [এটি u - তে একটি দ্বিঘাত রাশি, এখন উৎপাদকে ভাঙতে হবে]
= 4u2 + 9u - 36u - 81 [ -27u কে 9u - 36u আকারে ভাঙলাম]
= u(4u + 9) - 9(4u + 9) [প্রথম দুই পদে u, শেষ দুই পদে - 9 সাধারণ]
= (4u + 9)(u - 9) [(4u + 9) সাধারণ বের করলাম]
= (4x2 + 9)(x2 - 9) [u = x² বসালাম]
= (4x2 + 9)(x2 - 32) [x² - 9 = x² - 3²]
= (4x2 + 9)(x - 3)(x + 3) [x² - 3² = (x - 3)(x + 3)]
= (x + 3)(x - 3)(4x2 + 9) [উত্তর]
মন্তব্য:
এখানে প্রথমে 4x4 - 27x2 - 81 - কে x2 - এর দ্বিঘাত রাশি ধরে উৎপাদক করা হয়েছে (4x2 + 9)(x2 - 9)।
তারপর x2 - 9 = (x + 3)(x - 3) উৎপাদক করা হয়েছে।
4x2 + 9 বাস্তব সংখ্যায় আর উৎপাদক করা সম্ভব নয় (জটিল সংখ্যা ব্যবহার করলে (2x + 3i)(2x - 3i) পাওয়া যেত)।
১৬. ax2 + (a2 + 1)x + a
ax2 + (a2 + 1)x + a
= ax2 + a2 x + x + a [(a² + 1)x কে a²x + x আকারে ভাঙলাম]
= (ax2 + a2 x) + (x + a) [প্রথম দুই পদ ও শেষ দুই পদ আলাদা করলাম]
= ax(x + a) + 1(x + a) [প্রথম বন্ধনী থেকে ax সাধারণ, দ্বিতীয় থেকে 1 সাধারণ]
= (x + a)(ax + 1) [(x + a) সাধারণ বের করলাম]
= (x + a)(ax + 1) [উত্তর]
মন্তব্য:
এখানে মূল কৌশল হলো (a2 + 1)x কে a2 x + x আকারে ভেঙে নেওয়া। তারপর দেখা যায় প্রথম দুই পদে ax সাধারণ এবং শেষ দুই পদে 1 সাধারণ, যা শেষ পর্যন্ত (x + a) কে সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বের করতে সাহায্য করে।
১৭. 3(a2 + 2a)2 - 22(a2 + 2a) + 40
3(a2 + 2a)2 - 22(a2 + 2a) + 40
ধরি, u = a2 + 2a [সহজ করার জন্য u পরিবর্তশীল নিলাম]
3u2 - 22u + 40 [এখন এটি u - তে একটি দ্বিঘাত রাশি]
= 3u2 - 10u - 12u + 40 [ - 22u কে - 10u - 12u আকারে ভাঙলাম]
= u(3u - 10) - 4(3u - 10) [প্রথম দুই পদে u, শেষ দুই পদে - 4 সাধারণ]
= (3u - 10)(u - 4) [(3u - 10) সাধারণ বের করলাম]
= (u - 4)(3u - 10) [গুণনীয়কের ক্রম বিনিময়]
= ((a2 + 2a) - 4) · (3(a2 + 2a) - 10) [u = a² + 2a বসালাম]
= (a2 + 2a - 4)(3a2 + 6a - 10) [দ্বিতীয় বন্ধনীর ভিতর 3 গুণ করলাম]
= (a2 + 2a - 4)(3a2 + 6a - 10) [উত্তর]
মন্তব্য:
এখানে কৌশল হলো a2 + 2a = u ধরে রাশিটিকে 3u2 - 22u + 40 আকারে লেখা। তারপর উৎপাদক করে (u - 4)(3u - 10) পাওয়া। শেষে u = a2 + 2a বসিয়ে চূড়ান্ত উত্তর বের করা হয়েছে।
১৮. (a - 1)x2 + a2 xy + (a + 1) y2
(a - 1)x2 + a2 xy + (a + 1)y2
এখানে সরাসরি মাঝের পদের সহগ a2 এবং শেষ পদের সহগ a + 1, প্রথম পদের সহগ a - 1
(a - 1)x2 + a2 xy + (a + 1)y2
ধরি, আমরা উৎপাদক করব (px + qy)(rx + sy) আকারে
তাহলে
pr = a - 1,
qs = a + 1,
ps + qr = a2
একটি সম্ভাব্য সমাধান:
p = 1,
r = a - 1,
q = a + 1,
s = 1
চেক করি: ps + qr
= 1 · 1 + (a + 1)(a - 1)
= 1 + (a2 - 1)
= a2 সঠিক
এখন
(1 · x + (a + 1)y) · ((a - 1)x + 1 · y)
= (x + ay + y)(ax - x + y)
= (x + ay + y)(ax - x + y) [উত্তর]
মন্তব্য:
এটি দ্বিঘাত রাশি Ax2 + Bxy + Cy2 আকারের। উৎপাদকের জন্য p, q, r, s এমনভাবে নিতে হবে যেন pr = a - 1, qs = a + 1 এবং ps + qr = a2 হয়। উপরের সমাধানটি একটি সম্ভাব্য সমাধান।
১৯. x3 + 3x2 + 3x + 2
x3 + 3x2 + 3x + 2
= (x3 + 3x2 + 3x + 1) + 1 [প্রথম চারটি পদ (x + 1)3]
= (x + 1)3 + 13 [এখন এটি দুটি ঘনের যোগফল]
= (x + 1 + 1)[(x + 1)2 - (x + 1)· 1 + 12] [সূত্র: p3 + q3 = (p + q)(p2 - pq + q2)]
= (x + 2)[(x2 + 2x + 1) - x - 1 + 1]
= (x + 2)(x2 + 2x + 1 - x)
= (x + 2)(x2 + x + 1)
= (x + 2)(x2 + x + 1)
মন্তব্য:
x3 + 3x2 + 3x + 2 - এর মধ্যে (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 লক্ষ্য করে বাকি 1 যোগ করে (x + 1)3 + 13 আকারে লেখা যায়। তারপর ঘনের যোগফল সূত্র প্রয়োগ।
২০. a3 - 6a2 + 12a - 9
a3 - 6a2 + 12a - 9
a3 - 6a2 + 12a - 9
= a3 - 6a2 + 12a - 8 - 1 [সূত্র: (a - 2)3 = a3 - 6a2 + 12a - 8]
= (a - 2)3 - 13 [এখন এটি দুটি ঘনের অন্তরফল, অতএব, a3 - 6a2 + 12a - 9 = (a - 2)3 - 1]
= (a - 2 - 1)[(a - 2)2 + (a - 2)· 1 + 12] [সূত্র: p3 - q3 = (p - q)(p2 + pq + q2)]
= (a - 3)[(a2 - 4a + 4) + a - 2 + 1]
= (a - 3)(a2 - 4a + 4 + a - 1)
= (a - 3)(a2 - 3a + 3)
= (a - 3)(a2 - 3a + 3)
মন্তব্য:
এখানে লক্ষ্য করা গুরুত্বপূর্ণ যে a3 - 6a2 + 12a - 8 = (a - 2)3। তারপর রাশিটি (a - 2)3 - 1 আকারে লেখা যায়। ঘনের অন্তরফল সূত্র প্রয়োগ করে উৎপাদক করা হয়েছে।
২১. a3 - 9b3 + (a + b)3
a3 - 9b3 + (a + b)3
প্রথমে (a + b)3 প্রসারিত করি:
= a3 - 9b3 + (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) [(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³]
= a3 + a3 + 3a2b + 3ab2 - 9b3 + b3 [পদগুলো সাজালাম]
= 2a3 + 3a2b + 3ab2 - 8b3
= 2a3 + 3a2b + 3ab2 - 8b3
এখন a = b বসালে মান শূন্য হয় কিনা পরীক্ষা করি:
= 2b3 + 3b3 + 3b3 - 8b3
= (2 + 3 + 3 - 8)b3
= 0 [অতএব (a - b) একটি উৎপাদক]
এখন 2a3 + 3a2b + 3ab2 - 8b3 কে (a - b) দিয়ে ভাগ করি:
প্রথম পদ: 2a3 ÷ a = 2a2
2a2 x (a - b) = 2a3 - 2a2b
বিয়োগ করি: (3a2b + 2a2b) = 5a2b, নিচে নামাই + 3ab2
এখন 5a2b + 3ab2, প্রথম পদ: 5a2b ÷ a = 5ab
5ab x (a - b) = 5a2b - 5ab2
বিয়োগ করি: (3ab2 + 5ab2) = 8ab2, নিচে নামাই - 8b3
এখন 8ab2 - 8b3, প্রথম পদ: 8ab2 ÷ a = 8b2
8b2 x (a - b) = 8ab2 - 8b3
বিয়োগ করি: (8ab2 - 8b3) - (8ab2 - 8b3) = 0
ভাগফল: 2a2 + 5ab + 8b2
= (a - b)(2a2 + 5ab + 8b2)
= (a - b)(2a2 + 5ab + 8b2) [উত্তর]
মন্তব্য:
(a + b)3 প্রসারিত করে 2a3 + 3a2b + 3ab2 - 8b3 পাওয়া যায়। তারপর a = b বসিয়ে দেখা যায় রাশিটি শূন্য হয়, তাই (a - b) একটি উৎপাদক। ভাগ করে ভাগফল 2a2 + 5ab + 8b2 পাওয়া যায়।
২২. 8x3 + 12x2 + 6x - 63
8x3 + 12x2 + 6x - 63
8x3 + 12x2 + 6x - 63
= (8x3 + 12x2 + 6x + 1) - 64 [প্রথম চারটি পদ (2x + 1)3]
= (2x + 1)3 - 43 [এখন এটি দুটি ঘনের অন্তরফল]
= (2x + 1 - 4)[(2x + 1)2 + (2x + 1)· 4 + 42] [সূত্র: p3 - q3 = (p - q)(p2 + pq + q2)]
= (2x - 3)[(4x2 + 4x + 1) + (8x + 4) + 16]
= (2x - 3)(4x2 + 4x + 1 + 8x + 4 + 16)
= (2x - 3)(4x2 + 12x + 21)
= (2x - 3)(4x2 + 12x + 21) [উত্তর]
বিকল্প পদ্ধতি (ঘনের সূত্র ব্যবহার করে):
লক্ষ্য করি, x = 3 2 বসালে রাশিটির মান শূন্য হয় কিনা পরীক্ষা করি:
= 8( 3 2 )3 + 12( 3 2 )2 + 6( 3 2 ) - 63
= 8 x 27 8 + 12 x 9 4 + 9 - 63
= 27 + 27 + 9 - 63
= 63 - 63
= 0 [অতএব (2x - 3) একটি উৎপাদক]
এখন 8x3 + 12x2 + 6x - 63 কে (2x - 3) দিয়ে ভাগ করি:
প্রথম পদ: 8x3 ÷ 2x = 4x2
4x2 x (2x - 3) = 8x3 - 12x2
বিয়োগ করি: (12x2 + 12x2) = 24x2, নিচে নামাই + 6x
এখন 24x2 + 6x, প্রথম পদ: 24x2 ÷ 2x = 12x
12x x (2x - 3) = 24x2 - 36x
বিয়োগ করি: (6x + 36x) = 42x, নিচে নামাই - 63
এখন 42x - 63, প্রথম পদ: 42x ÷ 2x = 21
21 x (2x - 3) = 42x - 63
বিয়োগ করি: (42x - 63) - (42x - 63) = 0
ভাগফল:
4x2 + 12x + 21
= (2x - 3)(4x2 + 12x + 21)
= (2x - 3)(4x2 + 12x + 21) [উত্তর]
মন্তব্য:
বিকল্প পদ্ধতিতে লক্ষ্য করা গুরুত্বপূর্ণ যে 8x3 + 12x2 + 6x + 1 = (2x + 1)3। তারপর রাশিটি (2x + 1)3 - 64 = (2x + 1)3 - 43 আকারে লেখা যায়। ঘনের অন্তরফল সূত্র প্রয়োগ করে উৎপাদক করা হয়েছে।
২৩. 8a3 + b3 27
8a3 + b3 27
= 8a3 + b3 27 [প্রদত্ত রাশি]
= (2a)3 + ( b 3 )3 [প্রথম পদ: 8a3 = (2a)3, দ্বিতীয় পদ: b3 27 = ( b 3 )3]
এখন এটি দুটি ঘনের যোগফল: p3 + q3 = (p + q)(p2 - pq + q2)
এখানে p = 2a, q = b 3
= (2a + b 3 )[(2a)2 - (2a)( b 3 ) + ( b 3 )2]
= (2a + b 3 )[4a2 - 2ab 3 + b2 9 ]
এখন প্রথম বন্ধনীটিকে হর 3 দিয়ে লিখি: 2a + b 3
= 6a + b 3
এখন, 6a + b 3 x [4a2 - 2ab 3 + b2 9 ]
দ্বিতীয় বন্ধনীটিকেও হর 9 দিয়ে লিখি:
4a2 - 2ab 3 + b2 9
= 36a2 - 6ab + b2 9
= 6a + b 3 x 36a2 - 6ab + b2 9
= (6a + b)(36a2 - 6ab + b2) 27
= 1 27 (6a + b)(36a2 - 6ab + b2)
= 1 27 (6a + b)(36a2 - 6ab + b2) [উত্তর]
মন্তব্য:
এখানে মূল কৌশল হলো 8a3 কে (2a)3 এবং b3 27 কে ( b 3 )3 আকারে লেখা। তারপর ঘনের যোগফলের সূত্র প্রয়োগ করে উৎপাদক বের করা। শেষে ভগ্নাংশগুলোকে একই হরে এনে সরলীকরণ করা হয়েছে।
২৪. a6 27 - b6
a6 27 - b6
= ( a6 27 ) - b6 [প্রদত্ত রাশি]
= ( a2 3 )3 - (b2)3 [লক্ষ্য করি: a6 27 = ( a2 3 )3 এবং b6 = (b2)3]
এখন এটি দুটি ঘনের অন্তরফল: p3 - q3 = (p - q)(p2 + pq + q2)
এখানে p = a2 3 , q = b2
= ( a2 3 - b2)[( a2 3 )2 + ( a2 3 )(b2) + (b2)2]
= ( a2 3 - b2)[ a4 9 + a2 b2 3 + b4]
= ( a2 3 - b2)( a4 9 + a2 b2 3 + b4) [উত্তর]
মন্তব্য:
এখানে মূল কৌশল হলো a6 27 কে ( a2 3 )3 এবং b6 কে (b2)3 আকারে লেখা। তারপর ঘনের অন্তরফলের সূত্র p3 - q3 = (p - q)(p2 + pq + q2) প্রয়োগ করে উৎপাদক বের করা হয়েছে। আপনার উত্তরে শেষ বন্ধনীতে b2 লেখা থাকলেও সেটি আসলে b4 হবে। আপনি সম্ভবত b4 - কে b2 বলে টাইপ করেছেন। সঠিক উত্তর হবে:
( a2 3 - b2) ( a4 9 + a2 b2 3 + b4)
২৫. 4a2 + 1 4a2 - 2 + 4a - 1 a
প্রদত্ত রাশি:
4a2 + 1 4a2 - 2 + 4a - 1 a
= 4a2 + 1 4a2 - 2 + 4a - 1 a
= (4a2 + 1 4a2 - 2) + (4a - 1 a )
= (2a - 1 2a )2 + (4a - 1 a ) [ কারণ (2a - 1 2a )2 = 4a2 - 2 + 1 4a2 ]
= (2a - 1 2a )2 + 2 · (2a - 1 2a ) [লক্ষ্য করি: 4a - 1 a = 2 x 2a - 2 x 1 2a = 2(2a - 1 2a )]
= (2a - 1 2a )2 + 2(2a - 1 2a )
= (2a - 1 2a )[(2a - 1 2a ) + 2]
= (2a - 1 2a ) (2a - 1 2a + 2)
= (2a - 1 2a ) (2a - 1 2a + 2)
সুতরাং উত্তর
(2a - 1 2a ) (2a - 1 2a + 2)
২৬. (3a + 1)3 - (2a - 3)3
(3a + 1)3 - (2a - 3)3
[এটি দুটি ঘনের অন্তরফল, সূত্র: p3 - q3 = (p - q)(p2 + pq + q2) , এখানে p = 3a + 1, q = 2a - 3 ]
= [(3a + 1) - (2a - 3)] · [(3a + 1)2 + (3a + 1)(2a - 3) + (2a - 3)2]
= (3a + 1 - 2a + 3) · [(9a2 + 6a + 1) + (6a2 - 9a + 2a - 3) + (4a2 - 12a + 9)]
[প্রথম বন্ধনী: 3a - 2a = a, 1 + 3 = 4]
= (a + 4) · [9a2 + 6a + 1 + 6a2 - 7a - 3 + 4a2 - 12a + 9]
[দ্বিতীয় বন্ধনীর ভিতর: (3a + 1)(2a - 3) = 6a2 - 9a + 2a - 3 = 6a2 - 7a - 3]
= (a + 4) · [(9a2 + 6a2 + 4a2) + (6a - 7a - 12a) + (1 - 3 + 9)]
= (a + 4) · [19a2 + ( - 13a) + 7]
= (a + 4)(19a2 - 13a + 7)
= (a + 4)(19a2 - 13a + 7) [উত্তর]
মন্তব্য:
এখানে সরাসরি ঘনের অন্তরফলের সূত্র p3 - q3 = (p - q)(p2 + pq + q2) প্রয়োগ করা হয়েছে। তারপর বীজগণিতিক সরলীকরণ করে চূড়ান্ত উত্তর পাওয়া গেছে।
২৭. (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 48
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 48
লক্ষ্য করি,
(x + 2) (x + 5)
= x2 + 7x + 10
এবং
(x + 3) (x + 4)
= x2 + 7x + 12
সুতরাং,
(x2 + 7x + 10) (x2 + 7x + 12) - 48
ধরি, u = x2 + 7x [সহজ করার জন্য u পরিবর্তশীল নিলাম]
(u + 10)(u + 12) - 48
= (u2 + 12u + 10u + 120) - 48
= u2 + 22u + 120 - 48
= u2 + 22u + 72 [উৎপাদকে ভাঙতে হবে, সংখ্যা দুটি হলো 4 এবং 18]
= (u + 4)(u + 18)
এখন u = x2 + 7x বসাই:
= (x2 + 7x + 4)(x2 + 7x + 18)
= (x2 + 7x + 4)(x2 + 7x + 18) [উত্তর]
মন্তব্য:
এখানে মূল কৌশল হলো প্রথম চারটি বন্ধনীকে জোড়া বাঁধা:
(x + 2)(x + 5) = x2 + 7x + 10 এবং (x + 3)(x + 4) = x2 + 7x + 12।
তারপর u = x2 + 7x ধরে রাশিটিকে (u + 10)(u + 12) - 48 = u2 + 22u + 72 আকারে লেখা।
এরপর উৎপাদক করে (u + 4)(u + 18) পাওয়া এবং শেষে u - এর মান বসিয়ে চূড়ান্ত উত্তর বের করা হয়েছে।
২৮. (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - 7) - 65
(x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - 7) - 65
লক্ষ্য করি, প্রথম ও শেষ বন্ধনী গুণ করি:
(x - 1)(x - 7)
= x2 - 8x + 7
এবং মাঝের বন্ধনী দুটি গুণ করি:
(x - 3)(x - 5)
= x2 - 8x + 15
সুতরাং,
(x2 - 8x + 7)(x2 - 8x + 15) - 65
ধরি, u = x2 - 8x [সহজ করার জন্য u পরিবর্তশীল নিলাম]
(u + 7)(u + 15) - 65
= (u2 + 15u + 7u + 105) - 65
= u2 + 22u + 105 - 65
= u2 + 22u + 40 [উৎপাদকে ভাঙতে হবে: 2 + 20 = 22, 2 x 20 = 40]
= (u + 2)(u + 20)
এখন u = x2 - 8x বসাই:
= (x2 - 8x + 2) (x2 - 8x + 20)
= (x2 - 8x + 20) (x2 - 8x + 2) [উত্তর]
মন্তব্য:
এখানে মূল কৌশল হলো বন্ধনীগুলোকে জোড়া বাঁধা যাতে যোগফল সমান হয়:
(x - 1)(x - 7) = x2 - 8x + 7 এবং (x - 3)(x - 5) = x2 - 8x + 15।
তারপর u = x2 - 8x ধরে রাশিটিকে (u + 7)(u + 15) - 65 = u2 + 22u + 40 আকারে লেখা।
এরপর উৎপাদক করে (u + 2)(u + 20) পাওয়া এবং শেষে u - এর মান বসিয়ে চূড়ান্ত উত্তর বের করা হয়েছে।
২৯. 2b2c2 + 2c2a2 + 2a2b2 - a4 - b4 - c4
2b2c2 + 2c2a2 + 2a2b2 - a4 - b4 - c4
= 4a2b2 - (a4 + b4 + c4 + 2b2c2 - 2c2a2 - 2a2b2) [উপযুক্ত যোগ - বিয়োগ করে]
= (2ab)2 - (a2 + b2 - c2)2 [কারণ (a2 + b2 - c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 - 2a2c2 - 2b2c2]
= [2ab - (a2 + b2 - c2)]·[2ab + (a2 + b2 - c2)]
= [c2 - (a2 + b2 - 2ab)] · [(a2 + b2 + 2ab) - c2]
= [c2 - (a - b)2]·[(a + b)2 - c2]
= (c - a + b)(c + a - b) · (a + b - c)(a + b + c)
= (a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)
= (a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) [উত্তর]
মন্তব্য:
এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ বীজগাণিতিক সূত্র যা ত্রিভুজের বাহুর সাথে সম্পর্কিত (হেরনের সূত্রে ব্যবহৃত)। এখানে মূল কৌশল হলো রাশিটিকে (2ab)2 - (a2 + b2 - c2)2 আকারে লেখা, তারপর বর্গের অন্তর সূত্র প্রয়োগ।
৩০. 14(x + z)2 - 29(x + z)(x + 1) - 15(x + 1)2
14(x + z)2 - 29(x + z)(x + 1) - 15(x + 1)2
ধরি, u = x + z, v = x + 1 [সহজ করার জন্য u ও v পরিবর্তশীল নিলাম]
14u2 - 29uv - 15v2
= 14u2 - 35uv + 6uv - 15v2 [ - 29uv কে - 35uv + 6uv আকারে ভাঙলাম]
= 7u(2u - 5v) + 3v(2u - 5v) [প্রথম দুই পদে 7u, শেষ দুই পদে 3v সাধারণ]
[প্রথম দুই পদ: 14u2 - 35uv = 7u(2u - 5v); শেষ দুই পদ: 6uv - 15v2 = 3v(2u - 5v)]
= (2u - 5v)(7u + 3v) [(2u - 5v) সাধারণ বের করলাম এখন u = x + z, v = x + 1 বসাই:
= [2(x + z) - 5(x + 1)]·[7(x + z) + 3(x + 1)]
= [2x + 2z - 5x - 5]·[7x + 7z + 3x + 3]
= [( - 3x + 2z - 5)]·[10x + 7z + 3]
= ( - 3x + 2z - 5) (10x + 7z + 3)
= (2z - 3x - 5) (10x + 7z + 3) [প্রথম বন্ধনীতে পদ সাজালাম]
= (2z - 3x - 5) (10x + 7z + 3) [উত্তর]
মন্তব্য:
এখানে মূল কৌশল হলো u = x + z এবং v = x + 1 ধরে রাশিটিকে 14u2 - 29uv - 15v2 আকারে লেখা। তারপর সমঘাতী দ্বিঘাত রাশিটিকে উৎপাদক করে (2u - 5v)(7u + 3v) পাওয়া। শেষে u ও v - এর মান বসিয়ে চূড়ান্ত উত্তর বের করা হয়েছে।
৩১. দেখাও যে, (x + 1)(x + 2)(3x - 1)(3x - 4) = (3x2 + 2x - 1)(3x2 + 2x - 8)
প্রদত্ত রাশি:
(x + 1)(x + 2)(3x - 1)(3x - 4) = (3x2 + 2x - 1)(3x2 + 2x - 8)
বামপক্ষ ও ডানপক্ষ সমান তা দেখাতে হবে।
বামপক্ষ:
(x + 1)(x + 2)(3x - 1)(3x - 4)
= (x + 1)(3x - 1). (x + 2)(3x - 4) [গুণনীয়কগুলোকে পুনর্বিন্যস্ত করি যেন প্রতিটি জোড়ার প্রথম পদ x ও দ্বিতীয় পদ 3x থাকে]
= (3x2 - x + 3x - 1). (3x2 - 4x + 6x - 8) [প্রথম বন্ধনী (x + 1)(3x - 1) , দ্বিতীয় বন্ধনী (x + 2)(3x - 4) গুণ করি]
= (3x2 + 2x - 1).(3x2 + 2x - 8)
=ডানপক্ষ
যা ডানপক্ষের সমান।
(x + 1)(x + 2)(3x - 1)(3x - 4) = (3x2 + 2x - 1)(3x2 + 2x - 8)
✅ প্রমাণিত
