প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান করো (5 - 6)
১. 7x - 3y = 31
9x - 5y = 41
1.
প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান করতে ধাপে ধাপে দেখাচ্ছি:
সমীকরণদ্বয়:
7x - 3y = 31 ..... (1)
9x - 5y = 41 ..... (2)
একটি চলককে অপর চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করি:
(1) থেকে
7x - 3y = 31
⇒ 7x = 31 + 3y
⇒ x = 31 + 3y 7 ..... (3)
(3) কে (2) তে বসাই:
9( 31 + 3y 7 ) - 5y = 41
⇒ 279 + 27y 7 - 5y = 41
⇒ 279 + 27y - 35y = 287 [দুইপাশে 7 গুণ করি]
⇒ 279 - 8y = 287
⇒ -8y = 287 - 279
⇒ -8y = 8
⇒ y = -1
y = -1 বসিয়ে x বের করি:
x = 31 + 3(-1) 7
= 31 - 3 7
= 28 7
= 4
সমাধান:
x = 4,
y = -1
২. x 2 + y 3 = 1
x 3 + y 2 = 1
2.
সমীকরণগুলো :
x 2 + y 3 = 1 ..... (1)
x 3 + y 2 = 1 ..... (2)
প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করি
(1) নং সমীকরণ থেকে লিখি:
x 2 + y 3 = 1
⇒ x 2 = 1 - y 3
⇒ x = 2 - 2y 3 ..... (3)
(3) কে (2) তে বসাই:
1 3 ( 2 - 2y 3 ) + y 2 = 1
⇒ 2 3 - 2y 9 + y 2 = 1
⇒ - 2y 9 + y 2 = 1 - 2 3 [y এর পদগুলো একত্র করি]
⇒ -4y + 9y 18 = 3 - 2 3
⇒ 5y 18 = 1 3
⇒ 5y = 18 3
⇒ 5y = 6
⇒ y = 6 5
y = 6 5 বসিয়ে x বের করি, (3) থেকে:
⇒ x = 2 - 2 3 × 6 5
⇒ x = 2 - 12 15
⇒ x = 2 - 4 5
⇒ x = 10 - 4 5
⇒ x = 6 5
সমাধান:
x = 6 5 ,
y = 6 5
৩. ax + by = a2+ b2
x a + y b = 2
3.
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
ax + by = a2 + b2 ..... (1)
x a + y b = 2 ..... (2)
(এখানে a ≠ 0, b ≠ 0)
প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান
(2) নং সমীকরণ থেকে x কে y-এর মাধ্যমে লিখি:
x a = 2 - y b
⇒ x = a ( 2 - y b )
⇒ x = 2a - a b y ..... (3)
(3) কে (1) এ বসাই:
a( 2a - a b y ) + b y = a2 + b2
⇒ 2a2 - a2 b y + b y = a2 + b2
⇒ 2a2 + y( b - a2 b ) = a2 + b2
⇒ 2a2 + y ( b2 - a2 b ) = a2 + b2 [y এর সহগ একত্রিত করি]
⇒ 2a2 + y · b2 - a2 b = a2 + b2
⇒ y · b2 - a2 b = a2 + b2 - 2a2
⇒ y · b2 - a2 b = b2 - a2
⇒ y · 1 b = 1
⇒ y = b
y = b বসিয়ে x বের করি: (3) থেকে:
x = 2a - a b · b
= 2a - a
= a
সমাধান:
x = a, y = b
• যদি b2 - a2 = 0 হয়, অর্থাৎ a = b বা a = -b, তবে সমীকরণদ্বয় অসীম সমাধান বা অনন্যসমাধানহীন হতে পারে।
• উদাহরণস্বরূপ, a = b ধরলে (1) ও (2) দেখুন: সমীকরণদ্বয় একই না, বরং a=b হলে সমাধান x=a, y=b আসলেই কাজ করে কিনা যাচাই করুন: a· a + a· a = 2a2 = a2+a2 এবং a a + a a = 1 + 1 = 2 ঠিক কাজ করে। a=-b হলে সমাধান x=a, y=b দিয়েও কাজ করে। তাহলে b2-a2=0 হলেও x=a, y=b সমাধান হবে।
অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করো (৪ - ৬):
৪. 7x - 3y = 31
9x - 5y = 41
4.
সমীকরণদ্বয়:
7x - 3y = 31 ..... (1)
9x - 5y = 41 ..... (2)
x এর সহগ সমান করি:
(1) নং কে 9 দিয়ে গুণ করি:
63x - 27y = 279
(2) নং কে 7 দিয়ে গুণ করি:
63x - 35y = 287
বিয়োগ করি (x অপসারণ হবে):
(63x - 27y) - (63x - 35y) = 279 - 287
⇒ 63x - 27y - 63x + 35y = -8
⇒ -27y + 35y = -8
⇒ 8y = -8
⇒ y = -1
y = -1 (1) তে বসাই:
⇒ 7x - 3(-1) = 31
⇒ 7x + 3 = 31
⇒ 7x = 28
⇒ x = 4
সমাধান:
x = 4,
y = -1
৫. 7x - 8y = - 9
5x - 4y = - 3
অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করি:
5.
সমীকরণদ্বয়:
7x - 8y = -9 ..... (1)
5x - 4y = -3 ..... (2)
y এর সহগ সমান করি:
(2) নং কে 2 দিয়ে গুণ করি:
10x - 8y = -6 ..... (3)
(1) থেকে (3) বিয়োগ করি (y অপসারণ হবে):
(7x - 8y) - (10x - 8y) = -9 - (-6)
⇒ 7x - 8y - 10x + 8y = -9 + 6
⇒ -3x = -3
⇒ x = 1
x = 1 (1) নং এ বসাই:
7(1) - 8y = -9
⇒ 7 - 8y = -9
⇒ -8y = -9 - 7
⇒ -8y = -16
⇒ y = 2
সমাধান:
x = 1,
y = 2
৬. ax + by = c
a2 x + b2y = c2
6.
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
ax + by = c ..... (1)
a2 x + b2 y = c2 ..... (2)
এখানে a, b, c, a2, b2, c2 ধ্রুবক।
অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করতে চাইলে একটি চলকের সহগ সমান করে বিয়োগ/যোগ করতে হয়।
ধরি, আমরা x-কে অপসারণ করব।
x-এর সহগ সমান করতে (1) কে a2 দিয়ে, (2) কে a দিয়ে গুণ করি:
a2 a x + a2 b y = a2 c .... (1')
a a2 x + a b2 y = a c2 .....(2')
বিয়োগ করি (1') - (2'):
(a2 b - a b2) y = a2 c - a c2
⇒ y = a2 c - a c2 a2 b - a b2 , যদি a2 b - a b2 ≠ 0
y এর মান (1) নং এ বসিয়ে x বের করি:
ax + by = c
⇒ a x + b · a2 c - a c2 a2 b - a b2 = c
⇒ a x = c - b(a2 c - a c2) a2 b - a b2
⇒ a x = c(a2 b - a b2) - b(a2 c - a c2) a2 b - a b2
⇒ a x = a2 b c - a b2 c - a2 b c + a b c2 a2 b - a b2
⇒ a x = a b c2 - a b2 c a2 b - a b2
⇒ a x = a (b c2 - b2 c) a2 b - a b2
⇒ x = b c2 - b2 c a2 b - a b2 [a ≠ 0 ধরে a কাটলে]
সমাধান (যখন a2 b - a b2 ≠ 0):
x = b c2 - b2 c a2 b - a b2 ,
y = a2 c - a c2 a2 b - a b2
এটি ক্রেমারের সূত্রের মতোই, কিন্তু এখানে অপনয়ন পদ্ধতি ব্যবহার করে বের করা হলো।
আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান করো (৭ - ১৫):
৭. 2x + 3y + 5 = 0
4x + 7y + 6 = 0
7.
আড়গুণন (Cross-multiplication) পদ্ধতি ব্যবহার করি।
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
2x + 3y + 5 = 0 ..... (1)
4x + 7y + 6 = 0 ..... (2)
আড়গুণন পদ্ধতির সূত্র:
x b1 c2 - b2 c1 = y c1 a2 - c2 a1 = 1 a1 b2 - a2 b1
যেখানে সমীকরণ দুটি a1 x + b1 y + c1 = 0 ও a2 x + b2 y + c2 = 0 আকারে থাকতে হবে।
মান নির্ধারণ করি:
a1 = 2, b1 = 3, c1 = 5
a2 = 4, b2 = 7, c2 = 6
x-এর হর:
b1 c2 - b2 c1
= (3 × 6) - (7 × 5)
= 18 - 35
= -17
y-এর হর:
c1 a2 - c2 a1
= (5 × 4) - (6 × 2)
= 20 - 12
= 8
ধ্রুবকের হর:
a1 b2 - a2 b1
= (2 × 7) - (4 × 3)
= 14 - 12
= 2
সূত্রে বসাই:
x -17 = y 8 = 1 2
তাই:
x = -17 2 ,
y = 8 2 = 4
সমাধান:
x = - 17 2 ,
y = 4
চেক করি:
(1) 2(- 17 2 ) + 3(4) + 5
= -17 + 12 + 5 = 0
(2) 4(- 17 2 ) + 7(4) + 6
= -34 + 28 + 6 = 0
৮. 3x - 5y + 9 = 0
5x - 3y - 1 = 0
8.
আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান করি।
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
3x - 5y + 9 = 0 ..... (1)
5x - 3y - 1 = 0 ..... (2)
সূত্র ও চলক নির্ণয়:
আমরা লিখি:
a1 x + b1 y + c1 = 0
a2 x + b2 y + c2 = 0
এখানে:
a1 = 3, b1 = -5, c1 = 9
a2 = 5, b2 = -3, c2 = -1
আড়গুণন সূত্র:
x b1 c2 - b2 c1 = y c1 a2 - c2 a1 = 1 a1 b2 - a2 b1
x-এর হর (বাম হর):
b1 c2 - b2 c1 = (-5) (-1) - (-3) (9)
= 5 - (-27)
= 5 + 27
= 32
y-এর হর (মাঝের হর):
c1 a2 - c2 a1 = (9) (5) - (-1) (3)
= 45 - (-3)
= 45 + 3
= 48
ধ্রুবকের হর (ডানের হর):
a1 b2 - a2 b1 = (3) (-3) - (5) (-5)
= -9 - (-25)
= -9 + 25
= 16
বসাই:
x 32 = y 48 = 1 16
তাই:
x = 32 16 = 2
y = 48 16 = 3
সমাধান:
x = 2,
y = 3
চেক করি:
(1) 3(2) - 5(3) + 9 = 6 - 15 + 9 = 0
(2) 5(2) - 3(3) - 1 = 10 - 9 - 1 = 0 ✅
৯. x + 2y = 7
2x - 3y = 0
9.
আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান করতে প্রথমে সমীকরণ দুটিকে a1x + b1y + c1 = 0 আকারে লিখি।
প্রদত্ত:
x + 2y = 7
⇒ x + 2y - 7 = 0
এবং,
2x - 3y = 0
⇒ 2x - 3y + 0 = 0
চলক নির্ধারণ:
a1 = 1, b1 = 2, c1 = -7
a2 = 2, b2 = -3, c2 = 0
আড়গুণন সূত্র:
x b1 c2 - b2 c1 = y c1 a2 - c2 a1 = 1 a1 b2 - a2 b1
x-এর হর:
b1 c2 - b2 c1 = (2) (0) - (-3) (-7)
= 0 - (21)
= -21
y-এর হর:
c1 a2 - c2 a1 = (-7) (2) - (0) (1)
= -14 - 0
= -14
ধ্রুবকের হর:
a1 b2 - a2 b1 = (1) (-3) - (2) (2)
= -3 - 4
= -7
বসাই:
x -21 = y -14 = 1 -7
তাই:
x = -21 -7 = 3
y = -14 -7 = 2
সমাধান:
x = 3,
y = 2
চেক:
3 + 2(2) = 3 + 4 = 7 ✅
2(3) - 3(2) = 6 - 6 = 0 ✅
১০. 4x + 3y = -12
2x = 5
10.
আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান করতে হলে সমীকরণ দুটি a1x + b1y + c1 = 0 ও a2x + b2y + c2 = 0 আকারে লিখতে হবে।
প্রদত্ত:
4x + 3y = -12
⇒ 4x + 3y + 12 = 0
এবং,
2x = 5
⇒ 2x + 0y - 5 = 0
চলক নির্ধারণ:
a1 = 4, b1 = 3, c1 = 12
a2 = 2, b2 = 0, c2 = -5
আড়গুণন সূত্র:
x b1 c2 - b2 c1 = y c1 a2 - c2 a1 = 1 a1 b2 - a2 b1
x-এর হর:
b1 c2 - b2 c1
= (3) (-5) - (0) (12)
= -15 - 0
= -15
y-এর হর:
c1 a2 - c2 a1
= (12) (2) - (-5) (4)
= 24 - (-20)
= 24 + 20
= 44
ধ্রুবকের হর:
a1 b2 - a2 b1
= (4) (0) - (2) (3)
= 0 - 6
= -6
বসাই:
x -15 = y 44 = 1 -6
তাই:
x = -15 -6 = 15 6 = 5 2
y = 44 -6 = - 22 3
সমাধান:
x = 5 2 ,
y = - 22 3
চেক:
4 × 5 2 + 3 × (- 22 3 ) = 10 - 22 = -12 ✅
2 × 5 2 = 5 ✅
১১. - 7x + 8y = 9
5x - 4y = - 3
11.
আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান করতে প্রথমে সমীকরণ দুটোকে a1x + b1y + c1 = 0 ও a2x + b2y + c2 = 0 আকারে লিখি।
প্রদত্ত:
-7x + 8y = 9
⇒ -7x + 8y - 9 = 0
এবং,
5x - 4y = -3
⇒ 5x - 4y + 3 = 0
চলক নির্ধারণ:
a1 = -7, b1 = 8, c1 = -9
a2 = 5, b2 = -4, c2 = 3
আড়গুণন সূত্র:
x b1 c2 - b2 c1 = y c1 a2 - c2 a1 = 1 a1 b2 - a2 b1
x-এর হর:
b1 c2 - b2 c1
= (8) (3) - (-4) (-9)
= 24 - (36)
= -12
y-এর হর:
c1 a2 - c2 a1
= (-9) (5) - (3) (-7)
= -45 - (-21)
= -45 + 21
= -24
ধ্রুবকের হর:
a1 b2 - a2 b1
= (-7) (-4) - (5) (8)
= 28 - 40
= -12
বসাই:
x -12 = y -24 = 1 -12
তাই:
x = -12 -12 = 1
y = -24 -12 = 2
সমাধান:
x = 1, y = 2
চেক:
-7(1) + 8(2) = -7 + 16 = 9 ✅
5(1) - 4(2) = 5 - 8 = -3 ✅
১২. 3x - y - 7 = 0
2x + y - 3 = 0
12.
আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান করি।
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয় ইতিমধ্যেই a1x + b1y + c1 = 0 ও a2x + b2y + c2 = 0 আকারে আছে:
3x - y - 7 = 0 ..... (1)
2x + y - 3 = 0 ..... (2)
চলক নির্ধারণ:
a1 = 3, b1 = -1, c1 = -7
a2 = 2, b2 = 1, c2 = -3
আড়গুণন সূত্র:
x b1 c2 - b2 c1 = y c1 a2 - c2 a1 = 1 a1 b2 - a2 b1
x-এর হর:
b1 c2 - b2 c1
= (-1) (-3) - (1) (-7)
= 3 - (-7)
= 3 + 7
= 10
y-এর হর:
c1 a2 - c2 a1
= (-7) (2) - (-3) (3)
= -14 - (-9)
= -14 + 9
= -5
ধ্রুবকের হর:
a1 b2 - a2 b1
= (3) (1) - (2) (-1)
= 3 - (-2)
= 3 + 2
= 5
বসাই:
x 10 = y -5 = 1 5
তাই:
x = 10 5 = 2
y = -5 5 = -1
সমাধান:
x = 2, y = -1
চেক:
(1) 3(2) - (-1) - 7 = 6 + 1 - 7 = 0 ✅
(2) 2(2) + (-1) - 3 = 4 - 1 - 3 = 0 ✅
১৩. ax + by = a2 + b2
2bx - ay = ab
13.
আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান করতে গেলে প্রথমে সমীকরণ দুটি a1x + b1y + c1 = 0 আকারে লিখতে হবে।
প্রদত্ত:
ax + by = a2 + b2
⇒ ax + by - (a2 + b2) = 0 ..... (1)
এবং,
2bx - ay = ab
⇒ 2bx - ay - ab = 0 ..... (2)
a1, b1, c1 ও a2, b2, c2 নির্ণয়:
a1 = a, b1 = b, c1 = -(a2 + b2)
a2 = 2b, b2 = -a, c2 = -ab
আড়গুণন সূত্র:
x b1 c2 - b2 c1 = y c1 a2 - c2 a1 = 1 a1 b2 - a2 b1
x -এর হর (Denominator of x):
b1 c2 - b2 c1
= b × (-ab) - (-a) × [-(a2 + b2)]
= -ab2 - [ (-a) × (-(a2 + b2)) ]
= -ab2 - [a(a2 + b2)]
= -ab2 - a(a2 + b2)
= -ab2 - a3 - a b2
= -a3 - 2a b2
= -a (a2 + 2b2)
y -এর হর:
c1 a2 - c2 a1
= [-(a2 + b2)] × (2b) - (-ab) × a
= -2b(a2 + b2) + a2 b
= -2a2 b - 2b3 + a2 b
= -a2 b - 2b3
= -b(a2 + 2b2)
ধ্রুবকের হর:
a1 b2 - a2 b1
= a × (-a) - (2b) × b
= -a2 - 2b2
= -(a2 + 2b2)
সূত্রে বসাই:
x -a(a2 + 2b2) = y -b(a2 + 2b2) = 1 -(a2 + 2b2)
যেহেতু a2 + 2b2 ≠ 0 (অন্যথায় বিশেষ ক্ষেত্রে যাচাই করতে হবে),
তিনটি হর থেকে -(a2 + 2b2) বাদ দিলে পাই:
x a = y b = 1
সুতরাং:
x = a, y = b
x = a, y = b
পরীক্ষণ:
a · a + b · b = a2 + b2 ✅
2b · a - a · b = 2ab - ab = ab ✅
১৪. y(3 + x) = x(6 + y)
3(3 + x) = 5(y - 1)
14.
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে প্রথমে সরলীকরণ করে a1x + b1y + c1 = 0 আকারে লিখি।
প্রথম সমীকরণ সরলীকরণ:
y(3 + x) = x(6 + y)
⇒ 3y + xy = 6x + xy
⇒ 3y = 6x [উভয় পাশ থেকে xy বাদ দিলে:]
⇒ 6x - 3y = 0
⇒ 2x - y = 0
⇒ 2x - y + 0 = 0 ..... (1)
দ্বিতীয় সমীকরণ সরলীকরণ:
3(3 + x) = 5(y - 1)
⇒ 9 + 3x = 5y - 5
⇒ 3x - 5y + 9 + 5 = 0
⇒ 3x - 5y + 14 = 0 ..... (2)
চলক নির্ধারণ (a1x + b1y + c1 = 0):
(1) 2x - y + 0 = 0
a1 = 2, b1 = -1, c1 = 0
(2) 3x - 5y + 14 = 0
a2 = 3, b2 = -5, c2 = 14
আড়গুণন সূত্র:
x b1 c2 - b2 c1 = y c1 a2 - c2 a1 = 1 a1 b2 - a2 b1
x-এর হর:
b1 c2 - b2 c1
= (-1) (14) - (-5) (0)
= -14 - 0
= -14
y-এর হর:
c1 a2 - c2 a1
= (0) (3) - (14) (2)
= 0 - 28
= -28
ধ্রুবকের হর:
a1 b2 - a2 b1
= (2) (-5) - (3) (-1)
= -10 - (-3)
= -10 + 3
= -7
বসাই:
x -14 = y -28 = 1 -7
তাই:
x = -14 -7 = 2
y = -28 -7 = 4
সমাধান:
x = 2, y = 4
চেক:
১ম সমীকরণ: y(3 + x) = 4(3+2) = 4x5 = 20
x(6 + y) = 2(6+4) = 2x10 = 20 ✅
২য় সমীকরণ: 3(3 + x) = 3(5) = 15
5(y - 1) = 5(4 - 1) = 5x3 = 15 ✅
১৫. (x + 2)(y - 3) = y(x - 1)
5x - 11y - 8 = 0
15.
প্রথমে সমীকরণদ্বয়কে a1x + b1y + c1 = 0 আকারে সরলীকরণ করি।
প্রথম সমীকরণ সরলীকরণ:
(x + 2) (y - 3) = y(x - 1)
⇒ xy - 3x + 2y - 6 = yx - y [বাম পাশে গুণ করে পাই]
⇒ -3x + 2y - 6 = -y [xy উভয় পাশে আছে, বাদ দিলে]
⇒ -3x + 2y - 6 + y = 0
⇒ -3x + 3y - 6 = 0
⇒ -3x + 3y - 6 = 0
⇒ -x + y - 2 = 0 (উভয় পাশে 3 ভাগ করে)
⇒ x - y + 2 = 0 (উভয় পাশে -1 গুণ করে) ..... (1)
দ্বিতীয় সমীকরণ:
5x - 11y - 8 = 0 ..... (2)
ইতিমধ্যে a2x + b2y + c2 = 0 আকারে আছে।
চলক নির্ধারণ:
(1) x - y + 2 = 0
a1 = 1, b1 = -1, c1 = 2
(2) 5x - 11y - 8 = 0
a2 = 5, b2 = -11, c2 = -8
আড়গুণন সূত্র:
x b1 c2 - b2 c1 = y c1 a2 - c2 a1 = 1 a1 b2 - a2 b1
x-এর হর:
b1 c2 - b2 c1
= (-1) (-8) - (-11) (2)
= 8 - (-22)
= 8 + 22
= 30
y-এর হর:
c1 a2 - c2 a1
= (2) (5) - (-8) (1)
= 10 - (-8)
= 10 + 8
= 18
ধ্রুবকের হর:
a1 b2 - a2 b1
= (1) (-11) - (5) (-1)
= -11 - (-5)
= -11 + 5
= -6
বসাই:
x 30 = y 18 = 1 -6
তাই:
x = 30 -6 = -5
y = 18 -6 = -3
সমাধান:
x = -5,
y = -3
চেক:
১ম সমীকরণ: (x+2) (y-3) = (-5+2) (-3-3) = (-3) (-6) = 18
y(x-1) = -3(-5-1) = -3(-6) = 18 ✅
২য় সমীকরণ: 5(-5) - 11(-3) - 8 = -25 + 33 - 8 = 0 ✅
