লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করো:
১. 3x + 4y = 14
4x - 3y = 2
1.
আমরা লেখচিত্রের সাহায্যে সমীকরণ দুইটি সমাধান করব।
১ম সমীকরণ:
3x + 4y = 14
⇒ 4y = 14 - 3x
⇒ y = 14 - 3x 4
কিছু বিন্দু নির্ণয় করি:
| x | y = 14 - 3x 4 |
| 0 | 14 4 = 3.5 |
| 2 | 14 - 6 4 = 8 4 = 2 |
| 4 | 14 - 12 4 = 2 4 = 0.5 |
| 6 | 14 - 18 4 = -4 4 = -1 |
২য় সমীকরণ:
4x - 3y = 2
⇒ -3y = 2 - 4x
⇒ 3y = 4x - 2
⇒ y = 4x - 2 3
কিছু বিন্দু:
| x | y = 4x - 2 3 |
| 0 | -2 3 ≈ -0.67 |
| 2 | 8 - 2 3 = 6 3 = 2 |
| 3 | 12 - 2 3 = 10 3 ≈ 3.33 |
| 5 | 20 - 2 3 = 18 3 = 6 |
লেখচিত্র সংখ্যাগুলো :
প্রথম সমীকরণের বিন্দুগুলো:
(0, 3.5), (2, 2), (4, 0.5), (6, -1)
দ্বিতীয় সমীকরণের বিন্দুগুলো:
(0, -0.67), (2, 2), (3, 3.33), (5, 6)
উভয় সমীকরণের লেখচিত্র আঁকলে দেখবো তারা (2, 2) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
সমাধান
x = 2,
y = 2
যাচাই
১ম: 3(2) + 4(2) = 6 + 8 = 14 ✓
২য়: 4(2) - 3(2) = 8 - 6 = 2 ✓
উত্তর:
(2, 2)
২. 2x - y = 1
5x + y = 13
2.
আমরা লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করবো।
১ম সমীকরণ:
2x - y = 1
⇒ -y = 1 - 2x
⇒ y = 2x - 1
কিছু বিন্দু নির্ণয় করি:
| x | y = 2x - 1 |
| 0 | -1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 5 |
২য় সমীকরণ:
5x + y = 13
⇒ y = 13 - 5x
কিছু বিন্দু:
| x | y = 13 - 5x |
| 0 | 13 |
| 1 | 8 |
| 2 | 3 |
| 3 | -2 |
লেখচিত্র
প্রথম সমীকরণের বিন্দু: (0, -1), (1, 1), (2, 3), (3, 5)
দ্বিতীয় সমীকরণের বিন্দু: (0, 13), (1, 8), (2, 3), (3, -2)
উভয় রেখা (2, 3) বিন্দুতে ছেদ করে।
সমাধান
x = 2, y = 3
যাচাই
১ম: 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 ✓
২য়: 5(2) + 3 = 10 + 3 = 13 ✓
উত্তর:
(2,3)
৩. 2x + 5y = 1
x + 3y = 2
3.
আমরা লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করব।
১ম সমীকরণ:
2x + 5y = 1
⇒ 5y = 1 - 2x
⇒ y = 1 - 2x 5
কিছু বিন্দু নির্ণয় করি:
| x | y = 1 - 2x 5 |
| -2 | 1 + 4 5 = 1 |
| 0 | 0.2 |
| 3 | 1 - 6 5 = -1 |
| 5 | 1 - 10 5 = -1.8 |
২য় সমীকরণ:
x + 3y = 2
⇒ 3y = 2 - x
⇒ y = 2 - x 3
কিছু বিন্দু:
| x | y = 2 - x 3 |
| -1 | 2 + 1 3 = 1 |
| 2 | 0 3 = 0 |
| 5 | 2 - 5 3 = -1 |
| 8 | 2 - 8 3 = -2 |
লেখচিত্র
প্রথম সমীকরণের বিন্দু: (-2, 1), (0, 0.2), (3, -1), (5, -1.8)
দ্বিতীয় সমীকরণের বিন্দু: (-1, 1), (2, 0), (5, -1), (8, -2)
ছেদ বিন্দু খুঁজি:
দুটি সমীকরণে y সমান করি:
1 - 2x 5 = 2 - x 3
⇒ 3(1 - 2x) = 5(2 - x)
⇒ 3 - 6x = 10 - 5x
⇒ -6x + 5x = 10 - 3
⇒ -x = 7
⇒ x = -7
তারপর y = 2 - (-7) 3 = 9 3 = 3
ছেদ বিন্দু: (-7, 3)
লেখচিত্র দেখলে বোঝা যাবে, উভয় সমীকরণের রেখা (-7, 3) বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
যাচাই
১ম: 2(-7) + 5(3) = -14 + 15 = 1 ✓
২য়: -7 + 3(3) = -7 + 9 = 2 ✓
উত্তর:
(-7,3)
8. 3x - 2y = 2
5x - 3y = 5
4.
আমরা লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করব।
১ম সমীকরণ:
3x - 2y = 2
⇒ -2y = 2 - 3x
⇒ 2y = 3x - 2
⇒ y = 3x - 2 2
কিছু বিন্দু:
| x | 0 | 2 | 4 | -2 |
|---|---|---|---|---|
| y = 3x - 2 2 | -2 2 = -1 | 6 - 2 2 = 2 | 12 - 2 2 = 5 | -6 - 2 2 = -4 |
২য় সমীকরণ:
5x - 3y = 5
⇒ -3y = 5 - 5x
⇒ 3y = 5x - 5
⇒ y = 5x - 5 3
কিছু বিন্দু:
| x | 1 | 4 | -2 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| y = 5x - 5 3 | 5 - 5 3 = 0 | 20 - 5 3 = 5 | -10 - 5 3 = -5 | 35 - 5 3 = 10 |
লেখচিত্র ও ছেদ বিন্দু
উভয় সমীকরণে y -এর সমীকরণ করে দেখি ছেদ বিন্দু:
3x - 2 2 = 5x - 5 3
⇒ 3(3x - 2) = 2(5x - 5)
⇒ 9x - 6 = 10x - 10
⇒ -6 + 10 = 10x - 9x
⇒ 4 = x
y = 3(4) - 2 2
= 12 - 2 2
= 10 2
= 5
ছেদ বিন্দু: (4, 5)
যাচাই
১ম: 3(4) - 2(5) = 12 - 10 = 2 ✓
২য়: 5(4) - 3(5) = 20 - 15 = 5 ✓
উত্তর:
(4,5)
৫. x 2 + y 3 = 2
2x + 3y = 13
5.
সমীকরণ দুটি হলো:
1. x 2 + y 3 = 2
2. 2x + 3y = 13
লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করব।
১ম সমীকরণ:
x 2 + y 3 = 2
⇒ 3x + 2y = 12 [6 দিয়ে গুণ করে ভগ্নাংশ মুক্ত করি]
⇒ 2y = 12 - 3x
⇒ y = 12 - 3x 2
কিছু বিন্দু:
| x | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| y = 12 - 3x 2 | 6 | 12 - 6 2 = 3 | 12 - 12 2 = 0 | 12 - 18 2 = -3 |
২য় সমীকরণ:
2x + 3y = 13
⇒ 3y = 13 - 2x
⇒ y = 13 - 2x 3
কিছু বিন্দু:
| x | 2 | 5 | 8 | -1 |
|---|---|---|---|---|
| y = 13 - 2x 3 | 13 - 4 3 = 3 | 13 - 10 3 = 1 | 13 - 16 3 = -1 | 13 + 2 3 = 5 |
লেখচিত্র ও ছেদ বিন্দু
উভয় সমীকরণে y -এর মান সমান করে ছেদ বিন্দু নির্ণয়:
12 - 3x 2 = 13 - 2x 3
⇒ 3(12 - 3x) = 2(13 - 2x)
⇒ 36 - 9x = 26 - 4x
⇒ 36 - 26 = 9x - 4x
⇒ 10 = 5x
⇒ x = 2
y = 12 - 3(2) 2
= 12 - 6 2
= 3
ছেদ বিন্দু: (2, 3)
যাচাই
১ম সমীকরণ: 2 2 + 3 3 = 1 + 1 = 2 ✓
২য় সমীকরণ: 2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13 ✓
উত্তর:
(2,3)
৬. 3x + y = 6
5x + 3y = 12
6.
আমরা লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করব।
১ম সমীকরণ:
3x + y = 6
⇒ y = 6 - 3x
কিছু বিন্দু:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| y = 6 - 3x | 6 | 3 | 0 | -3 |
২য় সমীকরণ:
5x + 3y = 12
⇒ 3y = 12 - 5x
⇒ y = 12 - 5x 3
কিছু বিন্দু:
| x | 0 | 3 | 6 | 1.5 |
|---|---|---|---|---|
| y = 12 - 5x 3 | 4 | 12 - 15 3 = -1 | 12 - 30 3 = -6 | 12 - 7.5 3 = 4.5 3 = 1.5 |
লেখচিত্র ও ছেদ বিন্দু
উভয় সমীকরণ সমান করে ছেদ বিন্দু নির্ণয়:
6 - 3x = 12 - 5x 3
⇒ 3(6 - 3x) = 12 - 5x
⇒ 18 - 9x = 12 - 5x
⇒ 18 - 12 = 9x - 5x
⇒ 6 = 4x
⇒ x = 1.5
y = 6 - 3(1.5)
= 6 - 4.5
= 1.5
ছেদ বিন্দু: (1.5, 1.5)
যাচাই
১ম: 3(1.5) + 1.5 = 4.5 + 1.5 = 6 ✓
২য়: 5(1.5) + 3(1.5) = 7.5 + 4.5 = 12 ✓
উত্তর:
(1.5, 1.5)
৭. 3x + 2y = 4
3x - 4y = 1
7.
আমরা লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করব।
১ম সমীকরণ:
3x + 2y = 4
⇒ 2y = 4 - 3x
⇒ y = 4 - 3x 2
কিছু বিন্দু:
| x | 0 | 2 | -2 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y = 4 - 3x 2 | 2 | 4 - 6 2 = -1 | 4 + 6 2 = 5 | 4 - 12 2 = -4 |
২য় সমীকরণ:
3x - 4y = 1
⇒ -4y = 1 - 3x
⇒ 4y = 3x - 1
⇒ y = 3x - 1 4
কিছু বিন্দু:
| x | 0 | 1 | 3 | -1 |
|---|---|---|---|---|
| y = 3x - 1 4 | -0.25 | 3 - 1 4 = 0.5 | 9 - 1 4 = 2 | -3 - 1 4 = -1 |
লেখচিত্র ও ছেদ বিন্দু
উভয় সমীকরণে y -এর মান সমান করে x বের করি:
4 - 3x 2 = 3x - 1 4
⇒ 4(4 - 3x) = 2(3x - 1)
⇒ 16 - 12x = 6x - 2
⇒ 16 + 2 = 6x + 12x
⇒ 18 = 18x
⇒ x = 1
y = 4 - 3(1) 2
= 4 - 3 2
= 1 2
= 0.5
ছেদ বিন্দু: (1, 0.5)
যাচাই
১ম: 3(1) + 2(0.5) = 3 + 1 = 4 ✓
২য়: 3(1) - 4(0.5) = 3 - 2 = 1 ✓
উত্তর:
(1, 0.5)
৮. x 2 + y 3 = 3
x + y 6 = 3
8.
প্রথম সমীকরণটি ` x 2 + y 3 = 3` এবং দ্বিতীয়টি `x + y 6 = 3` বোঝানো হয়েছে।
সুতরাং সমীকরণ দুটি হলো:
1. x 2 + y 3 = 3
2. x + y 6 = 3
আমরা লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করব।
১ম সমীকরণ:
x 2 + y 3 = 3
⇒ 3x + 2y = 18 [6 দিয়ে গুণ করে ভগ্নাংশ মুক্ত করি]
⇒ 2y = 18 - 3x
⇒ y = 18 - 3x 2
কিছু বিন্দু:
| x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = 18 - 3x 2 | 9 | 18 - 6 2 = 6 | 18 - 12 2 = 3 | 18 - 18 2 = 0 | 18 - 24 2 = -3 |
২য় সমীকরণ:
x + y 6 = 3
⇒ 6x + y = 18 [6 দিয়ে গুণ]
⇒ y = 18 - 6x
কিছু বিন্দু:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = 18 - 6x | 18 | 12 | 6 | 0 | -6 |
লেখচিত্র ও ছেদ বিন্দু
উভয় সমীকরণে y -এর মান সমান করে x বের করি:
18 - 3x 2 = 18 - 6x
⇒ 18 - 3x = 36 - 12x
⇒ -3x + 12x = 36 - 18
⇒ 9x = 18
⇒ x = 2
y = 18 - 6(2) = 18 - 12 = 6
ছেদ বিন্দু: (2, 6)
যাচাই
১ম: 2 2 + 6 3 = 1 + 2 = 3 ✓
২য়: 2 + 6 6 = 2 + 1 = 3 ✓
উত্তর:
(2,6)
৯. 3x + 2 = x - 2
9.
এটি একটি সরলরৈখিক সমীকরণ (এক চলক x-এ)। তবে এখানে দুইটি চলক x ও y থাকলেই লেখচিত্রে দুটি রেখার ছেদ বিন্দু বোঝানো হয়।
সমীকরণটি এক চলকবিশিষ্ট:
3x + 2 = x - 2
তবুও, আমরা একে y-এর সাহায্যে লেখচিত্র আকারে দেখাতে পারি।
ধরি:
y = 3x + 2 (১ম সরলরেখা)
y = x - 2 (২য় সরলরেখা)
লেখচিত্রে এদের ছেদ বিন্দুই হবে সমীকরণটির সমাধান।
১ম রেখা: y = 3x + 2
কিছু বিন্দু:
| x | 0 | 1 | -1 |
|---|---|---|---|
| y = 3x + 2 | 2 | 5 | -1 |
২য় রেখা: y = x - 2
কিছু বিন্দু:
| x | 0 | 2 | -2 |
|---|---|---|---|
| y = x - 2 | -2 | 0 | -4 |
ছেদ বিন্দু নির্ণয়
সমীকরণ:
3x + 2 = x - 2
⇒ 3x - x = -2 - 2
⇒ 2x = -4
⇒ x = -2
y = (-2) - 2 = -4
ছেদ বিন্দু: (-2, -4)
যাচাই
3(-2) + 2 = -6 + 2 = -4
-2 - 2 = -4 ✓
উত্তর:
x = -2
লেখচিত্রে সমাধান বলতে বুঝানো হয়েছে দুইটি সরলরেখা y = 3x + 2 ও y = x - 2 এর ছেদ বিন্দু ( -2, -4) থেকে x = -2 পাওয়া।
১০. 3x - 7 = 3 - 2x
10.
এটি একটি সরলরৈখিক সমীকরণ (এক চলক x)-এ। কিন্তু আপনি সম্ভবত “লেখচিত্রের সাহায্যে” বলেছেন, তবে এখানে দুইটি চলক x ও y থাকলেই লেখচিত্রে দুটি রেখার ছেদ বিন্দু বোঝানো হয়।
সমীকরণটি এক চলকবিশিষ্ট:
3x - 7 = 3 - 2x
তবুও, আমরা একে y-এর সাহায্যে লেখচিত্র আকারে দেখাতে পারি। ধরি:
y = 3x - 7 (১ম সরলরেখা)
y = 3 - 2x (২য় সরলরেখা)
লেখচিত্রে এদের ছেদ বিন্দুই হবে সমীকরণটির সমাধান।
১ম রেখা: y = 3x - 7
কিছু বিন্দু:
| x | 0 | 2 | 3 | -1 |
|---|---|---|---|---|
| y = 3x - 7 | -7 | -1 | 2 | -10 |
২য় রেখা: y = 3 - 2x
কিছু বিন্দু:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| y = 3 - 2x | 3 | 1 | -1 | -3 |
ছেদ বিন্দু নির্ণয়
সমীকরণ:
3x - 7 = 3 - 2x
⇒ 3x + 2x = 3 + 7
⇒ 5x = 10
⇒ x = 2
y = 3(2) - 7
= 6 - 7
= -1
ছেদ বিন্দু: (2, -1)
যাচাই
3(2) - 7 = 6 - 7 = -1
3 - 2(2) = 3 - 4 = -1 ✓
উত্তর:
x = 2
লেখচিত্রে সমাধান বলতে বুঝানো হয়েছে দুইটি সরলরেখা y = 3x - 7 ও y = 3 - 2x এর ছেদ বিন্দু (2, -1) থেকে x = 2 পাওয়া।
