সূচক ও লগারিদম - Exponents and Logarithms (অনুশীলনী ৪.১)

• 📚 Topics
• 📝 MCQ Test
• ✅ Exercise Solution

সরল করো (১ - ৮):

১.  7³ × 7^-3  3 × 3^-4 

1.

  7³ x 7^-3    3 x 3^-4  

=    7^{3 + (-3)}     3^{1 + (-4)}       [ লব ও হরে সূচক যোগ: 7³ · 7^-3 = 7⁰ এবং 3¹ · 3^-4 =  3^-3]

=    7⁰    3^-3     [যেহেতু, 7⁰ = 1 ]

= 1 ÷ 3^-3     [যেহেতু,    1   a^-m   = a^m ]
= 3³

= 27

উত্তর:

27

২.  $\sqrt[3]{7^2}$ . ³√ 7        √ 7  

2.

  $\sqrt[3]{7^2}$ · ³√ 7           √ 7    

=  $7^{\frac{2}{3}}$ x $7^{\frac{1}{3}}$     $7^{\frac{1}{2}}$

=  $7^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}$     $7^{\frac{1}{2}}$

=    7¹   $7^{\frac{1}{2}}$

= $7^{1-\frac{1}{2}}$

= $7^{\frac{1}{2}}$

= √7 

উত্তর:

√7  

৩. (2^-1 + 5^-1)^-1

3.

 (2^-1 + 5^-1)^-1

= (   1   2   +   1   5   )^-1      [এখানে, 2^-1 =   1   2  , 5^-1 =   1   5   ]

= (    5   10   +    2   10   )^-1    [ সাধারণ হর ১০ এ নিয়ে যোগ করি ]

= (    7   10   )^-1

=   10    7       [যেহেতু, (  A   B  )^-1 =   b   a   ]


উত্তর:

  10    7  

8. (2a^-1 + 3b^-1)^-1

4.

(2a^-1 + 3b^-1)^-1

= (   2   a   +   3   b   )^-1       [যেহেতু, a^-1 =   1   a  ; b^-1 =   1   b   ]

= (   2b   ab   +   3a   ab   )^-1     [ সাধারণ হর ab ]

= (   2b + 3a       ab   )^-1      [ ভগ্নাংশের যোগফল ]

=       ab   2b + 3a          [যেহেতু, (   P  Q   )^-1 =   q   p   ]



উত্তর:

     ab  2b + 3a  

৫. ( a²b^-1  a^-2b )²

5.
(  a² b^-1    a^-2 b  )²


= (a^2-(-2) · b^-1-1)²   [ সূচকের ভাগের নিয়ম:   x^m   xⁿ   = x^m-n ]

= (a⁴ b^-2 )²

= a^{4 x 2} · b^{-2 x 2}      [ সূচকের ঘাতের নিয়ম: (x^m yⁿ)^p = x^mp y^np ]

= a⁸ b^-4

=   a⁸   b⁴       [ এখানে, b^-4 =    1   b⁴   ]



উত্তর:

  a⁸   b⁴  

৬.$\sqrt{x^{-1}y}·\sqrt{y^{-1}z}·\sqrt{z^{-1}x}$

(X > 0, y > 0, z > 0)

6. 

$\sqrt{{}^{}}$
x-1y·y-1z·z-1x, (x > 0, y > 0, z > 0)

= (x^-1 y${\mathrm{)}}^{\frac{1}{2}}$ · (y^-1 z${\mathrm{)}}^{\frac{1}{2}}$ · (z^-1 x${\mathrm{)}}^{\frac{1}{2}}$      [যেহেতু,   √ A   = ${\mathrm{A}}^{\frac{1}{2}}$ ]

= (x^-1 y · y^-1 z · z^-1 x${\mathrm{)}}^{\frac{1}{2}}$     [ যেহেতু, ${\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}$ ${\mathrm{b}}^{\frac{1}{2}}$ ${\mathrm{c}}^{\frac{1}{2}}$ = (abc${\mathrm{)}}^{\frac{1}{2}}$ ]

= (x^-1 · x · y · y^-1 · z · z^-1${\mathrm{)}}^{\frac{1}{2}}$    [ গুণের ক্রম বিনিময় করে একই পদ পাশাপাশি আনা হলো ]

= (x⁰ · y⁰ · z⁰${\mathrm{)}}^{\frac{1}{2}}$      [ যেহেতু,  x^-1 · x = x⁰ = 1, y · y^-1 = y⁰ = 1, z · z^-1 = z⁰ = 1 ]

= (1${\mathrm{)}}^{\frac{1}{2}}$       [ যেহেতু, $1^{\frac{1}{2}}$ = 1]

= 1


উত্তর:

1

৭.  2ⁿ⁺⁴ - 4.2ⁿ⁺¹  2ⁿ⁺¹ ÷ 2 

7. 

প্রদত্ত:

 2ⁿ⁺⁴ - 4· 2ⁿ⁺¹     2ⁿ⁺¹ ÷ 2 

=   2ⁿ⁺⁴ - 4 · 2ⁿ⁺¹           2ⁿ⁺¹        2            [যেহেতু, 2ⁿ⁺¹ ÷ 2 =    2ⁿ⁺¹        2   ]

=  2ⁿ⁺⁴ - 4 · 2ⁿ⁺¹       2ⁿ⁺¹ · 2^-1         [যেহেতু,    1   2   = 2^-1 ]

= ( 2ⁿ⁺⁴ - 4 · 2ⁿ⁺¹ ) . (2^-(n+1) · 2¹ )      [যেহেতু,   A   B   = A · B^-1]

= ( 2ⁿ⁺⁴ - 4 · 2ⁿ⁺¹ ) · 2^-n-1+1         [যেহেতু, 2¹ = 2 ]

= ( 2ⁿ⁺⁴ - 4 · 2ⁿ⁺¹ ) · 2^-n  

= ( 2ⁿ⁺⁴ · 2^-n) - ( 4 · 2ⁿ⁺¹ · 2^-n)       [গুণের বণ্টন সূত্র: (A-B) · C = A · C - B · C ]

= 2^n+4+(-n) - ( 4 · 2^n+1+(-n) )       [সূচক যোগ: 2^a · 2^b · 2^c = 2^a+b+c ]

= 2^n+4-n - ( 4 · 2^n+1-n ) 

= ( 2⁴ ) - ( 4 · 2¹ )      

= 16 - (4 · 2)       [যেহেতু, 2⁴ = 16, 2¹ = 2 ]

= 8


উত্তর:

8

৮.   3^m+1  (3^m)^m-1  ÷     9^m+1  (3^m-1)^m+1 

8.
       3^m+1    (3m)^m-1   x   (3^m-1 )^m+1        9^m+1       [যেহেতু,    A   B   ÷   C   d   =   A   B   x   D   C   ]

=  3^m+1 · (3^m-1 )^m+1   (3m)^m-1 · 9^m+1  

=      3^m+1 · (3^m-1 )^m+1   (3^m-1 · m^m-1 ) · (3²)^m+1      [ যেহেতু,, (3m)^m-1 = 3^m-1 · m^m-1 , 9 = 3² ]

=      3^m+1 · 3^(m-1)(m+1)   (3^m-1 · m^m-1 ) · (3²)^m+1      

=      3^m+1 · 3^m2-1  3^m-1 · m^m-1 · 3^2m+2         [যেহেতু, (m-1)(m+1) = m² - 1, (3²)^m+1 = 3^2(m+1) = 3^2m+2 ]

=     3^{(m+1+m2-1 )}     3^m-1+2m+2 . m^m-1        [ লব ও হরে 3-এর সূচক আলাদা করে লিখি ]

=        3^m2+m    3^3m+1 . m^m-1        [ লবের সূচক: m+1 + m² - 1 = m² + m ]

=   3^{(m2+m)-(3m+1)}             m^m-1        [যেহেতু,    3^A  3^B   = 3^A-B ]

=   3^m2+m-3m-1         m^m-1  

=    3^{m2 -2m-1}         m^m-1  


উত্তর:
  3^m2-2m-1        m^m-1  

প্রমাণ করো (৯ - ১৫):

৯.  4ⁿ - 1  2ⁿ - 1  = 2ⁿ + 1

9.
প্রদত্ত:

  4ⁿ - 1   2ⁿ - 1   

=   (2²)ⁿ - 1     2ⁿ - 1      [যেহেতু, 4 = 2² ]

=  2²ⁿ - 1  2ⁿ - 1   [যেহেতু, (2²)ⁿ = 2²n ]

=   (2ⁿ)² - (1)²      2ⁿ - 1      [যেহেতু, 2²n = (2ⁿ)², 1 = 1² ]

=   (2ⁿ - 1)(2ⁿ + 1)          2ⁿ - 1      [যেহেতু, a² - b² = (a - b)(a + b), যেখানে a = 2ⁿ, b = 1 ]

= 2ⁿ + 1    [যেহেতু,    2ⁿ - 1   2ⁿ - 1   = 1, যদি 2ⁿ ≠ 1 ]

= 2ⁿ + 1


সুতরাং বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত) 

১০.  2^2p+1 .3^2p+q . 5^p+q . 6^p  3^p-2 . 6^2p+2 . 10^p . 15^q  =  1  2 

10.

প্রদত্ত:

 2^2p+1 · 3^2p+q · 5^p+q · 6^p   3^p-2 · 6^2p+2 · 10^p · 15^q  =   1   2  

=        2^2p+1 · 3^2p+q · 5^p+q · (2 · 3)^p  3^p-2 · (2 · 3)^2p+2 · (2 · 5)^p · (3 · 5)^q       [যেহেতু,  6 = 2 · 3; 10 = 2 · 5; 15 = 3 · 5 ]

=       2^2p+1 · 3^2p+q · 5^p+q · 2^p · 3^p  3^p-2 · 2^2p+2 · 3^2p+2 · 2^p · 5^p · 3^q · 5^q     

=     2^(2p+1)+p · 3^(2p+q)+p · 5^p+q   2^(2p+2)+p · 3^{(p-2)+(2p+2)+q} · 5^p+q  

=  2^3p+1 · 3^3p+q · 5^p+q   2^3p+2 · 3^3p+q · 5^p+q  

=   2^3p+1   2^3p+2       [ লব ও হরে 3^3p+q · 5^p+q সাধারণ ]

= 2^{(3p+1)-(3p+2)}   [   2^A   2^b   = 2^A-B ]

= 2^3p+1-3p-2

= 2^-1

=   1   2  



সুতরাং বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত) 

১১. ( a^l  a^m )ⁿ . ( a^m  aⁿ )^l . ( aⁿ  a^l )^m = 1

11.

প্রদত্ত:

(   a^l   a^m   )ⁿ · (   a^m   aⁿ   )^l · (   aⁿ   a^l   )^m = 1

= ( a^l-m )ⁿ · ( a^m-n )^l · ( a^n-l )^m    [যেহেতু,    a^p  a^q   = a^p-q ]

= a^n(l-m) · a^l(m-n) · a^m(n-l)     [যেহেতু, (a^p)^q = a^pq ]

= a^{n(l-m)+l(m-n)+m(n-l)}     [যেহেতু, a^a · a^b · a^c = a^a+b+c ]

= a^{nl-nm+lm-ln+mn-ml}

= a^{(nl-ln)+(-nm+mn)+(lm-ml)}    [ পদগুলো সাজানো হলো ]

= a⁰⁺⁰⁺⁰

= a⁰

= 1  [যেহেতু, a⁰ = 1 ]

= 1


সুতরাং বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

১২.  a^p+q    a^2r  ×  a^q+r    a^2p  ×  a^r+p    a^2q  = 1

12. 

প্রদত্ত:

  a^p+q    a^2r   x   a^q+r    a^2p   x   a^r+p    a^2q   = 1

= a^(p+q)-2r x a^(q+r)-2p x a^(r+p)-2q      [যেহেতু,    a^m  aⁿ   = a^m-n ]

= a^{(p+q-2r)+(q+r-2p)+(r+p-2q)}      [যেহেতু,  a^a · a^b · a^c = a^a+b+c ]

= a^{p+q-2r+q+r-2pr+p-2q}

= a^{(p-2p+p)+(q+q-2q)+(-2r+r+r)}    [ p, q, r আলাদা করে সাজানো হলো ]

= a^(0)+(0)+(0)   

= a⁰

= 1     [যেহেতু, a⁰ = 1 ]



সুতরাং বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

১৩. ( x^a  x^b )  ^1  ab  . ( x^b  x^c )  ^1  bc  . ( x^c  x^a )  ^1  ca  = 1

13. 

প্রদত্ত:

(   x^A   x^b   ${\mathrm{)}}^{\frac{1}{\mathrm{ab}}}$ · (   x^b   x^c   ${\mathrm{)}}^{\frac{1}{\mathrm{bc}}}$ · (   x^c   x^a   ${\mathrm{)}}^{\frac{1}{\mathrm{ca}}}$ = 1

= ( x^A-B ${\mathrm{)}}^{\frac{1}{\mathrm{ab}}}$ · ( x^b-c ${\mathrm{)}}^{\frac{1}{\mathrm{bc}}}$ · ( x^c-a ${\mathrm{)}}^{\frac{1}{\mathrm{ca}}}$     [যেহেতু,    x^A   x^b   = x^A-B ]

= ${\mathrm{x}}^{\frac{\mathrm{a-b}}{\mathrm{ab}}}$ . ${\mathrm{x}}^{\frac{\mathrm{b-c}}{\mathrm{bc}}}$ . ${\mathrm{x}}^{\frac{\mathrm{c-a}}{\mathrm{ca}}}$    [যেহেতু, (x^m)ⁿ = x^mn ]

= ${\mathrm{x}}^{\frac{\mathrm{a-b}}{\mathrm{ab}}+\frac{\mathrm{b-c}}{\mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{c-a}}{\mathrm{ca}}}$    [যেহেতু, x^a · x^b · x^c = x^A+B+C ]

= ${\mathrm{x}}^{\frac{\mathrm{c(a-b)+a(b-c)+b(c-a)}}{\mathrm{abc}}}$   [ সাধারণ হর abc]

= ${\mathrm{x}}^{\frac{\mathrm{ac-bc+ab-ac+bc-ab}}{\mathrm{abc}}}$    [যেহেতু,  c(a-b) = ac - bc, a(b-c) = ab - ac, b(c-a) = bc - ab ]

= ${\mathrm{x}}^{\frac{0}{\mathrm{abc}}}$ 

= x⁰

= 1



সুতরাং বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত) 

১8. ( x^a  x^b )^a+b . ( x^b  x^c )^b+c . ( x^c  x^a )^c+a = 1

14. 

প্রদত্ত:

(   x^A   x^b   )^a+b· (   x^b   x^c   )^b+c · (   x^c   x^a   )^c+a = 1

= ( x^A-B )^a+b· ( x^b-c )^b+c · ( x^c-a )^c+a    [যেহেতু,    x^A   x^b   = x^A-B ]

= x^((a-b)(a+b) · x^(b-c)(b+c) · x^(c-a)(c+a)    [যেহেতু, (x^m)ⁿ = x^mn ]

= x^{(a2-b2)+(b2-c2)+(c2-a2)}     [যেহেতু, (p-q)(p+q) = p² - q² ]

= x^{a2-b2+b2-c2+c2-a2}

= x⁰

= 1



সুতরাং বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

১৫. ( x^p  x^q )^p+q-r . ( x^q  x^r )^q+r-p . ( x^r  x^p )^r+p-q = 1

15.
প্রদত্ত:

 (   x^p  x^q   )^p+q-r · (   x^q  x^r   )^q+r-p · (   x^r  x^p   )^r+p-q = 1

= ( x^p-q )^p+q-r · ( x^q-r)^q+r-p · ( x^r-p )^r+p-q

= x^(p-q)(p+q-r) · x^(q-r)(q+r-p) · x^(r-p)(r+p-q)

= x^{(p-q)(p+q-r)+(q-r)(q+r-p)+(r-p)(r+p-q)}


প্রথম পদ: (p-q)(p+q-r)

= (p-q)(p+q) - (p-q)r

= (p² - q²) - rp + rq


দ্বিতীয় পদ: (q-r)(q+r-p)

= (q-r)(q+r) - (q-r)p

= (q² - r²) - pq + pr


তৃতীয় পদ: (r-p)(r+p-q)

= (r-p)(r+p) - (r-p)q

= (r² - p²) - qr + pq


অতএব,

= x^{(p2-q2-rp+rq)+(q2-r2-pq+pr)+(r2-p2-qr+pq)}

= x^{(p2-q2+q2-r2+r2-p2)+(-rp+rq-pq+pr-qr+pq)}     [পৃথক করে p², q², r² ও বাকি পদগুলো ]

= x^{((0)+(-rp+pr)+(rq-qr)+(-pq+pq))}

= x⁰

= 1



সুতরাং বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

১৬. যদি a^x = b, b^y = c এবং c^z = a হয়, তবে দেখাও যে xyz = 1

16


দেওয়া আছে,
a^x = b ..... (1)


b^y = c ..... (2)


c^z = a ..... (3)

এখানে a, b, c ধনাত্মক ধ্রুবক এবং a ≠ 1, b ≠ 1, c ≠ 1 ধরা হচ্ছে সাধারণভাবে।



(1) থেকে,

b = a^x


(2) এ b বসিয়ে,

(a^x)^y = c

⇒ a^xy = c ..... (4)



(3) দেওয়া আছে,

c^z = a


(4) থেকে c = a^xy বসিয়ে,

⇒ (a^xy)^z = a

⇒ a^xyz = a¹



যেহেতু a > 0 এবং a ≠ 1, সূচকের সমতা থেকে পাই:

xyz = 1




✅ প্রমাণিত: xyz = 1

সমাধান করো (১৭ - ২০):



১৭. 4^x = 8

17.
প্রদত্ত:

4^x = 8

⇒ (2²)^x = 2³

⇒ 2^2x = 2³

⇒ 2x = 3   [ উভয় পক্ষের ভিত্তি ২ সমান, তাই সূচক তুলনা করে পাই ]

⇒ x =   3   2  


উত্তর:
  3   2  

১৮. 2^2x+1 = 128

18.

প্রদত্ত:

  2^2x+1 = 128

⇒ 2^2x+1 = 2⁷    [128 = 2⁷ ]

⇒ 2x + 1 = 7    [ উভয় পক্ষের ভিত্তি ২ সমান, তাই সূচক তুলনা করে পাই ]

⇒ 2x = 6

⇒ x = 3


উত্তর:
3

১৯. (√ 3)^x+1 = (³√ 3 )^2x-1

19.
প্রদত্ত:

(√ 3)^x+1 = (³√ 3 )^2x-1

⇒ (3^x+1 ${\mathrm{)}}^{\frac{1}{2}}$ = (3^2x-1${\mathrm{)}}^{\frac{1}{2}}$      [যেহেতু,  √ A   = ${\mathrm{A}}^{\frac{1}{2}}$ ]

⇒ $3^{\frac{\mathrm{x+1}}{2}}$ = $3^{\frac{\mathrm{2x-1}}{2}}$


⇒   x + 1      2   =   2x - 1      2      [ উভয় পক্ষের ভিত্তি ৩ সমান, তাই সূচক তুলনা করে পাই ]

⇒ x + 1 = 2x - 1   [ উভয় পক্ষকে ২ দিয়ে গুণ করে পাই ]

⇒ 1 + 1 = 2x - x

⇒ 2 = x

⇒ x = 2


উত্তর:
2 

২০. 2^x + 2^1-x = 3

20.
প্রদত্ত:

2^x + 2^1-x = 3

⇒ 2^x +    2   2^x   = 3    [যেহেতু, 2^1-x = 2¹ · 2^-x =     2  2^x   ]


ধরি 2^x = t , যেখানে t > 0 ।

t +   2   t   = 3

⇒ t² + 2 = 3t  [ উভয় পক্ষকে t (t > 0) দিয়ে গুণ করে পাই ]

⇒ t² - 3t + 2 = 0

⇒ (t - 1)(t - 2) = 0    [ t² - 3t + 2 = (t-1)(t-2) ]


t = 1 অথবা t = 2


প্রথম ক্ষেত্রে: 
 t = 2^x = 1 হলে,

2^x = 2⁰ ⟹ x = 0


দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: 
 t = 2^x = 2 হলে, 

2^x = 2¹ ⟹ x = 1


দুটি সমাধান:

x = 0, x = 1


উত্তর:

0, 1

২১. P = x^a, Q = x^b এবং R = x^c

ক) ( P  Q )^a+b × ( Q  R )^b+c ÷ 2(RP)^a-c এর মান নির্ণয় করো।

খ) দেখাও যে, ( P  Q )^a2+ab+b2 × ( Q  R )^b2+bc+c2 × ( R  P )^c2+ca+a2

21. 
প্রথমে দেওয়া আছে:

P = x^a, 

Q = x^b, 

 R = x^c


ক)

(   P  Q   )^a+b x (   Q   R   )^b+c ÷ 2(RP)^a-c

= (  x^a   x^b   )^a+b . (   x^b   x^c   )^b+c ÷ 2(x^c · x^a)^a-c    [প্রদত্ত মান বসাই]

=   (x^a-b )^a+b . (x^b-c)^b+c ÷ 2(x^a+c)^a-c  

=   x^(a-b)(a+b) . x^(b-c)(b+c) ÷ 2.x^(a+c)(a-c)  

=  x^a2-b2 . x^b2-c2 ÷  2.x^a2-c2 

=  x^a2-b2+b2-c2 ÷  2.x^a2-c2  

=  x^a2-c2 ÷  2.x^a2-c2  

=      x^a2-c2    2 · x^a2-c2   
=     1   2   


উত্তর (ক):

  1   2  






খ)

দেখাতে হবে:

(   P  Q   )^a2+ab+b2 x (   Q   R   )^b2+bc+c2 x (   R   P   )^c2+ca+a2 = 1


দেওয়া আছে,
(   P  Q   )^a2+ab+b2 x (   Q   R   )^b2+bc+c2 x (   R   P   )^c2+ca+a2  

=  (  x^a   x^b  )^a2+ab+b2 . (  x^b   x^c  )^b2+bc+c2 . (  x^c   x^a  )^c2+ca+a2   [প্রদত্ত মান বসাই]

=  (x^a-b)^a2+ab+b2 . (x^b-c)^b2+bc+c2 . (x^c-a)^c2+ca+a2   

= x^{(a-b)(a2+ab+b2)} . x^{(b-c)(b2+bc+c2)} . x^{(c-a)(c2+ca+a2)}   

= x^{a3 - b3}.  x^{b3 - c3} .  x^{c3 - a3}   

= x^{a3 - b3 + b3 - c3 + c3 - a3}   

= x^a0

= x⁰ 

= 1



উত্তর (খ):

1

(প্রমাণিত) 

২২. X = (2a^-1 + 3b^-1)^-1,

Y = $qr\sqrt{\frac{x^q}{x^r}}\times rp\sqrt{\frac{x^r}{x^p}}\times rp\sqrt{\frac{x^r}{x^p}}$

Z =      25^m+1  (5^m-1)m+1   ÷      5^m+1  (5^m)^m-1  + (5²)^x , p, q, r > 0

(ক) X-এর সরলমান নির্ণয় করো।

(খ) দেখাও যে, Y = 1.

(গ) Z = 30 হলে, x - এর মান নির্ণয় করো।

22.

(ক) X -এর সরলমান নির্ণয়

X = (2a^-1 + 3b^-1)^-1

    = (   2   a   +   3   b   )^-1      [যেহেতু, a^-1 =   1  a  , b^-1 =   1  b   ]

    = (   2b + 3a       ab   )^-1       [ সাধারণ হর ab ]

    =       ab   2b + 3a         [যেহেতু, (   P  Q   )^-1 =   q   p   ]

X =       ab   2b + 3a  






(খ) দেখাও,  Y = 1 
দেওয়া আছে,  

Y = $qr\sqrt{\frac{x^q}{x^r}}\times rp\sqrt{\frac{x^r}{x^p}}\times rp\sqrt{\frac{x^r}{x^p}}$

Y = (   x^p   x^q   )^-pq x (   x^q   x^r   )^-qr x (   x^r   x^p   )^-rp


    =  (x^p-q)^-pq x (x^q-r)^-qr x (x^r-p)^-rp

    = x^-pq(p-q)  . x^-qr(q-r) .   x^-rp(r-p)    

    = x^-p2q+pq2   . x^-q2r+qr2  . x^-r2p+rp2  

    = x^{-p2q + rp2 + pq2 - q2r + qr2 - r2p}  [সাজিয়ে লেখা হলো]

    = x^{p2(q - r) + q2(p - r) + r2(q - p)}  


সূচক টিতে, p, q, r চক্রীয় সমীকরণ সিদ্ধ করে, তাই p, q, r যে কোনো সংখ্যার জন্য, চক্রীয় সমতায়  p²(q - r) + q²(p - r) + r²(q - p) = 0

তাই Y = x⁰ = 1


Y = 1







(গ) Z = 30 হলে x -এর মান

Z =          25^m+1       (5^m-1 )^m+1   ÷       5^m+1      (5^m)^m-1   + (5²)^x



প্রথম ভগ্নাংশ:

লব-   
25^m+1 = (5²)^m+1 = 5^2m+2


হর-
(5^m-1 )^m+1 = 5^(m-1)(m+1) = 5^m2-1


     25^m+1   (5^m-1 )^m+1   = 5^{(2m+2)-(m2-1))} = 5^-m2+2m+3



দ্বিতীয় ভগ্নাংশ:

লব-(5^m)^m-1 = 5^m(m-1) = 5^m2-m


হর-
    5^m+1    (5^m)^m-1   = 5^(m+1)-(m2-m) = 5^-m2+2m+1


প্রথম ও দ্বিতীয় ভগ্নাংশের ভাগফল:

  5^-m2+2m+3    5^-m2+2m+1   = 5² = 25



অতএব:
Z = 25 + (5²)^x    

Z = 25 + 25^x      [যেহেতু, (5²)^x = 25^x ]



দেওয়া আছে,
  Z = 30 

⇒ 25 + 25^x = 30

⇒ 25^x = 5

⇒ (5²)^x = 5¹

⇒ 5^2x = 5¹

⇒ 2x = 1

⇒ x =   1   2  

⇒ x =   1   2  






সারসংক্ষেপ উত্তর:

(ক)      ab  2b+3a  


(খ) Y = 1


(গ) x =  1  2