১. 13 + 20 + 27 + 34 +….+111 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?
ক) 10
খ) 13
গ) 15
ঘ) 20
1.
এখানে ধারাটি:
13, 20, 27, 34, ..., 111
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ a = 13 ,
সাধারণ অন্তর d = 20 - 13 = 7 ,
শেষ পদ Tn = 111
সমান্তর ধারার n -তম পদের সূত্র:
Tn = a + (n - 1)d
⇒ 111 = 13 + (n - 1) × 7
⇒ 111 - 13 = (n - 1) × 7
⇒ 98 = (n - 1) × 7
⇒ n - 1 = 98 7 = 14
⇒ n - 1 = 14
⇒ n = 15
সুতরাং ধারাটির পদসংখ্যা ১৫।
উত্তর: গ) 15 ✅
২. 5 + 8 + 11 + 14 +….+62 ধারাটি
(i) একটি সসীম ধারা
(ii) একটি গুণোত্তর ধারা
(iii) এর 19 তম পদ 59
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও ii
2.
ধারাটি: 5 + 8 + 11 + 14 + ... + 62
পদগুলো পরপর 3 করে বাড়ছে → এটি সমান্তর ধারা (Arithmetic progression), গুণোত্তর ধারা নয়।
(i) বলা হয়েছে "এটি একটি সসীম ধারা" → সত্য, কারণ শেষ পদ 62 উল্লেখ আছে।
(ii) "এটি একটি গুণোত্তর ধারা" → মিথ্যা, কারণ গুণোত্তর ধারায় প্রতিটি পদকে একটি নির্দিষ্ট অনুপাতে গুণ করে পরবর্তী পদ পাওয়া যায়, এখানে যোগ হচ্ছে।
(iii) "এর 19তম পদ 59" — পরীক্ষা করি:
প্রথম পদ a = 5 ,
সাধারণ অন্তর d = 3
n = 19 →
T19 = a + (19 - 1)d
= 5 + 18 × 3
= 5 + 54
= 59 → সত্য।
সঠিক বিবৃতি: (i) ও (iii)
অতএব সঠিক উত্তর: খ) i ও iii ✅
নিচের তথ্যের ভিত্তিতে ৩ - ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
7 + 13 + 19 + 25 +… একটি ধারা।
৩. ধারাটির 15 তম পদ কোনটি?
ক) 85
খ) 91
গ) 97
ঘ) 104
3.
ধারাটি: 7 + 13 + 19 + 25 + ...
প্রথম পদ a = 7 ,
সাধারণ অন্তর d = 13 - 7
= 6
n -তম পদের সূত্র:
Tn = a + (n - 1)d
T15 = 7 + (15 - 1) × 6
= 7 + 14 × 6
= 7 + 84
= 91
সঠিক উত্তর: খ) 91 ✅
৪. ধারাটির প্রথম 20টি পদের সমষ্টি কত?
ক) 141
খ) 1210
গ) 1280
ঘ) 2560
4.
ধারাটি:
7 + 13 + 19 + 25 + ...
প্রথম পদ a = 7 ,
সাধারণ অন্তর d = 6 ,
n = 20
সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টির সূত্র:
Sn = n 2 [ 2a + (n - 1)d ]
⇒ S20 = 20 2 [ 2 × 7 + (20 - 1) × 6 ]
⇒ S20 = 10 [14 + 19 × 6]
⇒ S20 = 10 [14 + 114]
⇒ S20 = 10 × 128
⇒ S20 = 1280
সঠিক উত্তর: গ) 1280 ✅
৫. 2 - 5 - 12 - 19 - … ধারাটির সাধারণ অন্তর এবং 12 তম পদ নির্ণয় করো।
5.
ধারাটি: 2 - 5 - 12 - 19 - ...
সাধারণ অন্তর নির্ণয়
প্রথম পদ a1 = 2
দ্বিতীয় পদ a2 = -5
সাধারণ অন্তর d = a2 - a1
= (-5) - 2 = -7
যাচাই:
a3 = -5 + (-7) = -12 ✔
a4 = -12 + (-7) = -19 ✔
সুতরাং,
সাধারণ অন্তর d = -7
12 তম পদ নির্ণয়
n -তম পদের সূত্র:
an = a1 + (n - 1)d
⇒ a12 = 2 + (12 - 1) × (-7)
⇒ a12 = 2 + 11 × (-7)
⇒ a12 = 2 - 77
⇒ a12 = -75
উত্তর:
সাধারণ অন্তর -7
12 তম পদ -75 ✅
৬. 8 + 11 + 14 + 17 + … ধারাটির কোন পদ 392?
6.
ধারাটি: 8 + 11 + 14 + 17 + ...
প্রথম পদ a = 8 ,
সাধারণ অন্তর' d = 11 - 8
= 3
n -তম পদের সূত্র:
Tn = a + (n - 1)d
প্রশ্নমতে,
Tn = 392
⇒ 8 + (n - 1) × 3 = 392
⇒ (n - 1) × 3 = 392 - 8
⇒ (n - 1) × 3 = 384
⇒ n - 1 = 384 3
⇒ n - 1 = 128
⇒ n = 129
সুতরাং, ধারাটির 129 তম পদ 392। ✅
৭. 4 + 7 + 10 + 13 + … ধারাটির কোন পদ 301?
7.
ধারাটি: 4 + 7 + 10 + 13 + ...
প্রথম পদ a = 4 ,
সাধারণ অন্তর d = 7 - 4
= 3
n -তম পদের সূত্র:
Tn = a + (n - 1)d
প্রশ্নমতে,
Tn = 301
⇒ 4 + (n - 1) × 3 = 301
⇒ (n - 1) × 3 = 301 - 4
⇒ (n - 1) × 3 = 297
⇒ n - 1 = 297 3
⇒ n - 1 = 99
⇒ n = 100
সুতরাং, ধারাটির 100 তম পদ 301। ✅
৮. কোনো সমান্তর ধারার m তম পদ n এবং n তম পদ m হলে, ধারাটির (m + n) তম পদ কত?
8.
ধরি,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ a
এবং সাধারণ অন্তর d
প্রশ্নমতে:
Tm = a + (m - 1)d = n ..... (1)
Tn = a + (n - 1)d = m ..... (2)
(1) নং সমীকরণ থেকে (2) নং সমীকরণ বিয়োগ করি:
[a + (m - 1)d] - [a + (n - 1)d] = n - m
⇒ (m - 1)d - (n - 1)d = n - m
⇒ (m - n)d = n - m
⇒ (m - n)d = -(m - n)
⇒ d = -1 [উভয়পক্ষকে m - n দিয়ে ভাগ করে পাই]
এখন (1) নং সমীকরণে d = -1 বসাই:
a + (m - 1)(-1) = n
⇒ a - (m - 1) = n
⇒ a = n + m - 1
অতএব, ধারাটির (m + n) -তম পদ:
Tm+n = a + (m + n - 1)d
= (n + m - 1) + (m + n - 1)(-1)
= (m + n - 1) - (m + n - 1)
= 0
উত্তর: 0 ✅
৯. 1 + 3 + 5 + 7 + ... ধারাটির পদের সমষ্টি কত?
9.
ধারাটি: 1 + 3 + 5 + 7 + ...
এটি একটি সমান্তর ধারা, যেখানে
প্রথম পদ a = 1 ,
সাধারণ অন্তর d = 2
প্রথম n পদের সমষ্টি:
Sn = n 2 [ 2a + (n - 1)d ]
⇒ Sn = n 2 [ 2 × 1 + (n - 1) × 2 ]
⇒ Sn = n 2 [ 2 + 2n - 2 ]
⇒ Sn = n 2 × (2n)
⇒ Sn = n2
সুতরাং, প্রথম n পদের সমষ্টি n2 ।
(যদি প্রশ্নে n সংখ্যক পদের সমষ্টি চাওয়া হয়; অন্যথায় সাধারণভাবে n -তম পদ পর্যন্ত সমষ্টি n2 ) ✅
১০. 8 + 16 + 24 + ... ধারাটির প্রথম 9টি পদের সমষ্টি কত?
10.
ধারাটি: 8 + 16 + 24 + ...
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ a = 8 ,
সাধারণ অন্তর d = 16 - 8
= 8
n = 9
সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টির সূত্র:
Sn = n 2 [ 2a + (n - 1)d ]
⇒ S9 = 9 2 [ 2 × 8 + (9 - 1) x 8 ]
⇒ S9 = 9 2 [ 16 + 8 × 8 ]
⇒ S9 = 9 2 [ 16 + 64 ]
⇒ S9 = 9 2 × 80
⇒ S9 = 9 × 40
⇒ S9 = 360
উত্তর: 360 ✅
১১. 5 + 11 + 17 + 23 + … + 59 = কত?
11.
ধারাটি: 5 + 11 + 17 + 23 + ... + 59
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 5 ,
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 5
= 6
শেষ পদ, Tn = 59
প্রথমে n বের করি:
Tn = a + (n - 1)d
⇒ 59 = 5 + (n - 1) × 6
⇒ 54 = (n - 1) × 6
⇒ n - 1 = 54 6
⇒ n - 1 = 9
⇒ n = 10
সমষ্টি:
Sn = n 2 × (a + Tn)
⇒ S10 = 10 2 × (5 + 59)
⇒ S10 = 5 × 64
⇒ S10 = 320
উত্তর: ৩২০ ✅
১২. 29 + 25 + 21 + … - 23 = কত?
12.
ধারাটি: 29 + 25 + 21 + ... - 23
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ a = 29 ,
সাধারণ অন্তর d = 25 - 29
= -4
শেষ পদ Tn = -23
n বের করি
Tn = a + (n - 1)d
⇒ -23 = 29 + (n - 1)(-4)
⇒ -23 = 29 - 4(n - 1)
⇒ -23 - 29 = -4(n - 1)
⇒ -52 = -4(n - 1)
⇒ n - 1 = -52 -4
⇒ n - 1 = 13
⇒ n = 14
সমষ্টি বের করি
Sn = n 2 × (a + Tn)
⇒ S14 = 14 2 × (29 + (-23))
⇒ S14 = 7 × (6) = 42
উত্তর: ৪২ ✅
১৩. কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23টি পদের সমষ্টি কত?
13.
দেওয়া আছে:
T12 = 77
প্রথম পদ a ,
সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি,
T12 = a + (12 - 1)d
= a + 11d = 77
প্রথম n পদের সমষ্টির সূত্র:
Sn = n 2 [ 2a + (n - 1)d ]
⇒ S23 = 23 2 [ 2a + (23 - 1)d ]
⇒ S23 = 23 2 [ 2a + 22d ]
⇒ S23 = 23 2 × 2 [ a + 11d ]
⇒ S23 = 23 × (a + 11d)
⇒ S23 = 23 × 77 [কিন্তু a + 11d = T12 = 77 ]
⇒ S23 = 1771
উত্তর: ১৭৭১ ✅
১৪. একটি সমান্তর ধারার 16 তম পদ-20 হলে, এর প্রথম 31টি পদের সমষ্টি কত?
14.
দেওয়া আছে:
T16 = a + 15d = -20
প্রথম 31টি পদের সমষ্টি:
S31 = 31 2 [ 2a + (31 - 1)d ]
⇒ S31 = 31 2 [ 2a + 30d ]
⇒ S31 = 31 2 × 2 [ a + 15d ]
⇒ S31 = 31 × (a + 15d)
⇒ S31 = 31 × (-20) [a + 15d = T16 = -20 বসাই]
⇒ S31 = -620
উত্তর: -৬২০ ✅
১৫. 9 + 7 + 5 + … ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল -144 হলে, n এর মান নির্ণয় করো।
15.
ধারাটি: 9 + 7 + 5 + ...
প্রথম পদ a = 9 ,
সাধারণ অন্তর d = 7 - 9 = -2
প্রথম n পদের সমষ্টি Sn = -144 ।
সমান্তর ধারার সমষ্টির সূত্র:
Sn = n 2 [ 2a + (n-1)d ]
মান বসাই:
-144 = n 2 [ 2 × 9 + (n - 1)(-2) ]
⇒ -144 = n 2 [ 18 - 2(n - 1) ]
⇒ -144 = n 2 [ 18 - 2n + 2 ]
⇒ -144 = n 2 [ 20 - 2n ]
⇒ -144 = n 2 × 2 (10 - n)
⇒ -144 = n (10 - n)
⇒ 10n - n2 = -144
⇒ 0 = n2 - 10n - 144
⇒ n2 - 10n - 144 = 0
দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান:
n = 10 ± √ (-10)2 - 4 × 1 × (-144) 2
n = 10 ± √ 100 + 576 2
n = 10 ± √ 676 2
n = 10 ± 26 2
দুটি সমাধান:
n = 10 + 26 2 = 36 2 = 18
n = 10 - 26 2 = -16 2 = -8 (গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ n > 0)
সুতরাং,
n = 18
উত্তর: ১৮ ✅
১৬. 2 + 4 + 6 + 8 + ... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2550 হলে, n এর মান নির্ণয় করো।
16.
ধারাটি: 2 + 4 + 6 + 8 + ...
প্রথম পদ a = 2 ,
সাধারণ অন্তর d = 2
প্রথম n পদের সমষ্টির সূত্র:
Sn = n 2 [ 2a + (n-1)d ]
প্রশ্নমতে,
Sn = 2550 :
⇒ 2550 = n 2 [ 2 × 2 + (n - 1) × 2 ]
⇒ 2550 = n 2 [ 4 + 2n - 2 ]
⇒ 2550 = n 2 [ 2n + 2 ]
⇒ 2550 = n 2 × 2 (n + 1)
⇒ 2550 = n (n + 1)
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ:
n2 + n - 2550 = 0
সমাধান:
n = -1 ± √ 1 + 4 × 2550 2
n = -1 ± √ 1 + 10200 2
n = -1 ± √ 10201 2
√ 10201 বের করি: 1012 = 10201 ✔
n = -1 ± 101 2
ধনাত্মক মান:
n = -1 + 101 2 = 100 2 = 50
অপর মান n = -1 - 101 2 = -51 (গ্রহণযোগ্য নয়)।
সুতরাং,
n = 50
উত্তর: ৫০ ✅
১৭. কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটি নির্ণয় করো।
17.
দেওয়া আছে,
প্রথম n পদের সমষ্টি:
Sn = n(n + 1)
ধারাটি নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি,
Tn = Sn - Sn-1 (যখন n ≥q 2 )
Sn = n2 + n
Sn-1 = (n - 1)2 + (n - 1)
Sn-1 = (n2 - 2n + 1) + n - 1
Sn-1 = n2 - n
সুতরাং,
Tn = (n2 + n) - (n2 - n)
= n2 + n - n2 + n
= 2n
এখন n = 1 এর জন্য T1 = S1 = 1(1 + 1) = 2 ।
Tn = 2n সূত্রটি n = 1 এর জন্যও সত্য, কারণ
T1 = 2 × 1
= 2
সুতরাং ধারাটির n -তম পদ 2n , অর্থাৎ ধারাটি:
2, 4, 6, 8, ...
উত্তর: 2 + 4 + 6 + 8 + ... ✅
18.
ধারাটির প্রথম n পদের সমষ্টি দেওয়া আছে:
Sn = n(n+1)
প্রশ্নে n = 10 এর জন্য S10 চাওয়া হয়েছে।
S10 = 10 × (10 + 1)
= 10 × 11
= 110
উত্তর: ১১০ ✅
১৮. কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) ধারাটির 10টি পদের সমষ্টি কত?
18.
ধারাটির প্রথম n পদের সমষ্টি দেওয়া আছে:
Sn = n(n+1)
প্রশ্নে n = 10 এর জন্য S10 চাওয়া হয়েছে।
S10 = 10 × (10 + 1)
= 10 × 11
= 110
উত্তর: ১১০ ✅
১৯. একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12 পদের সমষ্টি 144 এবং প্রথম 20 পদের সমষ্টি 560 হলে, এর প্রথম 6 পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।
19.
প্রথম n পদের সমষ্টি,
Sn = n 2 [2a + (n-1)d]
দেওয়া আছে:
S12 = 12 2 [2a + 11d]
= 6(2a + 11d)
= 144
6(2a + 11d) = 144
⇒ 2a + 11d = 144 6
⇒ 2a + 11d = 24 ..... (1)
S20 = 20 2 [2a + 19d]
= 10(2a + 19d)
= 560
10(2a + 19d) =560
⇒ 2a + 19d = 560 10
⇒ 2a + 19d = 56 ..... (2)
(2) - (1):
(2a + 19d) - (2a + 11d) = 56 - 24
⇒ 8d = 32
⇒ d = 4
(1) থেকে পাই
2a + 11d = 24
⇒ 2a + 11 × 4 = 24
⇒ 2a + 44 = 24
⇒ 2a = -20
⇒ a = -10
এখন প্রথম 6 পদের সমষ্টি:
S6 = 6 2 [2a + 5d]
⇒ S6 = 3 [2(-10) + 5 × 4]
⇒ S6 = 3[-20 + 20]
⇒ S6 = 3 × 0
⇒ S6 = 0
উত্তর: ০ ✅
২০. কোনো সমান্তর ধারার প্রথম m পদের সমষ্টি n এবং প্রথম n পদের সমষ্টি m হলে, এর প্রথম (m + n) পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।
20.
ধরি,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ a ,
সাধারণ অন্তর d
প্রথম m পদের সমষ্টি:
Sm = m 2 [ 2a + (m - 1)d ] = n ..... (1)
প্রথম n পদের সমষ্টি:
Sn = n 2 [ 2a + (n - 1)d ] = m ..... (2)
(1) নং সমীকরণ:
m 2 [2a + (m - 1)d] = n
⇒ 2a + (m - 1)d = 2n m
(2) নং সমীকরণ:
2a + (n - 1)d = 2m n
এখন সমীকরণ দুটি বিয়োগ করি:
[2a + (m - 1)d] - [2a + (n - 1)d] = 2n m - 2m n
⇒ (m - n)d = 2n m - 2m n
⇒ (m - n)d = 2(n2 - m2) mn
⇒ (m - n)d = 2(n - m)(n + m) mn
⇒ (m - n)d = 2(n - m)(n + m) mn
⇒ (m - n)d = - 2(m - n)(n + m) mn
⇒ d = - 2(m+n) mn [উভয়পক্ষকে m-n দিয়ে ভাগ করে পাই]
এখন 2a বের করতে (1) নং থেকে:
2a + (m - 1)d = 2n m
⇒ 2a = 2n m - (m - 1)d
প্রথম (m + n) পদের সমষ্টি:
Sm+n = m + n 2 [ 2a + (m + n - 1)d ]
এখন,
2a + (m + n - 1)d
= [ 2n m - (m - 1)d ] + (m + n - 1)d
= 2n m + [ - (m - 1) + (m + n - 1) ] d
= 2n m + [ -m +1 + m + n - 1 ] d
= 2n m + n d
= 2n m + n [ -2(m + n) mn ] [d = - 2(m + n) mn বসাই:]
= 2n m - 2n(m + n) mn
= 2n m - 2(m + n) m
= 2n - 2m - 2n m
= -2m m
= -2
অর্থাৎ 2a + (m + n-1)d = -2
সুতরাং,
Sm+n = m + n 2 × (-2)
⇒ Sm+n = -(m + n)
উত্তর: -(m + n) ✅
২১. কোনো সমান্তর ধারায় p তম, q তম ও r তম পদ যথাক্রমে a, b, c হলে, দেখাও যে, a(q - r) + b(r - p) + c(p - q) = 0 |
21.
ধরি,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ A এবং
সাধারণ অন্তর d ।
তাহলে,
Tp = A + (p - 1)d = a ..... (1)
Tq = A + (q - 1)d = b ..... (2)
TR = A + (r - 1)d = c ..... (3)
এখন প্রমাণ করতে হবে:
a(q - r) + b(r - p) + c(p - q) = 0
(1), (2), (3) থেকে a, b, c এর মান বসাই:
a(q - r) = [A + (p - 1)d](q - r)
b(r - p) = [A + (q - 1)d](r - p)
c(p - q) = [A + (r - 1)d](p - q)
এখন তিনটি যোগ করি:
= A[(q - r) + (r - p) + (p - q)] + d[(p - 1)(q - r) + (q - 1)(r - p) + (r - 1)(p - q)]
= A[q - r + r - p + p - q] + d[{p(q - r) - 1(q - r)} + {q(r - p) - 1(r - p)} + {r(p - q) - 1(p - q)}]
= A[0] + d[pq - pr - q + r + qr - pq - r + p + pr - qr - p + q]
= d[pq - pq - pr + pr + qr - qr - q + q + r - r + p - p]
= d[0]
= 0
প্রমাণিত ✅
২২. দেখাও যে, 1 + 3 + 5 + 7 + … + 125 = 169 + 171 + 173 + … + 209 ।
22.
আমরা দেখাব যে:
1 + 3 + 5 + ... + 125 = 169 + 171 + 173 + ... + 209
বামপক্ষ (LHS):
এটি প্রথম n1 সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি।
বিজোড় সংখ্যার ধারা: 1, 3, 5, ...
এর সাধারণ পদ Tk = 2k - 1
শেষ পদ.
125 = 2k - 1
⇒ 2k = 126
⇒ k = 63
তাই n1 = 63
বিজোড় সংখ্যার প্রথম n পদের সমষ্টি: n2
LHS = 632 = 3969
ডানপক্ষ (RHS):
169 + 171 + 173 + ... + 209
প্রথম পদ a = 169 ,
শেষ পদ Tn = 209 ,
সাধারণ অন্তর d = 2
Tn = a + (n - 1)d
⇒ 209 = 169 + (n - 1) x 2
⇒ 40 = (n - 1) × 2
⇒ n - 1 = 20
⇒ n = 21
তাই পদসংখ্যা n2 = 21
সমষ্টি:
S = n 2 (a + Tn) = 21 2 (169 + 209)
⇒ S = 21 2 × 378
⇒ S = 21 × 189
⇒ S = 3969
উভয় পক্ষের সমষ্টি 3969 সমান, সুতরাং:
1 + 3 + 5 + ... + 125 = 169 + 171 + ... + 209 (প্রমাণিত)
২৩. এক ব্যক্তি 2500 টাকার একটি ঋণ কিছুসংখ্যক কিস্তিতে পরিশোধ করতে রাজি হন। প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তি থেকে 2 টাকা বেশি। যদি প্রথম কিস্তি 1 টাকা হয়, তবে কতগুলো কিস্তিতে ঐ ব্যক্তি তার ঋণ শোধ করতে পারবেন?
23.
প্রশ্ন:
ঋণের পরিমাণ = ২৫০০ টাকা
কিস্তির ধারা: ১, ৩, ৫, ৭, ... (প্রথম কিস্তি ১ টাকা, প্রতিটি কিস্তি আগের চেয়ে ২ টাকা বেশি)
এটি একটি সমান্তর ধারা,
যেখানে a = 1 , d = 2
n সংখ্যক কিস্তির সমষ্টি = Sn = 2500
সমষ্টির সূত্র:
Sn = n 2 [2a + (n - 1)d]
⇒ Sn = n 2 [2 × 1 + (n - 1) × 2]
⇒ Sn = n 2 [2 + 2n - 2]
⇒ Sn = n 2 × (2n) = n2
প্রশ্নমতে:
n2 = 2500
⇒ n = √ 2500
⇒ n = 50 (ঋণাত্মক মান বাদ দিয়ে)
সুতরাং, ৫০টি কিস্তিতে ঋণ শোধ হবে। ✅
উত্তর: ৫০
প্রশ্ন:
ঋণের পরিমাণ = ২৫০০ টাকা
কিস্তির ধারা: ১, ৩, ৫, ৭, ... (প্রথম কিস্তি ১ টাকা, প্রতিটি কিস্তি আগের চেয়ে ২ টাকা বেশি)
এটি একটি সমান্তর ধারা,
যেখানে a = 1 , d = 2
n সংখ্যক কিস্তির সমষ্টি = Sn = 2500
সমষ্টির সূত্র:
Sn = n 2 [2a + (n - 1)d]
⇒ Sn = n 2 [2 × 1 + (n - 1) × 2]
⇒ Sn = n 2 [2 + 2n - 2]
⇒ Sn = n 2 × (2n)
⇒ Sn = n2
শ্নমতে:
n2 = 2500
⇒ n = √ 2500
⇒ n = 50 (ঋণাত্মক মান বাদ দিয়ে)
সুতরাং, ৫০টি কিস্তিতে ঋণ শোধ হবে। ✅
উত্তর: ৫০
২৪. কোন সমান্তর ধারার দুইটি নির্দিষ্ট পদ, l তম পদ l2 এবং k তম পদ k2 ।
ক) ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d ধরে উদ্দীপকের আলোকে দুইটি সমীকরণ তৈরি করো।
খ) (l + k) তম পদ নির্ণয় করো।
গ) প্রমাণ করো ধারাটির প্রথম (l + k) সংখ্যক পদের সমষ্টি l + k 2 (l2 + k2 + l + k)
24.
প্রদত্ত:
Tl = l2 এবং
Tk = k2 ,
যেখানে,
Tn = a + (n-1)d
ক) সমীকরণ তৈরি:
Tl = a + (l - 1)d = l2 ..... (1)
Tk = a + (k - 1)d = k2 ..... (2)
এটাই নির্ণেয় সমীকরণদ্বয়।
খ) (l + k) -তম পদ নির্ণয়:
(2) থেকে (1) বিয়োগ করি:
[l2 - k2] = [a + (l - 1)d] - [a + (k - 1)d]
⇒ (l - k)(l + k) = (l - k)d
⇒ d = l + k
d এর মান (1) নং এ বসাই:
a + (l - 1)(l + k) = l2
⇒ a + l(l + k) - (l + k) = l2
⇒ a + l2 + lk - l - k = l2
⇒ a + lk - l - k = 0
⇒ a = l + k - lk
এখন,
Tl+k = a + (l + k - 1)d :
= (l + k - lk) + (l + k - 1)(l + k)
= l + k - lk + (l + k)2 - (l + k)
= - lk + (l2 + 2lk + k2)
= l2 + lk + k2
✅ Tl+k = l2 + lk + k2
গ) প্রথম (l + k) পদের সমষ্টি l + k 2 (l2 + k2 + l + k) প্রমাণ:
সমষ্টির সূত্র:
Sl+k = l + k 2 [ 2a + (l + k - 1)d ]
2a = 2(l + k - lk)
এই অংশ থেকে পাই ,
2a + (l + k - 1)d
= 2(l + k - lk) + (l + k - 1)(l + k)
= (2l + 2k - 2lk) + l(l + k - 1) + k(l + k - 1)
= (2l + 2k - 2lk) + (l2 + lk - l + lk + k2 - k)
= (2l + 2k - 2lk) + (l2 + 2lk - l + k2 - k)
= l + k + l2 + k2
তাহলে:
Sl+k = l + k 2 ( l2 + k2 + l + k )
প্রমাণিত।
