এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ - Equations in One Variable (অনুশীলনী ৫.১)

• 📚 Topics
• 📝 MCQ Test
• ✅ Exercise Solution

সমাধান করো (১ - ৮):

১.  ay   b  -  by  a  = a² - b²

1.

  ay    b   -   by    a   = a² - b²

এখন সমাধান করি:

⇒   a² y - b² y         ab   = a² - b²

⇒   y (a² - b²)         ab   = a² - b²

⇒    y   ab   = 1    [যদি a² - b² ≠ 0 হয়, উভয়পক্ষকে a² - b² দিয়ে ভাগ করি]

⇒ y = ab

যদি a² - b² = 0 হয়, অর্থাৎ a = b বা a = -b, তাহলে মূল সমীকরণটি 0 = 0 হয়ে যায়, এবং সমীকরণটি সব y-এর জন্য সত্য।


সুতরাং সাধারণ সমাধান:

y = ab

যদি a ≠ b ও a ≠ -b হয়।

যদি a² = b² হয়, তবে y যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।

২. (z + 1)(z - 2) = (z - 4)(z + 2)

2.

 (z + 1)(z - 2) = (z - 4)(z + 2)

⇒ z² - 2z + z - 2 = z² + 2z - 4z - 8    [বামে (z + 1)(z-2) ও ডানে (z-4)(z + 2) বিস্তার করে]

⇒ z² - z - 2 = z² - 2z - 8        [বামে -2z + z=-z, ডানে 2z-4z = -2z]

⇒ z² - z - 2 - z² = z² - 2z - 8 - z²    [উভয়পাশ থেকে z² বিয়োগ করে]

⇒ -z - 2 = -2z - 8        [বামে z² বাতিল, ডানে z² বাতিল]

⇒ -z - 2 + 2z = -2z - 8 + 2z       [উভয়পাশে 2z যোগ করে] অথবা -z + 2z - 2 = -8

⇒ z - 2 = -8         [বামে -z + 2z=z, ডানে -2z + 2z বাতিল]

⇒ z - 2 + 2 = -8 + 2         [উভয়পাশে 2 যোগ করে]

⇒ z = -6         [সরল করে z এর মান পাই]


-6

৩.     4  2x + 1  +     9  3x + 2  =     25  5x + 4 

3.

      4   2x + 1   +       9   3x + 2   =      25   5x + 4  


⇒   4(3x + 2) + 9(2x + 1)       (2x + 1)(3x + 2)   =     25   5x + 4          [বামপক্ষের সাধারণ হর (2x + 1)(3x + 2)]

⇒   12x + 8 + 18x + 9   (2x + 1)(3x + 2)   =     25   5x + 4          [লব বিস্তার করি]

⇒         30x + 17  (2x + 1)(3x + 2)   =     25   5x + 4          [লব সরল করি: 12x + 18x=30x, 8 + 9=17]

⇒ (30x + 17)(5x + 4) = 25(2x + 1)(3x + 2)       [আড়াআড়ি গুণ করি]

⇒ 150x² + 120x + 85x + 68 = 25(6x² + 7x + 2)       [বামে বিস্তার, ডানে (2x + 1)(3x + 2)=6x² + 7x + 2]

⇒ 150x² + 205x + 68 = 150x² + 175x + 50    [ডানে 25 গুণ করি]

⇒ 205x + 68 = 175x + 50       [উভয়পাশ থেকে 150x² বাদ দিলাম]

⇒ 205x - 175x = 50 - 68       [চলক একপাশে, ধ্রুবক অন্যপাশে নিলাম]

⇒ 30x = -18    [সরল করি]

⇒ x = -   18   30        [উভয়পাশকে 30 দিয়ে ভাগ করি] 

⇒ x = -   3   5   





 x = -  3  5  ≠ - 1  2 , -  2  3 , -  4  5     [সংজ্ঞার এলাকার সাথে মিলিয়ে দেখি, বৈধ]

-   3   5  

8.     1  x + 1  +     1  x + 4  =     1  x + 2  +     1  x + 3 

4.

      4  2x + 1   +       9  3x + 2   =     25  5x + 4  


⇒   4(3x + 2) + 9(2x + 1)       (2x + 1)(3x + 2)   =     25  5x + 4      [বামপক্ষের সাধারণ হর (2x + 1)(3x + 2)]

⇒   12x + 8 + 18x + 9    (2x + 1)(3x + 2)   =     25  5x + 4      [লব বিস্তার করি]

⇒        30x + 17  (2x + 1)(3x + 2)   =     25  5x + 4      [লব সরল করি: 12x + 18x=30x, 8 + 9=17]

⇒ (30x + 17)(5x + 4) = 25(2x + 1)(3x + 2)    [আড়াআড়ি গুণ করি]

⇒ 150x² + 120x + 85x + 68 = 25(6x² + 7x + 2)    [বামে বিস্তার, ডানে (2x + 1)(3x + 2)=6x² + 7x + 2]

⇒ 150x² + 205x + 68 = 150x² + 175x + 50    [ডানে 25 গুণ করি]

⇒ 205x + 68 = 175x + 50       [উভয়পাশ থেকে 150x² বাদ দিলাম]

⇒ 205x - 175x = 50 - 68       [চলক একপাশে, ধ্রুবক অন্যপাশে নিলাম]

⇒ 30x = -18        [সরল করি]

⇒ x = -   18   30   = -   3   5      [উভয়পাশকে 30 দিয়ে ভাগ করি]


⇒ x = -   3   5    


x = -  3  5  ≠ - 1  2 , - 2  3 , - 4  5     [সংজ্ঞার এলাকার সাথে মিলিয়ে দেখি, বৈধ]

-   3   5  

৫.     a  x - a  +     b  x - b  =    a + b  x - a - b 

5.

দেওয়া আছে:

    a  x - a   +     b   x - b   =     a  +  b    x - a - b  

সংজ্ঞার এলাকা:

x ≠ a, x ≠ b, x ≠ a + b

সমাধান:

⇒     a  x - a   +     b  x - b   =     a + b   x - a - b  

⇒   a(x - b) + b(x - a)       (x - a)(x - b)   =     a + b   x - a - b        [বামপক্ষের সাধারণ হর (x-a)(x-b)]

⇒    ax - ab + bx - ab   x² - x(a + b) + ab    =     a + b   x - a - b  

⇒     ax + bx - ab - ab    x² - x(a + b) + ab   =     a + b   x - a - b  


⇒         x(a + b) - 2ab     x² - x(a + b) + ab   =     a + b   x - a - b   

⇒ (x - a - b) (x(a + b) - 2ab) = (a +b) [x² - x(a + b) + ab]   [আড়াআড়ি গুণ করি]


এখন ধরি, 

S = a + b, 

এবং P = ab



বামপক্ষ: 

⇒  (x - S) (Sx - 2P) = S (x² - Sx + P)

⇒ Sx(x - S) - 2P(x - S) = Sx² - S² x + PS    [গুণ করি]

⇒ Sx² - S² x - 2Px + 2PS = Sx² - S² x + PS

⇒ -2Px + 2PS = PS      [এখন Sx² ও -S² x উভয়পক্ষ থেকে বাদ যায়]

⇒ -2Px + 2PS - PS = 0

⇒ -2Px + PS = 0

⇒ P(S - 2x) = 0



দুটি সম্ভাবনা:

১. P = 0 অর্থাৎ ab = 0

তাহলে a = 0 অথবা b = 0।

এই ক্ষেত্রে মূল সমীকরণটি সরল হয় এবং সমাধান হবে x = a + b (সাবধান: x = a + b হর শূন্য করে কিনা দেখতে হবে)

আসলে a = 0 দিলে:     0   x-0   +    b  x-b   =    b  x-b   =    b  x-b   যা সব x ≠ b এর জন্য সত্য, অর্থাৎ অসংখ্য সমাধান। কিন্তু এটা বিশেষ অবস্থা, সাধারণ সমাধান x = a + b এই ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।

২. S - 2x = 0 অর্থাৎ a + b - 2x = 0

x =   a + b      2  

শর্ত: x =   a + b      2   যেন হরগুলোর কোনোটির সমান না হয়:

  a + b      2   ≠ a  ⟹ a + b ≠ 2a  ⟹ b ≠ a

  a + b      2   ≠ b  ⟹ a + b ≠ 2b  ⟹ a ≠ b

  a + b      2   ≠ a + b  ⟹ a + b ≠ 2a + 2b  ⟹ 0 ≠ a + b  ⟹ a + b ≠ 0



সুতরাং সাধারণ অবস্থায় যেখানে a ≠ b এবং a + b ≠ 0 এবং ab ≠ 0:

x =   a + b      2  

বিশেষ ক্ষেত্রে ab=0 অথবা a=b অথবা a + b=0 এর জন্য সমীকরণের ভিন্ন আচরণ হয় (অসংখ্য সমাধান অথবা কোনো সমাধান নেই)।

৬.  x - a     b  +  x - b     a  +  x - 3a - 3b     a + b  = 0

6.

সমীকরণটি হলো:

⇒   x - a      b   +   x - b      a   +   x - 3a - 3b        a + b   = 0

সংজ্ঞার এলাকা:

b ≠ 0, a ≠ 0, a + b ≠ 0

সমাধান:

⇒   x - a      b   +   x - b      a   +   x - 3a - 3b       a + b   = 0


⇒   x   b   -   A   B   +   x   a   -   b   a   +     x  a + b   -   3a + 3b     a + b   = 0   [প্রতিটি ভগ্নাংশকে আলাদা করি]


⇒ x(   1   b   +   1   a   +     1  a + b   ) - (   a   b   +   b   a   +   3(a + b)     a + b   ) = 0


⇒ x(   1   a   +   1   b   +     1  a + b   ) =   a   b   +   b   a   + 3     [x ও ধ্রুবক আলাদা করি, এবং   3(a + b)     a + b  =3]


⇒ x (  a + b     ab   +     1  a + b   ) =    a² + b²      ab   + 3

⇒ x.   (a + b)² + ab      ab(a + b)    =   a² + b² + 3ab            ab  

⇒ x ·   (a + b)² + ab       ab(a + b)   =   a² + b² + 3ab               ab  


⇒ x ·   (a + b)² + ab           a + b   = a² + b² + 3ab      [ab ≠ 0 হওয়ায় ab বাতিল হয়]

(a + b)² + ab = a² + 2ab + b² + ab = a² + 3ab + b²



অতএব:

⇒ x ·   a² + 3ab + b²          a + b   = a² + 3ab + b²

যেহেতু a² + 3ab + b² ≠ 0 (সর্বদা শূন্য নয়, শুধু a=b=0 বা বিশেষ জটিল মানের জন্য শূন্য হতে পারে, কিন্তু a≠ 0, b≠ 0, a + b≠ 0 শর্তে এটি শূন্য না-ও হতে পারে), আমরা ভাগ করতে পারি:

যদি a² + 3ab + b² ≠ 0 হয়, তবে:

⇒     x  a + b   = 1

⇒ x = a + b

[শর্ত যাচাই: x = a + b যেন সংজ্ঞার এলাকার বাইরে না যায়:

a + b ≠ 0    [ইতিমধ্যে দেওয়া আছে]

a + b ≠ a ⟹ b ≠ 0    [আগে থেকেই আছে]

a + b ≠ b ⟹ a ≠ 0    [আগে থেকেই আছে]

সব শর্ত পূরণ হয়েছে।



অতএব সাধারণ সমাধান:

x = a + b



(যখন a² + 3ab + b² ≠ 0, অন্যথায় সমীকরণ সিদ্ধ হয় সব x-এর জন্য অথবা অমীমাংসিত)

৭.   x - a  a² - b²  =   x - b  b² - a² 

7.

সমীকরণটি হলো:

⇒      x - a    a² - b²   =     x - b    b² - a²  

প্রথম পর্যবেক্ষণ:

লক্ষ করি, b² - a² = -(a² - b²)

অতএব ডানপক্ষ:

⇒     x - b    b² - a²   =       x - b   -(a² - b²)   = -    x - b   a² - b²  

সমাধান:

⇒    x - a  a² - b²   = -    x - b   a² - b²       [উভয়পক্ষকে a² - b² দিয়ে গুণ করি]

⇒ x - a = - (x - b)

⇒ x - a = -x + b

⇒ x + x = a + b

⇒ 2x = a + b

⇒ x =   a + b      2  

শর্ত: a² ≠ b² অর্থাৎ a ≠ b এবং a ≠ -b।

⇒   a + b      2  

৮. (3 + √ 3 )z + 2 = 5 + 3√ 3 

8.

সমীকরণটি হলো:

(3 + √ 3 )z + 2 = 5 + 3√ 3 



সমাধান:

⇒ (3 + √ 3 )z + 2 = 5 + 3√ 3        [প্রদত্ত সমীকরণ]

⇒ (3 + √ 3 )z = 5 + 3√ 3  - 2       [2 ডানপক্ষে নিলাম]

⇒ (3 + √ 3 )z = 3 + 3√ 3             [সরল করি]

⇒ (√ 3 .√ 3  +  √ 3 )z = 3(1 + √ 3 )          [লক্ষ করি, 3 + √ 3  = √ 3  (√ 3   + 1)

⇒ √ 3  (√ 3 + 1)z = 3(√ 3  + 1)

⇒ z =       3(√ 3  + 1)   √ 3  (√ 3   + 1)  

⇒ z =    3  √ 3        [√ 3  + 1 ≠ 0 বলে বাতিল]

⇒ z = √ 3 



√ 3 

সমাধান সেট নির্ণয় করো (৯-১৪):

৯. 2x + √ 2  = 3x - 4 - 3√ 2 

9.

সমীকরণটি হলো:

2x + √ 2   = 3x - 4 - 3√ 2  


সমাধান:

⇒ 2x + √ 2   = 3x - 4 - 3√ 2         [প্রদত্ত সমীকরণ]

⇒ 2x - 3x + √ 2   = -4 - 3√ 2        [3x বামপক্ষে আনলাম]

⇒ -x + √ 2   = -4 - 3√ 2  

⇒ -x = -4 - 3√ 2   - √ 2              [√ 2   ডানপক্ষে নিলাম]

⇒ -x = -4 - 4√ 2                     [-3√ 2   - √ 2   = -4√ 2  ]

⇒ x = 4 + 4√ 2                      [উভয়পক্ষকে -1 দিয়ে গুণ ]

⇒ x = 4(1 + √ 2  )

সমাধান সেট:

⇒ 4(1 + √ 2  )

১০.  z - 2  z - 1  = 2 -    1  z - 1 

10.

সমীকরণটি হলো:

⇒   z - 2   z - 1   = 2 -     1  z - 1  


সংজ্ঞার এলাকা:

z ≠ 1    [হর শূন্য হবে না]


সমাধান:

⇒   z - 2   z - 1   = 2 -    1  z - 1         [প্রদত্ত সমীকরণ]

⇒  z - 2  z - 1   =   2(z-1) - 1       z - 1       [ডানপক্ষের 2-কে   2(z-1)     z-1   আকারে লিখি]

⇒   z - 2   z - 1   =   2z - 2 - 1      z - 1  

⇒   z - 2   z - 1   =   2z - 3    z - 1  

⇒ z - 2 = 2z - 3      [যেহেতু z ≠ 1, আমরা হর বাতিল করতে পারি]

⇒ -2 + 3 = 2z - z

⇒ 1 = z


⇒ z = 1



কিন্তু z = 1 সংজ্ঞার এলাকার বাইরে (হর শূন্য করে)।

তাই কোনো সমাধান নেই।

∅

১১.  1  x  +     1  x + 1  =     2  x - 1 

11.

সমীকরণটি হলো:

  1  x   +     1  x + 1   =     2  x - 1  

সংজ্ঞার এলাকা:

x ≠ 0, x ≠ -1, x ≠ 1

সমাধান:

⇒   1   x   +     1  x + 1   =     2  x - 1       [প্রদত্ত সমীকরণ]

⇒   x + 1 + x   x(x + 1)   =    2  x - 1      [বামপক্ষের সাধারণ হর x(x + 1)]

⇒     2x + 1   x(x + 1)   =    2  x - 1  

⇒ (2x + 1)(x - 1) = 2x(x + 1)   [আড়াআড়ি গুণ করি]

⇒ 2x(x-1) + 1·(x-1) = 2x² + 2x    [বামপক্ষ বিস্তার করি]

⇒ 2x² - 2x + x - 1 = 2x² + 2x

⇒ 2x² - x - 1 = 2x² + 2x

⇒ - x - 1 = 2x

⇒ -1 = 2x + x

⇒ -1 = 3x

⇒ x = -  1  3  

সংজ্ঞার এলাকার সাথে মিলিয়ে দেখি:

x = -  1  3  শূন্য, -1, 1 এর কোনোটি নয় → বৈধ।

-   1   3  

১২.     m  m - x  +     n  n - x  =     m + n  m + n - x 

12.

ধরা যাক সমীকরণটি হলো:

     m   m - x   +     n  n - x   =     m + n  m + n - x   




সমাধান :

⇒     m  m - x   +     n  n - x   =     m + n  m + n - x     
    

⇒      m  m - x   -     m + n  m + n - x    +      n  n - x   = 0 


⇒      m  m - x   -        m  m + n - x   -         n  m + n - x    +      n  n - x   = 0 


⇒  m (     1  m - x   -         1  m + n - x  ) - n (        1  m + n - x   -     1  n - x  ) = 0 
 

⇒ m .    m + n - x - m + x  (m - x) (m + n - x)   - n .   n - x - m - n + x (n - x) (m + n - x)    = 0 


⇒ m .                n (m - x) (m + n - x)   - n .               m (n - x) (m + n - x)   = 0 


⇒             mn (m - x) (m + n - x)   - .           mn (n - x) (m + n - x)   = 0 



⇒        mn  m + n - x    (      1 (m - x)   -       1 (n - x) ) = 0 




গুণফল শূন্য হওয়ার শর্ত থেকে তিনটি সম্ভাবনা: 

(i) $m\mathrm{n }= 0$ 


(ii) $\frac{1}{m+n-\mathrm{x }}= 0$  (অসম্ভব) 


(iii) $\frac{1}{m-x}+\frac{1}{n-\mathrm{x }}= 0$



তৃতীয় শর্ত থেকে পাই:

  $\frac{1}{m-\mathrm{x }}=-\frac{1}{n-x}$

⇒ $n-\mathrm{x }=-(m-x)$       [আড়াআড়ি গুণ করে]

⇒$n-\mathrm{x }=-m+x$

⇒ $m+\mathrm{n }= 2\mathrm{x }$

⇒ $\mathrm{x }= \frac{m+n}{\mathrm{2 \; \; \; }}$ [সমাধান করে পাই:]



শর্ত:

  $\mathrm{x }\ne m$, $\mathrm{x }\ne n$, $\mathrm{x }\ne m+n$ 

এবং $m\mathrm{n }\ne 0$, $\mathrm{m }\ne n$, $m+\mathrm{n }\ne 0$

চূড়ান্ত সমাধান সেট: 


সাধারণ ক্ষেত্রে ($\mathrm{m }\ne n$, $m+\mathrm{n }\ne 0$, $m\mathrm{n }\ne 0$) 
$\mathrm{<br>}$
$\mathrm{x }= \frac{m+}{2}$


যদি $m\mathrm{n }= 0$ হয়, তাহলে সব $x$ (শুধু হর শূন্য নয়) সমাধান। 


যদি $\mathrm{m }= \mathrm{n }\ne 0$ বা $m+\mathrm{n }= 0$ ও $\mathrm{m }\ne 0$ হয়, তাহলে কোনো সমাধান নেই।

উত্তর: $\mathrm{x }= \frac{m+n}{2}$ (সাধারণ ক্ষেত্রে); $m\mathrm{n }= 0$ হলে সব $x$ (শর্তসাপেক্ষে); অন্যথায় সমাধান নেই।

১৩.     1  x + 2  +     1  x + 5  =     1  x + 3  +     1  x + 4 

13.

সমীকরণটি হলো:

⇒     1  x + 2   +     1  x + 5   =     1  x + 3   +     1  x + 4  



সমাধান:

⇒     1  x + 2   +     1  x + 5   =     1  x + 3   +     1  x + 4  


⇒     1  x + 2   -     1  x + 3   =     1  x + 4   -     1  x + 5        [পুনর্বিন্যাস করলাম]


⇒   (x + 3) - (x + 2)     (x + 2)(x + 3)   =   (x + 5) - (x + 4)     (x + 4)(x + 5)         [ভগ্নাংশ বিয়োগ]

⇒      x + 3 - x + 2     (x + 2)(x + 3)   =      x + 5 - x + 4     (x + 4)(x + 5)     

⇒            1  (x + 2)(x + 3)   =            1  (x + 4)(x + 5)         [লব সরল করে পাই]


⇒ (x + 2)(x + 3) = (x + 4)(x + 5)       [আড়াআড়ি গুণ]

⇒ x² + 5x + 6 = x² + 9x + 20       [বিস্তার ]

⇒ 5x + 6 = 9x + 20      [x² বাদ গেল]

⇒ 6 - 20 = 9x - 5x

⇒ -14 = 4x

⇒ x = -   14    4   

⇒ x = -  7  2  

⇒ x = -3.5





সংজ্ঞার এলাকা যাচাই:



হরগুলো: x + 2, x + 3, x + 4, x + 5

x = -  7  2  হলে, 


   = -  7  2  + 2 


   = -  7  2  ≠ 0, 



আবার x + 3, 
  -  7  2  + 3 = - 1  2  ≠ 0,


আবার x + 4,
 -  7  2  + 4 =  1  2  ≠ 0, 


 আবার x + 5,
 -  7  2  + 5 =  7  2  ≠ 0



সুতরাং কোনো হর শূন্য হয় না।

-   7   2    

১৪.  2t - 6     9  +  15 - 2t  12 - 5t  =  4t - 15     18 

14.

[প্রদত্ত সমীকরণ]

   2t - 6      9  +  15 - 2t  12 - 5t  =  4t - 15     18 

⇒ 18(12 - 5t) .  2t - 6      9  + 18(12 - 5t) .  15 - 2t  12 - 5t  = 18(12 - 5t) .  4t - 15     18      [উভয়পক্ষকে লসাগু 18(12 - 5t) দ্বারা গুণ]

⇒ 2(12 - 5t)(2t - 6) + 18(15 - 2t) = (12 - 5t)(4t - 15)           [সরলীকরণ করে]

⇒ 2[12(2t - 6) - 5t(2t - 6)] + 270 - 36t = (12 - 5t)(4t - 15)          [বামপক্ষ বিস্তার]

⇒ 2[24t - 72 - 10t² + 30t] + 270 - 36t = 12(4t - 15) - 5t(4t - 15)     [বন্ধনী খুলি]

⇒ 2[ - 10t² + 54t - 72] + 270 - 36t = 48t - 180 - 20t² + 75t              [পদগুলো সাজাই]

⇒ - 20t² + 108t - 144 + 270 - 36t = - 20t² + 123t - 180                    [উভয়পক্ষ সরল]

⇒ - 20t² + 72t + 126 = - 20t² + 123t - 180                          [বামপক্ষের সমান পদ যোগ]

⇒ 72t + 126 = 123t - 180                           [উভয়পক্ষে + 20t² যোগ]

⇒ 126 + 180 = 123t - 72t                           [চলক একপাশে, ধ্রুবক অন্যপাশে]

⇒ 306 = 51t                                                  [সরল করি]

⇒ t =  306   51         [উভয়পক্ষকে 51 দিয়ে ভাগ] 

⇒ t = 6



6    [শর্ত 12 - 5t ≠ 0 সিদ্ধ]

সমীকরণ গঠন করে সমাধান করো (১৫-২৪):

১৫. একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার  2  5  গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি 98 হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করো।

15.

ধরি, একটি সংখ্যা x এবং অপর সংখ্যা y ।

প্রথম শর্ত:

একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার   2  5   গুণ।

অর্থাৎ,

x =   2   5   y অথবা y =   2   5   x

(যেকোনো একটি ধরা যেতে পারে; নিচে প্রথমটি ধরে সমাধান দেখানো হলো)



দ্বিতীয় শর্ত:

সংখ্যা দুইটির সমষ্টি 98।

x + y = 98



সমীকরণ গঠন ও সমাধান:

x =   2   5   y    [প্রথম শর্ত]

x + y = 98    [দ্বিতীয় শর্ত]



x-এর মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসাই:

  2   5   y + y = 98

⇒   2y    5   +   5y    5   = 98

⇒   7y    5   = 98

⇒ 7y = 490    [উভয়পক্ষকে 5 দিয়ে গুণ]

⇒ y = 70



তাহলে,

x =   2   5   x 70 

   = 28



উত্তর:

28 ও 70

১৬. একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর 1; লব থেকে 2 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা  1  6  এর সমান। ভগ্নাংশটি নির্ণয় করো।

16.

ধরি, 

প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব x 


এবং হর y, যেখানে x < y।



প্রথম শর্ত:

লব ও হরের অন্তর 1

    y - x = 1 


 ⇒ y = x + 1



দ্বিতীয় শর্ত:

লব থেকে 2 বিয়োগ করলে লব হয় x - 2

হরের সাথে 2 যোগ করলে হর হয় y + 2

এই ভগ্নাংশটি   1   6   এর সমান।



অর্থাৎ,

   x - 2   y + 2   =   1   6  



সমাধান:

y = x + 1 বসিয়ে পাই:

⇒         x - 2   (x + 1) + 2   =   1   6  

⇒   x - 2   x + 3   =   1   6        [আড়াআড়ি গুণ করি]

⇒ 6(x - 2) = 1(x + 3)

⇒ 6x - 12 = x + 3

⇒ 6x - x = 3 + 12

⇒ 5x = 15

⇒ x = 3



তাহলে,

⇒ y = x + 1 = 4

ভগ্নাংশটি   3   4  , যা প্রকৃত ভগ্নাংশ (লব < হর)।

উত্তর:

  3   4  

১৭. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 9; অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 45 কম হবে। সংখ্যাটি কত?

17.

ধরি, 
সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক x 
এবং এককের অঙ্ক y

তাহলে সংখ্যাটি = 10x + y

অঙ্কদ্বয়ের স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হয় = 10y + x



প্রথম শর্ত:

অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 9

x + y = 9



দ্বিতীয় শর্ত:

বিনিময়কৃত সংখ্যাটি মূল সংখ্যা থেকে 45 কম

10y + x = (10x + y) - 45



সমাধান:

দ্বিতীয় সমীকরণ সরল করি:

⇒ 10y + x = 10x + y - 45

⇒ 10y - y + x - 10x = -45

⇒ 9y - 9x = -45

⇒ 9(y - x) = -45

⇒ y - x = -5 

⇒ -(x - y) = -5


⇒ x - y = 5



এখন প্রথম সমীকরণ x + y = 9 এবং x - y = 5 যোগ করি:

 (x + y) + (x - y) = 9 + 5

⇒ 2x = 14 

⇒ x = 7



তাহলে y = 9 - x = 2

মূল সংখ্যা, 

= 10x + y 

= 10 x 7 + 2 

= 72



বিনিময়কৃত সংখ্যা = 27, 


যা 72 - 45 = 27 (শর্ত পূর্ণ)



উত্তর:

72

১৮. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। দেখাও যে, সংখ্যাটি অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ।

18.

ধরি, 

সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক = x


তাহলে দশক স্থানীয় অঙ্ক = 2x (যেহেতু দশক অঙ্ক এককের দ্বিগুণ)


সংখ্যাটি:

দশক অঙ্কের স্থানীয় মান 2x × 10 = 20x

একক অঙ্কের স্থানীয় মান x × 1 = x

মোট সংখ্যা = 20x + x = 21x



অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি:

2x + x = 3x



সাতগুণ:

অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ = 7 × 3x 


                                             = 21x

যা সংখ্যাটির সমান ( 21x )।



অতএব প্রমাণিত যে, সংখ্যাটি তার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ।

21x = 7 × (3x)

১৯. একজন ক্ষুদ্র ব্যবসায়ী 5600 টাকা বিনিয়োগ করে এক বছর পর কিছু টাকার উপর 5% এবং অবশিষ্ট টাকার উপর 4% লাভ করলেন। মোট 256 টাকা লাভ করলে, তিনি কত টাকার উপর 5% লাভ করলেন?

19.

ধরি, 

ব্যবসায়ী x টাকার উপর 5% লাভ করলেন।

তাহলে অবশিষ্ট টাকার পরিমাণ = 5600 - x টাকা, 


যার উপর তিনি 4% লাভ করলেন।



লাভের পরিমাণ:
5% লাভে প্রাপ্ত টাকা = x ×     5  100   =    5x  100  

4% লাভে প্রাপ্ত টাকা = (5600 - x) ×     4  100   =   4(5600 - x)       100  

মোট লাভ = 256 টাকা

⇒    5x   100   +   4(5600 - x)        100   = 256

⇒   5x + 22400 - 4x            100   = 256

⇒   x + 22400        100   = 256

⇒ x + 22400 = 256 x 100

⇒ x + 22400 = 25600

⇒ x = 25600 - 22400 = 3200

⇒ x = 3200



উত্তর:

অর্থাৎ, 3200 টাকার উপর তিনি 5% লাভ করলেন।

২০. একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে 6 জন করে ছাত্রী বসালে ২টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্রী বসালে 6 জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির বেঞ্চের সংখ্যা নির্ণয় করো।

20

ধরি, 

মোট বেঞ্চের সংখ্যা = b

এবং মোট ছাত্রীর সংখ্যা = s



প্রথম শর্ত:

প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে বসালে 2টি বেঞ্চ খালি থাকে।

অর্থাৎ ব্যবহৃত বেঞ্চের সংখ্যা = b - 2



তাহলে মোট ছাত্রী সংখ্যা:

s = 6 x (b - 2) ..... (1)




দ্বিতীয় শর্ত:

প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে বসালে 6 জন ছাত্রী দাঁড়িয়ে থাকে।

অর্থাৎ b সংখ্যক বেঞ্চে 5 জন করে বসলে বসে 5b জন, বাকি 6 জন দাঁড়ায়।


তাহলে মোট ছাত্রী সংখ্যা:

s = 5b + 6 ..... (2)



সমাধান:

(1) ও (2) সমান করি:

⇒ 6(b - 2) = 5b + 6

⇒ 6b - 12 = 5b + 6

⇒ 6b - 5b = 6 + 12

⇒ b = 18



তাহলে,

⇒ s = 5 × 18 + 6 


⇒ s = 90 + 6 


⇒ s = 96


উত্তর:

বেঞ্চের সংখ্যা 18 এবং মোট ছাত্রী সংখ্যা 96

২১. একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 47। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা হলে, কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?

21

ধরি, 

কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = x

তাহলে ডেকের যাত্রী সংখ্যা = 47 - x



প্রদত্ত তথ্য:

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু = 30 টাকা

কেবিনের ভাড়া মাথাপিছু = ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ = 2 x 30 = 60 টাকা



মোট ভাড়া প্রাপ্তি = 1680 টাকা



সমীকরণ গঠন:

⇒ 60x + 30(47 - x) = 1680

⇒ 60x + 1410 - 30x = 1680

⇒ 30x + 1410 = 1680

⇒ 30x = 1680 - 1410

⇒ 30x = 270

⇒ x = 9




উত্তর:

কেবিনের যাত্রী সংখ্যা 9 জন।

২২. মোট 120টি পঁচিশ পয়সার মুদ্রা ও পঞ্চাশ পয়সার মুদ্রায় মোট 35 টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

22.

ধরি, ২৫ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = x

এবং ৫০ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা = y

প্রথম শর্ত:

মোট মুদ্রার সংখ্যা 120টি:

x + y = 120 ..... (1)



দ্বিতীয় শর্ত:

মোট মূল্য 35 টাকা।

২৫ পয়সা =    25   100   = 0.25 টাকা

৫০ পয়সা =    50   100   = 0.50 টাকা



অতএব,


  0.25x + 0.50y = 35

⇒ 25x + 50y = 3500      [দশমিক এড়াতে 100 দিয়ে গুণ করি]

⇒ x + 2y = 140 ..... (2)    [উভয়পক্ষকে 25 দিয়ে ভাগ করে]




সমাধান:

(2) থেকে (1) বিয়োগ করি:

⇒ (x + 2y) - (x + y) = 140 - 120


⇒ x + 2y - x - y = 20

⇒ y = 20



তাহলে,

   x = 120 - y 


 ⇒ x  = 120 - 20 


 ⇒ x = 100




উত্তর:

100 টি ২৫ পয়সার ও 20টি ৫০ পয়সার মুদ্রা

২৩. একটি গাড়ি ঘণ্টায় 60 কি.মি. বেগে কিছু পথ এবং ঘণ্টায় 40 কি.মি. বেগে অবশিষ্ট পথ অতিক্রম করলো। গাড়িটি মোট 5 ঘণ্টায় 240 কি.মি. পথ অতিক্রম করলে, ঘণ্টায় 60 কি.মি. বেগে কতদূর গিয়েছে?

23.

ধরি, 

গাড়িটি ঘণ্টায় 60 কিমি বেগে t₁ ঘণ্টা 

এবং ঘণ্টায় 40 কিমি বেগে t₂ ঘণ্টা চলে।



প্রথম শর্ত (মোট সময়):

t₁ + t₂ = 5 …... (1)



দ্বিতীয় শর্ত (মোট দূরত্ব):

60 কিমি/ঘণ্টা বেগে অতিক্রান্ত দূরত্ব = 60 t₁

40 কিমি/ঘণ্টা বেগে অতিক্রান্ত দূরত্ব = 40 t₂



মোট দূরত্ব 240 কিমি:

60 t₁ + 40 t₂ = 240 …... (2)



সমাধান:

(1) থেকে t₂ = 5 - t₁ (2)-এ বসাই:

⇒ 60 t₁ + 40(5 - t₁) = 240

⇒ 60 t₁ + 200 - 40 t₁ = 240

⇒ 20 t₁ + 200 = 240

⇒ 20 t₁ = 40

⇒ t₁ = 2


সুতরাং,


60 কিমি/ঘণ্টা বেগে অতিক্রান্ত দূরত্ব = 60 x 2 = 120 কিমি


উত্তর:

120 কিমি

২৪. ঢাকার নিউমার্কেট থেকে গাবতলীর দূরত্ব 12 কি.মি.। সজল নিউমার্কেট থেকে রিক্সায় ঘণ্টায় 6 কি.মি. বেগে এবং কাজল একই স্থান থেকে পায়ে হেঁটে ঘণ্টায় 4 কি.মি. বেগে গাবতলীর দিকে রওনা হলো। সজল গাবতলী পৌঁছে সেখানে 30 মিনিট বিশ্রাম নিয়ে আবার নিউমার্কেটের দিকে একই বেগে রওনা হলো। তারা নিউমার্কেট থেকে কতদূরে মিলিত হবে?

24.

ধরি, 


নিউমার্কেট থেকে মিলিত বিন্দুর দূরত্ব = x কিমি (নিউমার্কেট থেকে)।

গতিপথ ও সময় হিসাব:

সজল:
নিউমার্কেট থেকে গাবতলী (12 কিমি) → সময়   12    6   = 2 ঘণ্টা

30 মিনিট = 0.5 ঘণ্টা বিশ্রাম

তারপর গাবতলী থেকে নিউমার্কেটের দিকে ফিরতে শুরু করে, বেগ 6 কিমি/ঘণ্টা।



কাজল:
নিউমার্কেট থেকে গাবতলীর দিকে পায়ে হেঁটে বেগ 4 কিমি/ঘণ্টা, থামে না।

সজল গাবতলীতে পৌঁছায় নিউমার্কেট ছাড়ার 2 ঘণ্টা পরে।

তারপর বিশ্রাম শেষ করে ফেরা শুরু করে 2.5 ঘণ্টা পরে (নিউমার্কেট ছাড়ার পর থেকে)।

তখন কাজল কতদূর গিয়েছে:
2.5 ঘণ্টায় কাজল যায় 4 x 2.5 = 10 কিমি (গাবতলীর দিকে)।

গাবতলী থেকে কাজলের দূরত্ব = 12 - 10 = 2 কিমি (গাবতলীর কাছে)।

এখন সজল গাবতলী থেকে নিউমার্কেটের দিকে 6 কিমি/ঘণ্টা বেগে যাচ্ছে, কাজল নিউমার্কেট থেকে গাবতলীর দিকে 4 কিমি/ঘণ্টা বেগে যাচ্ছে।

তাদের মধ্যকার দূরত্ব 2 কিমি, তারা পরস্পরের দিকে এগোচ্ছে, আপেক্ষিক বেগ = 6 + 4 = 10 কিমি/ঘণ্টা।

মিলিত হতে সময় লাগে =    2   10   


                                       = 0.2 ঘণ্টা 


                                       = 0.2 × 60 মিনিট।


                                       = 12 মিনিট।



এই 0.2 ঘণ্টায়:

সজল গাবতলী থেকে নিউমার্কেটের দিকে যায় 6 x 0.2 = 1.2 কিমি

কাজল নিউমার্কেট থেকে গাবতলীর দিকে যায় 4 x 0.2 = 0.8 কিমি



তারা মিলিত হয় নিউমার্কেট থেকে কাজলের অতিক্রান্ত দূরত্বে।

নিউমার্কেট থেকে দূরত্ব = কাজলের মোট পথ = বিশ্রাম শুরুর আগের 10 কিমি + শেষের 0.8 কিমি

                                                                          = 10 + 0.8 কিমি


                                                                          = 10.8 কিমি।



উত্তর:

10.8 কিমি