১. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুইটির পরিমাণ দেওয়া থাকলে নিম্নের কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?
ক) 60° ও 36°
খ) 40° ও 50°
গ) 30° ও 70°
ঘ) 80° ও 20°
1.
সমকোণী ত্রিভুজে দুইটি সূক্ষ্মকোণের সমষ্টি সর্বদা ৯০° হয়।
অতএব, যে ক্ষেত্রে দুইটি সূক্ষ্মকোণের যোগফল ৯০°, শুধুমাত্র সেই ক্ষেত্রেই সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব।
| বিকল্প | সূক্ষ্মকোণ দুইটির যোগফল | ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব? |
|---|---|---|
| ক) ৬০° ও ৩৬° | ৯৬° | ✗ সম্ভব নয় |
| খ) ৪০° ও ৫০° | ৯০° | ✓ সম্ভব |
| গ) ৩০° ও ৭০° | ১০০° | ✗ সম্ভব নয় |
| ঘ) ৮০° ও ২০° | ১০০° | ✗ সম্ভব নয় |
উত্তর:
খ) ৪০° ও ৫০°
কারণ: সমকোণী ত্রিভুজের দুইটি সূক্ষ্মকোণের সমষ্টি ৯০°। ৪০° + ৫০° = ৯০°, তাই এই ক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব।
২. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4 সে.মি. ও 9 সে.মি. হলে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
ক) 4
খ) 5
গ) 6
ঘ) 13
2.
ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের অন্তর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে ছোট এবং সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বড় হতে হবে।
অর্থাৎ,
∣9 - 4∣ < তৃতীয় বাহু < 9 + 4
5 < তৃতীয় বাহু < 13
এখন বিকল্পগুলো পরীক্ষা করি—
ক) ৪ ✗ (৫-এর চেয়ে ছোট)
খ) ৫ ✗ (৫-এর সমান, তাই সম্ভব নয়)
গ) ৬ ✓ (৫ ও ১৩-এর মধ্যে)
ঘ) ১৩ ✗ (১৩-এর সমান, তাই সম্ভব নয়)
সঠিক উত্তর: গ) ৬ সে.মি.
কারণ: তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ সে.মি.-এর বেশি এবং ১৩ সে.মি.-এর কম হতে হবে। প্রদত্ত বিকল্পগুলোর মধ্যে ৬ সে.মি. একমাত্র শর্ত পূরণ করে।
৩. নির্দিষ্ট একটি চতুর্ভুজ আঁকা সম্ভব যদি দেয়া থাকে-
(i) চারটি বাহু ও একটি কোণ
(ii) তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
(iii) দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i
খ) ii
গ) i, ii
ঘ) i, ii ও ii
3.
একটি নির্দিষ্ট (Unique) চতুর্ভুজ আঁকতে পর্যাপ্ত তথ্য থাকতে হবে। প্রতিটি ক্ষেত্রে দেখি—
(i) চারটি বাহু ও একটি কোণ → ✔️ সম্ভব।
(ii) তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ → ✔️ সম্ভব।
(iii) দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ → ✖️ সম্ভব নয়; এই তথ্য দিয়ে একটিমাত্র নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ নির্ধারণ করা যায় না।
অতএব, (i) ও (ii) সঠিক।
সঠিক উত্তর: গ) i, ii ✅
৪. নিম্নে প্রদত্ত উপাত্ত নিয়ে চতুর্ভুজ অঙ্কন করো:
ক) চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সে.মি., 3.5 সে.মি., 2.5 সে.মি. ও 3 সে.মি. এবং একটি কোণ 45°।
খ) চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3.5 সে.মি, 4 সে.মি., 2.5 সে.মি. ও 3.5 সে.মি. এবং একটি কর্ণ 5 সে.মি.।
গ) তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3.2 সে.মি., 3 সে.মি., 3.5 সে.মি. এবং দুইটি কর্ণ 2.8 সে.মি. ও 4.5 সে.মি.।
ঘ) তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সে.মি., 3.5 সে.মি., 4 সে.মি. এবং দুইটি কোণ 60° ও 135°।
4.
নিম্নে প্রদত্ত উপাত্ত নিয়ে চতুর্ভুজ অঙ্কন করো।
ক) চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ সে.মি., ৩.৫ সে.মি., ২.৫ সে.মি. ও ৩ সে.মি. এবং একটি কোণ ৪৫°।
ধরি, ABCD-এ
AB = ৩ সে.মি.
BC = ৩.৫ সে.মি.
CD = ২.৫ সে.মি.
DA = ৩ সে.মি.
∠DAB = ৪৫°
নির্মাণের ধাপ
১। AB = ৩ সে.মি. আঁকো।
২। A বিন্দুতে ৪৫° কোণ নির্মাণ করে একটি রশ্মি AX আঁকো।
৩। AX-এর উপর AD = ৩ সে.মি. কেটে নাও।
৪। B কেন্দ্র ও ৩.৫ সে.মি. ব্যাসার্ধে একটি চাপ আঁকো।
৫। D কেন্দ্র ও ২.৫ সে.মি. ব্যাসার্ধে আরেকটি চাপ আঁকো, যা পূর্বের চাপকে C বিন্দুতে ছেদ করবে।
৬। BC এবং CD যোগ করো।
প্রাপ্ত ABCD-ই প্রয়োজনীয় চতুর্ভুজ।
খ) চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৩.৫ সে.মি., ৪ সে.মি., ২.৫ সে.মি. ও ৩.৫ সে.মি. এবং একটি কর্ণ ৫ সে.মি.।
ধরি,
AB = ৩.৫ সে.মি.
BC = ৪ সে.মি.
CD = ২.৫ সে.মি.
DA = ৩.৫ সে.মি.
AC = ৫ সে.মি.
নির্মাণের ধাপ
১। AC = ৫ সে.মি. আঁকো।
২। A কেন্দ্র (৩.৫ সে.মি.) ও C কেন্দ্র (৪ সে.মি.) ব্যাসার্ধে চাপ এঁকে B নির্ণয় করো।
৩। আবার A কেন্দ্র (৩.৫ সে.মি.) ও C কেন্দ্র (২.৫ সে.মি.) ব্যাসার্ধে চাপ এঁকে D নির্ণয় করো।
৪। AB, BC, CD ও DA যোগ করো।
প্রাপ্ত ABCD-ই প্রয়োজনীয় চতুর্ভুজ।
গ) তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৩.২ সে.মি., ৩ সে.মি., ৩.৫ সে.মি. এবং দুইটি কর্ণ ২.৮ সে.মি. ও ৪.৫ সে.মি.।
ধরি,
AB = ৩.২ সে.মি.
BC = ৩ সে.মি.
CD = ৩.৫ সে.মি.
AC = ২.৮ সে.মি.
BD = ৪.৫ সে.মি.
নির্মাণের ধাপ
১। AC = ২.৮ সে.মি. আঁকো।
২। A কেন্দ্র (৩.২ সে.মি.) ও C কেন্দ্র (৩ সে.মি.) ব্যাসার্ধে চাপ এঁকে B নির্ণয় করো।
৩। B কেন্দ্র (৪.৫ সে.মি.) ও C কেন্দ্র (৩.৫ সে.মি.) ব্যাসার্ধে চাপ এঁকে D নির্ণয় করো।
৪। AB, BC, CD ও DA যোগ করো।
প্রাপ্ত ABCD-ই প্রয়োজনীয় চতুর্ভুজ।
ঘ) তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ সে.মি., ৩.৫ সে.মি., ৪ সে.মি. এবং দুইটি কোণ ৬০° ও ১৩৫°।
ধরি,
AB = ৩ সে.মি.
BC = ৩.৫ সে.মি.
CD = ৪ সে.মি.
∠ABC = ৬০°
∠BCD = ১৩৫°
নির্মাণের ধাপ
১। AB = ৩ সে.মি. আঁকো।
২। B বিন্দুতে ৬০° কোণ নির্মাণ করে একটি রশ্মি আঁকো।
৩। ঐ রশ্মির উপর BC = ৩.৫ সে.মি. কেটে নাও।
৪। C বিন্দুতে BC-এর সঙ্গে ১৩৫° কোণ নির্মাণ করে একটি রশ্মি আঁকো।
৫। ঐ রশ্মির উপর CD = ৪ সে.মি. কেটে নাও।
৬। A ও D যোগ করো।
প্রাপ্ত ABCD-ই প্রয়োজনীয় চতুর্ভুজ।
৫. নিম্নে প্রদত্ত উপাত্ত নিয়ে সামান্তরিক অঙ্কন করো:
ক) দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 4 সে.মি., 6.5 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 45°।
খ) একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. এবং দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি., 6.5 সে.মি.।
5.
নিম্নে প্রদত্ত উপাত্ত নিয়ে সামান্তরিক অঙ্কন করো।
ক) দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি., ৬.৫ সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৪৫°।
ধরি,
ABCD একটি সামান্তরিক, যেখানে
AC = ৬.৫ সে.মি.
BD = ৪ সে.মি.
কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ = ৪৫°
নির্মাণের ধাপ
১। O বিন্দুতে ৪৫° কোণ নির্মাণ করে দুইটি সরলরেখা আঁকো।
২। একটি সরলরেখায় O-এর উভয় পাশে
OA = OC = ৩.২৫ সে.মি. (কারণ AC = ৬.৫ সে.মি.)
৩। অপর সরলরেখায় O-এর উভয় পাশে
OB = OD = ২ সে.মি. (কারণ BD = ৪ সে.মি.)
৪। A, B, C ও D ক্রমানুসারে যোগ করো।
প্রাপ্ত ABCD-ই প্রয়োজনীয় সামান্তরিক।
খ) একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এবং দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য ৫ সে.মি., ৬.৫ সে.মি.।
ধরি,
ABCD একটি সামান্তরিক, যেখানে
AB = ৪ সে.মি.
AC = ৬.৫ সে.মি.
BD = ৫ সে.মি.
নির্মাণের ধাপ
১। AB = ৪ সে.মি. আঁকো।
২। A কেন্দ্র ও ৬.৫ ÷ ২ = ৩.২৫ সে.মি. ব্যাসার্ধে একটি চাপ আঁকো।
৩। B কেন্দ্র ও ৫ ÷ ২ = ২.৫ সে.মি. ব্যাসার্ধে আরেকটি চাপ আঁকো। চাপদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করবে।
৪। AO যোগ করে AO-কে O-এর অপর পাশে সমান পরিমাণ বাড়িয়ে C নির্ণয় করো, যাতে OA = OC = ৩.২৫ সে.মি.
৫। BO যোগ করে BO-কে O-এর অপর পাশে সমান পরিমাণ বাড়িয়ে D নির্ণয় করো, যাতে OB = OD = ২.৫ সে.মি.
৬। BC, CD ও DA যোগ করো।
প্রাপ্ত ABCD-ই প্রয়োজনীয় সামান্তরিক।
সংক্ষিপ্ত যাচাই
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
তাই O বিন্দু AC ও BD-এর মধ্যবিন্দু।
প্রদত্ত কর্ণদ্বয়ের অর্ধেক নিয়ে C ও D নির্ণয় করায়,
AC = ৬.৫ সে.মি.
BD = ৫ সে.মি.
AB = ৪ সে.মি.
অতএব, ABCD-ই প্রদত্ত শর্ত পূরণকারী সামান্তরিক।
৬. ABCD চতুর্ভুজের AB ও BC বাহু এবং ∠B, ∠C ও ∠D কোণ দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকো।
6.
ABCD চতুর্ভুজের AB ও BC বাহু এবং ∠B, ∠C ও ∠D কোণ দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকো।
ধরি,
AB = প্রদত্ত দৈর্ঘ্য
BC = প্রদত্ত দৈর্ঘ্য
∠ABC = প্রদত্ত ∠B
∠BCD = প্রদত্ত ∠C
∠CDA = প্রদত্ত ∠D
নির্মাণের ধাপ
১। AB = প্রদত্ত দৈর্ঘ্য আঁকো।
২। B বিন্দুতে প্রদত্ত ∠B নির্মাণ করে একটি রশ্মি BX আঁকো।
৩। BX-এর উপর BC = প্রদত্ত দৈর্ঘ্য কেটে নাও।
৪। C বিন্দুতে প্রদত্ত ∠C নির্মাণ করে একটি রশ্মি CY আঁকো।
৫। ∠A নির্ণয় করো।
∠A = 360∘ - (∠B + ∠C + ∠D)
৬। A বিন্দুতে AB-এর সঙ্গে ∠A নির্মাণ করে একটি রশ্মি AZ আঁকো।
৭। AZ ও CY রশ্মি D বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করবে।
৮। CD এবং AD যোগ করো।
প্রাপ্ত ABCD-ই প্রয়োজনীয় চতুর্ভুজ।
সংক্ষিপ্ত যাচাই
AB ও BC প্রদত্ত।
∠B ও ∠C প্রদত্ত।
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০°, তাই
∠A = 360∘ - (∠B + ∠C + ∠D)
D বিন্দু দুটি রশ্মির ছেদবিন্দু হওয়ায় ∠D-ও প্রদত্ত মানের হয়।
অতএব, ABCD-ই প্রদত্ত শর্ত পূরণকারী চতুর্ভুজ।
৭. ABCD চতুর্ভুজের কর্ণ দুইটির ছেদবিন্দু দ্বারা কর্ণ দুইটির চারটি খণ্ডিত অংশ এবং এদের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণ যথাক্রমে OA = 4 সে.মি., OB = 5 সে.মি., OC = 3.5 সে.মি., OD = 4.5 সে.মি. ও ∠AOB = 80 deg দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকো।
7.
ABCD চতুর্ভুজের কর্ণ দুইটির ছেদবিন্দু দ্বারা কর্ণ দুইটির চারটি খণ্ডিত অংশ এবং এদের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণ যথাক্রমে OA = ৪ সে.মি., OB = ৫ সে.মি., OC = ৩.৫ সে.মি., OD = ৪.৫ সে.মি. ও ∠AOB = ৮০° দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকো।
ধরি,
O হলো কর্ণ AC ও BD-এর ছেদবিন্দু, যেখানে
OA = ৪ সে.মি.
OB = ৫ সে.মি.
OC = ৩.৫ সে.মি.
OD = ৪.৫ সে.মি.
∠AOB = ৮০°
নির্মাণের ধাপ
১। O বিন্দুতে ∠AOB = ৮০° নির্মাণ করো।
২। কোণের এক বাহুর উপর OA = ৪ সে.মি. কেটে A নির্ণয় করো।
৩। কোণের অপর বাহুর উপর OB = ৫ সে.মি. কেটে B নির্ণয় করো।
৪। OA-এর বিপরীত দিকে একই সরলরেখায় OC = ৩.৫ সে.মি. কেটে C নির্ণয় করো।
৫। OB-এর বিপরীত দিকে একই সরলরেখায় OD = ৪.৫ সে.মি. কেটে D নির্ণয় করো।
৬। A, B, C ও D-কে ক্রমানুসারে যোগ করো।
প্রাপ্ত ABCD-ই প্রয়োজনীয় চতুর্ভুজ।
সংক্ষিপ্ত যাচাই
OA = ৪ সে.মি., OC = ৩.৫ সে.মি. (প্রদত্ত)
OB = ৫ সে.মি., OD = ৪.৫ সে.মি. (প্রদত্ত)
∠AOB = ৮০° (প্রদত্ত)
O বিন্দু কর্ণ AC ও BD-এর ছেদবিন্দু।
অতএব, ABCD-ই প্রদত্ত শর্ত পূরণকারী চতুর্ভুজ।
৮. রম্বসের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3.5 সে.মি. ও একটি কোণ 45°; রম্বসটি আঁকো।
8.
রম্বসের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৩.৫ সে.মি. ও একটি কোণ ৪৫°; রম্বসটি আঁকো।
ধরি,
ABCD একটি রম্বস, যেখানে
AB = ৩.৫ সে.মি.
∠DAB = ৪৫°
নির্মাণের ধাপ
১। AB = ৩.৫ সে.মি. আঁকো।
২। A বিন্দুতে ৪৫° কোণ নির্মাণ করে একটি রশ্মি AX আঁকো।
৩। AX-এর উপর AD = ৩.৫ সে.মি. কেটে নাও।
৪। B কেন্দ্র এবং ৩.৫ সে.মি. ব্যাসার্ধে একটি চাপ আঁকো।
৫। D কেন্দ্র এবং ৩.৫ সে.মি. ব্যাসার্ধে আরেকটি চাপ আঁকো। চাপদ্বয় C বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করবে।
৬। BC এবং CD যোগ করো।
প্রাপ্ত ABCD-ই প্রয়োজনীয় রম্বস।
সংক্ষিপ্ত যাচাই
AB = BC = CD = DA = ৩.৫ সে.মি.
∠DAB = ৪৫° (প্রদত্ত)।
চারটি বাহু সমান হওয়ায় ABCD একটি রম্বস।
অতএব, ABCD-ই প্রদত্ত শর্ত পূরণকারী রম্বস।
৯. রম্বসের একটি বাহু এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। রম্বসটি আঁকো।
9.
রম্বসের একটি বাহু এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। রম্বসটি আঁকো।
ধরি,
ABCD একটি রম্বস, যেখানে
AB = প্রদত্ত বাহুর দৈর্ঘ্য
AC = প্রদত্ত কর্ণের দৈর্ঘ্য
নির্মাণের ধাপ
১। AC = প্রদত্ত কর্ণের দৈর্ঘ্য আঁকো।
২। A কেন্দ্র এবং প্রদত্ত বাহুর দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধে একটি চাপ আঁকো।
৩। C কেন্দ্র এবং একই ব্যাসার্ধে আরেকটি চাপ আঁকো। দুটি চাপ উপরের দিকে B বিন্দুতে এবং নিচের দিকে D বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করবে।
৪। AB, BC, CD এবং DA যোগ করো।
প্রাপ্ত ABCD-ই প্রয়োজনীয় রম্বস।
সংক্ষিপ্ত যাচাই
AB = BC = CD = DA (চারটি বাহুই সমান), কারণ B ও D বিন্দু A ও C কেন্দ্রের সমান ব্যাসার্ধের চাপের ছেদবিন্দু।
AC প্রদত্ত কর্ণের সমান।
অতএব, ABCD-ই প্রদত্ত শর্ত পূরণকারী রম্বস।
১০. রম্বসের দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। রম্বসটি আঁকো।
10.
রম্বসের দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। রম্বসটি আঁকো।
ধরি,
ABCD একটি রম্বস, যেখানে
AC = প্রদত্ত কর্ণের দৈর্ঘ্য
BD = প্রদত্ত কর্ণের দৈর্ঘ্য
নির্মাণের ধাপ
১। AC = প্রদত্ত কর্ণের দৈর্ঘ্য আঁকো।
২। AC-এর মধ্যবিন্দু O নির্ণয় করো।
৩। O বিন্দুতে AC-এর উপর লম্ব আঁকো।
৪। লম্বের উপর O-এর দুই পাশে
OB = OD = (প্রদত্ত BD-এর অর্ধেক) কেটে নাও।
৫। A, B, C এবং D-কে ক্রমানুসারে যোগ করো।
প্রাপ্ত ABCD-ই প্রয়োজনীয় রম্বস।
সংক্ষিপ্ত যাচাই
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং পরস্পর লম্ব।
তাই O হলো AC ও BD-এর মধ্যবিন্দু।
নির্মাণ অনুযায়ী,
OA = OC = AC 2
OB = OD = BD 2
AC ⟂ BD
অতএব, ABCD-ই প্রদত্ত শর্ত পূরণকারী রম্বস।
১১. বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা দেওয়া আছে। বর্গক্ষেত্রটি আঁকো।
11.
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা দেওয়া আছে। বর্গক্ষেত্রটি আঁকো।
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = P
তাহলে, বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য হবে
P 4
নির্মাণের ধাপ
১। প্রদত্ত পরিসীমা P-কে ৪ সমান ভাগে ভাগ করো। প্রতিটি অংশের দৈর্ঘ্য হবে P 4
২। একটি সরলরেখায় AB = P 4 আঁকো।
৩। A ও B বিন্দুতে AB-এর উপর একই পাশে ৯০° কোণ নির্মাণ করো।
৪। A-এর লম্বের উপর AD = P 4 এবং B-এর লম্বের উপর BC = P 4 কেটে নাও।
৫। C ও D যোগ করো।
প্রাপ্ত ABCD-ই প্রয়োজনীয় বর্গক্ষেত্র।
সংক্ষিপ্ত যাচাই
AB = BC = CD = DA = P 4
প্রতিটি কোণ ৯০°।
অতএব, ABCD একটি বর্গক্ষেত্র।
পরিসীমা:
= AB + BC + CD + DA
= P 4 + P 4 + P 4 + P 4
= P + P + P + P 4
= 4P 4
= P
যা প্রদত্ত পরিসীমার সমান।
অতএব, ABCD-ই প্রদত্ত শর্ত পূরণকারী বর্গক্ষেত্র।
১২. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 5 সে.মি. ও এক বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি.। উপরের তথ্যের আলোকে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:
ক) ত্রিভুজটির অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
খ) ত্রিভুজটি অঙ্কন করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)
গ) ত্রিভুজটির পরিসীমার সমান পরিসীমাবিশিষ্ট একটি বর্গ অঙ্কন করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)
12.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ৫ সে.মি. ও এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি.। উপরের তথ্যের আলোকে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।
ক) ত্রিভুজটির অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
সমকোণী ত্রিভুজে,
অতিভুজ2 = লম্ব2 + ভূমি2
ধরি,
অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
52 = 42+x2
⇒ 25 = 16 + x2
⇒ x2 = 9
⇒ x = 3
উত্তর: ৩ সে.মি.
খ) ত্রিভুজটি অঙ্কন করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)
ধরি,
△ABC-এ
∠C = ৯০°
AB = ৫ সে.মি. (অতিভুজ)
AC = ৪ সে.মি.
নির্মাণের ধাপ
১। AB = ৫ সে.মি. আঁকো।
২। AB-এর মধ্যবিন্দু O নির্ণয় করো।
৩। O কেন্দ্র এবং OA ব্যাসার্ধে একটি অর্ধবৃত্ত আঁকো।
৪। A কেন্দ্র এবং ৪ সে.মি. ব্যাসার্ধে একটি চাপ আঁকো, যা অর্ধবৃত্তকে C বিন্দুতে ছেদ করবে।
৫। AC ও BC যোগ করো।
অঙ্কনের চিহ্ন
AB = ৫ সে.মি.
AC = ৪ সে.মি.
∠ACB = ৯০°
প্রাপ্ত △ABC-ই প্রয়োজনীয় সমকোণী ত্রিভুজ।
গ) ত্রিভুজটির পরিসীমার সমান পরিসীমাবিশিষ্ট একটি বর্গ অঙ্কন করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)
প্রথমে ত্রিভুজের পরিসীমা নির্ণয় করি—
AB + BC + CA
= 5 + 3 + 4
= 12 সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২ সে.মি.
অতএব, প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য
12 ÷ 4 = 3 সে.মি.
নির্মাণের ধাপ
১। PQ = ৩ সে.মি. আঁকো।
২। P ও Q বিন্দুতে PQ-এর উপর একই পাশে ৯০° কোণ নির্মাণ করো।
৩। P-এর লম্বের উপর PS = ৩ সে.মি. এবং Q-এর লম্বের উপর QR = ৩ সে.মি. কেটে নাও।
৪। R ও S যোগ করো।
অঙ্কনের চিহ্ন
PQ = QR = RS = SP = ৩ সে.মি.
প্রতিটি কোণ = ৯০°
প্রাপ্ত PQRS-ই ত্রিভুজটির পরিসীমার সমান পরিসীমাবিশিষ্ট প্রয়োজনীয় বর্গক্ষেত্র।
১৩. ABCD চতুর্ভুজের AB = 4 সে.মি., BC = 5, ∠A = 85°, ∠B = 80° এবং ∠C = 95°। উপরের তথ্যের আলোকে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।
ক) ∠D এর মান নির্ণয় করো।
খ) প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী ABCD চতুর্ভুজটি অঙ্কন করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)
গ) প্রদত্ত বাহু দুইটিকে একটি সামান্তরিকের বাহু এবং ∠B = 80° ধরে সামান্তরিকটি অঙ্কন করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)
13.
ABCD চতুর্ভুজের AB = ৪ সে.মি., BC = ৫ সে.মি., ∠A = ৮৫°, ∠B = ৮০° এবং ∠C = ৯৫°। উপরের তথ্যের আলোকে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।
ক) ∠D-এর মান নির্ণয় করো।
চতুর্ভুজের চারটি অন্তঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°।
অতএব,
∠D = 360∘ - (85∘ + 80∘ + 95∘)
⇒ ∠D = 360∘ - 260∘
⇒ ∠D = 100∘
উত্তর: ∠D = ১০০°।
খ) প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী ABCD চতুর্ভুজটি অঙ্কন করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)
নির্মাণের ধাপ
১। AB = ৪ সে.মি. আঁকো।
২। B বিন্দুতে ∠ABC = ৮০° নির্মাণ করে একটি রশ্মি BX আঁকো।
৩। BX-এর উপর BC = ৫ সে.মি. কেটে C নির্ণয় করো।
৪। A বিন্দুতে ∠DAB = ৮৫° নির্মাণ করে একটি রশ্মি আঁকো।
৫। C বিন্দুতে ∠BCD = ৯৫° নির্মাণ করে আরেকটি রশ্মি আঁকো।
৬। A ও C থেকে অঙ্কিত দুই রশ্মি D বিন্দুতে মিলিত হবে।
৭। AD ও CD যোগ করো।
অঙ্কনের চিহ্ন
AB = ৪ সে.মি.
BC = ৫ সে.মি.
∠A = ৮৫°
∠B = ৮০°
∠C = ৯৫°
∠D = ১০০°
প্রাপ্ত ABCD-ই প্রয়োজনীয় চতুর্ভুজ।
গ) প্রদত্ত বাহু দুইটিকে একটি সামান্তরিকের বাহু এবং ∠B = ৮০° ধরে সামান্তরিকটি অঙ্কন করো। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)
ধরি,
ABCD একটি সামান্তরিক, যেখানে
AB = ৪ সে.মি.
BC = ৫ সে.মি.
∠ABC = ৮০°
নির্মাণের ধাপ
১। AB = ৪ সে.মি. আঁকো।
২। B বিন্দুতে ৮০° কোণ নির্মাণ করে একটি রশ্মি BX আঁকো।
৩। BX-এর উপর BC = ৫ সে.মি. কেটে C নির্ণয় করো।
৪। A কেন্দ্র ও ৫ সে.মি. ব্যাসার্ধে একটি চাপ আঁকো।
৫। C কেন্দ্র ও ৪ সে.মি. ব্যাসার্ধে আরেকটি চাপ আঁকো। চাপদ্বয় D বিন্দুতে ছেদ করবে।
৬। AD ও CD যোগ করো।
অঙ্কনের চিহ্ন
AB = CD = ৪ সে.মি.
BC = AD = ৫ সে.মি.
∠ABC = ৮০°
প্রাপ্ত ABCD-ই প্রয়োজনীয় সামান্তরিক।
নমুনা প্রশ্ন
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
১. একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য 18 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গসে.মি.?
ক) 36
খ) 81
গ) 162
ঘ) 324
M-1.
একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজে সমান দুইটি বাহুই পরস্পরের লম্ব।
প্রদত্ত,
সমান বাহু = ১৮ সে.মি.
ভূমি = ১৮ সে.মি.
উচ্চতা = ১৮ সে.মি.
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
= ১ ২ × ভূমি × উচ্চতা
= ১ ২ × 18 × 18
= 9 × 18
= 162 বর্গসে.মি.
সঠিক উত্তর: গ) ১৬২ ✅
২. রম্বসের-
(i) চারটি বাহু পরস্পর সমান
(ii) বিপরীত কোণ সমান
(iii) কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i, ii
খ) i, iii
গ) ii, iii
ঘ) i, ii ও iii
M-2.
রম্বসের বৈশিষ্ট্যগুলো যাচাই করি—
(i) চারটি বাহু পরস্পর সমান — ✔️ সঠিক।
(ii) বিপরীত কোণ সমান — ✔️ সঠিক।
(iii) কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে — ✔️ সঠিক।
অতএব, তিনটিই সঠিক।
সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii ✅
নিচের চিত্রের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও। চিত্রে, ABCD একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। BF = 2 সে.মি. এবং EF = 3 সে.মি.
৩. BD কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?
ক) 1
খ) √ 5
গ) √ 13
ঘ) 5
M-3.
প্রদত্ত,
ABCD একটি আয়তক্ষেত্র।
কর্ণদ্বয় E বিন্দুতে পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
BF = 2 সে.মি.
EF = 3 সে.মি.
যেহেতু E আয়তক্ষেত্রের কেন্দ্র,
BF = AB 2
⇒ AB = 4 সে.মি.
EF = BC 2
⇒ BC = 6 সে.মি.
⇒ BC = √13
এখন,
BE =
BE =
আবার, E হলো কর্ণ BD-এর মধ্যবিন্দু, তাই
BD = 2BE = 2√13 সে.মি.
সঠিক মান:
BD= 2√13 সে.মি.
প্রদত্ত বিকল্পগুলোর (1, √5 , √13 , 5 কোনটি সঠিক নয়
সম্ভবত প্রশ্নটি "BE-এর দৈর্ঘ্য কত?" হওয়ার কথা ছিল। সে ক্ষেত্রে সঠিক উত্তর হবে: √13 সে.মি.
৪. আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গসে.মি.?
ক) 8√ 5
খ) 24
গ) 12√ 5
ঘ) 32√ 5
M-4.
প্রদত্ত,
ABCD একটি আয়তক্ষেত্র।
BF = 2 সে.মি.
EF = 3 সে.মি.
E হলো কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু (অর্থাৎ কেন্দ্র)।
দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয়
যেহেতু E আয়তক্ষেত্রের কেন্দ্র,
BF = AB 2
অতএব,
AB = 2 × 2 = 4 সে.মি.
এবং,
EF = BC 2
অতএব,
BC = 2 × 3 সেমি
ক্ষেত্রফল নির্ণয়
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
সঠিক উত্তর: খ) ২৪ ✅
সৃজনশীল প্রশ্ন
৫. একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. ও 6 সে.মি. এবং বৃহত্তম বাহু সংলগ্ন দুইটি কোণ∠x = 60° এবং ∠y = 50° ।
ক) 5 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করো।
খ) ট্রাপিজিয়ামটি আঁক। (অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক)
গ) উদ্দীপকের বাহু দুইটিকে সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ ও ∠y কে অন্তর্ভুক্ত কোণ বিবেচনা করে সামান্তরিকটি আঁক। (অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক)
M-5.
৫। একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. ও ৬ সে.মি. এবং বৃহত্তম বাহু সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠x = ৬০° এবং ∠y = ৫০°।
ক) ৫ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করো।
নির্মাণের ধাপ
১। AB = ৫ সে.মি. আঁকো।
২। A কেন্দ্র ও ৫ সে.মি. ব্যাসার্ধে একটি চাপ আঁকো।
৩। B কেন্দ্র ও ৫ সে.মি. ব্যাসার্ধে আরেকটি চাপ আঁকো। দুই চাপ C বিন্দুতে ছেদ করবে।
৪। AC ও BC যোগ করো।
অঙ্কনের চিহ্ন
AB = BC = CA = ৫ সে.মি.
প্রাপ্ত △ABC-ই প্রয়োজনীয় সমবাহু ত্রিভুজ।
খ) ট্রাপিজিয়ামটি আঁক। (অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক)
ধরি,
ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম, যেখানে
AB = ৬ সে.মি. (বৃহত্তম সমান্তরাল বাহু)
CD = ৪ সে.মি.
∠A = ৬০°
∠B = ৫০°
AB ∥ CD
নির্মাণের ধাপ
১। AB = ৬ সে.মি. আঁকো।
২। A বিন্দুতে ৬০° কোণ নির্মাণ করে একটি রশ্মি আঁকো।
৩। B বিন্দুতে ৫০° কোণ নির্মাণ করে একটি রশ্মি আঁকো।
৪। A থেকে অঙ্কিত রশ্মির উপর একটি বিন্দু D নাও।
৫। D বিন্দু দিয়ে AB-এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা আঁকো।
৬। ঐ সমান্তরাল রেখার উপর DC = ৪ সে.মি. কেটে C নির্ণয় করো, যাতে C, B-এর দিকেই থাকে।
৭। C-কে B-এর সঙ্গে যোগ করো।
অঙ্কনের চিহ্ন
AB = ৬ সে.মি.
CD = ৪ সে.মি.
AB ∥ CD
∠A = ৬০°
∠B = ৫০°
প্রাপ্ত ABCD-ই প্রয়োজনীয় ট্রাপিজিয়াম।
গ) উদ্দীপকের বাহু দুইটিকে সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ ও ∠y-কে অন্তর্ভুক্ত কোণ বিবেচনা করে সামান্তরিকটি আঁক। (অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক)
ধরি,
ABCD একটি সামান্তরিক, যেখানে
AC = ৬ সে.মি.
BD = ৪ সে.মি.
∠AOB = ৫০° (O হলো কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু)
নির্মাণের ধাপ
১। O বিন্দুতে ৫০° কোণ নির্মাণ করো।
২। কোণের এক বাহুর উপর
OA = OC = ৩ সে.মি. কেটে নাও।
৩। অপর বাহুর উপর
OB = OD = ২ সে.মি. কেটে নাও।
৪। A, B, C ও D-কে ক্রমানুসারে যোগ করো।
অঙ্কনের চিহ্ন
OA = OC = ৩ সে.মি.
OB = OD = ২ সে.মি.
∠AOB = ৫০°
O হলো AC ও BD-এর মধ্যবিন্দু।
প্রাপ্ত ABCD-ই প্রয়োজনীয় সামান্তরিক।
সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন
৬. ক) △DEF-এর DE = DF = 4 সে.মি. ও ∠EDF = 50° হলে, △DEF অঙ্কন করো।
খ) △PQR-এর PQ = PR = 5 সে.মি. এবং QR = 6 সে.মি.হলে, △PQR টি অঙ্কন করো।
গ) রুলার-কম্পাসের সাহায্যে MN = 7 সে.মি রেখাংশের Q বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডক PQ অঙ্কন করো যেন ∠PQN = 45° হয়।
M-6.
৬। সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন
ক) △DEF-এর DE = DF = ৪ সে.মি. ও ∠EDF = ৫০° হলে, △DEF অঙ্কন করো।
নির্মাণের ধাপ
১। D বিন্দুতে ৫০° কোণ নির্মাণ করে দুটি রশ্মি DX ও DY আঁকো।
২। DX রশ্মির উপর DE = ৪ সে.মি. কেটে নাও।
৩। DY রশ্মির উপর DF = ৪ সে.মি. কেটে নাও।
৪। E ও F যোগ করো।
অঙ্কনের চিহ্ন
DE = DF = ৪ সে.মি.
∠EDF = ৫০°
প্রাপ্ত △DEF-ই প্রয়োজনীয় ত্রিভুজ।
খ) △PQR-এর PQ = PR = ৫ সে.মি. এবং QR = ৬ সে.মি. হলে, △PQR অঙ্কন করো।
নির্মাণের ধাপ
১। QR = ৬ সে.মি. আঁকো।
২। Q কেন্দ্র এবং ৫ সে.মি. ব্যাসার্ধে একটি চাপ আঁকো।
৩। R কেন্দ্র এবং ৫ সে.মি. ব্যাসার্ধে আরেকটি চাপ আঁকো। দুটি চাপ P বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করবে।
৪। PQ ও PR যোগ করো।
অঙ্কনের চিহ্ন
PQ = PR = ৫ সে.মি.
QR = ৬ সে.মি.
প্রাপ্ত △PQR-ই প্রয়োজনীয় ত্রিভুজ।
গ) রুলার-কম্পাসের সাহায্যে MN = ৭ সে.মি. রেখাংশের Q বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডক PQ অঙ্কন করো যেন ∠PQN = ৪৫° হয়।
দ্রষ্টব্য: প্রশ্নে "Q বিন্দু" উল্লেখ করা হয়েছে, কিন্তু রেখাংশটি MN। সাধারণত এখানে Q হলো MN-এর মধ্যবিন্দু বোঝানো হয়েছে।
নির্মাণের ধাপ
১। MN = ৭ সে.মি. আঁকো।
২। রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে MN-এর মধ্যবিন্দু Q নির্ণয় করো।
৩। Q বিন্দুতে MN-এর উপর লম্ব আঁকো।
৪। ঐ লম্ব ও MN-এর মধ্যে ৪৫° কোণ নির্মাণ করে একটি রশ্মি QP আঁকো।
অঙ্কনের চিহ্ন
MQ = QN = ৩.৫ সে.মি.
∠PQN = ৪৫°
প্রাপ্ত PQ-ই MN রেখাংশের Q বিন্দুতে অঙ্কিত প্রয়োজনীয় সমদ্বিখণ্ডক।
