Topic- পরিমিতি (Chapter-16)

• 📚 Topics
• 📝 MCQ Test
• ✅ Exercise Solution

১. ত্রিভুজ (Triangle)

ক) সমকোণী ত্রিভুজ (Right - angled triangle)

বিষয়	ক্ষেত্রফল	অতিভুজ	পরিসীমা
সূত্র	1  2  × ভূমি × উচ্চতা	c = √ a2 + b2	a + b + c
বর্ণনা	ভূমি ও উচ্চতা সমকোণ সন্নিহিত বাহু	পিথাগোরাসের সূত্র	তিন বাহুর যোগফল

শর্টকাট টেকনিক:
- 3 - 4 - 5 ত্রিভুজ: 3² + 4² = 5² → ক্ষেত্রফল = 6 (অর্ধেক গুণফল)
- 5 - 12 - 13, 7 - 24 - 25, 8 - 15 - 17 মুখস্থ রাখলে সময় বাঁচে ।

খ) সাধারণ ত্রিভুজ (দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া)
সূত্র -  1  2 ab sin C
বর্ণনা : a ও b দুই বাহু, C তাদের মধ্যবর্তী কোণ
শর্টকাট:
sin 30° = 0.5, sin 45° ≈ 0.707, sin 60° ≈ 0.866 মুখস্থ রাখুন ।

গ) তিন বাহু দেওয়া (হেরনের সূত্র)

ধাপ	অর্ধপরিসীমা	ক্ষেত্রফল
সূত্র	s =  a + b + c       2	√ s(s - a)(s - b)(s - c)

শর্টকাট টেকনিক:
- সমবাহু ত্রিভুজের জন্যs =  3a  2 , ক্ষেত্রফল = √ 3    4 a² (হেরন ছাড়াই সরাসরি)
- 13 - 14 - 15 ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 84 (মুখস্থ রাখতে পারেন)

ঘ) সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral triangle)

বিষয়		উচ্চতা	ক্ষেত্রফল	পরিসীমা
সূত্র	√ 3   2 a	√ 3    4 a2	3a
মনে রাখার কৌশল		সমবাহুর উচ্চতা  √ 3    2  গুণ বাহু	সমবাহুর ক্ষেত্রফল √  3  4   গুণ বাহুর বর্গ	তিন গুণ বাহু

ঙ) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles triangle)

বিষয়		উচ্চতা	ক্ষেত্রফল
সূত্র	√ a2 -  b  2 2  (a = সমান বাহু, b = ভূমি)	1  2  × b × উচ্চতা

২. চতুর্ভুজ (Quadrilateral)

ক) আয়তক্ষেত্র (Rectangle)

বিষয়		ক্ষেত্রফল	পরিসীমা	কর্ণ /th>
সূত্র	L × W	2(L + W)	√ L2 + W2
শর্টকাট		দৈর্ঘ্য × প্রস্থ	দুই গুণ যোগফল	পিথাগোরাস /th>

টেকনিক:
- 3 × 4 আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = 5 (3 - 4 - 5 ট্রিপলেট)

খ) বর্গক্ষেত্র (Square)

বিষয়		ক্ষেত্রফল	পরিসীমা	কর্ণ
সূত্র	a2		4a	√ 2 a th>
শর্টকাট		বাহুর বর্গ	চার গুণ বাহু	বাহুর 1.414 গুণ

শর্টকাট:
- কর্ণ দেওয়া থাকলে বাহু =  কর্ণ  √ 2  
- ক্ষেত্রফল = (কর্ণ)²    2 

গ) সামান্তরিক (Parallelogram)

সূত্র	ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা		ক্ষেত্রফল = কর্ণ × লম্ব
বর্ণনা		সরল	কর্ণ ও বিপরীত শীর্ষ থেকে লম্ব দিলে

ঘ) রম্বস (Rhombus)

সূত্র	ক্ষেত্রফল = 1  2  d1 d2	বাহু =√ (  d1  2 )2 + (  d2  2 )2
বর্ণনা		অর্ধেক কর্ণদ্বয়ের গুণফল	কর্ণদ্বয় সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত

শর্টকাট:
- কর্ণ 6 ও 8 হলে বাহু 10 (3 - 4 - 5 ট্রিপলেটের 2 গুণ)

ঙ) ট্রাপিজিয়াম (Trapezium)

সূত্র	ক্ষেত্রফল = h(a + b)    2
বর্ণনা		a,b সমান্তরাল বাহু, h উচ্চতা

শর্টকাট:
সমান্তরাল বাহুর গড় × উচ্চতা = ক্ষেত্রফল

৩. সুষম বহুভুজ (Regular Polygon)

বিষয়		প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ	কেন্দ্র থেকে বাহুর দূরত্ব (অন্তঃব্যাসার্ধ)	ক্ষেত্রফল
সূত্র	180° -  360°     n	a  2   180°    n	na2   4  cot  180°    n

৪. বৃত্ত (Circle)

বিষয়	সূত্র	মনে রাখার কৌশল
পরিধি	2πr বা πd	"টু পাই আর"
ক্ষেত্রফল	πr2	"পাই আর স্কোয়ার"
π এর মান	3.1416 বা 2 2  7	2 2  7  = 3.1428 (প্রায়)

শর্টকাট:
- ব্যাসার্ধ 7 হলে ক্ষেত্রফল 154  22   7  × 49 = 154
- ব্যাস 14 হলে পরিধি 44  22   7  × 14 = 44

৫. বৃত্তচাপ ও বৃত্তকলা (Arc and Sector)

বিষয়	সূত্র
চাপের দৈর্ঘ্য (θ ডিগ্রি)	πrθ  180
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল	(θ/360) × πr2

শর্টকাট:
- অর্ধবৃত্ত (θ = 180°) → চাপ =πr, ক্ষেত্রফল = 1  2 πr²
- চতুর্থাংশ (θ = 90°) → চাপ = πr  2 , ক্ষেত্রফল = 1  4 πr²

৬. ঘনবস্তু (Solids)

ক) আয়তাকার ঘনবস্তু (Cuboid)

বিষয়	সূত্র	মনে রাখার কৌশল
আয়তন	l × b × h	দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল	2(lb + bh + hl)	দুই গুণ (জোড়ার যোগফল)
কর্ণ (space diagonal)	√ l2 + b2 + h2	তিন মাত্রার পিথাগোরাস

শর্টকাট:
- 3 × 4 × 5 ঘনবস্তুর কর্ণ = √ 9 + 16 + 25  = √ 50  ≈ 7.07

খ) ঘনক (Cube)

বিষয়	সূত্র	শর্টকাট
আয়তন	a3	a ঘনফল
সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল	6a2	ছয় গুণ a বর্গ
কর্ণ	√ 3 a	a × 1.732

টেকনিক:
কর্ণ দেওয়া থাকলে A =  কর্ণ    √ 3  
ক্ষেত্রফল দেওয়া থাকলে A = √  ক্ষেত্রফল    6  

গ) বেলন (Cylinder)

বিষয়	সূত্র	শর্টকাট
আয়তন	a3	a ঘনফল
সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল	6a2	ছয় গুণ a বর্গ
কর্ণ	√ 3 a	a × 1.732

শর্টকাট:
- ব্যাসার্ধ 7, উচ্চতা 10 হলে আয়তন = 22   7  × 49 × 10 = 1540 ঘন একক

৭. প্রয়োগভিত্তিক শর্টকাট টেকনিক

চাকা ঘূর্ণন সমস্যা
- 1 বার ঘুরলে দূরত্ব = চাকার পরিধি
- n বার ঘুরলে দূরত্ব =n × 2πr

রাস্তা ও বাগান সমস্যা
= - বাইরের বৃত্তের ক্ষেত্রফল – ভিতরের বৃত্তের ক্ষেত্রফল = রাস্তার ক্ষেত্রফল
- আয়তাকার জমির বাইরে রাস্তা: বাইরের ক্ষেত্রফল - ভিতরের ক্ষেত্রফল

শতকরা পরিবর্তন
- ক্ষেত্রফল পরিবর্তন (আয়তক্ষেত্র): যদি দৈর্ঘ্য x% বাড়ে, প্রস্থ y% কমে, তবে ক্ষেত্রফল পরিবর্তন = x + y +   xy  100 % (চিহ্ন অনুযায়ী)
- বৃত্তের ক্ষেত্রফল ∝ r² → r দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল 4 গুণ

৮. দ্রুত মুখস্থ করার টেবিল (সূত্র সংক্ষেপ)

আকৃতি	ক্ষেত্রফল	পরিসীমা/বক্রপৃষ্ঠ	আয়তন/অন্যান্য
সমকোণী ত্রিভুজ	½ × ভূমি × উচ্চতা	a + b + c	অতিভুজ = √ a2 + b2
সমবাহু ত্রিভুজ	√ 3   4 a2	3a	উচ্চতা =  √ 3    2 a
বর্গক্ষেত্র	a2	4a	কর্ণ = a√ 2
আয়তক্ষেত্র	L×W	2(L + W)	কর্ণ = √ L2 + W2
রম্বস	½ d₁d₂	4a	a = √ (  d₁   2 ) 2 + (  d₁   2 )2)
ট্রাপিজিয়াম	h(a + b)     2	বাহুগুলোর যোগফল	-
বৃত্ত	πr2	2πr	ব্যাস = 2r
বেলন (আয়তন)	-	2πrh (বক্র)	πr2h
ঘনক	6a2 (পৃষ্ঠতল)	-	a³ (আয়তন)
আয়তাকার ঘনবস্তু	2(lb + bh + hl)	-	l×b×h (আয়তন)

৯. ট্রিকি মনে রাখার ছড়া/কৌশল

- হেরনের সূত্র মনে রাখা: "s s - a s - b s - c, চারটির গুণফলের রুট দেবে ক্ষেত্রফল ঠিক"

- বৃত্ত: "টু পাই আর হল পরিধি, পাই আর স্কোয়ার ক্ষেত্রফল স্মরণীয়"

- সমবাহু ত্রিভুজ:  √ 3   4  a²,  √ 3    2  a উচ্চতা জানি

- ঘনক: "ছয় a² তলে, a³ ঘনফলে, √ 3  a কর্ণ বলে