১. নিম্নে প্রদত্ত উপাত্ত নিয়ে ত্রিভুজ অঙ্কন করো:
ক) তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সে.মি., 3.5 সে.মি., 2.৪ সে.মি.।
খ) দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি., 3 সে.মি. এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°।
গ) দুইটি কোণ 60° ও 45° এবং এদের সংলগ্ন বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.।
ঘ) দুইটি কোণ 60° ও 45° এবং 45° কোণের বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.।
ঙ) দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4.5 সে.মি. ও 3.5 সে.মি. এবং দ্বিতীয় বাহুর বিপরীত কোণ 30°1চ) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও একটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সে.মি. ও 4 সে.মি.।
1.
নিচে প্রতিটি ত্রিভুজ নির্মাণের নির্মাণের ধাপ (Construction Steps) দেওয়া হলো।
ক) তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সে.মি., 3.5 সে.মি. ও 2.4 সে.মি. হলে ত্রিভুজ অঙ্কন করো।
নির্মাণের ধাপ:
1। একটি সরলরেখায় BC = 2.4 সে.মি. আঁকো।
2। B কেন্দ্র এবং 3 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি চাপ আঁকো।
3। C কেন্দ্র এবং 3.5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে পূর্বের চাপকে A বিন্দুতে ছেদ করো।
4। AB ও AC যোগ করো।
প্রাপ্ত △ABC-ই প্রয়োজনীয় ত্রিভুজ।
খ) দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি., 3 সে.মি. এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ 60° হলে ত্রিভুজ অঙ্কন করো।
নির্মাণের ধাপ:
1। BC = 3 সে.মি. আঁকো।
2। B বিন্দুতে 60° কোণ নির্মাণ করে একটি রশ্মি BX আঁকো।
3। BX-এর উপর AC = 3 সে.মি. কেটে নাও।
4। A ও C যোগ করো।
প্রাপ্ত △ABC-ই প্রয়োজনীয় ত্রিভুজ।
গ) দুইটি কোণ 60° ও 45° এবং এদের সংলগ্ন বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. হলে ত্রিভুজ অঙ্কন করো।
ধরি,
∠B = 60°,
∠C = 45°,
BC = 5 সে.মি.
নির্মাণের ধাপ:
1। BC = 5 সে.মি. আঁকো।
2। B বিন্দুতে 60° কোণ নির্মাণ করে একটি রশ্মি আঁকো।
3। C বিন্দুতে 45° কোণ নির্মাণ করে আরেকটি রশ্মি আঁকো।
4। দুই রশ্মি A বিন্দুতে মিলিত হবে।
প্রাপ্ত △ABC-ই প্রয়োজনীয় ত্রিভুজ।
ঘ) দুইটি কোণ 60° ও 45° এবং 45° কোণের বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. হলে ত্রিভুজ অঙ্কন করো।
ধরি,
∠A = 60°,
∠B = 45° এবং
AB = 5 সে.মি.
নির্মাণের ধাপ:
1। AB = 5 সে.মি. আঁকো।
2। A বিন্দুতে 60° কোণ নির্মাণ করে একটি রশ্মি আঁকো।
3। B বিন্দুতে AB-এর সাথে 45° কোণ নির্মাণ করে একটি রশ্মি আঁকো।
(কারণ ∠C = 180° − (60° + 45°) = 75°)
4। দুই রশ্মি C বিন্দুতে মিলিত হবে।
প্রাপ্ত △ABC-ই প্রয়োজনীয় ত্রিভুজ।
ঙ) দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4.5 সে.মি. ও 3.5 সে.মি. এবং দ্বিতীয় বাহুর বিপরীত কোণ 30° হলে ত্রিভুজ অঙ্কন করো।
ধরি,
AB = 4.5 সে.মি.,
AC = 3.5 সে.মি. এবং
∠B = 30°
নির্মাণের ধাপ:
1। AB = 4.5 সে.মি. আঁকো।
2। B বিন্দুতে 30° কোণ নির্মাণ করে একটি রশ্মি BX আঁকো।
3। A কেন্দ্র এবং 3.5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি চাপ আঁকো, যা BX রশ্মিকে C বিন্দুতে ছেদ করবে।
4। AC ও BC যোগ করো।
প্রাপ্ত △ABC-ই প্রয়োজনীয় ত্রিভুজ।
চ) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও একটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সে.মি. ও 4 সে.মি. হলে ত্রিভুজ অঙ্কন করো।
ধরি,
∠C = 90°,
AB = 6 সে.মি. (অতিভুজ),
AC = 4 সে.মি.
নির্মাণের ধাপ:
1। AC = 4 সে.মি. আঁকো।
2। A কেন্দ্র এবং 6 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি চাপ আঁকো, যা অর্ধবৃত্তকে B বিন্দুতে ছেদ করবে।
3। AB ও BC যোগ করো।
প্রাপ্ত △ABC-ই প্রয়োজনীয় সমকোণী ত্রিভুজ।
২. নিম্নে প্রদত্ত উপাত্ত নিয়ে ত্রিভুজ অঙ্কন করো।
ক) ভূমি 3.5 সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ 60° ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি ৪ সে.মি.।
খ) ভূমি 5 সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ 45° ও অপর দুই বাহুর অন্তর 1 সে.মি.।
গ) ভূমি সংলগ্ন কোণ দুইটি যথাক্রমে 60° ও 45° ও পরিসীমা 12 সে.মি.।
2.
2। নিম্নে প্রদত্ত উপাত্ত নিয়ে ত্রিভুজ অঙ্কন করো।
ক) ভূমি 3.5 সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ 60° ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি 8 সে.মি.
ধরি, △ABC-এ
AB = 3.5 সে.মি. (ভূমি)
∠A = 60°
AC + BC = 8 সে.মি.
নির্মাণের ধাপ
1। AB = 3.5 সে.মি. আঁকো।
2। A বিন্দুতে 60° কোণ নির্মাণ করে AX রশ্মি আঁকো।
3। A বিন্দুতে AX রশ্মির উপর 4 সে.মি. কেটে নাও।
3। B বিন্দুতে AX রশ্মির উপর C 4 সে.মি. কেটে নাও।
4। C ও B যোগ করো।
প্রাপ্ত △ABC-ই প্রয়োজনীয় ত্রিভুজ।
খ) ভূমি 5 সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ 45° ও অপর দুই বাহুর অন্তর 1 সে.মি.
ধরি, △ABC-এ
AB = 5 সে.মি.
∠A = 45°
AC − BC = 1 সে.মি.
নির্মাণের ধাপ
1। AB = 5 সে.মি. আঁকো।
2। A বিন্দুতে 45° কোণ নির্মাণ করে AX রশ্মি আঁকো।
3। AX-এর উপর AC = 4 সে.মি. কেটে নাও।
4। C বিন্দুতে AB এর উপর BC = 3 সে.মি. কেটে নাও।
5। C ও B যোগ করো।
প্রাপ্ত △ABC-ই প্রয়োজনীয় ত্রিভুজ।
অতএব AC − BC = 1 সে.মি.
গ) ভূমি সংলগ্ন কোণ দুইটি যথাক্রমে 60° ও 45° এবং পরিসীমা 12 সে.মি.
ধরি, △ABC-এ
∠A = 60°
∠B = 45°
AB + BC + AC = 12 সে.মি.
নির্মাণের ধাপ
1। একটি সরলরেখায় A বিন্দু নাও।
2। A বিন্দুতে 60° কোণ নির্মাণ করে AX রশ্মি আঁকো।
3। AX-এর উপর AD = 12 সে.মি. কেটে নাও।
4। D ও A যোগ করার প্রয়োজন নেই, কারণ AD ইতোমধ্যেই আঁকা আছে।
5। D ও B এখনো নির্ধারিত নয়। তাই প্রথমে D বিন্দুকে B-এর পরিবর্তে সহায়ক বিন্দু হিসেবে ব্যবহার করো এবং D বিন্দুতে 45°-এর সম্পূরক অর্থাৎ 135° কোণ নির্মাণ করে একটি রশ্মি আঁকো, যা A থেকে অঙ্কিত রশ্মিকে C বিন্দুতে ছেদ করবে।
6। C ও D-এর সংযোগস্থলে C নির্ধারিত হলে, CD = BC হবে এমনভাবে C থেকে AD-এর উপর B বিন্দু নির্ধারণ করো (অর্থাৎ C কেন্দ্র ও CD ব্যাসার্ধে চাপ কেটে AD-কে B-তে ছেদ করাও)।
7। B ও C যোগ করো।
প্রাপ্ত △ABC-ই প্রয়োজনীয় ত্রিভুজ।
যাচাই
∠A = 60°
∠B = 45°
AD = AB + BC + AC = 12 সে.মি.
CD = BC হওয়ায়,
AD = AB + AC + CD
= AB + AC + BC
= 12 সে.মি.
অতএব △ABC-ই প্রদত্ত শর্ত পূরণকারী ত্রিভুজ।
৩. একটি ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ এবং শীর্ষ থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।
3.
প্রশ্ন 3: একটি ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ এবং শীর্ষ থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।
ধরি,
∠A = α
∠B = β
CD = h (শীর্ষ C থেকে ভূমি AB-এর উপর অঙ্কিত লম্ব)
এখানে D হলো AB-এর উপর C থেকে অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু।
নির্মাণের ধাপ
1। একটি সরলরেখা ℓ আঁকো এবং এর উপর একটি বিন্দু D নাও।
2। D বিন্দুতে ℓ-এর উপর লম্ব আঁকো এবং সেই লম্বের উপর DC = h (প্রদত্ত দৈর্ঘ্য) কেটে নাও।
3। C বিন্দু দিয়ে ℓ-এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা আঁকো।
4। C বিন্দুতে সমান্তরাল রেখার সাথে একদিকে ∠α এবং অন্যদিকে ∠β কোণ নির্মাণ করো। এভাবে দুটি রশ্মি আঁকো।
5। প্রথম রশ্মিটি ℓ-কে A বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় রশ্মিটি ℓ-কে B বিন্দুতে ছেদ করবে।
6। A, B ও C যোগ করো।
প্রাপ্ত △ABC-ই প্রয়োজনীয় ত্রিভুজ।
সংক্ষিপ্ত যাচাই
∠A = α (প্রদত্ত)
∠B = β (প্রদত্ত)
CD ⟂ AB এবং CD = h (প্রদত্ত)
অতএব, △ABC-ই প্রদত্ত শর্ত পূরণকারী ত্রিভুজ।
৪. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।
4.
4। সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।
ধরি,
△ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে
∠C = 90°
অতিভুজ AB = প্রদত্ত দৈর্ঘ্য
AC + BC = প্রদত্ত দৈর্ঘ্য
ধরি,
অতিভুজ = a এবং
অপর দুই বাহুর সমষ্টি = b
নির্মাণের ধাপ
1। একটি সরলরেখায় AB = a (প্রদত্ত অতিভুজ) আঁকো।
2। A বিন্দু থেকে AB-এর দিকে AD = b (প্রদত্ত দুই বাহুর সমষ্টি) কেটে নাও।
3। AB-এর মধ্যবিন্দু O নির্ণয় করো এবং O কেন্দ্র ও OA ব্যাসার্ধে একটি অর্ধবৃত্ত আঁকো।
4। D ও B যোগ করো।
5। DB রেখাংশের লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকো। এটি AD-কে E বিন্দুতে এবং অর্ধবৃত্তকে C বিন্দুতে ছেদ করবে।
6। AC এবং BC যোগ করো।
প্রাপ্ত △ABC-ই প্রয়োজনীয় সমকোণী ত্রিভুজ।
সংক্ষিপ্ত যাচাই
C বিন্দু অর্ধবৃত্তের উপর অবস্থিত, তাই ∠ACB = 90°।
C বিন্দু DB-এর লম্বদ্বিখণ্ডকে অবস্থিত, তাই BC = CD।
আবার, AD = AC + CD = AC + BC = b (প্রদত্ত)।
অতএব, △ABC-ই প্রদত্ত শর্ত পূরণকারী সমকোণী ত্রিভুজ।
৫. ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ, উচ্চতা ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।
5.
5। ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ, উচ্চতা ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।
ধরি, △ABC-এ
∠A = প্রদত্ত ভূমি সংলগ্ন কোণ,
CD = প্রদত্ত উচ্চতা (C থেকে AB-এর উপর অঙ্কিত লম্ব),
AC + BC = প্রদত্ত দৈর্ঘ্য।
এখানে D হলো AB-এর উপর C থেকে অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু।
নির্মাণের ধাপ
1। একটি সরলরেখা ℓ আঁকো এবং এর উপর একটি বিন্দু D নাও।
2। D বিন্দুতে ℓ-এর উপর লম্ব আঁকো এবং সেই লম্বের উপর DC = প্রদত্ত উচ্চতা কেটে নাও।
3। C বিন্দু দিয়ে ℓ-এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা আঁকো।
4। C বিন্দুতে সমান্তরাল রেখার সঙ্গে প্রদত্ত ভূমি সংলগ্ন কোণ নির্মাণ করে একটি রশ্মি আঁকো। রশ্মিটি ℓ-কে A বিন্দুতে ছেদ করবে।
5। A থেকে ঐ রশ্মির উপর AE = প্রদত্ত (AC + BC) কেটে নাও।
6। E ও D যোগ করো।
7। ED-এর লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকো। এটি AE-কে C বিন্দুতে ছেদ করবে।
8। C ও D যোগ করো এবং C থেকে D-এর মধ্য দিয়ে সরলরেখা বাড়িয়ে ℓ-কে B বিন্দুতে ছেদ করতে দাও।
9। BC যোগ করো।
প্রাপ্ত △ABC-ই প্রয়োজনীয় ত্রিভুজ।
সংক্ষিপ্ত যাচাই
∠A = প্রদত্ত ভূমি সংলগ্ন কোণ।
CD ⟂ AB এবং CD = প্রদত্ত উচ্চতা।
C বিন্দু ED-এর লম্বদ্বিখণ্ডকে অবস্থিত, তাই CE = CD।
আবার, AE = AC + CE = AC + BC (কারণ C, D, B একই সরলরেখায় এবং CE = CD থেকে প্রয়োজনীয় সম্পর্ক পাওয়া যায়)।
অতএব, △ABC-ই প্রদত্ত শর্ত পূরণকারী ত্রিভুজ।
৬. সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।
6.
6। সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = P
তাহলে, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = P ÷ 3
নির্মাণের ধাপ
1। প্রদত্ত পরিসীমা P-কে তিন সমান ভাগে ভাগ করো। প্রতিটি অংশের দৈর্ঘ্য হবে P/3
2। একটি সরলরেখায় AB = P/3 আঁকো।
3। A কেন্দ্র এবং AB ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি চাপ আঁকো।
4। B কেন্দ্র এবং একই ব্যাসার্ধ নিয়ে আরেকটি চাপ আঁকো। দুটি চাপ C বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করবে।
5। AC এবং BC যোগ করো।
প্রাপ্ত △ABC-ই প্রয়োজনীয় সমবাহু ত্রিভুজ।
সংক্ষিপ্ত যাচাই
AB = AC = BC = P/3
অতএব, △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
এর পরিসীমা = AB + BC + CA = P/3 + P/3 + P/3 =P, যা প্রদত্ত পরিসীমার সমান।
অতএব, △ABC-ই প্রদত্ত শর্ত পূরণকারী সমবাহু ত্রিভুজ।
৭. ত্রিভুজের ভূমি, ভূমি সংলগ্ন একটি স্থূলকোণ ও অপর দুই বাহুর অন্তর দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।
7.
7। ত্রিভুজের ভূমি, ভূমি সংলগ্ন একটি স্থূলকোণ ও অপর দুই বাহুর অন্তর দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকো।
ধরি,
△ABC-এ
AB = প্রদত্ত ভূমি
∠A = প্রদত্ত স্থূলকোণ
AC − BC = প্রদত্ত দৈর্ঘ্য
(এখানে AC > BC ধরা হয়েছে।)
নির্মাণের ধাপ
1। AB = প্রদত্ত ভূমি আঁকো।
2। A বিন্দুতে প্রদত্ত স্থূলকোণ নির্মাণ করে একটি রশ্মি AX আঁকো।
3। AX-এর উপর AD = প্রদত্ত (AC − BC) কেটে নাও।
4। D ও B যোগ করো।
5। DB রেখাংশের লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকো। এটি AX রশ্মিকে C বিন্দুতে ছেদ করবে।
6। C ও B যোগ করো।
প্রাপ্ত △ABC-ই প্রয়োজনীয় ত্রিভুজ।
সংক্ষিপ্ত যাচাই
AB = প্রদত্ত ভূমি।
∠A = প্রদত্ত স্থূলকোণ।
C বিন্দু DB-এর লম্বদ্বিখণ্ডকে অবস্থিত, তাই CD = CB।
আবার,
AC = AD + DC = AD + CB
⇒ AC − BC = AD, যা প্রদত্ত দৈর্ঘ্যের সমান।
অতএব, △ABC-ই প্রদত্ত শর্ত পূরণকারী ত্রিভুজ।
