বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত - Algabraic Ratio and Proportion (অনুশীলনী ১১.২)

• 📚 Topics
• 📝 MCQ Test
• ✅ Exercise Solution

১. a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

ক) a² = bc

খ) b² = ac

গ) ab = bc

ঘ) a = b = c

1.

ক্রমিক সমানুপাতী (continued proportion) বলতে বোঝায়, a : b = b : c । অর্থাৎ,


  a   b   =   b   c   
⟹ b² = ac



সুতরাং সঠিক উত্তর হলো:

খ) b² = ac ✅

২. আরিফ ও আকিবের বয়সের অনুপাত 5 : 3 আরিফের বয়স 20 বছর হলে, কত বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত 7 : 5 হবে?

ক) 5 বছর

খ) 6 বছর

গ) ৪ বছর

ঘ) 10 বছর

2.

সমাধান:

আরিফের বর্তমান বয়স = 20 বছর

অনুপাত 5 : 3



সুতরাং,

 5x = 20

⟹ x = 4

অতএব, আকিবের বর্তমান বয়স = 3x = 12 বছর।


ধরি, 
 y বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত 7 : 5 হবে।


  20 + y   12 + y   =   7   5  

⇒ 5(20 + y) = 7(12 + y)    [গুণ করে পাই]

⇒ 100 + 5y = 84 + 7y

⇒ 100 - 84 = 7y - 5y

⇒ 16 = 2y

⇒ y = 8



y = 8 বছর পরে বয়সের অনুপাত 7 : 5 হবে।


সঠিক উত্তর: গ) ৮ বছর ✅

৩. x : y = 7 : 5, y : z = 5 : 7 হলে, x : z = কত?

ক) 35 : 49

খ) 35 : 35

গ) 25 : 49

ঘ) 49 : 25

3.

আমাদের দেওয়া আছে:

x : y = 7 : 5

y : z = 5 : 7


এখন y এর মান উভয় অনুপাতেই 5 (সমান)।



সুতরাং x : y = 7 : 5

এবং y : z = 5 : 7


দুটি অনুপাত যোগ করে পাই:

x : y : z = 7 : 5 : 7



অতএব,  x : z = 7 : 7 = 1 : 1



বিকল্পে 1:1 কে 35 : 35 আকারে লেখা যায়।


সঠিক উত্তর: খ) 35 : 35 ✅

8. x : y = 2 : 1 এবং y : z = 2 : 1 হলে-

(i) x, y, z ক্রমিক সমানুপাতী

(ii) z : x = 1 : 4

(iii) y² + zx = 4yz

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii

খ) i ও iii

গ) ii ও iii

ঘ) i, ii ও iii

4.

প্রদত্ত:

x : y = 2 : 1

⇒ x = 2y


y : z = 2 : 1

⇒ y = 2z


তাহলে:

x = 2y = 2 × 2z = 4z




(i) x, y, z ক্রমিক সমানুপাতী


ক্রমিক সমানুপাতী হলে   x   y   =   y   z   হবে।

  x   y   =   2   1   = 2

  y   z   =   2   1   = 2



হ্যাঁ, সমান ⇒ (i) সঠিক।






(ii) z : x = 1 : 4

x = 4z

⇒   z   x   =   1   4   

⇒ z : x = 1 : 4

⇒ (ii) সঠিক।





(iii) y² + zx = 4yz


y = 2z,

x = 4z



বামপক্ষ:
y² + zx

= (2z)² + z × 4z

= 4z² + 4z² 

= 8z²



ডানপক্ষ:

4yz

= 4 × (2z) × z

= 8z²


সমান ⇒ (iii) সঠিক।


তিনটিই সঠিক।


উত্তর: ঘ) i, ii ও iii ✅

৫.  a  x  =  m² + n²    2mn  হলে,  √ a + x   √ a - x   = কত?

ক)   m   n 

খ)  m + n  m - n 

গ)  m - n  m + n 

ঘ)   n   m 

5.

দেওয়া আছে, $\frac{a}{x}=\frac{m^2+n^2}{2mn}$

আমরা বের করব $\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}$-এর মান।

ধরি, $\frac{a}{x}=k$, যেখানে $k=\frac{m^2+n^2}{2mn}$

তাহলে $a=kx$

$\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}=\sqrt{\frac{kx+x}{kx-x}}=\sqrt{\frac{x(k+1)}{x(k-1)}}=\sqrt{\frac{k+1}{k-1}}$

এখন, $k+1=\frac{m^2+n^2}{2mn}+1=\frac{m^2+n^2+2mn}{2mn}=\frac{(m+n{)}^2}{2mn}$

$k-1=\frac{m^2+n^2}{2mn}-1=\frac{m^2+n^2-2mn}{2mn}=\frac{(m-n{)}^2}{2mn}$

অতএব, $\frac{k+1}{k-1}=\frac{\frac{(m+n{)}^2}{2mn}}{\frac{(m-n{)}^2}{2mn}}=\frac{(m+n{)}^2}{(m-n{)}^2}$

$\sqrt{\frac{k+1}{k-1}}=\frac{m+n}{m-n}$

সুতরাং সঠিক উত্তর: $\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}=\frac{m+n}{m-n}$

অর্থাৎ উত্তর (খ) $\frac{m+n}{m-n}$

৬. 1 ঘন সে.মি. কাঠের ওজন 7 ডেসিগ্রাম। কাঠের ওজন সমআয়তন পানির ওজনের শতকরা কত ভাগ?

6.

সমাধান:

প্রদত্ত তথ্য

১ ঘন সে.মি. কাঠের ওজন = 7 ডেসিগ্রাম

ডেসিগ্রাম থেকে গ্রাম: 1 ডেসিগ্রাম = 0.1 গ্রাম

সুতরাং, কাঠের ওজন = 7 × 0.1 = 0.7 গ্রাম (প্রতি ঘন সে.মি.)



১ ঘন সে.মি. পানির ওজন

পানির ঘনত্ব = 1 গ্রাম/ঘন সে.মি. (প্রমাণ তাপ ও চাপে)

অর্থাৎ, সমআয়তন (১ ঘন সে.মি.) পানির ওজন = 1 গ্রাম।



শতকরা হিসাব

কাঠের ওজন = 0.7 গ্রাম

পানির ওজন = 1 গ্রাম

শতকরা =   0.7    1   × 100% = 70%



উত্তর: কাঠের ওজন সমআয়তন পানির ওজনের ৭০%। ✅

৭. ক, খ, গ, ঘ এর মধ্যে 300 টাকা এমনভাবে ভাগ করে দাও যেন, ক এর অংশ : খ এর অংশ = 2 : 3 , খ এর অংশ: গ এর অংশ = 1 : 2 এবং গ এর অংশ : ঘ এর অংশ = 3 : 2 হয়।

7.

অনুপাতগুলো একীভূত করা

(i) ক : খ = 2 : 3

(ii) খ : গ = 1 : 2

(iii) গ : ঘ = 3 : 2


এখন এদের এমনভাবে যোগ করবো যেন প্রতিটি অনুপাতের মাঝের পদ (খ ও গ) সব জায়গায় একই সংখ্যা হয়।

খ ও গ এর মান একক করা

(ক : খ) = 2 : 3 
 
⇒   ক   খ   =   2  3  



(খ : গ) = 1 : 2 

⇒   খ   গ   =   1  2   

 ⇒ গ = 2 খ



(গ : ঘ) = 3 : 2 

⇒   গ   ঘ   =   3  2   

 ⇒ গ =   3   2   ঘ



একীভূত অনুপাত বের করা

ধরি,

 খ = 3k (যাতে ক : খ = 2:3 হলে ক = 2k)



(খ : গ) = 1 : 2 

⇒ গ = 2 × খ 

⇒ গ = 2 × 3k 

⇒ গ = 6k



(গ : ঘ) = 3 : 2 

⇒ 6k : ঘ = 3 : 2 

⇒   6k   ঘ   =   3  2   

⇒ 12k = 3 ঘ 

⇒ ঘ = 4k



তাহলে,

ক = 2k

খ = 3k

গ = 6k

ঘ = 4k



অনুপাত

= ক : খ : গ : ঘ 

= 2k : 3k : 6k : 4k 

= 2 : 3 : 6 : 4


ভাগ করা-

মোট টাকা = 300 টাকা

অনুপাতের যোগফল = 2 + 3 + 6 + 4 = 15



এক অংশের মান =   300    15   = 20 টাকা



অতএব,

ক = 2 × 20 = 40 টাকা

খ = 3 × 20 = 60 টাকা

গ = 6 × 20 = 120 টাকা

ঘ = 4 × 20 = 80 টাকা



উত্তর:

ক ৪০ টাকা, খ ৬০ টাকা, গ ১২০ টাকা, ঘ ৮০ টাকা ✅

৮. তিনজন জেলে 690টি মাছ ধরেছে। তাদের অংশের অনুপাত  2  3  ,  4  5  এবং  5  6  হলে, কে কয়টি মাছ পেল?

8.

দেওয়া অনুপাতগুলো:

প্রথম জেলে : দ্বিতীয় জেলে : তৃতীয় জেলে

  2   3   :   4   5   :   5   6  



অনুপাতগুলোকে পূর্ণ সংখ্যায় রূপান্তর

ল.সা.গু. (3, 5, 6) = 30

প্রথম পদ:   2   3   × 30 = 20

দ্বিতীয় পদ:   4   5   × 30 = 24

তৃতীয় পদ:   5   6   × 30 = 25

অতএব, অনুপাত = 20 : 24 : 25



মোট মাছ ও ভাগ

মোট অংশ = 20 + 24 + 25 = 69

মোট মাছ = 690

এক অংশের মাছ সংখ্যা =   690    69   = 10



প্রত্যেকের মাছ সংখ্যা

প্রথম জেলে = 20 × 10 = 200

দ্বিতীয় জেলে = 24 × 10 = 240

তৃতীয় জেলে = 25 × 10 = 250



উত্তর:

প্রথম জেলে ২০০টি, দ্বিতীয় জেলে ২৪০টি, তৃতীয় জেলে ২৫০টি মাছ পেল ✅

৯. একটি ত্রিভুজের পরিসীমা 45 সে.মি.। বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 5 : 7 হলে, প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ নির্ণয় করো।

9.

ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 5 : 7 এবং পরিসীমা 45 সে.মি.।



মোট অংশের পরিমাণ নির্ণয়

অনুপাতের যোগফল = 3 + 5 + 7 = 15 অংশ

মোট পরিসীমা = 45 সে.মি.

এক অংশের দৈর্ঘ্য =   45   15   = 3 সে.মি.



প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য

প্রথম বাহু = 3 × 3 = 9 সে.মি.

দ্বিতীয় বাহু = 5 × 3 = 15 সে.মি.

তৃতীয় বাহু = 7 × 3 = 21 সে.মি.



উত্তর:

বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৯ সে.মি., ১৫ সে.মি., ২১ সে.মি. ✅

১০. ক্রিকেট খেলায় সাকিব, মুশফিকুর ও মাশরাফী 171 রান করলো। সাকিব ও মুশফিকুরের এবং মুশফিকুর ও মাশরাফীর রানের অনুপাত 3 : 2 হলে কে কত রান করেছে?

10.

প্রদত্ত:

সাকিব (S), মুশফিকুর (M), মাশরাফী (R) মোট রান = 171



অনুপাত:

S : M = 3 : 2

M : R = 3 : 2



উভয় অনুপাতে M কে সমান করি

S : M = 3 : 2 = 9 : 6 (3 ও 2 কে 3 দিয়ে গুণ করে)

M : R = 3 : 2 = 6 : 4 (3 ও 2 কে 2 দিয়ে গুণ করে)

এখন M = 6 (উভয় ক্ষেত্রেই)



একীভূত অনুপাত

S : M : R = 9 : 6 : 4

অংশের যোগফল = 9 + 6 + 4 = 19 অংশ

মোট রান 171

এক অংশ =   171    19   = 9 রান



প্রত্যেকের রান

সাকিব (S) = 9 × 9 = 81

মুশফিকুর (M) = 6 × 9 = 54

মাশরাফী (R) = 4 × 9 = 36



উত্তর:

সাকিব ৮১ রান, মুশফিকুর ৫৪ রান, মাশরাফী ৩৬ রান ✅

১১. একটি অফিসে 2 জন কর্মকর্তা, 7 জন অফিস সহকারী এবং 3 জন অফিস সহায়ক আছে। একজন অফিস সহায়ক 1 টাকা পেলে একজন অফিস সহকারী পায় 2 টাকা, একজন কর্মকর্তা পায় 4 টাকা। তাদের সকলের মোট বেতন 150,000 টাকা হলে, কে কত বেতন পায়?

11.

প্রদত্ত:

কর্মকর্তা (Officer) = 2 জন

অফিস সহকারী (Assistant) = 7 জন

অফিস সহায়ক (Helper) = 3 জন


বেতনের অনুপাত:

Helper : Assistant : Officer = 1 : 2 : 4

 

মোট বেতনের অনুপাত নির্ণয়

Helper: 3 জন × 1 অংশ = 3 অংশ

Assistant: 7 জন × 2 অংশ = 14 অংশ

Officer: 2 জন × 4 অংশ = 8 অংশ

মোট অংশ = 3 + 14 + 8 = 25 অংশ

 

মোট বেতন = 150,000 টাকা

এক অংশের মান =   150,000       25   = 6000 টাকা

 

প্রতিটি পদবির মোট বেতন

Helper (3 জন) মোট পায় = 3 x 6000 = 18000 টাকা

Assistant (7 জন) মোট পায় = 14 x 6000 = 84000 টাকা

Officer (2 জন) মোট পায় = 8 x 6000 = 48000 টাকা

 

প্রতিজনের বেতন

Helper প্রতি জন =  18,000      3  = 6000 টাকা

Assistant প্রতি জন =  84,000      7  = 12000 টাকা

Officer প্রতি জন =  84,000      2  = 24000 টাকা

 

উত্তর:

প্রতিজন অফিস সহায়ক পায় ৬০০০ টাকা (মোট ১৮০০০ টাকা)

প্রতিজন অফিস সহকারী পায় ১২০০০ টাকা (মোট ৮৪০০০ টাকা)

প্রতিজন কর্মকর্তা পায় ২৪০০০ টাকা (মোট ৪৮০০০ টাকা) ✅

১২. যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের বাহুর পরিমাণ 20% বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

12.

ধরি,
 
বর্গক্ষেত্রের বাহুর প্রাথমিক দৈর্ঘ্য a
প্রাথমিক ক্ষেত্রফল = a²



বাহু ২০% বৃদ্ধি পেলে নতুন বাহু = a + 20% of a = a + 0.2a = 1.2a



নতুন ক্ষেত্রফল = (1.2a)² = 1.44a²



ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = 1.44a² - a² = 0.44a²



শতকরা বৃদ্ধি =   0.44a²      a²   x 100% = 44%



উত্তর: ক্ষেত্রফল ৪৪% বৃদ্ধি পাবে ✅

১৩. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ 10% হ্রাস পেলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি বা হ্রাস পাবে?

13.

ধরি, 
আয়তক্ষেত্রের প্রাথমিক দৈর্ঘ্য L 
 ও প্রাথমিক প্রস্থ W ।


প্রাথমিক ক্ষেত্রফল A = L × W

 
পরিবর্তন:

দৈর্ঘ্য ১০% বৃদ্ধি →
নতুন দৈর্ঘ্য L' = L + 10% of L 
 
= L + 0.1L 
 
= 1.1L



প্রস্থ ১০% হ্রাস →
নতুন প্রস্থ W' = W - 10% of W 
 
= W - 0.1W 
 
= 0.9W
 

নতুন ক্ষেত্রফল,.
A' = L' × W' 
 
= (1.1L) × (0.9W) 
 
= 0.99 , (L × W) 
 
= 0.99A



ক্ষেত্রফল পরিবর্তন 
 = A' - A 
 
= 0.99A - A 
 
= -0.01A


শতকরা পরিবর্তন =   -0.01A       A   × 100% = -1%



ঋণাত্মক চিহ্ন বোঝায় হ্রাস পেয়েছে।



উত্তর: আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১% হ্রাস পাবে ✅

১৪. একটি মাঠের জমিতে সেচের সুযোগ আসার আগের ও পরের ফলনের অনুপাত 4 : 7। ঐ মাঠে যে জমিতে আগে 304 কুইন্টাল ধান ফলতো, সেচ পাওয়ার পরে তার ফলন কত হবে?

14.

আমরা জানি,

ফলনের অনুপাত (আগে : পরে) = 4 : 7

আগে ফলন = 304 কুইন্টাল



মনে করি, 
 
পরে ফলন = x কুইন্টাল


অনুপাত থেকে:

  4   7   =   304    x  

⇒ 4x = 7 × 304

⇒ 4x = 2128

⇒ x =   2128      4   
 
⇒ x = 532


উত্তর: সেচ পাওয়ার পরে ফলন হবে ৫৩২ কুইন্টাল ✅

১৫. ধান ও ধান থেকে উৎপন্ন চালের অনুপাত 3 : 2 এবং গম ও গম থেকে উৎপন্ন সুজির অনুপাতে 4 : 3 হলে, সমান পরিমাণের ধান ও গম থেকে উৎপন্ন চাল ও সুজির অনুপাত বের করো।

15.

প্রদত্ত:

ধান : চাল = 3 : 2

গম : সুজি = 4 : 3



ধানের পরিমাণ থেকে চালের পরিমাণ


ধরি,

ধানের পরিমাণ = 3k একক
চালের পরিমাণ = 2k একক



গমের পরিমাণ থেকে সুজির পরিমাণ

গম : সুজি = 4 : 3



ধরি,

গমের পরিমাণ = 4m একক

সুজির পরিমাণ = 3m একক



সমান পরিমাণে ধান ও গম নিতে হবে

প্রশ্নে বলা হয়েছে “সমান পরিমাণের ধান ও গম” থেকে চাল ও সুজি উৎপন্ন হবে।

অর্থাৎ ধানের পরিমাণ = গমের পরিমাণ।


তাই,
 
 3k = 4m 
 
 ⇒ k =   4m    3  



চাল ও সুজির পরিমাণ বের করা


চাল = 2k 
 
       = 2 ×   4m    3   
 
       =   8m    3  


সুজি = 3m



অনুপাত নির্ণয়

চাল : সুজি =   8m    3   : 3m

                  =   8   3   : 3

                  =8 : 9    [উভয়কে ৩ দিয়ে গুণ করে পাই]




উত্তর: চাল ও সুজির অনুপাত ৮ : ৯ ✅

১৬. একটি জমির ক্ষেত্রফল 432 বর্গমিটার। ঐ জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সঙ্গে অপর একটি জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে 3 : 4 এবং 2 : 5 হলে, অপর জমির ক্ষেত্রফল কত?

16.

প্রথম জমির ক্ষেত্রফল = 432 বর্গমিটার।

 
ধরি,

প্রথম জমির দৈর্ঘ্য = L₁ , 
 
প্রস্থ = W₁



দেওয়া আছে:

প্রথম জমির দৈর্ঘ্য : দ্বিতীয় জমির দৈর্ঘ্য = 3 : 4


অর্থাৎ   L₁   L₂   =   3   4   
 
⇒ L₂ =   4   3   L₁



প্রথম জমির প্রস্থ : দ্বিতীয় জমির প্রস্থ = 2 : 5



অর্থাৎ   W₁   W₂   =   2   5   

⇒ W₂ =   5   2   W₁



দ্বিতীয় জমির ক্ষেত্রফল

A₂ = L₂ × W₂ 

⇒ A₂ = (   4   3   L₁ ) × (   5   2   W₁ )

⇒ A₂ =   4   3   ×   5   2   × (L₁ x W₁)

⇒ A₂ =   20    6   × A₁ 

⇒ A₂ =   10    3   × A₁

⇒ A₂ =   10    3   × 432

⇒ A₂ = 10 × 144 

⇒ A₂ = 1440 বর্গমিটার



উত্তর: অপর জমির ক্ষেত্রফল ১৪৪০ বর্গমিটার ✅

১৭. জেমি ও সিমি একই ব্যাংক থেকে একই দিনে 10% সরল মুনাফায় আলাদা আলাদা পরিমাণ অর্থ ঋণ নেয়। জেমি 2 বছর পর মুনাফা-আসলে যত টাকা শোধ করে 3 বছর পর সিমি মুনাফা-আসলে তত টাকা শোধ করে। তাদের ঋণের অনুপাত নির্ণয় করো।

17.

ধরি, 
 
জেমির ঋণের পরিমাণ P_i টাকা

সিমির ঋণের পরিমাণ P_s টাকা

সুদের হার r = 10% = 0.10



জেমির মুনাফা-আসল ২ বছর পর:



সরল সুদের ক্ষেত্রে:

 A_i = P_i + P_i × r × 2 
 
⇒ A_i = P_i (1 + 0.10 × 2) 
 
⇒ A_i = P_i (1 + 0.2) 
 
⇒ A_i = 1.2 , P_i



সিমির মুনাফা-আসল ৩ বছর পর:

 A_s = P_s + P_s × r × 3 
 
⇒ A_s = P_s (1 + 0.10 × 3) 
 
⇒ A_s = P_s (1 + 0.3) 
 
⇒ A_s = 1.3 , P_s



শর্ত: A_i = A_s

1.2 , P_i = 1.3 , P_s

    P_i     P_s   =   1.3   1.2   =   13   12  



সুতরাং

জেমি ও সিমির ঋণের পরিমাণের অনুপাত:

P_i : P_s = 13 : 12



উত্তর:

ঋণের অনুপাত ১৩ : ১২ ✅

১৮. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে x, y ও (x > y > z) এবং  (y² + z²)   (y + z)²  =  (x² + y²)   (x + y)² । ঘনবস্তুটির উচ্চতা 10% হ্রাস করা হলো।

ক) 10% লাভে কোন দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূলের অনুপাত নির্ণয় করো।

খ) দেখাও যে, y² = zx.

গ) ঘনবস্তুটির আয়তন শতকরা কী পরিমাণ হ্রাস পাবে তা নির্ণয় করো।

18.

ক) 10% লাভে বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত

লাভ = ১০% =    10   100   = 0.10


বিক্রয়মূল্য,

 SP = CP + 10% of CP 
 
      = CP × (1 + 0.10) 
 
      = 1.1 × CP


তাই

  SP   CP   =   1.1     1   

          =   11   10  




উত্তর (ক): 11 : 10 ✅






খ) দেখাও যে, y² = zx


দেওয়া আছে:

  y² + z²   (y + z)²   =   x² + y²   (x + y)²  

এবং x > y > z > 0 (ধনাত্মক)।




প্রদত্ত সমীকরণ:

        y² + z²  y² + z² + 2yz   =         x² + y²  x² + y² + 2xy  



ধরি,
 
  A = y² + z² , 
 
  B = x² + y²


সমীকরণ:

       A   A + 2yz   =       B   B + 2xy  

⇒ A(B + 2xy) = B(A + 2yz)    [ক্রস গুণ করে]

⇒ AB + 2Axy = AB + 2Byz

⇒ 2Axy = 2Byz

⇒ Axy = Byz



এখন A = y² + z² ,
 
 B = x² + y² বসাই:



(y² + z²)xy = (x² + y²)yz

⇒ x(y² + z²) = z(x² + y²)    [y সাধারণ থাকায় (y>0) কাটতে পারি]

⇒ xy² + xz² = x²z + y²z

⇒ xy² - y²z = x²z - xz²

⇒ y²(x - z) = xz(x - z) 

⇒ y² = xz    [যেহেতু x > z , x - z ≠ 0 , কাটতে পারি]



প্রমাণিত: y² = zx ✅








গ) আয়তন শতকরা কত কমবে?

আয়তন V = x · y · z


এবং,

 y² = zx 
 ⇒ z =   y²   x  

তাহলে, 
V = x · y ·    y²    x   
    = y³


আয়তন শুধু y এর ঘনফলের সমান, x, z এর মান আলাদা হলেও y² = zx শর্তে এটা সত্য।

উচ্চতা ১০% হ্রাস: প্রশ্নে বলা আছে ঘনবস্তুটির উচ্চতা ১০% হ্রাস করা হলো।


তিনটি বাহু যথাক্রমে দৈর্ঘ্য x , প্রস্থ y , উচ্চতা z ধরা যাক। তাহলে z কে হ্রাস করা হলো।



নতুন উচ্চতা,

z' = z - 10% of z

   = 0.9z





নতুন আয়তন,

  V' = x · y · (0.9z)

      = 0.9(xyz)

      = 0.9V





আয়তন হ্রাস = V - V'

                      = V - 0.9V

                      = 0.1V





শতকরা হ্রাস =   0.1V     V   × 100%

                      = 10%





উত্তর (গ): আয়তন ১০% হ্রাস পাবে ✅



চূড়ান্ত উত্তর:

ক) 11 : 10

খ) y² = zx (প্রমাণিত)

গ) ১০% হ্রাস

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

M-১. একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে তার ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক) 2 গুণ

খ) 3 গুণ

গ) 4 গুণ

ঘ) 6 গুণ

M-1.

বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য a থেকে 2a করলে:

পুরনো ক্ষেত্রফল = a²

নতুন ক্ষেত্রফল = (2a)² = 4a²

বৃদ্ধি =  4a²   a²  = 4 গুণ



সঠিক উত্তর: গ) 4 গুণ ✅

M-২. b, a, c ক্রমিক সমানুপাতী হলে-

(i) a² = bc

(ii)  b  a  =  c  a 

(iii)  a + b  a - b  =  c + a  c - a 

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i

খ) i ও ii

গ) i ও iii

ঘ) i, ii ও iii

M-2.

দেওয়া আছে b, a, c ক্রমিক সমানুপাতী।

এর মানে:

  b   a   =   a   c  



(i) a² = bc

  b   a   =   a   c   থেকে a² = bc → সঠিক ✅




(ii)   b   a   =   c   a  

  b   a   =   a   c   থেকে   c   a   =   c   a  

  b   a   =   c   a   হবে যদি b=c হয়, যা সাধারণত সত্য নয় → ভুল ❌




(iii)   a + b   a - b   =   c + a   c - a  


লক্ষ্য করি:

 a² = bc 
 ⇒   a   b   =   c  a  



ধরি, 
 
   a   b   =   c   a   = k 
 
⇒ a = bk,

⇒ c = ak




বামপক্ষ:
   a + b   a - b   

=   bk + b   bk - b   

=   b(k + 1)   b(k - 1)   

=   k + 1   k - 1  



ডানপক্ষ:
   c + a   c - a   

=   ak + a   ak - a   

=   a(k + 1)   a(k - 1)   

=   k + 1   k - 1  



তাই সমান → সঠিক ✅



সুতরাং সঠিক: (i) ও (iii)



উত্তর: গ) i ও iii ✅

একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর অনুপাত 3 : 4 : 5 এবং এর পরিসীমা 36 সে.মি. হলে, নিচের ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

M-৩. ত্রিভুজটির বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্যের বিয়োগফল কত একক?

ক) 9

খ) 6

গ) 5

ঘ) 2

M-3.

ত্রিভুজের বাহুর অনুপাত 3 : 4 : 5


পরিসীমা = 36 সে.মি.


মোট অংশ = 3 + 4 + 5 = 12 অংশ

এক অংশের দৈর্ঘ্য =   36   12   = 3 সে.মি.


বাহুগুলো:

ক্ষুদ্রতম = 3 × 3 = 9 সে.মি.


মাঝারি = 4 × 3 = 12 সে.মি.


বৃহত্তম = 5 × 3 = 15 সে.মি.



বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্যের বিয়োগফল = 15 - 9 = 6 সে.মি.



সঠিক উত্তর: খ) 6 ✅

M-৪. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

ক) 6

খ) 54

গ) 67

ঘ) 90

M-4.

ত্রিভুজের বাহুগুলো: 9 সে.মি., 12 সে.মি., 15 সে.মি.


লক্ষ্য করি:

9² + 12² 

= 81 + 144

= 225

= 15²


অতএব এটি সমকোণী ত্রিভুজ (বিপরীত পিথাগোরাসের উপপাদ্য)।


এখানে অতিভুজ = 15 (বৃহত্তম বাহু),


অতএব সমকোণ সংলগ্ন বাহু 9 ও 12


ক্ষেত্রফল =   1   2   × 9 × 12

                =   108     2   

                = 54 বর্গ সে.মি.



সঠিক উত্তর: খ) 54 ✅

সৃজনশীল প্রশ্ন


M-৫. দৃশ্যকল্প ১: একদিন কোনো শ্রেণিতে অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যার অনুপাত 1 : 4। ওই দিন আরও 5 জন শিক্ষার্থী বেশি উপস্থিত থাকলে অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যার অনুপাত হতো 1 : 9

দৃশ্যকল্প ২: একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল 336 বর্গ একক। জমিটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সাথে অপর একটি আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে 2 : 3 এবং 4 : 5

ক) একটি দ্রব্য 400 টাকায় ক্রয় করে 10% ক্ষতিতে বিক্রয় করলে বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূলের অনুপাত নির্ণয় করো।

খ) দৃশ্যকল্প ১ এ উল্লেখিত শ্রেণির শিক্ষার্থী সংখ্যা নির্ণয় করো।

গ) দৃশ্যকল্প ২ এ উল্লেখিত ২য় জমিটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

M-5.

 
ক) ১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত

ক্রয়মূল্য CP = 400 টাকা


ক্ষতি 10% অর্থাৎ,

  SP = CP × (1 - 0.10)

= 400 × 0.90

= 360 টাকা



অনুপাত-

SP : CP

= 360 : 400 

= 36 : 40 

= 9 : 10



উত্তর (ক): 9 : 10 ✅








খ) শ্রেণির শিক্ষার্থী সংখ্যা নির্ণয়


ধরি, 

অনুপস্থিত = x , 
 
উপস্থিত = 4x (অনুপাত 1 : 4 )


আরও ৫ জন বেশি উপস্থিত থাকলে:

অনুপস্থিত = x (এখনো), 
 

উপস্থিত = 4x + 5


তখন নতুন অনুপাত: x : (4x + 5) = 1 : 9



      x   4x + 5   =   1   9  

⟹ 9x = 4x + 5

⟹ 5x = 5 
 
⟹ x = 1



অতএব, অনুপস্থিত = 1 জন,

উপস্থিত = 4 × 1 = 4 জন



মোট শিক্ষার্থী = 1 + 4 = 5 জন



উত্তর (খ): ৫ জন ✅





গ) ২য় জমিটির ক্ষেত্রফল নির্ণয়

১ম জমির ক্ষেত্রফল A₁ = 336 বর্গ একক


ধরি, 

১ম জমির দৈর্ঘ্য L₁ , 

প্রস্থ W₁


২য় জমির দৈর্ঘ্য L₂ , 

প্রস্থ W₂



দেওয়া আছে:

  L₁   L₂   =   2   3   
 
⟹ L₂ =   3   2   L₁



  W₁   W₂   =   4   5   
 
⟹ W₂ =   5   4   W₁




২য় জমির ক্ষেত্রফল:

A₂ = L₂ × W₂ 

⇒ A₂ = (   3   2   L₁ ) × (   5   4   W₁ )

⇒ A₂ =   3   2   ×   5   4   × (L₁ × W₁)

⇒ A₂ =   15    8   × A₁

⇒ A₂ =   15    8   × 336

⇒ A₂ = 15 × 42

⇒ A₂ = 630 বর্গ একক




উত্তর (গ): ৬৩০ বর্গ একক ✅




সৃজনশীল প্রশ্নের চূড়ান্ত উত্তর:

ক) 9 : 10

খ) ৫ জন

গ) ৬৩০ বর্গ একক

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন


M-৬. ক) দুইটি সংখ্যার অনুপাত 5 : 7 এবং এদের গ.সা.গু. 4 হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. কত?

খ)  x² + y²  y² + z²  =  x  z  এবং z ≠ x হলে, দেখাও যে, x, y ও z ক্রমিক সমানুপাতী।

গ) এক ঘন সে.মি. কাঠের ভর 700 মিলিগ্রাম হলে, সমআয়তনের কাঠের ভর ও পানির ভরের অনুপাত নির্ণয় করো।

ঘ) x : y = 3 : 4 এবং y : z = 2 : 3 হলে, দেখাও যে,  x  3  =  y  4  =  z  6 .

M-6.

৬. ক) দুইটি সংখ্যার অনুপাত 5 : 7 এবং গ.সা.গু. 4 হলে, ল.সা.গু. কত?


ধরি, 

সংখ্যা দুইটি 5k ও 7k

গ.সা.গু. = k (যেহেতু 5 ও 7 পরস্পর সহমৌলিক)



প্রশ্নমতে, k = 4

তাহলে সংখ্যা = 5 × 4 = 20

ও 7 × 4 = 28



ল.সা.গু. = 5 × 7 × 4

              = 140 (যেহেতু ল.সা.গু. = গ.সা.গু. x পরস্পর সহমৌলিক অংশের গুণফল )



অথবা, ল.সা.গু. =   20 × 28        4   = 140



উত্তর (ক): 140 ✅







৬. খ)   x² + y²  y² + z²   =   x  z   এবং z ≠ x হলে, দেখাও যে, x, y, z ক্রমিক সমানুপাতী

প্রদত্ত:

  x² + y²  y² + z²   =   x  z  

⇒ z(x² + y²) = x(y² + z²)    [ক্রসগুণ করে]

⇒ zx² + zy² = xy² + xz²

⇒ zx² - xz² = xy² - zy²

⇒ xz(x - z) = y²(x - z)

⇒ xz = y²     [যেহেতু x ≠ z , x-z ≠ 0 , কাটতে পারি]

⇒   x   y   =   y   z   


সুতরাং,   x   y   =   y   z   

 x, y, z ক্রমিক সমানুপাতী (প্রমাণিত) ✅





৬. গ) এক ঘন সে.মি. কাঠের ভর 700 মিলিগ্রাম হলে, সমআয়তনের কাঠের ভর ও পানির ভরের অনুপাত



প্রদত্ত: কাঠের ভর = 700 মিলিগ্রাম = 0.7 গ্রাম (যেহেতু 1 গ্রাম =1000 মিলিগ্রাম)

১ ঘন সে.মি. পানির ভর = 1 গ্রাম (পানির ঘনত্ব)



তাই সমআয়তনের কাঠের ভর : পানির ভর = 0.7 : 1 = 7 : 10



উত্তর (গ): 7 : 10 ✅







৬. ঘ) x : y = 3 : 4 এবং y : z = 2 : 3 হলে, দেখাও যে   x   3   =   y   4   =   z   6  


প্রথম অনুপাত

   x   y   =   3   4   

⇒ x =   3y    4  



দ্বিতীয় অনুপাত

   y   z   =   2   3   

⇒ z =   3y    2  



এখন   x   3   =      3y   4           3   

=   y   4   ⇒ প্রথম সমতা প্রমাণিত।



আবার   y   4   =       3y   2           6   

=   z   6   ⇒ দ্বিতীয় সমতা প্রমাণিত।



সুতরাং   x   3   =   y   4   =   z   6   (দেখানো হলো) ✅