সূচক ও লগারিদম - Exponents and Logarithms (অনুশীলনী ৪.২)

• 📚 Topics
• 📝 MCQ Test
• ✅ Exercise Solution

অনুশীলনী ৪.২

১. মান নির্ণয় করো:

ক) log₃ 81

খ) log₅ √ 5 

গ) log₄ 2

ঘ) log_2√ 5 400

ঙ) log₅(√ 5  . √ 5 )

1. মান নির্ণয় করো


(ক) 

  log₃ 81

= log₃ 3⁴    [যেহেতু , 81 = 3⁴]

= 4 · log₃ 3 

= 4 x 1 

= 4


4 (উত্তর)



1. (খ) 

log₅ √ 5  

= log₅ $5^{\frac{1}{2}}$     [যেহেতু , √ 5 = $5^{\frac{1}{2}}$ ]

=   1   2   log₅ 5 

=   1   2  


  1   2    (উত্তর)




1. (গ) 

 log₄ 2

= log₄ $4^{\frac{1}{2}}$     [যেহেতু ,2 = $4^{\frac{1}{2}}$ ,কারণ √ 4   = 2]

=   1   2  


  1   2    (উত্তর)





1. (ঘ) 

log_2√ 5   400


ধরি, a = 2√ 5  


log_a 400


এখন,

 a = 2√ 5  

⇒ a² = (2√ 5  )²    [উভয় পাশে বর্গ করে ]

⇒ a² = 4 x 5 

⇒ a² = 20


⇒ (a²)² = (20)²    [আবার উভয় পাশে বর্গ করে ]


⇒ a⁴ = 400

তাই

 log_a 400 

= log_a a⁴     [প্রাপ্ত মান, a⁴ = 400]


= 4


4  (উত্তর)






1. (ঙ) 

log₅ (√ 5   · √ 5  )

এখানে,

√ 5   · √ 5   = 5

তাই,

log₅ 5 


= 1


1  (উত্তর)

২. x এর মান নির্ণয় করো:

ক) log₅x = 3

খ) log_x25 = 2

গ) log_x  1  16  = -2

2.

(ক) 


log₅ x = 3


লগের সংজ্ঞা থেকে:

x = 5³ = 125



125  (উত্তর)





2. (খ) 

log_x 25 = 2

⇒ x² = 25

⇒ x = 5     (∵ x > 0, x ≠ 1)



5  (উত্তর)






2. (গ) 

log_x    1   16   = -2



লগের নিয়ম অনুযায়ী,

⇒ x^-2 =    1   16  

⇒   1   x²   =    1   16  

⇒ x² = 16

⇒ x = 4    (∵ x > 0, x ≠ 1)


4  (উত্তর)

৩. দেখাও যে,

ক) 5log₁₀5 - log₁₀25 = log₁₀125

খ) log₁₀  50  147  = log₁₀2 + 2log₁₀5 - log₁₀3 - 2log₁₀7

গ) 3log₁₀2 + 2log₁₀3 + log₁₀5 = log₁₀360

3.

(ক)

5 log₁₀ 5 - log₁₀ 25 = log₁₀ 125


L.H.S:

 log₁₀ 5⁵ - log₁₀ 25         [যেহেতু , a log_B c = log_B c^a ]

= log₁₀ 3125 - log₁₀ 25      [যেহেতু , 5⁵ = 3125 ]

= log₁₀ ( 3125    25  )      [যেহেতু , log_B m - log_B n = log_B  m   n   ]

= log₁₀ 125       [যেহেতু , 3125 ÷ 25 = 125 ]

= log₁₀ 125

= R.H.S


প্রমাণিত।






3. (খ)

log₁₀    50   147   = log₁₀ 2 + 2 log₁₀ 5 - log₁₀ 3 - 2 log₁₀ 7


বামপক্ষ:

= log₁₀ 50 - log₁₀ 147                                    [ log   A   B   = log a - log b ]

= log₁₀ (2 x 25) - log₁₀ (3 x 49)                     [ 50 = 2 x 25, 147 = 3 x 49 ]

= (log₁₀ 2 + log₁₀ 25) - (log₁₀ 3 + log₁₀ 49)   [ log (ab) = log a + log b ]

= log₁₀ 2 + log₁₀ (5²) - log₁₀ 3 - log₁₀ (7²)     [ 25 = 5², 49 = 7² ]

= log₁₀ 2 + 2 log₁₀ 5 - log₁₀ 3 - 2 log₁₀ 7       [ log a^b = b log a ]

ডানপক্ষের সাথে মিলে গেল।

প্রমাণিত




3. (গ)

 3 log₁₀ 2 + 2 log₁₀ 3 + log₁₀ 5 = log₁₀ 360

= log₁₀ 2³ + log₁₀ 3² + log₁₀ 5     [ a log b = log b^a ]

= log₁₀ 8 + log₁₀ 9 + log₁₀ 5        [ 2³ = 8, 3² = 9 ]

= log₁₀ (8 x 9 x 5)                [ log a + log b + log c = log(abc) ]

= log₁₀ (72 x 5)              [ 8 x 9 = 72 ]

= log₁₀ 360



3 log₁₀ 2 + 2 log₁₀ 3 + log₁₀ 5 = log₁₀ 360

প্রমাণিত।

৪. সরল করো:

ক) 7log₁₀ 10   9  - 2log₁₀ 25  24  + 3log₁₀ 81  80 

খ) log₇($\sqrt[5]{7}$ . √ 7 ) - log₃√ 3  + log₄2

গ) log_e a³b³    c³  + log_e b³c³    d³  + log_e c³d³    a³  - 3log_eb²c

4. সরল করো:


(ক)

7 log₁₀   10    9   - 2 log₁₀   25   24   + 3 log₁₀   81   80  


= log₁₀ ( 10   9)⁷ - log₁₀ (  25   24  )² + log₁₀ (  81   80  )³    [যেহেতু , a log_B c = log_B c^a ]

= log₁₀ [   ( 10   9)⁷ · ( 81  80 )³          ( 25  24 )²   ]       [যেহেতু , log A - log B + log C = log   AC    B   ]



এখন মৌলিক গুণনীয়কে ভাঙি:


(i) ( 10   9 )⁷ 

=   2⁷ · 5⁷      3¹⁴         [যেহেতু , 10 = 2· 5, 9 = 3² ]


(ii) ( 80  81 )³ 

=   3¹²    2¹²   · 5³       [যেহেতু , 81 = 3⁴, 80 = 2⁴ · 5]



লবের গুণফল:

=   2⁷ · 5⁷     3¹⁴   ·   3¹2  2¹2   · 5³


=  2^7-12 · 5^7-3    3¹⁴- 12  


=  2^-5 · 5⁴      3²  


(iii) হর:

  ( 25  24 )² 

= (      5²   2³ · 3  )² 

=      5⁴  2⁶ · 3²          [যেহেতু , 25 = 5², 24 = 2³ ]



সুতরাং ভগ্নাংশ 

=           5⁴  2⁵ · 3²              5⁴  2⁶ · 3²    


=       5⁴   2⁵ · 3²   x   2⁶ · 3²       5⁴  


= 2^6-5 

= 2

= log₁₀ 2



log₁₀ 2    (উত্তর)







4. (খ)

  log₇ (⁵√ 7  · √ 7  ) - log₃ ³√ 3   + log₄ 2

= log₇ ( $7^{\frac{1}{5}}$ · $7^{\frac{1}{2}}$) - log₃  $3^{\frac{1}{3}}$   +log₄ √ 4 

= log₇ ( $7^{\frac{1}{5}+\frac{\mathrm{b-c}}{\mathrm{bc}}+\frac{1}{2}}$ ) - log₃$3^{\frac{1}{3}}$ + log₄$4^{\frac{1}{2}}$   

= log₇ ($7^{\frac{\mathrm{2+5}}{10}}$) -  log₃$3^{\frac{1}{3}}$ + log₄ $4^{\frac{1}{2}}$ 

= log₇ ($7^{\frac{7}{10}}$) -  log₃$3^{\frac{1}{3}}$ + log₄ $4^{\frac{1}{2}}$ 

=    7   10   -   1   3   +   1   2  

=  21  30  -   10   30   +   15   30  

=   21 - 10 + 15          30  

=   26   30   

=   13   15  



   13   15     (উত্তর)





4. (গ)

log_e   a³ b³     c³   + log_e   b³ c³     d³   + log_e   c³ d³     a³   - 3 log_e (b² c)


প্রথম তিন লগের যোগফল:

= log_e (   a³ b³     c³   ·   b³ c³     d³   ·   c³ d³     a³   )      [যেহেতু , log A + log B + log C = log(ABC) ]




ভিতরের অংশের গুণফল:

a³ বাতিল   a³   a³   = 1

c³ বাতিল (লবে ও হরে আছে)

d³ বাতিল   d³   d³   = 1

b³ · b³ = b⁶

অতএব গুণফল = b⁶


সুতরাং প্রথম তিন লগের যোগফল = log_e b⁶ = 6 log_e b

এখন

 6 log_e b - 3 log_e (b² c)

= 6 log_e b - 3 (log_e b² + log_e c)

= 6 log_e b - 3 (2 log_e b + log_e c)

= 6 log_e b - 6 log_e b - 3 log_e c

= -3 log_e c


-3 log_e c  (উত্তর)



সারাংশ উত্তর:

(ক) log₁₀ 2

(খ)   13   15  

(গ) -3 log_e c

৫. x = 2, y = 3, z = 5, w = 7

ক) √ 9³  এর 3 ভিত্তিক লগ নির্ণয় করো।

খ) wlog xz   y²  - xlog  z²  x²y  + ylog y⁴  x⁴z এর মান নির্ণয় করো।

গ) দেখাও যে,  log√ y³ + ylogx -  y  x log(xz)      log(xy) - logz  = log_y√ y³ 

5.

প্রদত্ত: x = 2, y = 3, z = 5, w = 7

(ক)

$\text{exception 25:}$  এর 3 ভিত্তিক লগ নির্ণয়


$\text{exception 25:}$ 

= (9³${\mathrm{)}}^{\frac{1}{2}}$ 

= $3^{6x\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$ 

= 3³ 

= 27


এর 3 ভিত্তিক লগ

log₃ 27 

= log₃ 3³ 

= 3



3   (উত্তর)




5. (খ)

 w log    xz    y²   - x log     z²   x² y   + y log     y⁴   x⁴ z    (এখানে log বলতে log₁₀ বোঝায়, যদি ভিত্তি উল্লেখ না থাকে)

= 7 log  2· 5   3² - 2 log      5²  2² · 3   + 3 log      3⁴  2⁴ · 5       [মান বসাই: x=2, y=3, z=5, w=7]

= 7 log   10    9   - 2 log   25   12   + 3 log   81   80   



পৃথক করি:

7 log   10    9   

= 7(log 10 - log 9) 

= 7(1 - 2log 3)



-2 log   25   12   

= -2(log 25 - log 12) 

= -2(2log 5 - log(4· 3))

= -2(2log 5 - (2log 2 + log 3)) 


= -4log 5 + 4log 2 + 2log 3



3 log   81   80   

= 3(log 81 - log 80) 

= 3(4log 3 - (log 16 + log 5))

= 12log 3 - 3(4log 2 + log 5) 

= 12log 3 - 12log 2 - 3log 5



যোগ করি:

log 2 সহগ: 0 + 4 - 12 = -8

log 3 সহগ: 7(-2) + 2 + 12 = -14 + 14 = 0

log 5 সহগ: 0 + (-4) + (-3) = -7

ধ্রুবক: 7



রাশি: 

= 7 - 8log 2 - 7log 5

= 7 - 8log 2 - 7(1 - log 2)    [যেহেতু , log 5 = 1 - log 2 বসাই:]

= 7 - 8log 2 - 7 + 7log 2

= -log 2



-log₁₀ 2   (উত্তর)



5. (গ)

দেখাতে হবে:

  log $\text{exception 25:}$ + ylog x -   y   x   log(xz)            log(xy) - log z   = log_y $\text{exception 25:}$


প্রথমে ডানপক্ষ সরল করি:

  log_y $\text{exception 25:}$

= log_y ${\mathrm{y}}^{\frac{3}{2}}$  

=   3   2  



বামপক্ষের লবের পৃথক ভাবে মান বের করি-

log$\text{exception 25:}$ = log ${\mathrm{y}}^{\frac{3}{2}}$ =   3   2   log y   (ভিত্তি ১০ ধরে)


ylog x = 3 log 2    (ভিত্তি ১০ ধরে) 
 

  y   x   log(xz) =   3   2   (log 2 + log 5)    (ভিত্তি ১০ ধরে)


লব: 

=   3   2   log 3 + 3log 2 -   3  2  log 2 -   3  2   log 5

=   3   2   log 3 + (3 -   3   2  )log 2 -   3   2   log 5

=   3   2   log 3 +   3   2   log 2 -   3   2   log 5

=   3   2   ( log 3 + log 2 - log 5 )

=   3   2   log (   3 · 2      5   ) =   3   2   log   6   5  


বামপক্ষের হর: 

= log(xy) - log z 

= log(2· 3) - log 5 

= log 6 - log 5 

= log   6   5  

সুতরাং বামপক্ষ =     3   2   .  log   6   5          log   6   5     
                           =   3   2  

ডানপক্ষ =   3   2  



অতএব প্রমাণিত।

  3   2  

সারাংশ উত্তর:

(ক) 3

(খ) -log₁₀ 2

(গ)   3   2   (প্রমাণিত)