সূচক ও লগারিদম - Exponents and Logarithms (অনুশীলনী ৪.৩)

• 📚 Topics
• 📝 MCQ Test
• ✅ Exercise Solution

১. কোন শর্তে a⁰ = 1?

ক) a = 0

খ) a ≠ 0

গ) a > 0

ঘ) a ≠ 1

1.

আমরা জানি, সূচকের নিয়ম অনুযায়ী a⁰ = 1 হয় যখন a ≠ 0 ।

কারণ 0⁰ অসংজ্ঞায়িত।



তাই সঠিক উত্তর: খ) a ≠ 0 ।

২. ³√ 5  . ³√ 5  এর মান নিচের কোনটি?

ক) $\sqrt[6]{5}$

খ) (³√ 5 )³

গ) (√ 5 )³

ঘ) ³√ 25 

2.

$\sqrt[\mathrm{3 }]{5}\times \sqrt[3]{5}$

$<br>$$=5^{\frac{1}{\mathrm{3 }}}\times 5^{\frac{1}{3}}\text{ [সূচক আকারে লিখে]}$


$=5^{\frac{1}{\mathrm{3 }}+ \frac{1}{3}}\text{ [একই ভিত্তির ঘাত গুণ করলে সূচক যোগ হয়]}$


$=5^{\frac{2}{3}}$


$=\sqrt[3]{5^2}\text{ [}{a}^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\text{ সূত্র ব্যবহার করে]}$


$=\sqrt[3]{25}$


∴ সঠিক উত্তর: 253 যা অপশন ঘ) এর সাথে মিলে যায়।

৩. log_aa = 1 সঠিক কোন শর্তে?

ক) a > 0

খ) a ≠ 1

গ) a > 0, a ≠ 1

ঘ) a ≠ 0, a > 1

3.

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, log_A a = 1 সত্য হওয়ার জন্য শর্ত হলো:

⇒ a > 0

⇒ a ≠ 1 (কারণ ভিত্তি 1 হলে লগারিদম অসংজ্ঞায়িত)



সুতরাং সঠিক শর্ত: গ) a > 0, a ≠ 1

৪. একটি সংখ্যাকে a × 10ⁿ আকারে লেখার জন্য শর্ত কোনটি?

ক) 1 < a < 10

খ) 1 ≤ a ≤ 10

গ) 1 ≤ a < 10

ঘ) 1 < a ≤ 10

4.

একটি সংখ্যাকে বৈজ্ঞানিক (standard) আকারে a x 10ⁿ আকারে লিখতে সাধারণ নিয়ম:

⇒ a হবে 1 থেকে 10-এর মধ্যে, যেখানে 1 অন্তর্ভুক্ত কিন্তু 10 বাদ। 


    অর্থাৎ 1 ≤ a < 10

⇒ n একটি পূর্ণসংখ্যা।



সঠিক শর্ত: গ) 1 ≤ a < 10

৫. 0.0035 এর সাধারণ লগের পূর্ণক কত?

ক) 3

খ) 1

গ) $\dot{2}$

ঘ) $\dot{3}$

5.


প্রদত্ত সংখ্যা: 0.0035


0.0035 = 3.5 × 10^-3




সাধারণ লগ নিলে:


log⁡(0.0035) = log⁡(3.5 × 10^-3)


= log⁡(3.5) + log⁡(10^-3)


= log⁡(3.5) - 3




এখন, log⁡(3.5) এর মান:


log⁡(3) = 0.4771,


log⁡(4) = 0.6020




3.5 এর মাঝামাঝি, log(3.5) ≈ 0.5441 (প্রকৃত মান 0.544068)




তাই:


log⁡(0.0035) ≈ 0.5441 - 3 = -2.4559




সাধারণ লগে পূর্ণক (characteristic)হল দশমিকের আগের সংখ্যা (ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য বিশেষ নিয়ম):


-2.4559 কে লিখি: -3 + 0.5441 আকারে অর্থাৎ $\dot{3}$.5441


এখানে পূর্ণক = -3 বা চিহ্নিত করলে 3



বিকল্পগুলোর মধ্যে:
ক) 3 → না
খ) 1 → না
গ) $\dot{2}$ → না
ঘ) $\dot{3}$ → হ্যাঁ



∴ সঠিক উত্তর: $\dot{3}$ অর্থাৎ ঘ)

৬. বৈজ্ঞানিক রূপে প্রকাশ করো:

ক) 6530

খ) 60.831

গ) 0.000245

ঘ) 37500000

ঙ) 0.00000014

6.

নিচে প্রতিটি সংখ্যাকে বৈজ্ঞানিক আকারে a qxqx 10ⁿ রূপে প্রকাশ করা হলো, যেখানে 1 ≤ a < 10 এবং n পূর্ণসংখ্যা।


(ক) 6530

6530 


= 6.53 x 10³





(খ) 60.831

60.831 


= 6.0831 x 10¹





(গ) 0.000245

0.000245 


= 2.45 x 10^-4





(ঘ) 37500000

37500000 


= 3.75 x 10⁷





(ঙ) 0.00000014

0.00000014 


= 1.4 x 10^-7



এই উত্তরগুলো যথাক্রমে বৈজ্ঞানিক রূপ।

৭. সাধারণ দশমিক রূপে প্রকাশ করো:

ক) 10⁵

খ) 10^-5

গ) 2.53 × 10⁴

ঘ) 9.813 × 10^-3

ঙ) 3.12 × 10^-5

7.

নিচে প্রতিটি সংখ্যাকে সাধারণ দশমিক রূপে প্রকাশ করা হলো:



(ক) 10⁵


10⁵ 

= 100000





(খ) 10^-5


10^-5 

= 0.00001







(গ) 2.53 x 10⁴


2.53 x 10⁴ 

= 2.53 x 10000 

= 25300





(ঘ) 9.813 x 10^-3


9.813 x 10^-3 

= 9.813 x 0.001 

= 0.009813







(ঙ) 3.12 x 10^-5


3.12 x 10^-5 

= 3.12 x 0.00001 

= 0.0000312

৮. নিচের সংখ্যাগুলোর সাধারণ লগের পূর্ণক বের করো (ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করে):

ক) 4820

খ) 72.245

গ) 1.734

ঘ) 0.045

ঙ) 0.000036

8.

সাধারণ লগের পূর্ণক (characteristic) বের করার নিয়ম:

যদি সংখ্যা ≥ 1 হয়, পূর্ণক = (অঙ্কের সংখ্যা – 1)

যদি সংখ্যা < 1 হয়, পূর্ণক = ঋণাত্মক হবে = (দশমিকের পরে শূন্য সংখ্যা + 1) কে ঋণাত্মক করে

নিচে প্রতিটি সংখ্যার পূর্ণক নির্ণয় করা হলো (ক্যালকুলেটর ছাড়া):





(ক) 4820
 
এটি ≥ 1। অঙ্কের সংখ্যা = 4

পূর্ণক = 4 - 1 = 3





(খ) 72.245
 
অঙ্কের সংখ্যা = 2 (72-এর অংশ থেকে 2টি অঙ্ক)

পূর্ণক = 2 - 1 = 1





(গ) 1.734
 
অঙ্কের সংখ্যা = 1 (শুধু 1)

পূর্ণক = 1 - 1 = 0






(ঘ) 0.045
 
এটি < 1। দশমিকের পরে অশূন্য সংখ্যা আসার আগে শূন্য সংখ্যা = 1 (0.0 45 → দশমিকের পর একটি শূন্য)

পূর্ণক = -(1 + 1) = -2 (বা $\dot{2}$ আকারে প্রকাশ করা হয়)






(ঙ) 0.000036

দশমিকের পরে অশূন্য সংখ্যার আগে শূন্য সংখ্যা = 4 (0.0000 36 → দশমিকের পর চারটি শূন্য)

পূর্ণক = -(4 + 1) = -5 (বা $\dot{5}$)




সারসংক্ষেপ উত্তর:

ক) 3

খ) 1

গ) 0

ঘ) -2

ঙ) -5

৯. ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে নিচের সংখ্যাগুলোর সাধারণ লগের পূর্ণক ও অংশক নির্ণয় করো:

ক) 27

খ) 63.147

গ) 1.405

ঘ) 0.0456

ঙ) 0.000673

9.

নিয়ম: log₁₀ (x) = পূর্ণক + অংশক, যেখানে অংশক 0 ≤ অংশক < 1।



(ক) 27

  log₁₀ 27 


= log₁₀ (2.7 x 10¹) 


= log₁₀ 2.7 + 1



log₁₀ 2.7 ≈ 0.431363764

সুতরাং log₁₀ 27 ≈ 1.431363764



পূর্ণক = 1, অংশক ≈ 0.431363764






(খ) 63.147
 

log₁₀ 63.147 


= log₁₀ (6.3147 x 10¹) 


= log₁₀ 6.3147 + 1



log₁₀ 6.3147 

≈ 0.800330 (আনুমানিক)


তাই log₁₀ 63.147 ≈ 1.800330


পূর্ণক = 1, অংশক ≈ 0.800330






(গ) 1.405

log₁₀ 1.405 


≈ 0.147676

পূর্ণক = 0, অংশক ≈ 0.147676







(ঘ) 0.0456
 

0.0456 

= 4.56 x 10^-2




log₁₀ 4.56 ≈ 0.658965


তাই log₁₀ 0.0456 = 0.658965 - 2 = -1.341035

এখন একে পূর্ণক + অংশক আকারে লিখি: -1.341035 = -2 + 0.658965

পূর্ণক = -2 (বা $\dot{2}$), অংশক ≈ 0.658965







(ঙ) 0.000673
 

0.000673 

= 6.73 x 10^-4



log₁₀ 6.73 

≈ 0.828015



log₁₀ 0.000673 

= 0.828015 - 4 

= -3.171985



-3.171985 = -4 + 0.828015

পূর্ণক = -4 (বা $\dot{4}$), অংশক ≈ 0.828015



উত্তর সংক্ষেপে (পূর্ণক, অংশক):

ক) 1, 0.431363764

খ) 1, 0.800330

গ) 0, 0.147676

ঘ) -2, 0.658965

ঙ) -4, 0.828015

১০. গুণফলের/ভাগফলের সাধারণ লগ (আসন্ন পাঁচ দশমিক স্থান পর্যন্ত) নির্ণয় করো:

ক) 5.34 × 8.7

খ) 0.79 × 0.56

গ) 22.2642 ÷ 3.42

ঘ) 0.19926 ÷ 32.4

10.


(ক) 5.34 x 8.7


log₁₀ 5.34



5.34: 

log₁₀ 5.34 

= log₁₀ (5.34)



log₁₀ 5.34 

≈ 0.72754 (আনুমানিক: 10⁰.727 ≈ 5.34)



আরো সূক্ষ্ম: 5.34 এর log ≈ 0.727541 (৫ দশমিকে 0.72754)

log₁₀ 8.7 ≈ 0.93952



যোগ করি: 0.72754 + 0.93952 = 1.66706

এটি log₁₀ (5.34 x 8.7)।



অ্যান্টিলগ করে গুণফল বের করলে: 


10^1.66706 


= 10⁰.66706 qxqx 10¹



10⁰.66706 ≈ 4.6458 (যেহেতু log 4.645 ≈ 0.667)

তাই গুণফল ≈ 46.458



উত্তর: log₁₀(গুণফল) ≈ 1.66706 (পাঁচ দশমিকে)







(খ) 0.79 x 0.56
 

log₁₀ 0.79 

= log₁₀ (7.9 x 10^-1 ) 

= 0.89763 - 1 

= -0.10237




log₁₀ 0.56 

= log₁₀ (5.6 x 10^-1) 

= 0.74819 - 1 

= -0.25181


যোগ: -0.10237 + (-0.25181) = -0.35418



অ্যান্টিলগ: 

10^-0.35418 

= 10⁰.64582 - 1 

= 10⁰.64582 x 10^-1


10⁰.64582 ≈ 4.424




গুণফল ≈ 0.4424



উত্তর: log₁₀(গুণফল) ≈ -0.35418







(গ) 22.2642 ÷ 3.42
 

log₁₀ 22.2642



22.2642 

= 2.22642 x 10¹

log₁₀ 2.22642 


≈ 0.34750 (কারণ log 2.226 ≈ 0.3475)



সুতরাং, 

log₁₀ 22.2642 

= 0.34750 + 1 

= 1.34750


log₁₀ 3.42

= 3.42



 log₁₀ 3.42 

≈ 0.53403



ভাগফলের লগ 

= 1.34750 - 0.53403 

= 0.81347
 
 

উত্তর: log₁₀(ভাগফল) ≈ 0.81347



সংক্ষেপে উত্তর (পাঁচ দশমিক স্থান পর্যন্ত লগ):

ক) 1.66706

খ) -0.35418

গ) 0.81347

১১. যদি log2= 0.30103, log3 = 0.47712 এবং log7 = 0.8541 হয়, তবে নিচের রাশিগুলোর মান নির্ণয় করো:

ক) log9

খ) log28

গ) log42

11.

প্রদত্ত:

log 2 = 0.30103, 

log 3 = 0.47712, 

log 7 = 0.84510



(ক) log 9
 

log 9 

= log (3²) 

= 2 log 3

= 2 x 0.47712 

= 0.95424







(খ) log 28


28 

= 4 x 7 

= 2² x 7


log 28 

= log (2² x 7) 

= 2 log 2 + log 7

= 2 x 0.30103 + 0.84510

= 0.60206 + 0.8451 

= 1.44716








(গ) log 42
 

42 

= 6 x 7 

= (2 x 3) x 7



log 42 

= log 2 + log 3 + log 7



1.62325

= 0.77815 + 0.8451 

= 1.62325



উত্তর:

ক) 0.95424

খ) 1.44716

গ) 1.62325

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

১. log_x4 = 2 হলে, x এর মান কত?

ক) 2

খ) ±2

গ) 4

ঘ) 10

M-1.

প্রশ্ন:

log_x 4 = 2



লগারিদমের সংজ্ঞানুসারে:

x² = 4

x = ± 2



কিন্তু লগারিদমের ভিত্তি x > 0 এবং x ≠ 1 হতে হবে।

তাই x = -2 গ্রহণযোগ্য নয়।



সুতরাং x = 2



সঠিক উত্তর: ক) 2

২. a = log₂3 , b = log₂5 হলে-

(1)  a  b  = log₅3

(ii) a + b = log₂8

(iii) a² + b² = 8

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i

খ) i ও iii

গ) ii ও iii

ঘ) i, ii ও iii

M-2. 

দেওয়া আছে, a = log₂3 , b = log₂5


(i)  a  b  = log₅3

বামপক্ষ:


  log₂3  log₂5  

= log₅3  (ভিত্তি পরিবর্তন সূত্রানুসারে)



✔️ সঠিক।









(ii) a + b = log₂8

বামপক্ষ: 


log₂3 + log₂5 = log₂(3×5) = log₂15



ডানপক্ষ: log₂8 = 3

log₂15 ≠ 3 ❌ সঠিক নয়।




(iii) a² + b² = 8



আনুমানিক মান: 


log₂3 ≈ 1.585 , 


log₂5 ≈ 2.322


1.5852 + 2.3222 ≈ 7.904 ≠ 8 ❌ সঠিক নয়।



সুতরাং শুধু (i) সঠিক।


উত্তর: ক) i

0.0225 সংখ্যাটি বিবেচনা করে নিচের ৩ ও ৪নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

৩. সংখ্যাটির বৈজ্ঞানিক আকার নিচের কোনটি?

ক) 225 × 10^-4

খ) 22.5 × 10^-3

গ) 2.25 × 10^-2

ঘ) 0.225 × 10^-1

৩ নং প্রশ্ন: 
বৈজ্ঞানিক আকারে প্রকাশ করতে হয় a x 10ⁿ আকারে, যেখানে 1 < a < 10 এবং n পূর্ণসংখ্যা।

0.0225 = 2.25 x 10²

সুতরাং সঠিক উত্তর: গ) 2.25 × 10⁻²

0.0225 সংখ্যাটি বিবেচনা করে নিচের ৪নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

৪. সংখ্যাটির সাধারণ লগের পূর্ণক কত?

ক) $\dot{2}$

খ) $\dot{1}$

গ) 0

ঘ) 2

4 নং প্রশ্ন:

আমরা 0.0225 সংখ্যাটির সাধারণ লগের পূর্ণক বের করব।



প্রথমে সংখ্যাটিকে বৈজ্ঞানিক আকারে লিখি:

0.0225 = 2.25 × 10²



সাধারণ লগ (ভিত্তি ১০) নিই:

log(0.0225) 

= log(2.25 × 10²)

= log(2.25) + log(10²)

= log(2.25) - 2





এখন log(2.25) এর মান 0 থেকে 1 এর মধ্যে (যেহেতু 2.25 দশমিকের আগে ১ অঙ্ক)।

সুতরাং:

log(0.0225) = (0.কিছু) - 2

একে $\dot{2}$ (কিছু) আকারে লেখা যায়, যেখানে দশমিকের আগের সংখ্যা -2 বা$\dot{2}$ ।

পূর্ণক = -2 বা $\dot{2}$



বিকল্পগুলোর সাথে মিলিয়ে:

ক) $\dot{2}$ → হ্যাঁ
খ) $\dot{1}$ → না
গ) 0 → না
ঘ) 2 → না


2˙

সঠিক উত্তর: ক)

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. A =  7log( 16  15 ) + 5log( 25  24 ) - 13log( 2  3 )         log 3 + 3log 5  , B =  3^2x+3 - 9.3^2x-1      3^x+2 ÷ 3 

ক) √ 3  ভিত্তিতে 9 এর লগ নির্ণয় করো।

খ) দেখাও যে, A = 1

গ) B = 72 হলে, x এর মান নির্ণয় করো।

M-5

দেওয়া আছে,

A =  7log( 16  15 ) + 5log( 25  24 ) - 13log( 2  3 )                log 3 + 3log 5  ,

এবং


B =  3^2x+3 - 9.3^2x-1      3^x+2 ÷ 3 



ক) (√3 ) ভিত্তিতে (9) এর লগ নির্ণয়


নির্ণয় করতে হবে,

log_√3 9


এখন,

√3  = $3^{\frac{1}{2}}$, 

এবং


9 = 3²



সুতরাং,

log_√3  3²

= log_√3  3²

= log_√3  (√3 . √3)²

= log_√3  (√3 )².(√3 )²

= log_√3  (√3 )⁴.

= 4



অতএব,

log_√3 9 = 4








খ) দেখাও যে, A = 1



প্রথমে লব সরল করি।


  7log( 16  15 ) + 5log( 25  24 ) - 13log( 2  3 )


= 7(log16 - log15) + 5(log25 - log24) - 13(log2 - log3)


= 7(log2⁴ - log(3×5) ) + 5(log5² - log(8×3) ) - 13(log2 - log3)


= 7(4log2 - (log3 + log5) ) + 5(2log5 - (log8 + log3) ) - 13(log2 - log3)


= 7(4log2 - log3 - log5) + 5(2log5 - log2³ - log3) - 13(log2 - log3)


= 7(4log2 - log3 - log5) + 5(2log5 - 3log2 - log3) - 13(log2 - log3)


= 28log2 - 7log3 - 7log5 + 10log5 - 15log2 - 5log3 - 13log2 + 13log3


= 28log2 - 15log2 - 13log2 - 7log3 - 5log3 + 13log3 - 7log5 + 10log5   [সমজাতীয় পদ একত্রে ]


= (28 - 15 - 13)log2 + (-7 - 5 + 13)log3 + (-7 + 10)log5


= 0log2 + 1log3 + 3log5


= log3 + 3log5



অতএব,

A =  log3 + 3log5  log3 + 3log5

    = 1



সুতরাং,

A = 1






গ)

B =   3^{2x + 3} - 9 . 3^{2x - 1}      3^{x + 2} ÷ 3



লবে,

 3^{2x + 3} - 9 . 3^{2x - 1}


= 3^{2x + 3} - 3² . 3^{2x - 1}


= 3^{2x + 3} - 3^{2x - 1 + 2}


= 3^{2x + 3} - 3^{2x + 1}


= 3^2x . 3³   - 3^2x . 3¹   


= 3^2x . 3¹ (3² - 1)


= 3^{2x + 1} (3² - 1)


= 3^{2x + 1} (9 - 1)


= 3^{2x + 1}. 8


= 8 . 3^{2x + 1}



হরে, 

3^{x + 2} ÷ 3

= 3^{x + 2}     3

= 3^{x + 2 - 1}

= 3^{x + 1}





অতএব,

 B =  8 . 3^{2x + 1}    3^{x + 1}

= 8 . 3^{(2x + 1) - (x + 1)}       [সূচকের সূত্র অনুযায়ী]

= 8 . 3^{2x + 1 - x + 1}

= 8 . 3^x




এখন, দেওয়া আছে,  B = 72

অর্থাৎ,

⇒ 8 . 3^x = 72

⇒ 3^x =  72   8 
⇒ 3^x = 9

⇒ 3^x = 3²

⇒ x = 2




সুতরাং,

x = 2

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬. ক) দেখাও যে,  25ⁿ - 4   5ⁿ + 2  + 2 = 5ⁿ

খ) (³√ a )^x-2 = 1 হলে, x -এর মান নির্ণয় করো।

গ) log_y27 = 6 হলে, y-এর মান নির্ণয় করো।

ঘ) ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করে 1234567-এর সাধারণ লগের পূর্ণক নির্ণয় করো।

৬। সংক্ষিপ্ত - উত্তর প্রশ্ন



ক)
$$\text{প্রমাণ কর যে:} \frac{{25}^n-4}{5^n+2}+2=5^n$$
$$\text{<br>}$$
$$\text{প্রমাণ:}$$
$${\mathrm{<br>}}^{}$$
$${25}^n=(5^2{)}^n=5^{2n}$$
$$\frac{{\mathrm{<br>}}^{}}{}$$
$$\frac{{\mathrm{<br>}}^{}}{}$$
$$\frac{{25}^n-4}{5^n+2}=\frac{5^{2n}-4}{5^n+2}$$
$${\mathrm{<br>}}^{}$$
$$5^{2n}-4=(5^n{)}^2-2^2=(5^n-2\left)\right(5^n+2)$$
$$\frac{<br>}{}$$
$$\frac{<br>}{}$$
$$\frac{(5^n-2)(5^n+2)}{5^n+2}+2=(5^n-2)+2=5^n$$
$$\text{<br>}$$
$$\text{সুতরাং,} \frac{{25}^n-4}{5^n+2}+2=5^n\text{\hspace{1em}(প্রমাণিত)}$$








খ)


  $${\left(\sqrt[3]{a}\right)}^{x-2}=1$$
$${\mathrm{<br>}}^{}$$
$$a^{\frac{\mathrm{x }- 2}{\mathrm{3 }}}= 1\text{\hspace{1em}[ঘনমূলকে সূচকে রূপ]}$$
$$\frac{\mathrm{<br>}}{}$$
$$\frac{\mathrm{x }- 2}{\mathrm{3 }}= 0\text{\hspace{1em}[a > 0, a ≠ 1 ]}$$
$$\mathrm{<br>}$$
$$\mathrm{x }- \mathrm{2 }= 0$$
$$\mathrm{<br>}$$
$$\mathrm{x }= 2\text{\hspace{1em}[উত্তর]}$$





গ)

দেওয়া আছে,

log_y 27 = 6

⇒ y⁶ = 27    [লগের সংজ্ঞা অনুযায়ী]


⇒ y⁶ = 3³


⇒ y⁶ = 3³

⇒ y = 3^3/6     [উভয় পাশে ( 1  6 ) ঘাত নিলে]

⇒ y = 3^1/2

⇒ y = √ 3 



অতএব,

y = √ 3 






ঘ)

সংখ্যা:

1234567



আমরা জানি, সাধারণ লগের পূর্ণক = সংখ্যাটির অঙ্কসংখ্যা ( - 1)


এখানে,

1234567

এতে মোট (7) টি অঙ্ক আছে।

তাই,

পূর্ণক = 7 - 1 = 6



অতএব,


6