Topic- বাস্তব সংখ্যা (Chapter-1)

• 📚 Topics
• 📝 MCQ Test
• ✅ Exercise Solution

১. বাস্তব সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস (Classification of Real Numbers)

বাস্তব সংখ্যা মূলত দুই ভাগে বিভক্ত: মূলদ (Rational) ও অমূলদ (Irrational)।

ক) স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Numbers)

ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা: 1, 2, 3, 4, ...

মৌলিক সংখ্যা (Prime): 2, 3, 5, 7, ... (১ এবং নিজে ছাড়া ভাজক নেই)

যৌগিক সংখ্যা (Composite): 4, 6, 8, 9, ...

পরস্পর সহমৌলিক (Co-prime): দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 1 হলে। যেমন: 6 ও 35

খ) পূর্ণসংখ্যা (Integers)

ধনাত্মক, ঋণাত্মক ও শূন্য: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

গ) ভগ্নাংশ সংখ্যা (Fractional Numbers)

আকার:  p  q , যেখানে q ≠ 0,q ≠ 1 এবং q দ্বারা p নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।

প্রকৃত ভগ্নাংশ: p < q (যেমন:  1  3 )

অপ্রকৃত ভগ্নাংশ: p > q (যেমন:  5  4 )

ঘ) মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers)

আকার:  p  q , যেখানে p, q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0

সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।

দশমিক প্রসারণ সসীম বা আবৃত (পৌনঃপুনিক) হয়।

ঙ) অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers)

 p  q  আকারে প্রকাশ করা যায় না।

দশমিক প্রসারণ অসীম ও অনাবৃত হয়।

উদাহরণ: √ 2 , √ 3 , π

চ) বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers)

মূলদ + অমূলদ = বাস্তব সংখ্যা।

সংখ্যারেখার প্রতিটি বিন্দু একটি বাস্তব সংখ্যা নির্দেশ করে।



২. দশমিক ভগ্নাংশের শ্রেণিবিন্যাস (Classification of Decimal Fractions)

ক) সসীম দশমিক (Terminating Decimal)

দশমিক বিন্দুর পর অঙ্ক সংখ্যা সসীম।

উদাহরণ: 0.52, 3.4152

সব সসীম দশমিক মূলদ সংখ্যা।

খ) অসীম দশমিক (Non-terminating Decimal)

দশমিক বিন্দুর পর অঙ্ক সংখ্যা অসীম।

i) আবৃত দশমিক (Recurring Decimal)

একটি অঙ্ক বা একাধিক অঙ্ক বারবার আসে।

উদাহরণ: 1.333... = 1.$\dot{3}$, 3.124124... = 3.$\dot{124}$

সব আবৃত দশমিক মূলদ সংখ্যা।

আবৃত দশমিকের প্রকার:

বিচ্ছিন্ন পৌনঃপুনিক (Pure Recurring): দশমিক বিন্দুর পরই আবৃত অংশ শুরু। যেমন: 1.$\dot{3}$

মিশ্র পৌনঃপুনিক (Mixed Recurring): দশমিক বিন্দুর পর অনাবৃত অংশের পরে আবৃত অংশ। যেমন: 4.23$\dot{5112}$

ii) অসীম অনাবৃত দশমিক (Non-recurring Decimal)

কোনো পুনরাবৃত্তি নেই, অঙ্কগুলি এলোমেলোভাবে আসে।

উদাহরণ: √ 2  = 1.4142135…

সব অসীম অনাবৃত দশমিক অমূলদ সংখ্যা।



৩. আবৃত দশমিককে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর (Converting Recurring Decimal to Fraction)

ক) বিচ্ছিন্ন পৌনঃপুনিকের রূপান্তর

নিয়ম:

$\dot{\mathrm{abc}}$ =  abc  999  (যত অঙ্ক আবৃত, ততটি 9)

উদাহরণ:

$\dot{3}$ =  3  9  =  1  3 

0.$\dot{24}$ =  24  99  =   8  33 

খ) মিশ্র পৌনঃপুনিকের রূপান্তর

নিয়ম:

a.$\dot{\mathrm{bcd}}$ =  abcd - ab      9900  (আবৃত অংশের জন্য 9, অনাবৃত অংশের জন্য 0)

উদাহরণ:

42.34$\dot{78}$ =  423478 - 4234     9900  =  419244     9900  =  34937    825 



৪. সদৃশ ও অসদৃশ আবৃত দশমিক (Like and Unlike Recurring Decimals)

সদৃশ: অনাবৃত অংশের অঙ্ক সংখ্যা ও আবৃত অংশের অঙ্ক সংখ্যা সমান।

অসদৃশ: অঙ্ক সংখ্যা সমান নয়।

অসদৃশকে সদৃশে রূপান্তর

1. অনাবৃত অংশ: সবচেয়ে বেশি অঙ্ক সংখ্যা অনুসারে শূন্য বসিয়ে সমান করো।

2. আবৃত অংশ: আবৃত অংশের অঙ্ক সংখ্যার ল.সা.গু. অনুসারে আবৃত অংশ পুনরায় লিখে সমান করো।

উদাহরণ:

5.$\dot{6}$, 7.3$\dot{45}$, 10.78$\dot{423}$

অনাবৃত অংশ: 0, 1, 2 → সবচেয়ে বড় 2 → অনাবৃত অংশ 2 অঙ্ক করো।

আবৃত অংশ: 1, 2, 3 অঙ্ক → ল.সা.গু. 6 → আবৃত অংশ 6 অঙ্ক করো।



৫. আবৃত দশমিকের যোগ ও বিয়োগ (Addition and Subtraction of Recurring Decimals)

পদ্ধতি:

1. সব সংখ্যাকে সদৃশ আবৃত দশমিকে রূপান্তর করো।

2. সসীম দশমিকের মতো যোগ বা বিয়োগ করো।

3. শেষ অঙ্কে (সর্বডানের অঙ্ক) প্রয়োজনে ১ যোগ বা বিয়োগ করে প্রকৃত ফলাফল নির্ণয় করো।

মনে রাখো:

যোগফল/বিয়োগফলের অনাবৃত অংশ = প্রদত্ত সংখ্যার অনাবৃত অংশের সবচেয়ে বড় সংখ্যা

আবৃত অংশ = আবৃত অংশের অঙ্ক সংখ্যার ল.সা.গু.



৬. আবৃত দশমিকের গুণ ও ভাগ (Multiplication and Division of Recurring Decimals)

পদ্ধতি:

1. আবৃত দশমিকগুলোকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করো।

2. ভগ্নাংশের গুণ বা ভাগ করো।

3. প্রাপ্ত ভগ্নাংশকে দশমিকে প্রকাশ করো।

উদাহরণ:

4.$\dot{3}$ × 5.$\dot{7}$ =  13   3  ×  52   9  =  676   27  = 25.037

সতর্কতা: গুণফল বা ভাগফল আবৃত দশমিক নাও হতে পারে।



৭. অসীম অনাবৃত দশমিক ও আসন্ন মান (Infinite Non-recurring Decimal and Approximation)

ক) মান (Value) বের করা

নির্দিষ্ট দশমিক স্থান পর্যন্ত সংখ্যাটি লিখলেই হয়।

খ) আসন্ন মান (Approximate Value) বের করা

যত দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান চাওয়া হয়েছে, তার পরবর্তী স্থানের অঙ্ক দেখো।

যদি অঙ্কটি 5, 6, 7, 8, 9 হয় → আগের অঙ্ক ১ বাড়াও।

যদি 0, 1, 2, 3, 4 হয় → আগের অঙ্ক অপরিবর্তিত রাখো।

উদাহরণ:

5.4325893… এর চার দশমিক স্থান পর্যন্ত মান  = 5.4325

5.4325893… এর চার দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান  = 5.4326 (পঞ্চম স্থানে 8)



৮. বাস্তব সংখ্যার মৌলিক বিধি (Basic Laws of Real Numbers)

যোগ ও গুণনের নিয়ম

1. আবদ্ধতা: a + b এবং ab বাস্তব সংখ্যা।

2. ক্রমবিনিময়: a + b = b + a, ab = ba

3. সংযোজক: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)

4. অভেদক: a + 0 = a, a × 1 = a

5. বিপরীত: a + (-a) = 0, a ×  1  a  = 1 (যখন a ≠ 0)

6. বণ্টন বিধি: a(b + c) = ab + ac

অসমতার নিয়ম

1. a < b হলে, a + c < b + c

2. a < b এবং c > 0 হলে, ac < bc

3. a < b এবং c < 0 হলে, ac > bc



৯. গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য (Important Theorem)

প্রমাণ: √ 2  একটি অমূলদ সংখ্যা।

পদ্ধতি: অসত্য ধারণা পদ্ধতি (Proof by contradiction)

ধরি √ 2  মূলদ =   p  q  (p, q সহমৌলিক, q > 1)

বর্গ করে: 2q² = p²

দেখানো যায় p ও q উভয়ে ২ দ্বারা বিভাজ্য → সহমৌলিকতার বিপরীত।

সুতরাং ধারণাটি অসত্য। ∴ √ 2  অমূলদ।