১. ক্ষেত্রফলের মৌলিক ধারণা
- প্রত্যেক সীমাবদ্ধ সমতলক্ষেত্রের (যেমন ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বহুভুজ) একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রফল আছে ।
- ক্ষেত্রফল পরিমাপের জন্য একক বর্গক্ষেত্র ব্যবহার করা হয় (যেমন বর্গসেমি, বর্গমিটার) ।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু × বাহু = বাহু2
মনে রাখা জরুরি:
> ক্ষেত্রফল সমান হলে জ্যামিতিক চিত্র দুটি সর্বসম (congruent) নাও হতে পারে । যেমন, একই ভূমি ও সমান্তরাল রেখার মধ্যে অবস্থিত দুটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান হলেও তারা সর্বসম নাও হতে পারে ।
২. গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য (Theorems)
উপপাদ্য ৩৬: একই ভূমি ও একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে ত্রিভুজ> বিবৃতি: একই ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে অবস্থিত সকল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান ।
১.২ অনুপাতের গুরুত্বপূর্ণ ধর্মগুলো
৩.৪ সদৃশতার গুরুত্বপূর্ণ সূত্র
- বাহুর অনুপাত = k হলে, ক্ষেত্রফলের অনুপাত = k2
- পরিসীমার অনুপাত = k
- উচ্চতা, মধ্যমা, কোণদ্বিখণ্ডকের অনুপাতও k
- কোনো চিত্রকে একটি সরলরেখা বরাবর ভাঁজ করলে দুই অংশ সম্পূর্ণভাবে মিলে গেলে তাকে রেখা প্রতিসম চিত্র বলে ।
- ঐ সরলরেখাটিকে প্রতিসাম্য রেখা বলে ।
প্রমাণের সারাংশ:
△ABC ও △DBC একই ভূমি BC ও সমান্তরাল রেখা BC ও AD - এর মধ্যে । B ও C বিন্দুতে BE ও CF লম্ব আঁকলে EBCF আয়তক্ষেত্র তৈরি হয় ।
△ABC - এর ক্ষেত্রফল = ½ × BC × BE
△DBC - এর ক্ষেত্রফল = ½ × BC × CF = ½ × BC × BE (যেহেতু BE = CF)
∴ ক্ষেত্রফল সমান ।
△ABC ও △DBC একই ভূমি BC ও সমান্তরাল রেখা BC ও AD - এর মধ্যে । B ও C বিন্দুতে BE ও CF লম্ব আঁকলে EBCF আয়তক্ষেত্র তৈরি হয় ।
△ABC - এর ক্ষেত্রফল = ½ × BC × BE
△DBC - এর ক্ষেত্রফল = ½ × BC × CF = ½ × BC × BE (যেহেতু BE = CF)
∴ ক্ষেত্রফল সমান ।
অনুসিদ্ধান্ত ১: উল্টোটাও সত্য — যদি একই ভূমির একই পাশের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান হয়, তবে তারা একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে অবস্থিত ।
অনুসিদ্ধান্ত ২: ত্রিভুজ ও সামান্তরিক একই ভূমি ও সমান্তরাল রেখার মধ্যে থাকলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ।
উপপাদ্য ৩৭: একই ভূমি ও একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে সামান্তরিক
> বিবৃতি: একই ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে অবস্থিত সামান্তরিকগুলোর ক্ষেত্রফল সমান ।
প্রমাণের সারাংশ:
ABCD ও ABEF সামান্তরিকদ্বয় একই ভূমি AB ও সমান্তরাল রেখা AB ও FC - এর মধ্যে অবস্থিত । প্রমাণে দেখা যায়, উভয়ের ক্ষেত্রফল একই আয়তক্ষেত্রের অর্ধেকের সমান ।
> বিবৃতি: একই ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে অবস্থিত সামান্তরিকগুলোর ক্ষেত্রফল সমান ।
প্রমাণের সারাংশ:
ABCD ও ABEF সামান্তরিকদ্বয় একই ভূমি AB ও সমান্তরাল রেখা AB ও FC - এর মধ্যে অবস্থিত । প্রমাণে দেখা যায়, উভয়ের ক্ষেত্রফল একই আয়তক্ষেত্রের অর্ধেকের সমান ।
৩. পিথাগোরাসের উপপাদ্যের জ্যামিতিক প্রমাণ
অধ্যায়ের শেষ অংশে পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি (a2 + b2 = c2) জ্যামিতিকভাবে প্রমাণ করা হয়েছে বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের মাধ্যমে ।
মূল কথা: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান ।
৪. সম্পাদ্য (Constructions)
সম্পাদ্য ১৩: ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট সামান্তরিক অঙ্কন
> উদ্দেশ্য: একটি নির্দিষ্ট ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফল এবং একটি নির্দিষ্ট কোণবিশিষ্ট সামান্তরিক আঁকা ।
পদ্ধতি:
1. ত্রিভুজের ভূমির মধ্যবিন্দু নেওয়া হয় ।
2. সেই অর্ধেক ভূমির ওপর একটি ত্রিভুজ তৈরি করে সামান্তরিক আঁকা হয় ।
3. সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ২ × অর্ধেক ভূমির ত্রিভুজ = মূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ।
সম্পাদ্য ১৪: চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজ অঙ্কন
> উদ্দেশ্য: একটি চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ আঁকা ।
পদ্ধতি:
1. চতুর্ভুজের একটি কর্ণ আঁকতে হবে (যেমন BD. ।
2. কর্ণের সমান্তরাল করে একটি রেখা টানতে হবে ।
3. ফলে একটি ত্রিভুজ পাওয়া যায় যার ক্ষেত্রফল চতুর্ভুজের সমান ।
> বিশেষ দ্রষ্টব্য: এই পদ্ধতিতে অসংখ্য ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব ।
সম্পাদ্য ১৫: চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফল ও নির্দিষ্ট কোণবিশিষ্ট সামান্তরিক অঙ্কন
> উদ্দেশ্য: একটি চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফল এবং একটি নির্দিষ্ট কোণবিশিষ্ট সামান্তরিক আঁকা ।
পদ্ধতি:
1. প্রথমে চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ আঁকতে হবে (সম্পাদ্য ১৪ - এর মতো) ।
2. সেই ত্রিভুজের ভিত্তির মধ্যবিন্দু ব্যবহার করে সামান্তরিক তৈরি করতে হবে যার কোণ নির্দিষ্ট থাকবে ।
১. অনুপাত ও সমানুপাতের ধর্ম (Properties of Ratio and Proportion)
১.১ অনুপাত (Ratio)
- দুইটি রাশির তুলনা করার জন্য তাদের অনুপাত ব্যবহার করা হয় ।
- অনুপাত বের করতে হলে রাশি দুইটির একক একই হতে হবে ।
- যেমন: ৫ মিটার ও ১০ মিটারের অনুপাত = ৫:১০ = ১:২
| নাম | উদাহরণ | ব্যাখ্যা |
|---|---|---|
| সাম্য (Equality) | a : b = x : y এবং c : d = x : y → a : b = c : d | সমান অনুপাতের ট্রানজিটিভ ধর্ম |
| ব্যস্তকরণ (Invertendo) | a : b = x : y → b : a = y : x | অনুপাত উল্টে যায় |
| একান্তরকরণ (Alternendo) | a : b = x : y → a : x = b : y | মধ্যদুইটি স্থান বিনিময় |
| আড়গুণন (Cross - multiplication) | a : b = c : d → ad = bc | ভগ্নাংশ আকারে লিখে গুণ |
| যোজন (Componendo) | a : b = x : y → (a + b) : b = (x + y) : y | লব ও হরের যোগ |
| বিযোজন (Dividendo) | a : b = x : y → (a - b) : b = (x - y) : y | লব ও হরের বিয়োগ |
২. জ্যামিতিক সমানুপাত ও থ্যালেসের উপপাদ্য (Geometric Proportions and Thales Theorem)
২.১ উপপাদ্য ২৮ (থ্যালেসের উপপাদ্য)
> কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুই বাহুকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে ।
ব্যাখ্যা:
△ABC - তে BC ∥ DE হলে → AD:DB = AE:EC
প্রমাণের ধারণা:
△ADE ও △BDE একই উচ্চতাবিশিষ্ট → ক্ষেত্রফলের অনুপাত =
ভূমির অনুপাত
△ADE ও △DEC একই উচ্চতাবিশিষ্ট → ক্ষেত্রফলের অনুপাত =
ভূমির অনুপাত
△BDE ও △DEC একই ভূমি ও সমান্তরাল রেখার মধ্যে → ক্ষেত্রফল সমান
= - অতএব, AD:DB = AE:EC
২.২ অনুসিদ্ধান্ত (Corollaries)
1. BC ∥ DE হলে → AB:AD = AC:AE এবং AB:BD = AC:CE
2. ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অপর বাহুর সমান্তরাল রেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ।
২.৩ উপপাদ্য ২৯ (থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য)
> কোনো সরলরেখা ত্রিভুজের দুই বাহুকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করলে তা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ।
২.৪ উপপাদ্য ৩০ (কোণদ্বিখণ্ডক উপপাদ্য)
> ত্রিভুজের কোনো কোণের অন্তঃস্থ সমদ্বিখণ্ডক বিপরীত বাহুকে কোণ সংলগ্ন বাহু দুইটির অনুপাতে বিভক্ত করে ।
উদাহরণ:
△ABC - তে AD যদি ∠A - এর সমদ্বিখণ্ডক হয়, তবে
BD:DC = BA:AC
৩. সদৃশতা (Similarity)
৩.১ সদৃশতার সংজ্ঞা
দুইটি বহুভুজ সদৃশ হবে যদি—
1. অনুরূপ কোণগুলো সমান হয়
2. অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান হয়
৩.২ ত্রিভুজের সদৃশতা (বিশেষ বৈশিষ্ট্য)
- ত্রিভুজের ক্ষেত্রে উপরের দুই শর্তের যেকোনো একটি পূরণ হলে অপরটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে সত্য হয় ।
- দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী (equiangular) হলে তারা সদৃশ হয় ।
৩.৩ উপপাদ্য ৩২ (সদৃশকোণী ত্রিভুজের বাহু সমানুপাতিক)
> দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক ।
প্রমাণের ধারণা:
- △ABC ও △DEF সদৃশকোণী (∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F)
= - ab - এর ওপর P এবং AC - এর ওপর q নেওয়া হয় যেন AP = DE ও AQ = DF
- P ও Q যোগ করলে △APQ ≅ △DEF
= - প্রমাণ করে দেখানো হয় ab DE = AC DF = BC EF ৩.৪ সদৃশতার গুরুত্বপূর্ণ সূত্র
- বাহুর অনুপাত = k হলে, ক্ষেত্রফলের অনুপাত = k2
- পরিসীমার অনুপাত = k
- উচ্চতা, মধ্যমা, কোণদ্বিখণ্ডকের অনুপাতও k
৪. প্রতিসমতা (Symmetry)
৪.১ রেখা প্রতিসমতা (Line Symmetry)- কোনো চিত্রকে একটি সরলরেখা বরাবর ভাঁজ করলে দুই অংশ সম্পূর্ণভাবে মিলে গেলে তাকে রেখা প্রতিসম চিত্র বলে ।
- ঐ সরলরেখাটিকে প্রতিসাম্য রেখা বলে ।
উদাহরণ:
- সমবাহু ত্রিভুজ: ৩টি প্রতিসাম্য রেখা
- বর্গ: ৪টি প্রতিসাম্য রেখা
- আয়ত: ২টি প্রতিসাম্য রেখা
= - বৃত্ত: অসীম সংখ্যক প্রতিসাম্য রেখা
৪.২ ঘূর্ণন প্রতিসমতা (Rotational Symmetry)
- কোনো চিত্রকে একটি কেন্দ্রের সাপেক্ষে একটি নির্দিষ্ট কোণে ঘোরানোর পর যদি তা আগের মতো একই দেখায়, তবে তাকে ঘূর্ণন প্রতিসম চিত্র বলে ।
- সমবাহু ত্রিভুজ: ৩টি প্রতিসাম্য রেখা
- বর্গ: ৪টি প্রতিসাম্য রেখা
- আয়ত: ২টি প্রতিসাম্য রেখা
= - বৃত্ত: অসীম সংখ্যক প্রতিসাম্য রেখা
৪.২ ঘূর্ণন প্রতিসমতা (Rotational Symmetry)
- কোনো চিত্রকে একটি কেন্দ্রের সাপেক্ষে একটি নির্দিষ্ট কোণে ঘোরানোর পর যদি তা আগের মতো একই দেখায়, তবে তাকে ঘূর্ণন প্রতিসম চিত্র বলে ।
গুরুত্বপূর্ণ পরিভাষা:
- ঘূর্ণন কেন্দ্র (Centre of rotation)
- ঘূর্ণন কোণ (Angle of rotation)
- ঘূর্ণন মাত্রা (Order of rotational symmetry) = ৩৬০° ÷ ঘূর্ণন কোণ
- ঘূর্ণন কেন্দ্র (Centre of rotation)
- ঘূর্ণন কোণ (Angle of rotation)
- ঘূর্ণন মাত্রা (Order of rotational symmetry) = ৩৬০° ÷ ঘূর্ণন কোণ
উদাহরণ:
৪.৩ রেখা ও ঘূর্ণন প্রতিসমতার সম্পর্ক
- কিছু চিত্রে শুধু রেখা প্রতিসমতা থাকে (যেমন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ)
- কিছু চিত্রে শুধু ঘূর্ণন প্রতিসমতা থাকে (যেমন: সামন্তরিক)
- কিছু চিত্রে উভয় প্রতিসমতা থাকে (যেমন: বর্গ, বৃত্ত, সুসম বহুভুজ)
৪.৪ সুসম বহুভুজের প্রতিসমতা
> একটি রেখাংশকে m : n অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করতে হবে ।
| চিত্র | ঘূর্ণন কোণ | মাত্রা |
|---|---|---|
| বর্গ | ৯০° | 4 |
| সমবাহু ত্রিভুজ | ১২০° | 3 |
| আয়ত | ১৮০° | 2 |
| সামন্তরিক | ১৮০° | 2 |
| বৃত্ত | যেকোনো কোণ | অসীম |
৪.৩ রেখা ও ঘূর্ণন প্রতিসমতার সম্পর্ক
- কিছু চিত্রে শুধু রেখা প্রতিসমতা থাকে (যেমন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ)
- কিছু চিত্রে শুধু ঘূর্ণন প্রতিসমতা থাকে (যেমন: সামন্তরিক)
- কিছু চিত্রে উভয় প্রতিসমতা থাকে (যেমন: বর্গ, বৃত্ত, সুসম বহুভুজ)
৪.৪ সুসম বহুভুজের প্রতিসমতা
| বহুভুজ | বাহু সংখ্যা | প্রতিসাম্য রেখার সংখ্যা | ঘূর্ণন মাত্রা |
|---|---|---|---|
| সমবাহু ত্রিভুজ | 3 | 3 | 3 |
| বর্গ | 4 | 4 | 4 |
| সুসম পঞ্চভুজ | 5 | 5 | 5 |
| সুসম ষড়ভুজ | 6 | 6 | 6 |
৫. রেখাংশের নির্দিষ্ট অনুপাতে বিভক্তকরণ (Construction: Dividing a segment in a given ratio)
সম্পাদ্য ১২> একটি রেখাংশকে m : n অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করতে হবে ।
অঙ্কনের ধাপ:
1. AB রেখাংশ আঁকি
2. A বিন্দুতে ∠BAX আঁকি
3. AX রশ্মির ওপর AE = m ও EC = n নিই
4. B ও C যোগ করি
5. E বিন্দু দিয়ে BC - এর সমান্তরাল ED আঁকি যা AB - কে D বিন্দুতে ছেদ করে
6. D - ই কাঙ্ক্ষিত বিন্দু (AD:DB = m:n)
1. AB রেখাংশ আঁকি
2. A বিন্দুতে ∠BAX আঁকি
3. AX রশ্মির ওপর AE = m ও EC = n নিই
4. B ও C যোগ করি
5. E বিন্দু দিয়ে BC - এর সমান্তরাল ED আঁকি যা AB - কে D বিন্দুতে ছেদ করে
6. D - ই কাঙ্ক্ষিত বিন্দু (AD:DB = m:n)
ব্যাখ্যা:
DE ∥ BC → থ্যালেসের উপপাদ্য অনুযায়ী AD:DB = AE:EC = m:n
৬. গুরুত্বপূর্ণ সংক্ষিপ্ত টিপস (পরীক্ষার জন্য)
৭. বাস্তব উদাহরণ (Real life applications)
DE ∥ BC → থ্যালেসের উপপাদ্য অনুযায়ী AD:DB = AE:EC = m:n
৬. গুরুত্বপূর্ণ সংক্ষিপ্ত টিপস (পরীক্ষার জন্য)
| বিষয় | সংক্ষিপ্ত সূত্র/বৈশিষ্ট্য |
|---|---|
| সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত | (বাহুর অনুপাত)2 |
| সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমার অনুপাত | বাহুর অনুপাতের সমান |
| থ্যালেসের উপপাদ্য | সমান্তরাল রেখা → সমান অনুপাতে বিভক্ত |
| কোণদ্বিখণ্ডক উপপাদ্য | BD:DC = BA:AC |
| বর্গের প্রতিসাম্য রেখা | ৪টি |
| সমবাহু ত্রিভুজের ঘূর্ণন মাত্রা | 3 |
| বৃত্তের ঘূর্ণন মাত্রা | অসীম |
৭. বাস্তব উদাহরণ (Real life applications)
মানচিত্রের স্কেল (সদৃশতা)
ফটোকপি মেশিনে ছবি বড় বা ছোট করা (সদৃশতা)
স্থাপত্যে প্রতিসম নকশা (প্রতিসমতা)
লোগো ডিজাইন (প্রতিসমতা)
প্রকৃতিতে ফুল, পাতার প্রতিসম গঠন
