বীজগাণিতিক রাশি - Algebraic Expressions (অনুশীলনী ৩.৪)

• 📚 Topics
• 📝 MCQ Test
• ✅ Exercise Solution

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো:

১. 3a³ + 2a + 5

1.
 3a³ + 2a + 5 [প্রদত্ত রাশি, ভাগশেষ উপপাদ্য এর মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করতে হবে]


এখন a = -1 বসিয়ে মান যাচাই করি:

 3(-1)³ + 2(-1) + 5 

= -3 - 2 + 5 

= 0   [∵ a = -1 জন্য রাশির মান শূন্য, তাই (a + 1) একটি উৎপাদক]



প্রথমে, 3a³ + 0a² + 2a + 5 কে (a + 1) দিয়ে ভাগ করি:

 3a³ ÷ a = 3a²   [ভাগফলের প্রথম অংশ]


3a² × (a + 1) = 3a³ + 3a²



বিয়োগ: 

  3a³ + 0a² + 2a + 5

- (3a³ + 3a²)


(0a² - 3a²) 


= -3a², এরপর নিচে নামাই +2a , তাহলে পাই -3a² + 2a + 5



আবার, ভাগ করি

-3a² ÷ a = -3a   [ভাগফলের দ্বিতীয় অংশ]

-3a × (a + 1) = -3a² - 3a



প্রাপ্ত অংশ বিয়োগ: 

 -3a² + 2a + 5

- (-3a² - 3a)


 
[2a - (-3a)] 

= 5a, নিচে নামাই +5, তাহলে পাই 5a + 5



আবার, ভাগ করি

5a ÷ a = 5    [ভাগফলের তৃতীয় অংশ]

5 × (a + 1) = 5a + 5



প্রাপ্ত অংশ বিয়োগ: 

 (5a + 5) - (5a + 5) = 0



ভাগফল [প্রতিটি অংশ একসাথে]: 

 3a² - 3a + 5 


সুতরাং,

(a + 1)(3a² - 3a + 5) [উৎপাদক আকারে প্রকাশ]



(a + 1)(3a² - 3a + 5) [উত্তর]

২. x³ - 7x * y² - 6y³

2.

ভাগশেষ উপপাদ্য এর মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করতে হবে

 x³ - 7xy² - 6y³ [প্রদত্ত রাশি]


লক্ষ্য করি, x = -y বসালে রাশিটির মান শূন্য হয় কিনা পরীক্ষা করি:

  (-y)³ - 7(-y)y² - 6y³ 

= -y³ + 7y³ - 6y³ 

= 0           [∵ (-y)³ = -y³, -7(-y)y² = +7y³]


অতএব (x + y) একটি উৎপাদক


এখন x³ + 0x²y - 7xy² - 6y³ কে (x + y) দিয়ে ভাগ করি (x-এর সাপেক্ষে):

x³ ÷ x = x²

x² × (x + y) = x³ + x²y



বিয়োগ: 

x³ + 0x²y - 7xy² - 6y³

- (x³ + x²y)


 (0x²y - x²y) = -x²y, নিচে নামাই -7xy² , তাহলে পাই  -x²y -7xy²- 7xy² - 6y³



আবার, বিয়োগফলকে ভাগ করি

-x²y ÷ x = -xy

-xy × (x + y) = -x²y - xy²




প্রাপ্ত অংশ বিয়োগ: 

-x²y -7xy²- 7xy² - 6y³

-(-x²y - xy²)


 [-7xy² - (-xy²)] 

= -7xy² + xy² 

= -6xy², নিচে নামাই -6y³ , তাহলে পাই  - 6xy² - 6y³ 



আবার, বিয়োগফলকে ভাগ করি

-6xy² ÷ x = -6y²

-6y² x (x + y) = -6xy² - 6y³



প্রাপ্ত অংশ বিয়োগ: 

 -6xy² -6y³ 

-(-6xy² - 6y³)


(-6xy² - 6y³) - (-6xy² - 6y³) = 0



ভাগফল: x² - xy - 6y²


এখন x² - xy - 6y² কে উৎপাদকে ভাঙি:
 
  x² - xy - 6y² 

= x² + 2xy - 3xy - 6y² 

= x(x + 2y) - 3y(x + 2y)

= (x - 3y)(x + 2y)



সুতরাং,

= (x+y)(x-3y)(x+2y)    [উৎপাদক আকারে প্রকাশ]


 [উত্তর]

৩. x³ + 2x² - 5x - 6

3.

ভাগশেষ উপপাদ্য এর মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করতে হবে x³ + 2x² - 5x - 6

x³ + 2x² - 5x - 6 [প্রদত্ত রাশি]



এখন x = 2 বসিয়ে মান যাচাই করি:

 8 + 8 - 10 - 6 

= 0         [∵ x = 2 জন্য রাশির মান শূন্য, তাই (x - 2) একটি উৎপাদক]


এখন x³ + 2x² - 5x - 6 কে (x - 2) দিয়ে ভাগ করি:

x³ ÷ x = x²

x² × (x - 2) = x³ - 2x²



বিয়োগ: 
x³ + 2x² - 5x - 6- (x³ - 2x²) 

(2x² - (-2x²)) = 4x², নিচে নামাই -5x , তাহলে পাই  4x²- 5x - 6 

4x² ÷ x = 4x

4x × (x - 2) = 4x² - 8x



বিয়োগ: 
4x²- 5x - 6 -(4x² - 8x)

 (-5x - (-8x)) = 3x, নিচে নামাই -6 , তাহলে পাই  3x - 6

3x ÷ x = 3

3 × (x - 2) = 3x - 6


বিয়োগ:
3x - 6-(3x - 6)
 (-6 - (-6)) = 0


ভাগফল: x² + 4x + 3



উৎপাদক আকারে প্রকাশ: (x - 2)(x² + 4x + 3)



এখন x² + 4x + 3 কে উৎপাদকে ভাঙি:

= x² + 4x + 3 

= x² + x + 3x + 3 

= (x + 1)(x + 3) [কারণ 1 + 3 = 4, 1 x 3 = 3]



নির্ণয় উৎপাদক

(x - 2)(x + 1)(x + 3)   [উত্তর]

8. x³ + 4x² + x - 6

4.

ভাগশেষ উপপাদ্য এর মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করতে হবে x³ + 4x² + x - 6

x³ + 4x² + x - 6 [প্রদত্ত রাশি]



এখন x = 1 বসিয়ে মান যাচাই করি:

= 1 + 4 + 1 - 6 
= 0 [∵ x = 1 জন্য রাশির মান শূন্য, তাই (x - 1) একটি উৎপাদক]



এখন x³ + 4x² + x - 6 কে (x - 1) দিয়ে ভাগ করি:

= x³ ÷ x = x²

= x² x (x - 1) = x³ - x²



বিয়োগ: (4x² - (-x²)) = 5x², নিচে নামাই +x ,   

= 5x² ÷ x = 5x

= 5x × (x - 1) = 5x² - 5x



বিয়োগ: (x - (-5x)) = 6x, নিচে নামাই -6 ,   

= 6x ÷ x = 6

= 6 × (x - 1) = 6x - 6



বিয়োগ: (-6 - (-6)) = 0


ভাগফল: x² + 5x + 6


উৎপাদক আকারে প্রকাশ 

(x - 1)(x² + 5x + 6)


এখন x² + 5x + 6 কে উৎপাদকে ভাঙি:

= x² + 5x + 6 

= x² + 2x + 3x + 6 

= (x + 2)(x + 3)   [কারণ 2 + 3 = 5, 2 x 3 = 6]

= (x - 1)(x + 2)(x + 3)


উৎপাদক,  (x-1)(x+2)(x+3)      [উত্তর]

৫. a³ + 3a + 36

5.

ভাগশেষ উপপাদ্য এর মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করতে হবে
a³ + 3a + 36

= a³ + 0a² + 3a + 36     [প্রদত্ত রাশি, a²-এর সহগ 0]



এখন a = -3 বসিয়ে মান যাচাই করি:

= (-3)³ + 3(-3) + 36 

= -27 - 9 + 36 
= 0     [∵ a = -3 জন্য রাশির মান শূন্য, তাই (a + 3) একটি উৎপাদক]



এখন a³ + 0a² + 3a + 36 কে (a + 3) দিয়ে ভাগ করি:

a³ ÷ a = a²

a² × (a + 3) = a³ + 3a²


বিয়োগ: 
a³ + 0a² + 3a + 36-( a³ + 3a²)

 (0a² - 3a²) = -3a², নিচে নামাই +3a , তাহলে পাই   -3a² + 3a + 36 

-3a² ÷ a = -3a

-3a × (a + 3) = -3a² - 9a


বিয়োগ:-3a² + 3a + 36 -(-3a² - 9a)
 [3a - (-9a)] = 3a + 9a = 12a, নিচে নামাই +36 , তাহলে পাই  12a + 36


12a ÷ a = 12

12 × (a + 3) = 12a + 36



বিয়োগ: 
12a + 36-(12a + 36)

 (12a + 36) - (12a + 36) = 0


ভাগফল: a² - 3a + 12


উৎপাদক আকারে প্রকাশ 

(a + 3)(a² - 3a + 12)



সুতরাং, (a+3)(a²-3a+12) [উত্তর]

৬. a⁴ - 4a + 3

6.

a⁴ - 4a + 3

= a⁴ + 0a³ + 0a² - 4a + 3      [প্রদত্ত রাশি, a³ ও a² পদ নেই]



এখন a = 1 বসিয়ে মান যাচাই করি:

= 1 - 4 + 3 

= 0      [∵ a = 1 জন্য রাশির মান শূন্য, তাই (a - 1) একটি উৎপাদক]



এখন a⁴ + 0a³ + 0a² - 4a + 3 কে (a - 1) দিয়ে ভাগ করি:

a⁴ ÷ a = a³

a³ × (a - 1) = a⁴ - a³




বিয়োগ:

 a⁴ + 0a³ + 0a² - 4a + 3
-( a⁴ - a³)


(0a³ - (-a³)) = a³, নিচে নামাই +0a² , তাহলে পাই  a³ + 0a² - 4a + 3

a³ ÷ a = a²

a² × (a - 1) = a³ - a²



বিয়োগ: 
a³ + 0a² - 4a + 3-(a³ - a²⁾
 (0a² - (-a²)) = a², নিচে নামাই -4a , তাহলে পাই  a² - 4a + 3

a² ÷ a = a

a × (a - 1) = a² - a



বিয়োগ: 
a² - 4a + 3-(a² - a)

 (-4a - (-a)) = -4a + a = -3a, নিচে নামাই +3 , তাহলে পাই  -3a + 3


-3a ÷ a = -3


-3 × (a - 1) = -3a + 3



বিয়োগ: 
 (-3a + 3) - (-3a + 3) = 0



ভাগফল: a³ + a² + a - 3


(a - 1)(a³ + a² + a - 3)


এখন a = 1 আবার a³ + a² + a - 3 এ বসাই: 1 + 1 + 1 - 3 = 0, তাই (a - 1) আবার উৎপাদক

ভাগফল a³ + a² + a - 3 কে (a - 1) দিয়ে ভাগ করি:

a³ ÷ a = a²

a² × (a - 1) = a³ - a²



বিয়োগ: 
a³ + a² + a - 3 -(a³ - a²)

(a² - (-a²)) = 2a², নিচে নামাই +a , তাহলে পাই  2a² + a - 3 


2a² ÷ a = 2a

2a × (a - 1) = 2a² - 2a



বিয়োগ: 
2a² + a - 3-(2a² - 2a)
 (a - (-2a)) = 3a, নিচে নামাই -3 , তাহলে পাই  3a - 3

3a ÷ a = 3

3 × (a - 1) = 3a - 3



বিয়োগ: 
3a - 3-(3a - 3)  (-3 - (-3)) = 0


ভাগফল: a² + 2a + 3


উৎপাদক: (a - 1)² (a² + 2a + 3)

৭. a³ - a² - 10a - 8

7.
ভাগশেষ উপপাদ্য এর মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করতে হবে

a³ - a² - 10a - 8

= a³ - a² - 10a - 8 [প্রদত্ত রাশি]



এখন a = -2 বসিয়ে মান যাচাই করি:

= (-2)³ - (-2)² - 10(-2) - 8 

= -8 - 4 + 20 - 8 

= 0 [∵ a = -2 জন্য রাশির মান শূন্য, তাই (a + 2) একটি উৎপাদক]



এখন a³ - a² - 10a - 8 কে (a + 2) দিয়ে ভাগ করি:

a³ ÷ a = a²

a² × (a + 2) = a³ + 2a²



বিয়োগ: (-a² - 2a²) = -3a², নিচে নামাই -10a ,   

-3a² ÷ a = -3a

-3a × (a + 2) = -3a² - 6a



বিয়োগ: (-10a - (-6a)) = -10a + 6a = -4a, নিচে নামাই -8 ,   

-4a ÷ a = -4

-4 × (a + 2) = -4a - 8


বিয়োগ: (-8 - (-8)) = 0


ভাগফল: a² - 3a - 4


উৎপাদক: (a + 2)(a² - 3a - 4)


এখন a² - 3a - 4 কে উৎপাদকে ভাঙি:

= a² - 3a - 4 

=  a² - 4a + a - 4 

= a(a - 4) + 1(a - 4)

= (a - 4)(a + 1) 



উৎপাদক:

 (a + 2)(a - 4)(a + 1)


সুতরাং, (a+2)(a-4)(a+1) [উত্তর]

৮. x³ - 3x² + 4x - 4

8.
ভাগশেষ উপপাদ্য এর মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করতে হবে

x³ - 3x² + 4x - 4 

x³ - 3x² + 4x - 4    [প্রদত্ত রাশি]



এখন x = 2 বসিয়ে মান যাচাই করি:

= 8 - 12 + 8 - 4 

= 0    [∵ x = 2 জন্য রাশির মান শূন্য, তাই (x - 2) একটি উৎপাদক]



এখন x³ - 3x² + 4x - 4 কে (x - 2) দিয়ে ভাগ করি:

x³ ÷ x = x²

x² × (x - 2) = x³ - 2x²



বিয়োগ: (-3x² - (-2x²)) = -3x² + 2x² = -x², নিচে নামাই +4x ,   

-x² ÷ x = -x

-x × (x - 2) = -x² + 2x



বিয়োগ: (4x - 2x) = 2x, নিচে নামাই -4 ,  

= 2x ÷ x = 2

= 2 × (x - 2) = 2x - 4



বিয়োগ: (-4 - (-4)) = 0


ভাগফল: x² - x + 2



উৎপাদক:
 (x - 2)(x² - x + 2)    [উত্তর]

৯. a³ - 7a² * b + 7a * b² - b³

9.
ভাগশেষ উপপাদ্য এর মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করতে হবে

a³ - 7a² b + 7a b² - b³

= a³ - b³ - 7ab(a - b)     [এখানে -7a²b + 7ab² = -7ab(a - b)]

= (a - b)(a² + ab + b²) - 7ab(a - b)       [∵ a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)]

= (a - b)[(a² + ab + b²) - 7ab]         [(a - b) সাধারণ বের করলাম]

= (a - b)(a² + ab + b² - 7ab)

= (a - b)(a² - 6ab + b²)

= (a - b)(a² - 6ab + b²)      [উত্তর]

১০. x³ - x - 24

10.
ভাগশেষ উপপাদ্য এর মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করতে হবে

x³ - x - 24

= x³ - x - 24 [প্রদত্ত রাশি]



এখন x = 3 বসিয়ে মান যাচাই করি:

= 27 - 3 - 24 

= 0      [∵ x = 3 জন্য রাশির মান শূন্য, তাই (x - 3) একটি উৎপাদক]



এখন x³ + 0x² - x - 24 কে (x - 3) দিয়ে ভাগ করি:

x³ ÷ x = x²

x² × (x - 3) = x³ - 3x²



বিয়োগ: (0x² - (-3x²)) = 3x², নিচে নামাই -x , তাহলে পাই  

3x² ÷ x = 3x

3x × (x - 3) = 3x² - 9x



বিয়োগ: (-x - (-9x)) = -x + 9x = 8x, নিচে নামাই -24 , তাহলে পাই  

8x ÷ x = 8

8 × (x - 3) = 8x - 24



বিয়োগ: (-24 - (-24)) = 0



ভাগফল: x² + 3x + 8


উৎপাদকে
 (x - 3)(x² + 3x + 8)


সুতরাং, (x-3)(x² + 3x + 8)     [উত্তর]

১১. x³ + 6x² + 11x + 6

11.
ভাগশেষ উপপাদ্য এর মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করতে হবে

x³ + 6x² + 11x + 6

= x³ + 6x² + 11x + 6 [প্রদত্ত রাশি]



এখন x = -1 বসিয়ে মান যাচাই করি:

= (-1)³ + 6(-1)² + 11(-1) + 6 

= -1 + 6 - 11 + 6 

= 0      [∵ x = -1 জন্য রাশির মান শূন্য, তাই (x + 1) একটি উৎপাদক]



এখন x³ + 6x² + 11x + 6 কে (x + 1) দিয়ে ভাগ করি:

x³ ÷ x = x²

x² × (x + 1) = x³ + x²



বিয়োগ: (6x² - x²) = 5x², নিচে নামাই +11x , 

= 5x² ÷ x = 5x

= 5x × (x + 1) = 5x² + 5x



বিয়োগ: (11x - 5x) = 6x, নিচে নামাই +6 ,  

= 6x ÷ x = 6

= 6 × (x + 1) = 6x + 6


বিয়োগ: (6 - 6) = 0


ভাগফল: x² + 5x + 6


এখন x² + 5x + 6 কে উৎপাদকে ভাঙি:

= x² + 5x + 6 

= x² + 3x + 2x + 6 

= x(x + 3) + 2(x + 3)

= (x + 2)(x + 3) [কারণ 2 + 3 = 5, 2 x 3 = 6]



নির্ণয় উৎপাদক:

 (x + 1)(x + 2)(x + 3)   [উত্তর]

১২. 2x⁴ - 3x³ - 3x - 2

12.
ভাগশেষ উপপাদ্য এর মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করতে হবে

2x⁴ - 3x³ - 3x - 2

= 2x⁴ - 3x³ - 3x - 2 [প্রদত্ত রাশি]



লক্ষ্য করি, x = 2 বসিয়ে মান যাচাই করি:

= 2(16) - 3(8) - 3(2) - 2 

= 32 - 24 - 6 - 2 

= 0 [∵ x = 2 জন্য রাশির মান শূন্য, তাই (x - 2) একটি উৎপাদক]



এখন 2x⁴ - 3x³ + 0x² - 3x - 2 কে (x - 2) দিয়ে ভাগ করি:

2x⁴ ÷ x = 2x³

2x³ × (x - 2) = 2x⁴ - 4x³



বিয়োগ: 

 (-3x³ - (-4x³)) 

= -3x³ + 4x³ 

= x³, নিচে নামাই +0x² , তাহলে পাই  


 x³ ÷ x = x²

 x² × (x - 2) = x³ - 2x²



বিয়োগ: 

 (0x² - (-2x²)) 

= 2x², নিচে নামাই -3x , তাহলে পাই  


2x² ÷ x = 2x


2x × (x - 2) = 2x² - 4x


বিয়োগ: 

 (-3x - (-4x)) 

= -3x + 4x 

= x, নিচে নামাই -2 , তাহলে পাই  


x ÷ x = 1


1 × (x - 2) = x - 2


বিয়োগ: 

 (-2 - (-2)) = 0


ভাগফল: 2x³ + x² + 2x + 1


এখন আবার 2x³ + x² + 2x + 1 কে উৎপাদকে ভাঙি:

= x²(2x + 1) + 1(2x + 1) [দলবদ্ধকরণ পদ্ধতি]

= (2x + 1)(x² + 1)



নির্ণয় উৎপাদক

 (x - 2)(2x + 1)(x² + 1)

[উত্তর]

১৩. 4x⁴ + 12x³ + 7x² - 3x - 2

13.
ভাগশেষ উপপাদ্য এর মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করতে হবে

4x⁴ + 12x³ + 7x² - 3x - 2

= 4x⁴ + 12x³ + 7x² - 3x - 2    [প্রদত্ত রাশি]



এখন x = -1 বসিয়ে মান যাচাই করি:

= 4(1) + 12(-1) + 7(1) - 3(-1) - 2 

= 4 - 12 + 7 + 3 - 2 

= 0      [∵ x = -1 জন্য রাশির মান শূন্য, তাই (x + 1) একটি উৎপাদক]



এখন 4x⁴ + 12x³ + 7x² - 3x - 2 কে (x + 1) দিয়ে ভাগ করি:

= 4x⁴ ÷ x = 4x³

= 4x³ × (x + 1) 

= 4x⁴ + 4x³



বিয়োগ: (12x³ - 4x³) = 8x³, নিচে নামাই +7x² ,  

8x³ ÷ x = 8x²

8x² × (x + 1) = 8x³ + 8x²


বিয়োগ: (7x² - 8x²) = -x², নিচে নামাই -3x ,   

-x² ÷ x = -x

-x × (x + 1) = -x² - x



বিয়োগ: (-3x - (-x)) = -3x + x = -2x, নিচে নামাই -2 , 

-2x ÷ x = -2

-2 × (x + 1) = -2x - 2



বিয়োগ: (-2 - (-2)) = 0



ভাগফল: 4x³ + 8x² - x - 2


তাহলে পাই  
(x + 1)(4x³ + 8x² - x - 2)


এখন x =   1   2   বসিয়ে 4x³ + 8x² - x - 2 যাচাই করি:

= 4(  1   8  ) + 8(  1   4  ) -   1   2   - 2 

=   1   2   + 2 -   1   2   - 2 

= 0     [∵ x =   1   2   জন্য মান শূন্য, তাই (2x - 1) একটি উৎপাদক]



এখন 4x³ + 8x² - x - 2 কে (2x - 1) দিয়ে ভাগ করি:

4x³ ÷ 2x = 2x²

2x² × (2x - 1) = 4x³ - 2x²



বিয়োগ: (8x² - (-2x²)) = 10x², নিচে নামাই -x

10x² ÷ 2x = 5x

5x x (2x - 1) = 10x² - 5x



বিয়োগ: (-x - (-5x)) = -x + 5x = 4x, নিচে নামাই -2

4x ÷ 2x = 2


2 × (2x - 1) = 4x - 2



বিয়োগ: (-2 - (-2)) = 0


ভাগফল: 2x² + 5x + 2



(2x - 1)(2x² + 5x + 2)

 (x + 1)(2x - 1)(2x² + 5x + 2)



এখন 2x² + 5x + 2 কে উৎপাদকে ভাঙি:

= 2x² + 5x + 2 

= 2x² + 4x + x + 2 

= 2x(x + 2) + 1(x + 2)

= (2x + 1)(x + 2) 



নির্ণয় উৎপাদক

 (x + 1)(2x - 1)(2x + 1)(x + 2)  [উত্তর]

১৪. x⁶ - x ^ 5 + x⁴ - x³ + x² - x

14. 
ভাগশেষ উপপাদ্য এর মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করতে হবে

x⁶ - x⁵ + x⁴ - x³ + x² - x

= x⁶ - x⁵ + x⁴ - x³ + x² - x [প্রদত্ত রাশি]

= x(x⁵ - x⁴ + x³ - x² + x - 1)  [প্রথমে x সাধারণ বের করি]



এখন x = 1 বসিয়ে x⁵ - x⁴ + x³ - x² + x - 1 যাচাই করি:

= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 


= 0     [∵ x = 1 জন্য মান শূন্য, তাই (x - 1) একটি উৎপাদক]



এখন x⁵ - x⁴ + x³ - x² + x - 1 কে (x - 1) দিয়ে ভাগ করি:

x⁵ ÷ x = x⁴

x⁴ × (x - 1) = x⁵ - x⁴




বিয়োগ: (-x⁴ - (-x⁴)) = 0, নিচে নামাই +x³

0x³ ÷ x = 0x² (লিখি 0)

0 × (x - 1) = 0



বিয়োগ: (x³ - 0) = x³, নিচে নামাই -x²

x³ ÷ x = x²

x² × (x - 1) = x³ - x²




বিয়োগ: (-x² - (-x²)) = 0, নিচে নামাই +x

0x ÷ x = 0

0 × (x - 1) = 0




বিয়োগ: (x - 0) = x, নিচে নামাই -1

x ÷ x = 1

1 × (x - 1) = x - 1




বিয়োগ: (-1 - (-1)) = 0



ভাগফল: 

 x⁴ + 0x³ + x² + 0x + 1 

= x⁴ + x² + 1


তাহলে উৎপাদক পাই
x(x - 1)(x⁴ + x² + 1)


এখন x⁴ + x² + 1 কে উৎপাদকে ভাঙি:

= (x⁴ + 2x² + 1) - x² [x² যোগ ও বিয়োগ করে]

= (x² + 1)² - x²

= (x² + 1 - x)(x² + 1 + x) [বর্গের অন্তর সূত্র]

= (x² - x + 1)(x² + x + 1)



নির্ণয় উৎপাদক

 x(x - 1)(x² + x + 1)(x² - x + 1)   [উত্তর]

১৫. 4x³ - 5x² + 5x - 1

15.
ভাগশেষ উপপাদ্য এর মাধ্যমে উৎপাদক নির্ণয় করতে হবে

4x³ ÷ 4x = x²

= x² × (4x - 1) 

= 4x³ - x²



বিয়োগ: 

 (-5x² - (-x²)) 

= -5x² + x² 

= -4x², নিচে নামাই +5x


-4x² ÷ 4x = -x

-x × (4x - 1) = -4x² + x


বিয়োগ: (5x - x) = 4x, নিচে নামাই -1

4x ÷ 4x = 1

1 × (4x - 1) = 4x - 1



বিয়োগ: (-1 - (-1)) = 0


ভাগফল: x² - x + 1



নির্ণয় উৎপাদক
(4x - 1)(x² - x + 1)   [উত্তর]

১৬. 18x³ + 15x² - x - 2

16.

18x³ + 15x² - x - 2

= 18x³ + 15x² - x - 2 [প্রদত্ত রাশি]


এখন x =   1   3   বসিয়ে মান যাচাই করি:

= 18(   1   27  ) + 15(  1   9  ) -   1   3   - 2 

=   18   27   +   15    9   -   1   3   - 2

=   2   3   +   5   3   -   1   3   - 2 

=   2 + 5 - 1         3   - 2 

=   6   3   - 2 

= 2 - 2 

= 0

অতএব (3x - 1) একটি উৎপাদক (যেহেতু x =   1   3   মূল]


এখন 18x³ + 15x² - x - 2 কে (3x - 1) দিয়ে ভাগ করি:

18x³ ÷ 3x = 6x²

6x² × (3x - 1) = 18x³ - 6x²


বিয়োগ: 

 (15x² - (-6x²)) 

= 15x² + 6x² 

= 21x², নিচে নামাই -x



21x² ÷ 3x = 7x

7x × (3x - 1) = 21x² - 7x



বিয়োগ: 

 (-x - (-7x)) 

= -x + 7x 

= 6x, নিচে নামাই -2


6x ÷ 3x = 2


2 × (3x - 1) = 6x - 2


বিয়োগ: 

 (-2 - (-2)) = 0


ভাগফল: 6x² + 7x + 2


এখন 6x² + 7x + 2 কে উৎপাদকে ভাঙি:

= 6x² + 7x + 2 

= 6x² + 3x + 4x + 2 

= 3x(2x + 1) + 2(2x + 1) 

= (2x + 1)(3x + 2)



নির্ণয় উৎপাদক

(3x - 1)(2x + 1)(3x + 2)   [উত্তর]