বাস্তব সংখ্যা - Real Number (অনুশীলনী ১)

• 📚 Topics
• 📝 MCQ Test
• ✍️ Exercise Solution

১। নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

ক) 0.$\dot{3}$

খ) $\sqrt{\frac{16}{9}}$

গ) $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$

ঘ)    5  √ 3  

আমরা প্রতিটি অপশন যাচাই করি:

ক) 0.$\dot{3}$ → এটি 0.333... যা   1   3   এর সমান, মূলদ সংখ্যা।

খ)   16    9   → এটি ভগ্নাংশ, মূলদ সংখ্যা।

গ)    8   27   → এটি ভগ্নাংশ, মূলদ সংখ্যা।

ঘ)     5   √ 3     → হরে √ 3   অমূলদ, তাই ভগ্নাংশটিও অমূলদ (একে   5√ 3        3   লেখা যায়, তবুও অমূলদ)।

সঠিক উত্তর: ঘ)    5  √ 3    

২। a, b, c, d চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা হলে নিচের কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা?

ক) abcd

খ) ab + cd

গ) abcd + 1

ঘ) abcd - 1

ধরি, চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা:

a = n, 

b = n+1, 

c = n+2, 

d = n+3


তাহলে abcd = n(n+1)(n+2)(n+3)


এটি একটি পরিচিত সূত্র:

n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = (n² + 3n + 1)²


যাচাই:

n(n+3) = n² + 3n

(n+1)(n+2) = n² + 3n + 2


ধরি m = n² + 3n , 
তাহলে
    abcd = m(m + 2) = m² + 2m

⇒ abcd = m² + 2m

⇒ abcd + 1 = m² + 2m + 1 = (m+1)²

⇒ abcd + 1 = (m+1)²

এবং m + 1 = n² + 3n + 1 যা একটি পূর্ণসংখ্যা।


তাই abcd + 1 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সঠিক উত্তর: গ) abcd + 1

৩। 1 থেকে 10 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

ক) 3

খ) 4

গ) 5

ঘ) 6

১ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা: ২, ৩, ৫, ৭ → মোট ৪টি।

সঠিক উত্তর: খ) 4

৪. a ও b দুইটি পূর্ণসংখ্যা হলে a² + b² এর সাথে নিচের কোনটি যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

ক) -ab

খ) ab

গ) 2ab

ঘ) ab

আমরা জানি,

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²


qqqq4 প্রশ্নে a² + b² এর সাথে কী যোগ করলে পূর্ণবর্গ হবে তা বের করতে হবে।

১. a² + b² + 2ab = (a + b)² → পূর্ণবর্গ।

২. a² + b² - 2ab = (a - b)² → পূর্ণবর্গ।

উত্তরগুলোর মধ্যে 2ab আছে (গ অপশন) এবং -2ab নেই, কিন্তু সেটি ab নয়।

এখানে অপশনগুলো:

ক) -ab → a² + b² - ab → সাধারণত পূর্ণবর্গ নয়।

খ) ab → a² + b² + ab → পূর্ণবর্গ নয়।

গ) 2ab → a² + b² + 2ab = (a+b)² → পূর্ণবর্গ।

ঘ) ab (পুনরাবৃত্ত, আগের মতো) → পূর্ণবর্গ নয়।

সঠিক উত্তর: গ) 2ab

৫. প্রমাণ করো যে, প্রতিটি সংখ্যা অমূলদ।

ক) √ 5 

খ) √ 7 

গ) √ 10 

নিচে সাধারণ পদ্ধতিতে প্রমাণ করা হলো।



ক) √5 অমূলদ

ধরি, √5 মূলদ 
অর্থাৎ √5 =   P  Q   , 

যেখানে p, q অখণ্ড, q ≠ 0 ও   P  Q   সরল ভগ্নাংশ (p ও q পরস্পর সহমৌলিক)।

তাহলে, 5 =   p²  q²  

⇒ p² = 5q²

সুতরাং p² , 5 দ্বারা বিভাজ্য → p , 5 দ্বারা বিভাজ্য।

ধরি p = 5k


তাহলে,  
    (5k)² = 5q² 

⇒ (5k)² = 25k² 

⇒ (5k)² = (5q)² 

⇒ k² = q² 


সুতরাং q² , 5 দ্বারা বিভাজ্য → q , 5 দ্বারা বিভাজ্য।

তাহলে p ও q উভয়েই 5 দ্বারা বিভাজ্য, যা p ও q পরস্পর সহমৌলিক হওয়ার বিপরীত।

∴ √5 অমূলদ।





(খ) √7 অমূলদ

ধরি, √7 =   P  Q   সরল ভগ্নাংশে।

     7 =   p²  q²   
 ⇒ p² = 7q²

তাহলে p² , 7 দ্বারা বিভাজ্য → p, 7 দ্বারা বিভাজ্য (যেহেতু 7 মৌলিক)।

ধরি,      p = 7k 
 ⇒ 49k² = 7q² 
 ⇒ q² = 7k²

সুতরাং q, 7 দ্বারা বিভাজ্য।

p ও q উভয়ে 7 দিয়ে বিভাজ্য, যা সরল ভগ্নাংশের শর্ত ভঙ্গ করে।

∴ √7 অমূলদ।





(গ) √10 অমূলদ

ধরি, √10 =   P  Q   সরল ভগ্নাংশ।

    10 =   p²  q²    
⇒ p² = 10q² 

⇒ p² = 2 x 5 x q²


10-এর মৌলিক উৎপাদক ২ ও ৫।

প্রমাণটি আগের মতোই: p² , 2 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য → p, 2 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য → p, 10 দ্বারা বিভাজ্য।

ধরি p = 10k ⇒ 100k² = 10q² ⇒ q² = 10k² → একই যুক্তিতে q, 10 দ্বারা বিভাজ্য।

p ও q এর গ.সা.গু অন্তত 10, যা সরল ভগ্নাংশের ধারণার বিপরীত।

∴ √10 অমূলদ।

সুতরাং √5, √7 ও √10 প্রতিটি অমূলদ সংখ্যা (প্রমাণিত)।

৬. ক) 0.31 এবং 0.12 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করো।

খ)    1  √ 2   এবং √ 2  এর মধ্যে একটি মূলদ এবং একটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করো।

এখানে দুইটি আলাদা অংশের উত্তর ধারাবাহিকভাবে দেওয়া হলো।



(ক) 0.31 এবং 0.12 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয়

দুইটি সংখ্যার মধ্যে অমূলদ সংখ্যা বের করতে আমরা তাদের দশমিক বিস্তারের মাঝে অ-পৌনঃপুনিক ও অ-শেষ দশমিক সংখ্যা লিখতে পারি।

0.12 ও 0.31 – এর মধ্যে উদাহরণ:

1. 0.12112111211112... (প্রতিবার ১ সংখ্যা বাড়ছে)

2. 0.202002000200002... (একই পদ্ধতি)


স্পষ্টতই এগুলো অমূলদ, কারণ দশমিকের পরে কোনো পৌনঃপুনিক ধারা নেই।

সুতরাং (উত্তর):

0.12112111211112..., 0.202002000200002...

অথবা সহজে লিখলে: 0.121212... কিন্তু এটি মূলদ (0.12 পুনরাবৃত্তি)। তাই অ-পৌনঃপুনিক দশমিক নিতে হবে।

আরেকটি সহজ উপায়:

0.121122111222... এবং 0.131133111333...




(খ)    1  √ 2     এবং √ 2   এর মধ্যে একটি মূলদ ও একটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয়

প্রথমে মানের আনুমানিক মান:

   1  √ 2     ≈ 0.7071..., √ 2   ≈ 1.4142...

(i) মূলদ সংখ্যা:

এদের মধ্যে যেকোনো একটি মূলদ সংখ্যা নিতে পারি, যেমন 1 (যেহেতু 0.707 < 1 < 1.414)

⇒ মূলদ সংখ্যা = 1



(ii) অমূলদ সংখ্যা:

এদের মধ্যে একটি অমূলদ সংখ্যা যেমন √1.5 ( ≈ 1.225), যা 0.707 ও 1.414-এর মাঝে।

আরও সহজ: √1.2 বা √1.3

অথবা 1.01001000100001... (অমূলদ দশমিক)


সাধারণভাবে:

√ 2   x 0.9 ≈ 1.272... (অমূলদ)

তবে স্পষ্ট অমূলদ চাইলে:

 √ 2   +    1  √ 2               2  =   √ 2   + 0.7071...           2   ≈ 1.06066...

এটিও অমূলদ।

 তবে সবচেয়ে সহজ অমূলদ উদাহরণ: 1.01001000100001... (পৌনঃপুনিক নয়) যা 1.414-এর ছোট।

উত্তর (খ):

মূলদ সংখ্যা: 1


অমূলদ সংখ্যা: √1.5 (অথবা 1.010010001...)



চূড়ান্ত উত্তর সংক্ষেপে:

(ক) 0.1211121112... ও 0.2020020002...

(খ) মূলদ: 1 , অমূলদ: √ 1.5   ( ≈ 1.225)

৭. প্রমাণ করো যে, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল ৪ (আট) দ্বারা বিভাজ্য।

ধরি, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা 2n ও 2n+2 , যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা।

তাহলে তাদের গুণফল:

(2n) x (2n + 2) = 2n x 2(n + 1) = 4n(n + 1)

এখন, n(n+1) হচ্ছে দুইটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল, যা সর্বদা জোড় সংখ্যা। কারণ, দুইটি ক্রমিক সংখ্যার মধ্যে একটি অবশ্যই জোড় হবে।


ধরি, n(n + 1) = 2k (যেখানে k পূর্ণসংখ্যা)।

তাহলে,

4n(n + 1) = 4 x 2k = 8k

সুতরাং, গুণফল 8k আকারের, যা 8 দ্বারা বিভাজ্য।


অতএব, ৮ দ্বারা বিভাজ্য হলে ৪ দ্বারাও বিভাজ্য।

সুতরাং প্রমাণিত: দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল ৮ দ্বারা বিভাজ্য (এবং তাই ৪ দ্বারাও বিভাজ্য)।

৮. আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো:

ক)  1  6 

খ)   7  11 

গ) 3 2  9 

ঘ) 3  8  15 

প্রত্যেকটি ভগ্নাংশকে আবৃত্ত (পৌনঃপুনিক) দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করা হলো।



(ক)   1   6  

1 ÷ 6 = 0.166666...

এখানে 6 পুনরাবৃত্ত হয়, লিখা হয় 0.1$\dot{6}$

উত্তর (ক): 0.1$\dot{6}$





(খ)    7   11  

7 ÷ 11 = 0.636363...

এখানে 63 পুনরাবৃত্ত, লিখা হয় 0.$\dot{63}$

উত্তর (খ): 0.$\dot{63}$






(গ) 3  2   9  

মিশ্র ভগ্নাংশ = 3 +   2   9  

  2   9   = 0.2222... = 0.$\dot{2}$

সুতরাং 3  2   9   = 3.$\dot{2}$

উত্তর (গ): 3.$\dot{2}$






(ঘ) 3   8   15  

   8   15   = 0.53333...

এখানে 3 পুনরাবৃত্ত হয়, লিখা হয় 0.5$\dot{3}$

সুতরাং 3   8   15   = 3.5$\dot{3}$

উত্তর (ঘ): 3.5$\dot{3}$





সব উত্তর একসাথে:

(ক) 0.1$\dot{6}$

(খ) 0.$\dot{63}$

(গ) 3.$\dot{2}$

(ঘ) 3.5$\dot{3}$

৯. সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করো:

ক) 0.$\dot{2}$

খ) 0.$\dot{3}$$\dot{5}$

গ) 0.1$\dot{3}$

ঘ) 3.7$\dot{8}$

ঙ) 6.2$\dot{3}$0$\dot{9}$

প্রত্যেকটি আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করা হলো।


(ক) 0.$\dot{2}$

এটি 0.2222...

ধরি, x = 0.$\dot{2}$ = 0.2222...

    10x = 2.2222...

⇒ 10x - x = 2.2222... - 0.2222...

⇒ 9x = 2

⇒ x =   2   9  

উত্তর (ক):   2   9  





(খ) 0.$\dot{3}$$\dot{5}$

এটি 0.353535... (35 পুনরাবৃত্ত)

ধরি, x = 0.$\dot{35}$

    100x = 35.353535...

⇒ 100x - x = 35.3535... - 0.3535...

⇒ 99x = 35

⇒x =   35   99  

উত্তর (খ):   35   99  





(গ) 0.1$\dot{3}$

এটি 0.13333...

ধরি, x = 0.1$\dot{3}$

10x = 1.3333...

⇒ 100x = 13.3333...

⇒ 100x - 10x = 13.333... - 1.333...

⇒ 90x = 12

⇒ x =   12   90   =    2  15  

উত্তর (গ):    2  15  






(ঘ) 3.7$\dot{8}$

এটি 3.78888...

ধরি, x = 3.7$\dot{8}$

10x = 37.8888...

⇒ 100x = 378.8888...

⇒ 100x - 10x = 378.888... - 37.888...

⇒ 90x = 341

⇒ x =   341    90  

উত্তর (ঘ):   341    90   (মিশ্র ভগ্নাংশে 3  71   90   ও লেখা যায়)






(ঙ) 6.2$\dot{3}$0$\dot{9}$

এটি 6.23090909... যেখানে “09” পুনরাবৃত্ত, 23 আবৃত নয়।

ধরি, x = 6.2$\dot{09}$

প্রথমে, x = 6.23090909...

100x = 623.090909...

⇒ 10000x = 62309.090909...

⇒ 10000x - 100x = 62309.0909... - 623.0909...

⇒ 9900x = 61686

⇒ x =   61686    9900  

এখন হর ও লবকে 6 দিয়ে ভাগ করি:


61686 ÷ 6 = 10281 , 9900 ÷ 6 = 1650

আবার 3 দিয়ে ভাগ করি: 10281 ÷ 3 = 3427 , 1650 ÷ 3 = 550

x =   3427    550  

উত্তর (ঙ):   3427   550   (মিশ্র ভগ্নাংশে 6  127  550   )





সব উত্তর সংক্ষেপে:

(ক)   2   9  

(খ)   35   99  

(গ)    2   15  

(ঘ)   341    90  

(ঙ)   3427    550  

18 = 2· 3², 45 = 3²· 5, 500 = 2²· 5³ 
→ ল.সা.গু = 2²· 3²· 5³ = 4· 9· 125 = 4500

  37   18    =   37 x 250     4500   =    9250   4500  

  362    45    =   362 x 100      4500   =    36200    4500  

  3509    500    =   3509 x 9    4500   =    31581    4500  


যোগফল =  9250 + 36200 + 31581                4500  
               =   77031    4500  


ভাগ: 77031 ÷ 4500 = 17.118 (প্রকৃতপক্ষে হিসেব করে: 17.118000...)

                                = 17.118 (সসীম)


উত্তর (খ): 17.118

(গ) 0.00$\dot{6}$ + 0.$\dot{9}$$\dot{2}$ + 0.1$\dot{3}$$\dot{4}$

0.00$\dot{6}$ = 0.006666... 
           =    6  900  
           =    1  150  


0.$\dot{9}$$\dot{2}$ = 0.929292... 
           =   92   99  

0.1$\dot{3}$$\dot{4}$ =   133   990   (পূর্বে পেয়েছি)

যোগ:

    1  150   +   92   99   +   133   990  


ল.সা.গু 150, 99, 990:

150 = 2· 3· 5²,  
99 = 9· 11, 
990 = 2· 3²· 5· 11



ল.সা.গু = 2· 3²· 5²· 11 
             = 2· 9· 25· 11 
             = 4950
 

    1   150   =     33   4950   

  92   99    =   92 x 50     4950   =    4600   4950   

  133   990   =  133 x 5     4950  =    665   4950   


যোগফল =      33   4950    +   4600   4950   +    665   4950    
                =    33 + 4600 + 665           4950   
                =    5298   4950   

                =    883   825    [হর ও লবকে 6 দিয়ে ভাগ]


 883 ÷ 825 = 1.07030303... 
                                = 1.07$\dot{0}$$\dot{3}$



উত্তর (গ): 1.07$\dot{0}$$\dot{3}$

সব উত্তর সংক্ষেপে:

(ক) 0.5$\dot{8}$$\dot{9}$

(খ) 17.118

(গ) 1.07$\dot{0}$$\dot{3}$

১০. সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো:

ক) 2.2$\dot{3}$, 5.2$\dot{3}$$\dot{5}$

খ) 7.2$\dot{6}$, 4.23$\dot{7}$

গ) 5.$\dot{7}$, 8.$\dot{3}$$\dot{4}$, 6.$\dot{2}$4$\dot{5}$

ঘ) 12.32, 2.1$\dot{9}$, 4.32$\dot{5}$$\dot{6}$

সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ বলতে বোঝায় এমন আবৃত্ত দশমিক যাদের আবৃত্ত অংশ (পৌনঃপুনিক অংশ) একই সংখ্যক অঙ্কের এবং শুরুতে একই অবস্থানে আবৃত্তি শুরু হয়। সাধারণত তাদের আবৃত্তির স্থান (পিরিয়ড) সমান করতে লিখতে হয়।

qqqq10 আমরা প্রতিটি জোড়া বা সেটের সংখ্যাগুলোকে একই দশমিক স্থানে আবৃত্ত করে দেখাবো।

(ক) 2.2$\dot{3}$ এবং 5.2$\dot{3}$$\dot{5}$

প্রথমটি: 2.2$\dot{3}$ = 2.233333... → আবৃত্তি 1 অঙ্ক (3)

দ্বিতীয়টি: 5.2$\dot{3}$$\dot{5}$ = 5.2353535... → আবৃত্তি 2 অঙ্ক (35)

সদৃশ করতে দ্বিতীয়টির আবৃত্তিকেই মান রাখা সুবিধা।


প্রথমটিকে আবৃত্তি 2 অঙ্কে লিখি:

2.2$\dot{3}$ = 2.233333... = 2.23$\dot{3}$$\dot{3}$ অর্থাৎ 33 আবৃত্ত, কিন্তু লিখতে হয় 2.2$\dot{3}$ = 2.2$\dot{3}$$\dot{3}$ না, বরং 2.23$\dot{3}$$\dot{3}$ নয়, ভুল।

সঠিক পদ্ধতি:

2.2$\dot{3}$ = 2.23333... = 2.23$\dot{3}$ → আবৃত্ত 1 অঙ্ক।

5.2$\dot{35}$ → আবৃত্ত 2 অঙ্ক।


সদৃশ করতে প্রথমটিকে আবৃত্ত 2 অঙ্কে লিখি: 2.2$\dot{33}$ (অর্থাৎ 33 আবৃত্ত)।

তাহলে:

2.2$\dot{33}$ এবং 5.2$\dot{35}$ (উভয়ের আবৃত্তি 2 অঙ্ক)।

উত্তর (ক): 2.2$\dot{33}$, 5.2$\dot{35}$





(খ) 7.2$\dot{6}$ এবং 4.23$\dot{7}$

7.2$\dot{6}$ = 7.26666... → আবৃত্তি 1 অঙ্ক (6)

4.23$\dot{7}$ = 4.237777... → আবৃত্তি 1 অঙ্ক (7)

উভয়ের আবৃত্তি 1 অঙ্ক থাকলেও প্রথমটির আবৃত্তি দশমিকের ১ম স্থান থেকে, দ্বিতীয়টির ৩য় স্থান থেকে। তাই এরা সদৃশ নয়।


সদৃশ করতে প্রথমটিকে লিখি 7.2$\dot{6}$ এভাবে আছে, দ্বিতীয়টিকেও একই দশমিক স্থানে আবৃত্তি শুরু করতে হলে:

4.23$\dot{7}$ = 4.237777... = 4.237$\dot{7}$

কিন্তু আবৃত্তির দৈর্ঘ্য ১ অঙ্ক, তবে শুরু আলাদা। তাই সদৃশ বলতে সাধারণত সমান সংখ্যক আবৃত্ত অঙ্ক বোঝায়।

সাধারণ নিয়মে:

7.2$\dot{6}$ = 7.2$\dot{6}$ , 4.23$\dot{7}$ = 4.23$\dot{7}$ রাখাই চলে।

যদি জোর করে সদৃশ করতে চাই: প্রথমটিকে 7.26$\dot{6}$ লিখলে দ্বিতীয়টির মতো ৩য় দশমিক থেকে আবৃত্তি শুরু হয়।

উত্তর (খ): 7.26$\dot{6}$, 4.23$\dot{7}$






(গ) 5.$\dot{7}$, 8.$\dot{3}$$\dot{4}$, 6.$\dot{2}$4$\dot{5}$

5.$\dot{7}$ = 5.7777... → আবৃত্তি 1 অঙ্ক

8.$\dot{3}$$\dot{4}$ = 8.343434... → আবৃত্তি 2 অঙ্ক

6.$\dot{2}$4$\dot{5}$ = 6.245245245... → আবৃত্তি 3 অঙ্ক (245)

সদৃশ করতে আবৃত্তি দৈর্ঘ্য 3 অঙ্কে নিই:

5.$\dot{7}$ = 5.777... = 5.$\dot{777}$ (777 আবৃত্ত)

8.$\dot{34}$ = 8.$\dot{343}$ (343 আবৃত্ত, কারণ 343434... একই)

6.$\dot{245}$ (ইতিমধ্যে 3 অঙ্ক)

উত্তর (গ): 5.$\dot{777}$, 8.$\dot{343}$, 6.$\dot{245}$






(ঘ) 12.32, 2.1$\dot{9}$, 4.32$\dot{5}$$\dot{6}$

12.32 → এটি আবৃত্ত নয়, সসীম। আবৃত্ত হিসেবে 12.32000... = 12.32$\dot{0}$

2.1$\dot{9}$ = 2.19999... = 2.1$\dot{9}$ → আবৃত্তি 1 অঙ্ক

4.32$\dot{5}$$\dot{6}$ = 4.32565656... → আবৃত্তি 2 অঙ্ক (56)

সদৃশ করতে সবচেয়ে বড় আবৃত্তি দৈর্ঘ্য 2 অঙ্ক ধরি:

12.32 = 12.32$\dot{00}$

2.1$\dot{9}$ = 2.19$\dot{99}$ (দশমিকের ২য় স্থান থেকে 99 আবৃত্ত)

4.32$\dot{56}$

উত্তর (ঘ): 12.32$\dot{00}$, 2.19$\dot{99}$, 4.32$\dot{56}$





সব উত্তর সংক্ষেপে:

(ক) 2.2$\dot{33}$, 5.2$\dot{35}$

(খ) 7.26$\dot{6}$, 4.23$\dot{7}$

(গ) 5.$\dot{777}$, 8.$\dot{343}$, 6.$\dot{245}$

(ঘ) 12.32$\dot{00}$, 2.19$\dot{99}$, 4.32$\dot{56}$

১১. যোগ করো:

ক) 0.4$\dot{5}$ + 0.1$\dot{3}$$\dot{4}$

খ) 2.0$\dot{5}$ + 8.0$\dot{4}$ + 7.018

গ) 0.00$\dot{6}$ + 0.$\dot{9}$$\dot{2}$ +0.1$\dot{3}$$\dot{4}$

QQQQ11 প্রশ্নের প্রতিটি অংশের আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশকে প্রথমে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করে যোগ করি, তারপর দশমিকে প্রকাশ করি।

(ক) 0.4$\dot{5}$ + 0.1$\dot{3}$$\dot{4}$

0.4$\dot{5}$ = 0.455555...

          =  45-4    90  
          =   41   90  


0.1$\dot{3}$$\dot{4}$ = 0.1343434...

               =  134-1   990  
               =   133   990  

যোগফল:

  41   90   +   133   990   

=  41 x 11     990  +   133   990   

=  451 + 133       990  =  584  990  

=   292   495  

দশমিকে: 292 ÷ 495 ≈ 0.5898989... অর্থাৎ 0.5$\dot{8}$$\dot{9}$

উত্তর (ক): 0.5$\dot{8}$$\dot{9}$





(খ) 2.0$\dot{5}$ + 8.0$\dot{4}$ + 7.018

2.0$\dot{5}$ = 2.05555...

          = 2 +   5  90  
          = 2 +   1  18   

          =   37   18  


8.0$\dot{4}$ = 8.04444...

          = 8 +   4  90  
          = 8 +   2  45  
          =   362    45  


7.018 =  7018  1000                  =   3509   500  


ল.সা.গু 18, 45, 500

১২. বিয়োগ করো:

ক) 3.$\dot{4}$ - 2.1$\dot{3}$

খ) 5.$\dot{1}$$\dot{2}$ - 3.4$\dot{5}$

গ) 8.49 - 5.3$\dot{5}$$\dot{6}$

ঘ) 19.34$\dot{5}$ - 13.2$\dot{3}$4$\dot{9}$

QQQQ12 প্রশ্নের প্রতিটি অংশের আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশকে প্রথমে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করে যোগ করি, তারপর দশমিকে প্রকাশ করি।

(ক) 0.4$\dot{5}$ + 0.1$\dot{3}$$\dot{4}$

0.4$\dot{5}$ = 0.455555...

          =  45-4    90  

          =   41   90  


0.1$\dot{3}$$\dot{4}$ = 0.1343434...

               =  134-1   990  
               =   133   990  

যোগফল:

  41   90   +   133   990   

=  41 x 11     990  +   133   990   

=  451 + 133       990  =  584  990  

=   292   495  

দশমিকে: 292 ÷ 495 ≈ 0.5898989... অর্থাৎ 0.5$\dot{8}$$\dot{9}$

উত্তর (ক): 0.5$\dot{8}$$\dot{9}$





(খ) 2.0$\dot{5}$ + 8.0$\dot{4}$ + 7.018

2.0$\dot{5}$ = 2.05555...

          = 2 +   5  90  
          = 2 +   1  18   

          =   37   18  


8.0$\dot{4}$ = 8.04444...

          = 8 +   4  90  
          = 8 +   2  45  
          =   362    45  


7.018 =  7018  1000  =   3509   500  


ল.সা.গু 18, 45, 500:

18 = 2· 3², 45 = 3²· 5, 500=2²· 5³ → ল.সা.গু = 2²· 3²· 5³ = 4· 9· 125 = 4500

  37   18   =  37 x 250     4500  =   9250   4500  

  362    45   =  362 x 100     4500  =   36200   4500  

  3509    500   =  3509 x 9    4500  =   31581   4500  


যোগফল =  9250 + 36200 + 31581               4500  
               =   77031   4500  


ভাগ: 77031 ÷ 4500 = 17.118 (প্রকৃতপক্ষে হিসেব করে: 17.118000...)

= 17.118 (সসীম)


উত্তর (খ): 17.118






(গ) 0.00$\dot{6}$ + 0.$\dot{9}$$\dot{2}$ + 0.1$\dot{3}$$\dot{4}$

0.00$\dot{6}$ = 0.006666...     
            =    6  900  
            =    1  150  

0.$\dot{9}$$\dot{2}$ = 0.929292...                     
              =   92   99  

0.1$\dot{3}$$\dot{4}$ =   133   990   

যোগ:

   1  150   +   92   99   +   133   990  

[ল.সা.গু 150 ,  99 ,  990:

150=2· 3· 5², 99 = 9· 11, 990=2· 3²· 5· 11

ল.সা.গু = 2· 3²· 5²· 11 = 2· 9· 25· 11 = 4950]

=     133 + 92 x 50 + 133 x 5                  4950   

=   33 + 4600 + 665           4950   

=   5298   4950   
  4² = 16

যেহেতু 9 < 10 < 16

এবং বর্গমূল ফাংশন ক্রমবর্ধমান, তাই

√ 9   < √ 10   < √ 16  

⇒ 3 < √ 10   < 4


∴ √ 10   সংখ্যাটি 3 ও 4-এর মধ্যে অবস্থিত।

১৩. গুণ করো:

ক) 0.$\dot{3}$ × 0.$\dot{6}$

খ) 2.$\dot{4}$ × 0.$\dot{8}$$\dot{1}$

গ) 0.6$\dot{2}$ x 0.$\dot{3}$

ঘ) 42.$\dot{1}$$\dot{8}$ × 0.2$\dot{8}$

qqq13প্রত্যেকটি আবৃত্ত দশমিককে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করে গুণ করি।

(ক) 0.$\dot{3}$ x 0.$\dot{6}$

0.$\dot{3}$ =    3   9    =   1  3  

0.$\dot{6}$ =   6  9   =    2   3  


গুণ:    1   3   x   2   3   
=   2   9   
= 0.$\dot{2}$


উত্তর (ক): 0.$\dot{2}$






(খ) 2.$\dot{4}$ x 0.$\dot{8}$$\dot{1}$

2.$\dot{4}$ = 2 +   4   9   
       =  18 + 4       9  
       =   22    9  



0.$\dot{8}$$\dot{1}$ = 0.$\dot{81}$ 
           =   81   99   
           =    9  11   



গুণ:
    22    9   x    9   11   
=   22   11   
= 2


উত্তর (খ): 2 (পূর্ণসংখ্যা)





(গ) 0.6$\dot{2}$ x 0.$\dot{3}$


0.6$\dot{2}$ = 0.62222... 
         =  62 - 6     90  
         =  56  90  
         =   28   45  


0.$\dot{3}$ =   3   9   
       =   1   3  


গুণ:
    28   45   x   1   3   
=    28   135  


দশমিকে: 28 ÷ 135 = 0.207407407...                                   = 0.2$\dot{0}$7$\dot{4}$ (আবৃত্তি 074)


উত্তর (গ): 0.2$\dot{0}$7$\dot{4}$






(ঘ) 42.$\dot{1}$$\dot{8}$ x 0.2$\dot{8}$


42.$\dot{1}$$\dot{8}$ = 42.$\dot{18}$ 
             = 42 +  18  99  
             = 42 +  2  11  
             =  462 + 2       11  
             =   464   11  


0.2$\dot{8}$ = 0.28888... 
         =  28 - 2    90  
         =  26  90  
         =   13   45  


গুণফল:   464    11   x   13   45   =   6032    495  


দশমিকে: 6032 ÷ 495

495 x 12 = 5940 , বাকি 92 → 12.185858...

0.185858... =  1858 - 18     9900  =  1840  9900  =   184   990   

  6032    495   = 12 +  6032 - 12 x 495             495                = 12 +  6032 - 5940         495  
            = 12 +    92   495  

   92   495   = 0.185858... = 0.1$\dot{8}$$\dot{5}$


সুতরাং গুণফল = 12.1$\dot{8}$$\dot{5}$


উত্তর (ঘ): 12.1$\dot{8}$$\dot{5}$




সব উত্তর:

(ক) 0.$\dot{2}$

(খ) 2

(গ) 0.2$\dot{0}$7$\dot{4}$

(ঘ) 12.1$\dot{8}$$\dot{5}$

১৪. ভাগ করো:

ক) 0.$\dot{3}$ ÷ 0.$\dot{6}$

খ) 0.3$\dot{5}$ ÷ 1.$\dot{7}$

গ) 2.3$\dot{7}$ ÷ 0.4$\dot{5}$

ঘ) 1.$\dot{1}$8$\dot{5}$ ÷ 0.$\dot{2}$$\dot{4}$

qqq14আবৃত্ত দশমিক ভাগ করতে প্রথমে প্রতিটিকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করে ভাগ করি।

(ক) 0.$\dot{3}$ ÷ 0.$\dot{6}$

0.$\dot{3}$ =    3   9    =    1   3  

0.$\dot{6}$ =   6  9  =    2   3  


ভাগফল:
    1   3   ÷   2   3   
=   1   3   x   3   2   
=   1   2   
= 0.5


উত্তর (ক): 0.5






(খ) 0.3$\dot{5}$ ÷ 1.$\dot{7}$


0.3$\dot{5}$ = 0.35555... 
          =  35 - 3     90  
          =  32  90  
          =   16   45  



1.$\dot{7}$ = 1 +   7   9   
        =  9 + 7     9  
        =   16    9  


ভাগফল:
    16   45   ÷   16    9   
=   16   45   x    9   16   
=   9  45  
=   1   5   
= 0.2


উত্তর (খ): 0.2






(গ) 2.3$\dot{7}$ ÷ 0.4$\dot{5}$

2.3$\dot{7}$ = 2.37777... 
         = 2 +  37 - 3     90  
         = 2 +  34  90  
         = 2 +  17  45  
         =  90 + 17      45  
         =  107   45 


0.4$\dot{5}$ = 0.45555... 
         =  45 - 4     90  
          =   41   90  



ভাগফল:
   107   45  ÷   41   90   
=  107   45  x  90  41  
=  107 x 2      41  
=   214    41  


এখন   214    41   = 5.219512... — এটি আবৃত্ত দশমিক:

214 ÷ 41 = 5 ভাগশেষ 214 - 205 = 9 , দশমিক চালিয়ে:

  90   41  = 2 ভাগশেষ 8,
 80  41  = 1 ভাগশেষ 39,
 390   41  = 9 ভাগশেষ 21,
 210   41  = 5 ভাগশেষ 5,
 50  41  = 1 ভাগশেষ 9, 
আবার পুনরাবৃত্ত 9,8,21,5,...


আবৃত্তি অংশ 21951? — প্রকৃতপক্ষে   214    41   = 5.$\dot{21951}$ (দৈর্ঘ্য 5)


উত্তর (গ): 5.$\dot{21951}$







(ঘ) 1.$\dot{1}$8$\dot{5}$ ÷ 0.$\dot{2}$$\dot{4}$

প্রথমে বুঝি: 1.$\dot{1}$8$\dot{5}$ অর্থ দশমিকের পরে আবৃত্তি “185”? লেখাটি 1.$\dot{185}$ বোঝাচ্ছে (যেহেতু ডট প্রথম ও শেষ অঙ্কে দেওয়া)

1.$\dot{185}$ = 1 +  185  999  
           =  999 + 185       999  
           =   1184    999  


0.$\dot{2}$$\dot{4}$ = 0.$\dot{24}$ 
           =  24  99  
           =    8  33  



ভাগফল:
    1184    999   ÷    8   33   
=   1184    999   x  33   8  
=  1184 x 33    999 x 8

=  148 x 33      999   [here,   1184      8  = 148]
=   4884    999  

= 4 +  4884 - 3996         999  
= 4 +  888  999  
= 4 +   8  9   = 4.$\dot{8}$


উত্তর (ঘ): 4.$\dot{8}$




সব উত্তর:

(ক) 0.5

(খ) 0.2

(গ) 5.$\dot{21951}$

(ঘ) 4.$\dot{8}$

১৫. চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত সেগুলোর আসন্ন মান লিখ:

ক) 12

খ) 0.$\dot{2}$$\dot{5}$

গ) 1.$\dot{3}$$\dot{4}$

ঘ) 5.1$\dot{3}$0$\dot{2}$

qqq15 আমরা প্রতিটি সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করে চার দশমিক স্থান পর্যন্ত মূল মান এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান লিখব।

(ক) 12  
সংখ্যার বর্গমূল

√ 12   = 2√ 3   

≈ 2 x 1.7320508 = 3.4641016...

- চার দশমিক স্থান পর্যন্ত: 3.4641

- তিন দশমিক স্থানে আসন্ন মান: 3.464


উত্তর (ক): মূল 3.4641 , আসন্ন 3.464






(খ) 0.$\dot{2}$$\dot{5}$

0.$\dot{25}$ =   25   99  

সংখ্যার বর্গমূল-
√   25   99     
=      5  √ 99     
=      5  3√ 11     [√ 99   = 3√ 11   ≈ 3 x 3.31662479 = 9.94987437]

=            5  9.94987437   
≈ 0.502518...


- চার দশমিক স্থান: 0.5025

- তিন দশমিক স্থানে আসন্ন: 0.503 (কারণ ৫ম দশমিক ১, তাই ০.৫০২৫ এ ৪র্থ দশমিক ৫ থাকায় ০.৫০৩ হবে? যাচাই: ০.৫০২৫১৮ → তিন দশমিকে ০.৫০৩)


উত্তর (খ): মূল 0.5025 , আসন্ন 0.503






(গ) 1.$\dot{3}$$\dot{4}$

1.$\dot{34}$ = 1 +  34  99  
         =  99 + 34      99  
         =   133    99  

সংখ্যার বর্গমূল-
√   133    99     
=   √ 133       √ 99     [√ 133   ≈ 11.5325626 , √ 99   ≈ 9.94987437]

=   11.5325626       9.94987437    


ভাগফল: 11.5325626 ÷ 9.94987437 ≈ 1.159079 

- চার দশমিক স্থান: 1.1591

- তিন দশমিকে আসন্ন: 1.159 (৪র্থ দশমিক ০ < ৫, তাই একই)


উত্তর (গ): মূল 1.1591 , আসন্ন 1.159








(ঘ) 5.1$\dot{3}$0$\dot{2}$

প্রথমে বুঝি: 5.1$\dot{3}$0$\dot{2}$ — ডট 3 ও 2 - এর উপরে, অর্থ আবৃত্তি “302”? কিন্তু 1 - এর পরে আবৃত্তি শুরু 302? সাবধান:

5.1$\dot{3}$0$\dot{2}$ অর্থ দশমিকের পরে 1, তারপর 3 ও 2 - এর মধ্যে 0 বসা, এবং আবৃত্তি “302”?



এটি 5.1302302302... — অর্থাৎ 5.1$\dot{302}$

5.1$\dot{302}$ = 5 +  1302 - 1     9990 — সূত্র: a.b$\dot{\mathrm{cde}}$ = a +   bcde - b      9990  



এখানে a = 5, b = 1, cde = 302

= 5 +  1302 - 1     9990  
= 5 +   1301   9990  

=  5 x 9990 + 1301           9990  
=  49950 + 1301         9990  
=   51251    9990   


সংখ্যার বর্গমূল

√   51251    9990     =   √ 51251       √ 9990    


√ 51251   ≈ 226.386 (যাচাই: 226² = 51076, 227² = 51529 , 51251 - 51076 = 175, তাই 226 +    175  2 x 226   ≈ 226.387 )

√ 9990   ≈ 99.9499875

ভাগফল: 226.387 ÷ 99.95 ≈ 2.2648




আরও সূক্ষ্ম:

51251 ÷ 9990 = 5.13023023... , এর বর্গমূল

আনুমানিক বর্গমূল ≈ 2.26467

- চার দশমিক স্থান: 2.2647

- তিন দশমিকে আসন্ন: 2.265 (৪র্থ দশমিক 6 > 5, তাই 2.265)

উত্তর (ঘ): মূল 2.2647 , আসন্ন 2.265






সব উত্তর সংক্ষেপে:

(ক) 3.4641, 3.464

(খ) 0.5025, 0.503

(গ) 1.1591, 1.159

(ঘ) 2.2647, 2.265

১৬. নিচের কোন সংখ্যাগুলো মূলদ এবং কোন সংখ্যাগুলো অমূলদ লেখ:

ক) 0.$\dot{4}$

খ) √ 9 

গ) √ 11 

ঘ)  √ 6     3 

ঙ)  √ 8   √ 7  

চ)  √ 27   √ 48  

ছ)    2  3     3   7   

জ) 5.$\dot{6}$3$\dot{9}$

qqq16 প্রত্যেকটি সংখ্যা পরীক্ষা করে মূলদ (rational) ও অমূলদ (irrational) নির্ণয় করা হলো।


(ক) 0.$\dot{4}$

0.$\dot{4}$ = 0.4444... =   4   9   → মূলদ




(খ) √ 9  

√ 9   = 3 → মূলদ




(গ) √ 11  

১১ পূর্ণবর্গ নয় → অমূলদ





(ঘ)   √ 6       3  

√ 6  অমূলদ, অমূলদকে ৩ দিয়ে ভাগ করলেও অমূলদ → অমূলদ





(ঙ)   √ 8     √ 7    

√   8   7     = √   8   7     →   8   7   পূর্ণবর্গ নয় → অমূলদ





(চ)   √ 27     √ 48    

√  27  48    = √    9   16     =   3   4   → মূলদ





(ছ)   2   3   x   3   7  

  2   3   x   3   7   =   2   7   → মূলদ





(জ) 5.$\dot{6}$3$\dot{9}$

এটি 5.639639639... → আবৃত্ত দশমিক → মূলদ







উত্তর সারণি:

সংখ্যা → মূলদ/অমূলদ

ক) 0.$\dot{4}$ → মূলদ |

খ) √ 9   → মূলদ

গ) √ 11   → অমূলদ

ঘ)   √ 6       3   → অমূলদ

ঙ)   √ 8     √ 7     → অমূলদ

চ)   √ 27      √ 48     → মূলদ

ছ)   2   3   x   3   7   → মূলদ

জ) 5.$\dot{6}$3$\dot{9}$ → মূলদ

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

M ১. তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদাই নিচের কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে?

ক) 5

খ) 6

গ) 7

ঘ) 11

qqqM - 1তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা ধরা যাক n, n + 1, n + 2 ।

এদের মধ্যে:

- অন্তত একটি জোড় সংখ্যা থাকে, তাই গুণফল ২ দ্বারা বিভাজ্য।

- অন্তত একটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা থাকে, তাই গুণফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

যেহেতু গুণফল ২ ও ৩ উভয় দ্বারা বিভাজ্য, এবং ২ ও ৩ পরস্পর সহমৌলিক, তাই গুণফল 2 x 3 = 6 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

সঠিক উত্তর: খ) 6

২. a ও b দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা?

ক) a²

খ) b²

গ) a² + 1

ঘ) b² + 2

qqqM - 2ধরি, দুটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা a = 2n এবং b = 2n + 2 , যেখানে n পূর্ণসংখ্যা।

এখন প্রতিটি অপশন পরীক্ষা করি:

- ক) a² = (2n)² = 4n² → জোড়

- খ) b² = (2n + 2)² = 4n² + 8n + 4 = 4(n² + 2n + 1) → জোড়

- গ) a² + 1 = 4n² + 1 → 4n² জোড়, তার সাথে 1 যোগ করলে বিজোড়

- ঘ) b² + 2 = 4n² + 8n + 4 + 2 = 4n² + 8n + 6 → জোড়

সুতরাং বিজোড় সংখ্যা হলো গ) a² + 1 ।

উত্তর: গ)

নিচের তথ্যের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

a = √ 3  এবং b = √ 12 


৩. উপরিউক্ত তথ্যানুসারে-

i. ab একটি মূলদ সংখ্যা

ii.  a  b  একটি মূলদ সংখ্যা

iii. (a + b) একটি বাস্তব সংখ্যা

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii

খ) i ও iii

গ) ii ও iii

ঘ) i, ii ও iii

qqqM - 3দেওয়া আছে:

a = √ 3   , b = √ 12   = √ 4 x 3   = 2√ 3  

প্রত্যেকটি বিবৃতি যাচাই করি:


(i) ab একটি মূলদ সংখ্যা

ab = √ 3   x 2√ 3   = 2 x 3 = 6 → মূলদ → সঠিক



(ii)   A   B   একটি মূলদ সংখ্যা

  A   B   =   √ 3    2√ 3    =   1   2   → মূলদ → সঠিক



(iii) a + b একটি বাস্তব সংখ্যা

a + b = √ 3   + 2√ 3   = 3√ 3   → বাস্তব সংখ্যা → সঠিক

তিনটি বিবৃতিই সঠিক।

সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii

৪. নিচের কোনটি a ও b এর মধ্যবর্তী অমূলদ সংখ্যা?

ক)  3√ 3     2 

খ)  3√ 3     4 

গ)  √ 3     2 

ঘ)  √ 3     4 

qqqM - 4দেওয়া আছে:

a = √ 3   ≈ 1.732

b = √ 12   = 2√ 3   ≈ 3.464

এদের মধ্যবর্তী অর্থ a < x < b ।

প্রতিটি অপশনের মান বের করি:


(ক)   3√ 3        2  

= 1.5 x 1.732 = 2.598 → 1.732 < 2.598 < 3.464 → মধ্যবর্তী




(খ)   3√ 3        4  

= 0.75 x 1.732 = 1.299 → এটি a (1.732) - এর চেয়ে ছোট → না




(গ)   √ 3        2  

= 0.866 → a - এর চেয়ে ছোট → না




(ঘ)   √ 3        4  

= 0.433 → ছোট → না

অমূলদ সংখ্যা কিনা দেখি:

  3√ 3         2   = √ 3   x 1.5 → √ 3   অমূলদ, 1.5 মূলদ, গুণফল অমূলদ → অমূলদ

সুতরাং সঠিক উত্তর: (ক)   3√ 3        2  

সৃজনশীল প্রশ্ন


৫. n = 2m - 1, যেখানে m ∈ N

ক) যোগ করো: 0.$\dot{7}$ + 0.1$\dot{5}$

খ) দেখাও যে, n² থেকে 1 বিয়োগ করলে বিয়োগফল সর্বদা ৪ (আট) দ্বারা বিভাজ্য।

গ) m = 3 হলে প্রমাণ করো যে, √ n  একটি অমূলদ সংখ্যা।

qqqM - 5এখানে দেওয়া আছে: n = 2m - 1 , যেখানে m ∈ ℕ ।


(ক) যোগ করো: 0.$\dot{7}$ + 0.1$\dot{5}$

0.$\dot{7}$ =   7   9  

0.1$\dot{5}$ = 0.15555... =  15 - 1     90  =  14  90  =    7   45  

যোগফল:

  7   9   +    7   45   
=  35  45  +    7   45   
=  42  45  
=   14   15  

দশমিকে: 0.93333... = 0.9$\dot{3}$

উত্তর (ক):   14   15   বা 0.9$\dot{3}$






(খ) দেখাও যে, n² - 1 সর্বদা ৮ দ্বারা বিভাজ্য

n = 2m - 1 (বিজোড় সংখ্যা)

n² - 1 = (2m - 1)² - 1 = (4m² - 4m + 1) - 1 = 4m² - 4m = 4m(m - 1)


এখন m(m - 1) দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল, যা সর্বদা জোড়।



ধরি m(m - 1) = 2k , যেখানে k পূর্ণসংখ্যা।

তাহলে n² - 1 = 4 x 2k = 8k → ৮ দ্বারা বিভাজ্য।

প্রমাণিত: n² - 1 সর্বদা ৮ দ্বারা বিভাজ্য।





(গ) m = 3 হলে প্রমাণ করো যে, √ n   অমূলদ

m = 3 ⇒ n = 2 x 3 - 1 = 6 - 1 = 5

√  n   = √ 5  

প্রমাণ: ধরি √ 5   =   P   Q   সরল ভগ্নাংশ, p,q পূর্ণসংখ্যা ও q = 0 ।

5 =   p²   q²   ⇒ p² = 5q²

সুতরাং p² ৫ দ্বারা বিভাজ্য → p ৫ দ্বারা বিভাজ্য।




ধরি p = 5k

25k² = 5q² ⇒ q² = 5k²

সুতরাং q² ৫ দ্বারা বিভাজ্য → q ৫ দ্বারা বিভাজ্য।



p ও q উভয়ে ৫ দ্বারা বিভাজ্য, যা   P   Q   সরল ভগ্নাংশ হওয়ার বিপরীত।

∴ √ 5   অমূলদ।



প্রমাণিত: m = 3 হলে √  n   = √ 5   অমূলদ।




সব উত্তর সংক্ষেপে:

(ক)   14   15   বা 0.9$\dot{3}$

(খ) উপরে দেখানো হয়েছে

(গ) উপরে প্রমাণিত

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন


৬. ক) a = 0.$\dot{2}$ এবং b = 0.$\dot{3}$ হলে দেখাও যে, (a + b) একটি মূলদ সংখ্যা।

খ) বর্গমূল নির্ণয় না করে দেখাও যে, √ 10  সংখ্যাটি 3 ও 4 এর মধ্যে অবস্থিত।

গ) 1.25$\dot{7}$$\dot{4}$ ও 0.3$\dot{6}$1$\dot{2}$ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশদ্বয়কে সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করো।

(ক) a = 0.$\dot{2}$ , b = 0.$\dot{3}$ হলে দেখাও যে, a + b একটি মূলদ সংখ্যা

a = 0.$\dot{2}$ =   2   9  

b = 0.$\dot{3}$ =   3   9   =   1   3  


যোগফল:

a + b =   2   9   +   1   3   =   2   9   +   3   9   =   5   9  

যা একটি মূলদ সংখ্যা (দুটি পূর্ণসংখ্যার ভাগফল)।

প্রমাণিত: a + b মূলদ।




(খ) বর্গমূল নির্ণয় না করে দেখাও যে, √ 10   সংখ্যাটি 3 ও 4 এর মধ্যে অবস্থিত

আমরা জানি,

3² = 9

4² = 16

যেহেতু 9 < 10 < 16

এবং বর্গমূল ফাংশন ক্রমবর্ধমান, তাই

√ 9   < √ 10   < √ 16  

⇒ 3 < √ 10   < 4


∴ √ 10   সংখ্যাটি 3 ও 4-এর মধ্যে অবস্থিত।




(গ) 1.25$\dot{7}$$\dot{4}$ ও 0.3$\dot{6}$1$\dot{2}$ কে সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ

প্রথম সংখ্যা: 1.25$\dot{7}$$\dot{4}$

এর অর্থ 1.25747474... — আবৃত্তি “74” (দৈর্ঘ্য 2 অঙ্ক)।

দশমিকের ২য় স্থান থেকে আবৃত্তি শুরু।

দ্বিতীয় সংখ্যা: 0.3$\dot{6}$1$\dot{2}$

এর অর্থ 0.36121212... — আবৃত্তি “12” (দৈর্ঘ্য 2 অঙ্ক)

কিন্তু এখানে আবৃত্তি শুরু হয়েছে দশমিকের ২য় স্থান থেকে? না — বরং 0.361212... অর্থ 3 দশমিকে 6, তারপর 1, তারপর 12 পুনরাবৃত্ত।

এটি 0.36$\dot{12}$ (দশমিকের ৩য় ও ৪র্থ স্থান থেকে “12” আবৃত্ত)।

সদৃশ করতে অর্থাৎ একই দশমিক স্থান থেকে শুরু ও একই আবৃত্তি দৈর্ঘ্য করতে:

প্রথমটি: 1.25$\dot{74}$ → ২য় দশমিক থেকে “74” আবৃত্ত।

দ্বিতীয়টি: 0.36$\dot{12}$ → ৩য় দশমিক থেকে “12” আবৃত্ত।


একই অবস্থান আনতে দ্বিতীয়টির আবৃত্তি ২য় দশমিক থেকে শুরু করি:

0.3$\dot{6}$1$\dot{2}$ কে 0.3$\dot{61}$ ভাবা যেতে পারে? না, কারণ 3 দশমিক স্থানে 1 বসে।

বরং ২য় দশমিক থেকে শুরু করতে:

0.36$\dot{12}$ = 0.361212... → একে 0.36$\dot{12}$ এভাবে রাখলে আবৃত্তি দৈর্ঘ্য ২ অঙ্ক, কিন্তু শুরু ৩য় দশমিক থেকে।

সদৃশ করতে প্রথমটির ক্ষেত্রে আবৃত্তি শুরু ২য় দশমিক থেকে, দ্বিতীয়টির শুরুও ২য় দশমিক থেকে করতে, প্রথমটিকে 1.25$\dot{74}$ রেখে দ্বিতীয়টিকে লিখি 0.3$\dot{61}$ — তা হলে আবৃত্তি “61” হবে, কিন্তু প্রকৃত মান 0.361212... থেকে ভিন্ন হবে।

সঠিক পদ্ধতি:

আমরা উভয় সংখ্যার আবৃত্তি দৈর্ঘ্য সমান করব (ল.সা.গু আবৃত্তি দৈর্ঘ্য ২ ও ২ = ২)।

এবং আবৃত্তির শুরু একই স্থানে আনতে দ্বিতীয়টিকে ২য় দশমিক থেকে আবৃত্তি লেখা সম্ভব নয় (কারণ ৩য় স্থানে ১ এসে আবৃত্তি শুরু)।

সাধারণ নিয়মে সদৃশ বলতে আবৃত্তি দৈর্ঘ্য সমান করাই ধরা হয়। এখানে উভয়ের আবৃত্তি দৈর্ঘ্য ২, তাই এরা ইতিমধ্যেই সদৃশ।

উত্তর:

1.25$\dot{74}$ এবং 0.36$\dot{12}$ (আবৃত্তি দৈর্ঘ্য ২ অঙ্ক, আবৃত্তি শুরু আলাদা — যদি সদৃশ বলতে শুরু একই বুঝায়, তাহলে দ্বিতীয়টিকে লিখতে হবে 0.361$\dot{21}$ অথবা প্রথমটিকে 1.257$\dot{47}$ — কিন্তু সাধারণত আবৃত্তি দৈর্ঘ্য সমানকেই সদৃশ ধরা হয়)।

বহুল প্রচলিত উত্তর: 1.25$\dot{74}$ ও 0.36$\dot{12}$ কে সদৃশ বলাই যায়।