বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত - Algabraic Ratio and Proportion (অনুশীলনী ১১.১)

• 📚 Topics
• 📝 MCQ Test
• ✅ Exercise Solution

১. দুইটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a মিটার এবং b মিটার হলে, এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

1.

দুটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a মিটার এবং b মিটার।



প্রথম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a² বর্গমিটার



দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = b² বর্গমিটার




∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত = a² : b² বা (   a   b   )²   (যদি b ≠ 0 )।

২. একটি বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে, এদের পরিসীমার অনুপাত নির্ণয় করো।

2.

ধরি, 

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r এবং 

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a ।



প্রশ্নমতে,

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

π r² = a²

⇒ a = $\sqrt{\pi r^2}$ 

⇒ a = √ π  . r


পরিসীমা গণনা:

বৃত্তের পরিধি = 2π r


বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a = 4√ π   . r



পরিসীমার অনুপাত (বৃত্ত : বর্গক্ষেত্র):

   2πr  4√ π . r  

=     2π   4√ π     

=      π   2√ π     

=   √ π . √ π      2√ π     

=   √ π         2  


অর্থাৎ,

বৃত্তের পরিসীমা : বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = √ π   : 2



উত্তর:

√ π   : 2

৩. দুইটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 4 এবং এদের ল.সা.গু. 180। সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করো।

3.

ধরি, 

সংখ্যা দুইটি 3x এবং 4x , 

যেখানে x একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।



ল.সা.গু. (LCM) নির্ণয়:

3x এবং 4x -এর ল.সা.গু. = x × ল.সা.গু.(3, 4)

যেহেতু ল.সা.গু.(3, 4) = 12 ,

সুতরাং ল.সা.গু. = 12x



প্রশ্নমতে,

 12x = 180

⇒ x =    180       2  

⇒ x = 15



অতএব, সংখ্যা দুইটি:

3x = 3 × 15 = 45


4x = 4 × 15 = 60




উত্তর: সংখ্যা দুইটি 45 এবং 60

৪. একদিন তোমাদের ক্লাসে দেখা গেল অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থী সংখ্যার অনুপাত  1  4  অনুপস্থিত শিক্ষার্থী সংখ্যাকে মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার শতকরায় প্রকাশ করো।

4.


প্রশ্নানুসারে, 

অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থীর সংখ্যার অনুপাত 1 : 4 ।



ধরি,

অনুপস্থিত শিক্ষার্থী = 1x

উপস্থিত শিক্ষার্থী = 4x



তাহলে মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = 1x + 4x = 5x



অনুপস্থিত শিক্ষার্থীর সংখ্যাকে মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যার শতকরায় প্রকাশ করতে চাই:

  অনুপস্থিত        মোট   × 100% 

=   1x   5x   × 100% 

=   1   5   × 100% 

= 20%



উত্তর: 20%

৫. একটি দ্রব্য ক্রয় করে 28% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণয় করো।

5.

ধরি, 

দ্রব্যের ক্রয়মূল্য (Cost Price, CP) = 100 টাকা 



২৮% ক্ষতিতে বিক্রয় করলে,

ক্ষতি = 28% এর ক্রয়মূল্য = 28 টাকা।



তাহলে বিক্রয়মূল্য (Selling Price)


 বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য − ক্ষতি 


                   = (100 - 28) টাকা 


                   = 72 টাকা।



প্রশ্নানুসারে, বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত:

বিক্রয়মূল্য : ক্রয়মূল্য = 72 : 100

                                   = 18 : 25      [4 দ্বারা ভাগ করে সরল করলে]



উত্তর: 18 : 25

৬. পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি 70 বছর। 7 বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল 5:2 । 5 বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

6.

ধরি, 

পিতার বর্তমান বয়স = F বছর, 

পুত্রের বর্তমান বয়স = S বছর।



প্রশ্নমতে,

F + S = 70 ..... (1)


৭ বছর পূর্বে তাদের বয়স ছিল F - 7 ও S - 7 


এবং তাদের অনুপাত ছিল 5 : 2 


অতএব,

  F - 7   S - 7   =   5   2  

⇒ 2(F - 7) = 5(S - 7)

⇒ 2F - 14 = 5S - 35

⇒ 2F - 5S = -21 ..... (2)



এখন (1) নং সমীকরণ থেকে F = 70 - S বসিয়ে (2) এ পাই:

2(70 - S) - 5S = -21

⇒ 140 - 2S - 5S = -21

⇒ 140 - 7S = -21

⇒ -7S = -161

⇒ S = 23



তাহলে,

F = 70 - 23 = 47


বর্তমান বয়স: পিতা 47 , পুত্র 23 বছর।


৫ বছর পরে তাদের বয়স হবে 47 + 5 = 52 এবং 23 + 5 = 28 বছর।



অনুপাত:

  52   28   =   13    7  



উত্তর: 13 : 7

৭. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমাণ করো যে,

ক)  a  c  =  a² + b²  b² + c² 

খ) a²b²c² (  1  a³  +   1  b³  +   1  c³ ) = a³ + b³ + c³

গ)  abc(a + b + c)³  (ab + bc + ca)³  = 1

7.


প্রশ্নে দেওয়া আছে:

 a : b = b : c , 

⇒   a   b   =   b   c  

∴ b² = ac … (1)





ক) প্রমাণ করতে হবে:

  a   c   =   a² + b²   b² + c²  


ডানপক্ষ:

  a² + b²   b² + c²   


=   a² + ac   ac + c²       [b² = ac]


=   a(a + c)   c(a + c)   


=   a   c  



সুতরাং বামপক্ষ = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)











খ)

প্রমাণ করতে হবে:

a² b² c² (    1   a³   +    1   b³   +    1   c³   ) = a³ + b³ + c³



বামপক্ষ:
 a² b² c² (    1   a³   +    1   b³   +    1   c³   ) 


= a² b² c² ·     1    a³   +  a² b² c² ·     1    b³   +  a² b² c² ·     1    c³   


=   b² c²      a   +    a² c²      b    +    a² b²      c   


=   ac. c²      a   +    (ac)²      b    +    a² .ac      c     [যেহেতু, b² = ac]


=   ac. c²      a   +    (ac)²      b    +    a² .ac      c   


=   a c³     a   +    (b²)²      b    +    a³ c      c   


=   a c³     a   +      b⁴     b    +    a³ c     c   


= a³ + b³ + c³


সুতরাং বামপক্ষ = ডানপক্ষ






গ)
 
প্রমাণ করতে হবে:

  abc(a + b + c)³   (ab + bc + ca)³   = 1


দেওয়া আছে,

b² = ac 



বামপক্ষ :

  abc(a + b + c)³   (ab + bc + ca)³   


=   b.ac(a + b + c)³   (ab + bc + ac)³    


=   b.b² (a + b + c)³   (ab + bc + b²)³     [যেহেতু, b² = ac ]


=   b³ (a + b + c)³   [b(a + c + b)]³   


=    b³ (a + b + c)³    b³ (a + b + c)³   

=    b³    b³  

= 1

 (প্রমাণিত)

৮. সমাধান করো:

ক)  1 - √ 1 - x   1 + √ 1 - x   =  1  3 

খ)  a + x - √ a² - x²   a + x + √ a² - x²   =  b  x  , 2a > b > ০ এবং x ≠ 0

গ) 81 ( 1 - x  1 + x )³ =  1 + x  1 - x 

8.

ক)

  1 - √ 1 - x     1 + √ 1 - x    =   1   3  


ধরি,
 
 t = √ 1 - x    ≥ q 0 । তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:


তাহলে,

  1 - t   1 + t   =   1   3  

⇒ 3(1 - t) = 1 + t      [ক্রসগুণ করে]

⇒ 3 - 3t = 1 + t

⇒ 3 - 1 = t + 3t

⇒ 2 = 4t 

⇒ t =   1   2  



তাহলে:

√ 1 - x   =   1   2   


⟹ 1 - x =   1   4        [উভয় পাশে বর্গ করে]


⟹ x = 1 -   1   4   


⟹ x =   3   4  





মূল সমীকরণে বসিয়ে x =   3   4   সঠিক কিনা যাচাই করি:

√ 1 - x   = $\sqrt{1-\frac{3}{4}}$ 

             = $\sqrt{\frac{1}{4}}$

             =   1   2  ,



  1 - √ 1 - x     1 + √ 1 - x    =      1 -  1  2     1 +  1  2                        

                      =      2 - 1     2       2 + 1     2     

                      =    1  2     3  2    

                       =  1  3 



✅ সঠিক।



উত্তর ক): x =   3   4  









খ)

  a + x - $\sqrt{a^2-x^2}$   a + x + $\sqrt{a^2-x^2}$   =   b   x    ..... (1)

2a > b > 0, x ≠ 0



ধরি, 

 p = $\sqrt{a^2-x^2}$ 


(1) কে R ধরলে,

R =   a + x - $\sqrt{a^2-x^2}$   a + x + $\sqrt{a^2-x^2}$   =   b   x    



উল্টিয়ে পাই:

   1   R  =   a + x + $\sqrt{a^2-x^2}$   a + x - $\sqrt{a^2-x^2}$   =   x   b    


(1) এর বামপক্ষে এই অভেদ প্রয়োগ

R +    1  R   


=   a + x - p   a + x + p   +   a + x + p   a + x - p   
       

=      (a + x - p)² + (a + x + p)²       (a + x + p) (a + x - p)      
        

=      (m - p)² + (m + p)²        (m + p) (m - p)       [ধরি a + x = m]       


=     (m² - 2mp + p²) + (m² + 2mp + p²)                          (m² - p²)     [আমরা জানি, m² - p² = (m + p) (m - p)]

       
=     m² - 2mp + p² + m² + 2mp + p²                          (m² - p²)     


=      2m² + 2p²         m² - p²   


=      2(m² + 2p²)          m² - p²         


=     2{(a + x)² + ($\sqrt{a^2-x^2}$)²}        (a + x)² - ($\sqrt{a^2-x^2}$)²    


=     2{(a + x)² + (a² - x²)}        (a + x)² - (a² + x²)  
 

=     2{(a² + 2ax + x²) + (a² - x²)}        (a² + 2ax + x²) - (a² + x²)  


=     2(a² + 2ax + x² + a² - x²)        a² + 2ax + x² - a² + x² 

 
=      2(2a² + 2ax)         2x² + 2ax  


=      2 . 2a(a + x)       2 . x (x + a)   


=     4a(x + a)       2x (x + a)   


=      2a       x    


আবার লক্ষ্য করি, (1) এর ডানপক্ষেে এই অভেদ প্রয়োগ

R +    1  R   

=   b   x    +   x   b   


=    b² + x²         bx  



সুতরাং এখন পাই,


⇒   b² + x²         bx   =    2a    x   

⇒   b² + x²         bx   =    2a    x     [x ≠ 0 উভয়পক্ষে গুন করে পাই]

⇒    b² + x²          b   = 2a

⇒ b² + x² = 2ab

⇒ x² = 2ab -  b² 

⇒ x = $\sqrt{2ab-b^2}$






উত্তর খ): x = $\sqrt{2ab-b^2}$










গ)

81 (   1 - x   1 + x  )³ =   1 + x   1 - x  





ধরি,  


t =   1 - x   1 + x   , 


তবে,    1 + x   1 - x   =   1   t   





সমীকরণ:

   81 t³ =   1   t   


⟹ 81 t⁴ = 1 


⟹ t⁴ =    1   81   


⟹ t⁴ = (  1   3  )⁴


তাই,  t =  1  3  বা t = -  1  3   (বাস্তবের জন্য t ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে)





যখন,  t =  1  3  :

  1 - x   1 + x   =  1  3  


⟹ 3 - 3x = 1 + x 


⟹ 2 = 4x 


⟹ x =  1  2 



আবার যখন,  t = -  1  3  :

  1 - x   1 + x   = -  1  3  


⟹ 3 - 3x = -1 - x 


⟹ 4 = 2x 


⟹ x = 2

দুটি সমাধানই বৈধ (হর 1 + x ≠ 0 )।




উত্তর গ): x =  1  2  বা x = 2

৯.  a  b  =  b  c  =  c  d  হলে, দেখাও যে,

ক)  a³ + b³  a³ + b³  =  b³ + c³  c³ + d³ 

খ) ( a² + b² + c² ) (b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)²

9.

প্রশ্নের শর্ত:

  a   b   =   b   c   =   c   d   = k (ধরি)



তাহলে,

  a   b   = k


⇒ a = bk, 




এবং,


   b   c   = k


⇒ b = ck, 




এবং,


   c   d   = k


⇒ c = dk



এখন,

a = bk = (ck)k = ck² = (dk)k² = dk³



b = ck = (dk)k = dk²



c = dk



d = d



সুতরাং,

a = dk³, 


b = dk², 


c = dk, 


d = d





ক) দেখাতে হবে:

  a³ + b³   b³ + c³   =   b³ + c³  c³ + d³  



বামপক্ষ:

  a³ + b³   b³ + c³    


=   d³k⁹ + d³k⁶   d³k⁶ + d³k³    


=   d³k⁶(k³ + 1)   d³k³(k³ + 1)   


=   k³   1    


= k³



এখানে.

  a³ + b³   b³ + c³   = k³





ডানপক্ষ:

   b³ + c³   c³ + d³  


=     d³k³(k³ + 1)     d³k³ + d³ 


=   d³k³(k³ + 1)   d³(k³ + 1)    


=   k³   1    


= k³




এখানে.

  b³ + c³   c³ + d³   = k³



সুতরাং বামপক্ষ = ডানপক্ষ = k³ (প্রমাণিত)।










খ) 

দেখাতে হবে:

(a² + b² + c²)(b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)²



বামপক্ষ:

(a² + b² + c²)(b² + c² + d²) 

= (d²k⁶ + d²k⁴ + d²k²) ( d²k⁴ + d²k² + d²)   [প্রদত্ত মান বসাই]

= d²k²(k⁴ + k² + 1) . d²(k⁴ + k² + 1)

=  d⁴k²(k⁴ + k² + 1)²




ডানপক্ষ:

(ab + bc + cd)²

= {(dk³)(dk²) + (dk²)(dk) + (dk)(d)}²

= (d²k⁵ + d²k³ + d²k)²

= {d²k(k⁴ + k² + 1)}²

= d⁴k²(k⁴ + k² + 1)²

= বামপক্ষ 



বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।


সুতরাং (ক) ও (খ) উভয়েই প্রমাণিত।

১০. x =    4ab1  a + b  হলে, দেখাও যে,  x + 2a  x - 2a  +  x + 2b  x - 2b  = 2 , a ≠ b

10.

প্রশ্ন:

x =   4ab  a + b  


দেখাতে হবে:

  x + 2a    x - 2a   +   x + 2b   x - 2b   = 2,   a ≠ b



প্রথম ভগ্নাংশটি সরল করি:

  x + 2a   x - 2a  



প্রথম ভগ্নাংশটির লব:

x + 2a =   4ab  a + b   + 2a     [দেওয়া আছে, x =   4ab  a + b   বসিয়ে পাই]


           =  4ab + 2a(a + b)        a + b  


           =   4ab + 2a² + 2ab            a + b   


           =   2a² + 6ab       a + b   


           =   2a(a + 3b)       a + b  





প্রথম ভগ্নাংশটির হর:

x - 2a =   4ab  a + b   - 2a    [দেওয়া আছে, x =   4ab  a + b   বসিয়ে পাই]


          =  4ab - 2a(a + b)         a + b  


          =   4ab - 2a² - 2ab            a + b   


          =   2ab - 2a²      a + b   


          =   2a(b - a)     a + b  

সুতরাং,

  x + 2a   x - 2a    

=      2a(a + 3b)      a + b       2a(b - a)     a + b        

=   2a(a + 3b)      a + b    ×       a + b   2a(b - a)    

=   a + 3b    b - a    



দ্বিতীয় ভগ্নাংশ:

  x + 2b   x - 2b  


দ্বিতীয় ভগ্নাংশটির লব:

x + 2b =   4ab  a + b   + 2b 


           =  4ab + 2b(a + b)         a + b  


           =   4ab + 2ab + 2b²            a + b   


           =   6ab + 2b²       a + b   


           =   2b(3a + b)       a + b  



দ্বিতীয় ভগ্নাংশটির হর:

x - 2b =   4ab  a + b   - 2b 


          =  4ab - 2b(a + b)          a + b  


          =   4ab - 2ab - 2b²           a + b   


          =   2ab - 2b²       a + b   


          =   2b(a - b)      a + b  





সুতরাং, দ্বিতীয় ভগ্নাংশ,

  x + 2b   x - 2b   


=       2b(3a + b)       a + b          2b(a - b)       a + b            


=   2b(3a + b)       a + b    ×     a + b  2b(a - b)    


=   3a + b     a - b    



যোগফল:

  x + 2a    x - 2a   +   x + 2b   x - 2b   


=   a + 3b    b - a   +   3a + b    a - b  

= -   a + 3b    a - b   +   3a + b    a - b       [লক্ষ্য করি,কারণ b - a = -(a - b) ]


=   -(a + 3b) + (3a + b)               a - b  

=  -a - 3b + 3a + b           a - b  


=   2a - 2b     a - b   


=   2(a - b)     a - b   


= 2 (কারণ a ≠ b)




✅ প্রমাণিত:

2

১১. x =  ³√ m + 1  + ³√ m - 1   ³√ m + 1  - ³√ m - 1   হলে, প্রমাণ করো যে, x³ - 3mx² + 3x - m = 0

11.

x =   ³√ m + 1   + ³√ m - 1     ³√ m + 1   - ³√ m - 1    


ধরি,

a = ³√ m + 1  , 

⇒ a³ = m + 1

এবং,
b = ³√ m - 1  

⇒ b³ = m - 1



তাহলে,

x =   a + b    a - b  




প্রথমে x থেকে    a + b    a - b   এর সম্পর্ক বের করি:

x =   a + b   a - b   

⟹ x(a - b) = a + b

⟹ xa - xb = a + b

⟹ xa - a = xb + b

⟹ a(x - 1) = b(x + 1)

⇒   a  b   =   x + 1   x - 1  



দ্বিতীয়ত, a³ ও b³ -এর সম্পর্ক ব্যবহার করি:

a³ - b³ 

= (m + 1) - (m-1) 

= 2



আবার, a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) 



এখন,  a = kb ধরলে   a   b   = k =   x + 1   x - 1   , তাহলে:


a = kb


⟹    a   b   = k 


⟹ k =    a   b   


⟹ k =    x + 1   x - 1   



এখন,

a³ - b³ = k³ b³ - b³ 


⟹ 2 = b³(k³ - 1) 


⟹ b³ =      2  k³ - 1  





এবং a³ = k³ b³ 


             =    2k³  k³ - 1  





তৃতীয়ত, a³ + b³ বের করি:

a³ + b³ =     2k³  k³ - 1   +      2  k³ - 1   


            =   2(k³ + 1)     k³ - 1  



কিন্তু a³ + b³ = (m + 1) + (m-1) 

                     = 2m


সুতরাং,

2m =   2(k³ + 1)     k³ - 1  

⟹ m =   k³ + 1   k³ - 1  



এখন k =   x + 1   x - 1   বসাই:

প্রথমে k³ = (   x + 1   x - 1   )³



তাহলে,

m =   (  x + 1   x - 1  )³ + 1    (  x + 1   x - 1  )³ - 1  

⟹ m =   (x + 1)³ + (x - 1)³   (x + 1)³ - (x - 1)³      [লব ও হরকে (x - 1)³ দিয়ে গুণ করি]


⟹ m =   [x³ + 3x² + 3x + 1] + [x³ - 3x² + 3x - 1]    [x³ + 3x² + 3x + 1] - [x³ - 3x² + 3x - 1]   


⟹ m =   x³ + 3x² + 3x + 1 + x³ - 3x² + 3x - 1    x³ + 3x² + 3x + 1 - x³ + 3x² - 3x + 1   


⟹ m =   2x³ + 6x    6x² + 2   


⟹ m =   2(x³ + 3x)   2(3x² + 1)   


⟹ m =   x³ + 3x  3x² + 1  




সমীকরণটি সাজাই:

m(3x² + 1) = x³ + 3x

⇒ 3m x² + m = x³ + 3x

⇒ 0 = x³ + 3x - 3m x² - m

⇒ x³ - 3m x² + 3x - m = 0




✅ প্রমাণিত।

x³ - 3m x² + 3x - m = 0

১২. x =  √ 2a + 3b  + √ 2a - 3b   √ 2a + 3b  - √ 2a - 3b   হলে, দেখাও যে, 3bx² - 4ax + 3b = 0

12.
আমরা দেওয়া পাই:

x =  √ 2a + 3b   + √ 2a - 3b    √ 2a + 3b   - √ 2a - 3b   


ধরি,

p = √ 2a + 3b  , 

q = √ 2a - 3b  



তাহলে,

x =   p + q   p - q  


প্রথমে x কে সরল করি:

 x =   p + q   p - q  


⇒ x =     (p + q)²      p² - q²       [লব ও হরকে p + q দিয়ে গুণ করি]


⇒ x =   p² + q² + 2pq       p² - q²      


⇒ x =   (√2a + 3b )² + (√2a - 3b)² + 2 . √2a + 3b . √2a - 3b                   (√2a + 3b )² - (√2a - 3b)²    


⇒ x =   2a + 3b + 2a - 3b + 2 . √(2a + 3b)(2a - 3b)                     (2a + 3b) - (2a - 3b)     


⇒ x =   4a + 2.√ 4a² - 6ab + 6ab - 9b²                 2a + 3b - 2a + 3b     


⇒ x =   4a + 2.√4a² - 9b²                  6b     


⇒ x =   2(2a + √4a² - 9b²  )              6b     


⇒ x =   2a + √4a² - 9b²                3b     




দ্বিতীয়ত, x ও   1   x - এর যোগফল বের করি:

  1   x   =            3b  2a + √ 4a² - 9b²    


⇒   1   x   =            3b (2a - √4a² - 9b² )   (2a + √ 4a² - 9b²) (2a - √ 4a² - 9b² )      [লব ও হর (2a - √4a² - 9b² ) দিয়ে গুন]


⇒   1   x   =   3b(2a - √4a² - 9b²)   (2a)² - (√ 4a² - 9b²)²   


⇒   1   x        =   3b(2a - √4a² - 9b²)      4a² - 4a² + 9b²  


⇒   1   x   =   3b(2a - √4a² - 9b²)               9b²   


⇒   1   x   =   2a - √4a² - 9b²            3b  




সুতরাং,

x +   1   x   =    2a + √4a² - 9b²                3b    +    2a - √4a² - 9b²            3b    

              =   2a + √4a² - 9b²  + 2a - √4a² - 9b²                           3b  

              =   4a    3b  




তৃতীয়ত, x -   1   x   বের করি:.

x -   1   x    =   2√4a² - 9b²           3b  



চতুর্থত, x² +   1   x²   বের করতে পারি:

x² +   1   x²   = (x +  1  x  )² - 2

                 = (  4a   3b  )² - 2

                 =   16a²    9b²   - 2




এখন, প্রমাণ করতে হবে:

3b x² - 4a x + 3b = 0

⟹ 3b x² + 3b = 4a x 

⟹ 3b(x² + 1) = 4a x 

⟹   x² + 1       x   =   4a   3b  

⟹   x²    x   +   1   x   =   4a   3b     

⟹ x +   1   x   =   4a   3b          [  x² + 1       x   = x +   1   x   ]


আমরা আগেই পেয়েছি,  x +   1   x   =   4a   3b  


সুতরাং,

  x² + 1        x   =   4a   3b  

⟹ 3b(x² + 1) = 4a x

⟹ 3b x² - 4a x + 3b = 0



✅ প্রমাণিত।

3b x² - 4a x + 3b = 0

১৩.  a² + b²  b² + c²  =  (a + b)²  (b + c)²  হলে, দেখাও যে, a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী।

13.

আমরা জানি, 

a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হলে   a   b   =   b   c   হবে।

প্রদত্ত আছে:

  a² + b²   b² + c²   =   (a + b)²   (b + c)²  

⟹ (a² + b²)(b + c)² = (b² + c²)(a + b)²     [ক্রস গুণ করি]

⟹ (a² + b²)(b² + 2bc + c²) = (b² + c²)(a² + 2ab + b²) 

⟹ a² b² + 2a² bc + a² c² + b⁴ + 2b³ c + b² c² =  a² b² + 2ab³ + b⁴ + a² c² + 2abc² + b² c²

⟹ 2a² bc + 2b³ c = 2ab³ + 2abc²

⟹ 2(a² bc + b³ c) = 2(ab³ + 2abc²)

⟹ a² bc + b³ c = ab³ + abc²    [উভয় পাশে ২ দ্বারা ভাগ]

⟹ a² bc - abc² + b³ c - ab³ = 0

⟹ abc(a - c) + b³(c - a) = 0

⟹ (a - c)(abc - b³) = 0

⟹ (a - c) · b(ac - b²) = 0


a, b, c ধনাত্মক ও b ≠ 0, এবং a = c শুধুমাত্র বিশেষ অবস্থা (যা সাধারণ ক্রমিক সমানুপাত না), তাই সাধারণ সমাধান:

ac - b² = 0 

⟹ b² = ac 

⟹   a   b   =   b  c  


অতএব a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী। (প্রমাণিত)

১৪.     x  b + c  =     y  c + a  =     z  a + b  হলে, প্রমাণ করো যে,

      a  y + z - x  =       b  z + x - y  =      c  x + y - z  |

14.

দেওয়া আছে,

    x  b + c   =     y  c + a   =     z  a + b   = k (ধরি)


তাহলে,

x = k(b + c),

y = k(c + a),

z = k(a + b)


প্রথম ভগ্নাংশ        a  y + z - x   নির্ণয় করি:

y + z - x

= k(c + a) + k(a + b) - k(b + c)

= k[(c + a) + (a + b) - (b + c)]

= k[c + a + a + b - b - c]

= k(2a) 

= 2ka


সুতরাং,

        a  y + z - x   =     a   2ka   =    1   2k  



দ্বিতীয় ভগ্নাংশ        b  z + x - y  :

z + x - y 

= k(a + b) + k(b + c) - k(c + a)

= k[a + b + b + c - c - a]

= k(2b) 

= 2kb

       b  z + x - y   =     b   2kb   =    1   2k  



তৃতীয় ভগ্নাংশ        c  x + y - z  :

x + y - z 

= k(b + c) + k(c + a) - k(a + b)

= k[b + c + c + a - a - b]

= k(2c) 

= 2kc



      c  x + y - z   

=     c   2kc   

=    1   2k  



সবকটি ভগ্নাংশের মান    1   2k   হওয়ায়,

       a  y + z - x   =        b  z + x - y   =        c  x + y - z  


(প্রমাণিত)

       a  y + z - x   =       b  z + x - y   =       c  x + y - z  

১৫.  bz - cy      a  =  cx - az      b  =  ay - bx      c  হলে, প্রমাণ করো যে,  x  y  =  y  b  =  z  c 

15.

প্রদত্ত আছে:

  bz - cy        a   =   cx - az       b   =   ay - bx        c   = k (ধরি)

তাহলে,

bz - cy = ak ..... (1)

cx - az = bk ..... (2)

ay - bx = ck ..... (3)




প্রথমে (1) নং সমীকরণ থেকে z বের করি:

bz = ak + cy 

⟹ z =   ak + cy        b  



(2) নং থেকে x বের করি:

cx = bk + az 

⟹ x =   bk + az        c  


(3) নং সমীকরণে x ও z বসাই:



x ও z -এর মান বসিয়ে আমরা y -এর জন্য সমীকরণ পাব, 
কিন্তু বরং x, y, z তিনটিকেই k ও a, b, c -এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।


লক্ষ্য: প্রমাণ করতে হবে   x   a   =   y   b   =   z   c   ।

(কারণ প্রশ্নে   x   y   =   y   b   লেখা সম্ভবত টাইপো, প্রকৃতপক্ষে   x   a   =   y   b   =   z   c   বোঝানো হয়েছে।)

পদ্ধতি: (1), (2), (3) কে যথাক্রমে a, b, c দিয়ে গুণ করে যোগ করি:

(1)...  abz - acy = a² k

(2)...  bcx - abz = b² k

(3)...  acy - bcx = c² k



বামপক্ষের যোগফল:

(abz - acy) + (bcx - abz) + (acy - bcx) = 0


ডানপক্ষের যোগফল:

a² k + b² k + c² k = k(a² + b² + c²)


তাই,

0 = k(a² + b² + c²)

যেহেতু a, b, c সব শূন্য নয় (অন্যথায় অনুপাত অনির্ণেয়), তাই a² + b² + c² > 0 ⇒ k = 0 ।

k = 0 হলে:

(1) bz - cy = 0 

⟹ bz = cy 

⟹   y   b   =   z   c  


(2) cx - az = 0 

⟹ cx = az 

⟹   z   c   =   x   a  


(3) ay - bx = 0 

⟹ ay = bx 

⟹   x   a   =   y   b  



সুতরাং,

  x   a   =   y   b   =   z   c  
(প্রমাণিত) 

১৬.  a + b - c    a + b  =  b + c - a    b + c  =  c + a - b    c + a  এবং a + b + c ≠ 0 হলে, প্রমাণ করো যে, a = b = c

16.

প্রদত্ত:

  a + b - c      a + b   =   b + c - a      b + c   =   c + a - b      c + a  

এবং a + b + c ≠ 0 ।



ধরি,

  a + b - c      a + b   =   b + c - a      b + c   =   c + a - b      c + a   = k


প্রথম সমতা থেকে:

a + b - c = k(a + b) 

⟹ a + b - c = k a + k b

⟹ a + b - c - k a - k b = 0

⟹ a(1 - k) + b(1 - k) - c = 0

⟹ (1 - k)(a + b) = c ..... (1)




দ্বিতীয় সমতা থেকে:

b + c - a = k(b + c) 

⟹ b + c - a = k b + k c

⟹ b + c - a - k b - k c = 0

⟹ b(1 - k) + c(1 - k) - a = 0

⟹ (1 - k)(b + c) = a ..... (2)




তৃতীয় সমতা থেকে:

c + a - b = k(c + a) 

⟹ c + a - b = k c + k a

⟹ c + a - b - k c - k a = 0

⟹ c(1 - k) + a(1 - k) - b = 0

⟹ (1 - k)(c + a) = b ..... (3)




(1), (2), (3) যোগ করি:

(1 - k)(a + b + b + c + c + a) = a + b + c

⟹ (1 - k) · 2(a + b + c) = a + b + c

⟹ 2(1 - k) = 1     [যেহেতু a + b + c ≠ 0 , উভয় পক্ষকে a + b + c দিয়ে ভাগ করে পাই]

⟹ 1 - k =  1  2  
⟹ k =  1  2 



k =   1  2  , বসিয়ে (1) নং সমীকরণে:

(1 -  1  2 )(a + b) = c 

⟹  1  2  (a + b) = c 

⟹ a + b = 2c



(2) নং সমীকরণে:

 1  2  (b + c) = a 

⟹ b + c = 2a



(3) নং সমীকরণে:

 1  2  (c + a) = b 

⟹ c + a = 2b



এখন a + b = 2c এবং b + c = 2a থেকে:

b = 2a - c প্রথম সমীকরণে বসাই:


a + (2a - c) = 2c 

⟹ 3a - c = 2c 

⟹ 3a = 3c 

⟹ a = c


a = c বসিয়ে a + b = 2c = 2a ⟹ b = a

সুতরাং a = b = c (প্রমাণিত)

a = b = c

১৭.        x  xa + yb + zc  =        y  ya + zb + xc  =        z  za + xb + yc  এবং x + y + z ≠ 0 হলে, দেখাও যে, প্রতিটি অনুপাত =       1  a + b + c  ।

17.

দেওয়া আছে:

          x  xa + yb + zc   =           y  ya + zb + xc   =          z  za + xb + yc  

এবং x + y + z ≠ 0 ।



ধরি, সাধারণ মান = k । অর্থাৎ,

           x  xa + yb + zc   = k 

⟹ x = k(xa + yb + zc) ..... (1)


           y  ya + zb + xc   = k 

⟹ y = k(ya + zb + xc) ..... (2)


           z  za + xb + yc   = k 

⟹ z = k(za + xb + yc) ..... (3)




(1), (2), (3) যোগ করি:

বামপক্ষ: x + y + z


ডানপক্ষ:

 k[(xa + yb + zc) + (ya + zb + xc) + (za + xb + yc)]

= k[xa+ ya + za + xb + yb + zb + xc + yc + zc]     [a , b ও c সহগ পাশাপাশি সাজানো] 

= k[(x + y + z)a + (x + y + z)b + (x + y + z)c]

= k(x + y + z)(a + b + c)



তাই,

x + y + z = k(x + y + z)(a + b + c)

⟹ 1 = k(a + b + c)    [যেহেতু x + y + z ≠ 0 , উভয় পক্ষকে x + y + z দিয়ে ভাগ করে পাই]

⟹ k =        1  a + b + c  




প্রতিটি অনুপাত k -এর সমান, তাই:

          x  xa + yb + zc   =           y  ya + zb + xc   =           z  za + xb + yc   =        1  a + b + c  

(প্রমাণিত)

১৮. যদি (a + b + c)p = (b + c - a)q = (c + a - b)r = (a + b - c)s হয়, তবে প্রমাণ করো যে,  1  q  +  1  r  +  1  s  =  1  p  ।

 18.

প্রদত্ত:

(a + b + c)p = (b + c - a)q = (c + a - b)r = (a + b - c)s



ধরি, এই সাধারণ মান = k । 
অর্থাৎ,

a + b + c =   k   p  ,

 b + c - a =   k   q  ,

 c + a - b =   k   r  ,

 a + b - c =   k   s  



এখন প্রথম দুইটি যোগ করি:

(a + b + c) + (b + c - a) =   k   p   +   k   q  

⇒ (a + b + c + b + c-a) =  k( 1  p  +  1  q ) 

⇒ 2b + 2c = k( 1  p  +  1  q ) 

⇒ 2(b + c) = k( 1  p  +  1  q ) ..... (1)



প্রথম ও তৃতীয় যোগ করি:

(a + b + c) + (c + a-b) =   k   p   +   k   r  

⇒ (a + b + c + c + a-b) = k( 1  p  +  1  r ) 

⇒ 2a + 2c = k( 1  p  +  1  r ) 

⇒ 2(a + c) = k( 1  p  +  1  r ) ..... (2)



প্রথম ও চতুর্থ যোগ করি:

(a + b + c) + (a + b-c) =   k   p   +   k   s  

⇒ (a + b + c + a + b-c) = = k( 1  p  +  1  s )

⇒ 2a + 2b = = k( 1  p  +  1  s ) 

⇒ 2(a + b) = k( 1  p  +  1  s ) ..... (3)



এখন (1), (2), (3) যোগ করি:

2(b + c) + 2(a + c) + 2(a + b) = k[( 1  p  +  1  q ) + ( 1  p  +  1  r ) + ( 1  p  +  1  s )]

⇒ 2(b + c + a + c + a + b) = k[ 1  p  +  1  q  +  1  p  +  1  r  +  1  p  +  1  s ]

⇒ 2(2a + 2b + 2c) =  k[  3  p  +  1  q  +  1  r  +  1  s  ]

⇒ 4(a + b + c) =  k[  3  p  +  1  q  +  1  r  +  1  s  ]

⇒   4k    p   = k(  3  p  +  1  q  +  1  r  +  1  s  )       [কিন্তু a + b + c =   k   p   , তাই বামপক্ষ 4 ·   k   p   ]

⇒   4   p   =  3  p  +  1  q  +  1  r  +  1  s       [তাই k বাদ দিয়ে]

⇒   4   p   -  3  p  =  1  q  +  1  r  +  1  s 

⇒  1  p  =  1  q  +  1  r  +  1  s 



অতএব,

 1  p  =  1  q  +  1  r  +  1  s   

(প্রমাণিত)

১৯. যদি lx = my = nz হয়, তবে দেখাও যে,   x²  yz  +   y²  zx  +   z²  xy  =   mn     l²  +    nl    m²  +   lm    n²  ।

19.

প্রদত্ত: lx = my = nz 


ধরি,

 lx = my = nz = k (একটি অশূন্য ধ্রুবক)



তাহলে:

x =   k   l,

y =   k  m  , 

 z =   k   n  .  



বামপক্ষ:

   x²   yz   +    y²   zx   +    z²   xy  


একটি পদ নিই:

    x²    yz      =      ( k  l )²    k  m   ·   k   n    

            =       k²    l²        k²  mn   

            =   k²   l²  ·   mn    k²   

            =    mn      l²  




একইভাবে,

⇒     y²    zx   =    (   k   m   )²       k   n   ·  k  l   


             =      k²    m²        k²   nl    


            =     nl     m².  


এবং


⇒    z²    xy   =     (  k   n  )²     k  l  ·   k  m    



              =      k²   n²         k²  lm     



             =    lm     n²    





যোগফল:

   x²   yz   +    y²   zx   +    z²   xy   =    mn      l²   +    nl    m²   +    lm     n²  


এটি ডানপক্ষের সমান। (প্রমাণিত)

   mn     l²   +    nl    m²   +    lm    n²  

২০. যদি  p  q  =  a²  b²  এবং  a  b  =  √ a + q   √ a - q   হয়, তবে দেখাও যে,  p + q     a  =  p - q     q  ।

20.


প্রদত্ত:

(1)   P   Q   =   a²  b²  



(2)   a   b   =   √ a + q     √ a - q    





প্রথমে (2) নং সমীকরণ:


   a   b   =   √ a + q     √ a - q     

⇒   a²   b²   =   a + q  a - q    [উভয় পক্ষ বর্গ করি]

⇒   P  Q   =   a + q   a - q   ..... (3)    [(1) থেকে   P  Q   =   a²  b²   , সুতরাং:]





(3) থেকে পাই:

  P   Q   =   a + q   a - q  

⇒   p + q   p - q   =   (a + q) + (a - q)   (a + q) - (a - q)     [যৌগিক ও ভঙ্গুর অনুপাতের সূত্র ব্যবহার করি]

⇒   p + q   p - q   =   2a   2q   

⇒   p + q   p - q   =   a   q    

⇒ q(p + q) = a(p - q)   [ক্রস গুণ করে]

⇒  q(p + q)       aq  =   a(p - q)        aq       [উভয় পক্ষকে aq দিয়ে ভাগ করি]

⇒   p + q      a   =   p - q      q  




✅ প্রমাণিত।

  p + q      a   =   p - q     q