নিচের সরল সহসমীকরণগুলো সমঞ্জস্য/অসমঞ্জস্য, পরস্পর নির্ভরশীল/অনির্ভরশীল কিনা যুক্তিসহ উল্লেখ করো এবং এগুলোর সমাধানের সংখ্যা নির্দেশ করো:
১. x - y = 4
x + y = 10
১.
x - y = 4
x + y = 10
সমঞ্জস্যতা পরীক্ষা
দুটি সমীকরণের বামপক্ষের সহগগুলির অনুপাত:
প্রথম সমীকরণ: 1x - 1y = 4
দ্বিতীয় সমীকরণ: 1x + 1y = 10
সহগ ম্যাট্রিক্সের জন্য:
a1 = 1, b1 = -1
a2 = 1, b2 = 1
c1 = 4, c2 = 10
অনুপাত:
a1 a2 = 1 1 = 1,
b1 b2 = -1 1 = -1
এখানে a1 a2 ≠ b1 b2 ⇒ সহগ অনুপাত সমান না হওয়ায় অদ্বিতীয় সমাধান আছে।
এবং নির্ণায়ক Δ
= a1 b2 - a2 b1
= 1 × 1 - 1 × (-1)
= 1 + 1
= 2 ≠ 0
সমাধানের সংখ্যা
নির্ণায়ক অশূন্য ⇒ সমীকরণদ্বয় স্বাধীন ও একক সমাধান আছে।
সমাধান করি:
যোগ করে:
x - y + x + y = 4 + 10
⇒ 2x = 14
⇒ x = 7
y এর মান বের করি
7 + y = 10
⇒ y = 3
নির্ভরশীলতা
যেহেতু নির্ণায়ক অশূন্য, সুতরাং পরস্পর অনির্ভরশীল।
সমঞ্জস্যতা
সমাধান পাওয়া গেছে ⇒ সমঞ্জস্য।
সারসংক্ষেপ (শুধু প্রথম প্রশ্নের জন্য)
• সমঞ্জস্যতা: সমঞ্জস্য
• নির্ভরশীলতা: অনির্ভরশীল
• সমাধানের সংখ্যা: একটি অনন্য সমাধান (7, 3)
যদি প্রশ্নে অন্য সমীকরণ থাকতো (যেমন ২য় প্রশ্ন), দয়া করে সেটাও দিলে পুরো সেটের উত্তর দিতে পারব। প্রথমটির উত্তর সম্পূর্ণ।
২. 2x + y = 3
4x + 2y = 6
২.
2x + y = 3
4x + 2y = 6
সমঞ্জস্যতা পরীক্ষা
প্রথম সমীকরণ: 2x + 1y = 3
দ্বিতীয় সমীকরণ: 4x + 2y = 6
সহগ ও ধ্রুবকের অনুপাত দেখি:
a1 a2 = 2 4 = 1 2 ,
b1 b2 = 1 2 ,
c1 c2 = 3 6 = 1 2
এখানে সব অনুপাত সমান:
a1 a2 = b1 b2 = c1 c2
এর মানে দ্বিতীয় সমীকরণটি প্রথমটির গুণিতক (২ দিয়ে গুণ করলে পাওয়া যায়)।
সমাধানের সংখ্যা
দুটি সমীকরণ আসলে একই সরলরেখা নির্দেশ করে (অসীম সংখ্যক সাধারণ বিন্দু)।
সুতরাং অসীম সংখ্যক সমাধান আছে।
যেমন: x = t, , y = 3 - 2t , যেখানে t যেকোনো বাস্তব সংখ্যা।
নির্ভরশীলতা
যেহেতু একটি সমীকরণ অপরটির ধ্রুব গুণিতক, এরা পরস্পর নির্ভরশীল।
সমঞ্জস্যতা
অন্তত একটি সমাধান আছে ⇒ সমঞ্জস্য।
সারসংক্ষেপ (২ নং প্রশ্নের উত্তর)
• সমঞ্জস্যতা: সমঞ্জস্য
• নির্ভরশীলতা: পরস্পর নির্ভরশীল
• সমাধানের সংখ্যা: অসীম সংখ্যক
৩. x - y - 4 = 0
3x - 3y - 10 = 0
৩.
x - y - 4 = 0
3x - 3y - 10 = 0
প্রথমে সমীকরণ দুটিকে সাজাই:
x - y = 4 ..... (1)
3x - 3y = 10 ..... (2)
সমঞ্জস্যতা পরীক্ষা
সহগ ও ধ্রুবকের অনুপাত নির্ণয় করি:
a1 a2 = 1 3 ,
b1 b2 = -1 -3 = 1 3 ,
c1 c2 = 4 10 = 2 5
এখানে,
a1 a2 = b1 b2 = 1 3
কিন্তু c1 c2 = 2 5 ≠ 1 3
অর্থাৎ সহগগুলোর অনুপাত সমান, কিন্তু ধ্রুবকের অনুপাত ভিন্ন।
জ্যামিতিক ব্যাখ্যা
দুটি সমীকরণ সমান্তরাল সরলরেখা বোঝায়:
প্রথম সমীকরণ: x - y = 4
দ্বিতীয় সমীকরণ:
3x - 3y = 10
⇒ x - y = 10 3
ঢাল ( m = 1 ) একই, কিন্তু y -ছেদক আলাদা (একটির জন্য -4 , অপরটির জন্য - 10 3 )।
সমাধানের সংখ্যা
সাধারণ বিন্দু নেই ⇒ কোনো সমাধান নেই (শূন্য সমাধান)।
নির্ভরশীলতা ও সমঞ্জস্যতা
• পরস্পর নির্ভরশীল? না, কারণ এরা সমান্তরাল কিন্তু পাশাপাশি, অভিন্ন নয়। নির্ভরশীলতা তখনই যদি একটির ধ্রুব গুণিতক অপরটি হয়; এখানে গুণিতক শুধু x,y -এর জন্য মেলে, c -এর জন্য মেলে না। তাই অনির্ভরশীল।
• সমঞ্জস্যতা: কোনো সমাধান নেই ⇒ অসমঞ্জস্য।
সারসংক্ষেপ (৩ নং প্রশ্নের উত্তর)
• সমঞ্জস্যতা: অসমঞ্জস্য
• নির্ভরশীলতা: অনির্ভরশীল
• সমাধানের সংখ্যা: ০ (শূন্য)
8. 3x + 2y = 0
6x + 4y = 0
4.
3x + 2y = 0
6x + 4y = 0
সমঞ্জস্যতা পরীক্ষা
প্রথম সমীকরণ: 3x + 2y = 0
দ্বিতীয় সমীকরণ: 6x + 4y = 0
সহগ ও ধ্রুবকের অনুপাত নির্ণয় করি:
a1 a2 = 3 6 = 1 2 ,
b1 b2 = 2 4 = 1 2 ,
c1 c2 = 0 0
এখানে c1 = 0, c2 = 0 — উভয় ধ্রুবক শূন্য। শূন্য দিয়ে ভাগ অনির্ণেয়, তাই সরাসরি c1 c2 বের করা যায় না।
বরং লক্ষ করি, দ্বিতীয় সমীকরণ = 2 x (প্রথম সমীকরণ)।
সমীকরণের প্রকৃতি
দ্বিতীয় সমীকরণটি প্রথমটির ধ্রুব গুণিতক, এবং ধ্রুবক পদ 0 থাকায় গুণিতকের জন্য এটি অভিন্ন সমীকরণ।
আসলে,
প্রথম সমীকরণ:
3x + 2y = 0
⇒ y = - 3 2 x
দ্বিতীয় সমীকরণ:
6x + 4y = 0
⇒ 3x + 2y = 0 (২ দিয়ে ভাগ করে)
⇒ একই সমীকরণ।
সমাধানের সংখ্যা
উভয় সমীকরণ একই সরলরেখা নির্দেশ করে যা মূলবিন্দুগামী।
এতে অসীম সংখ্যক বিন্দু আছে।
সাধারণ সমাধান:
y = - 3 2 x বা x = t, , y = - 3 2 t , যেখানে t যেকোনো বাস্তব সংখ্যা।
সুতরাং অসীম সংখ্যক সমাধান আছে।
নির্ভরশীলতা ও সমঞ্জস্যতা
• নির্ভরশীলতা: যেহেতু একটি সমীকরণ অপরটির ধ্রুব গুণিতক, সুতরাং পরস্পর নির্ভরশীল।
• সমঞ্জস্যতা: অন্তত একটি সমাধান আছে (আসলে অসীম সংখ্যক) ⇒ সমঞ্জস্য।
সারসংক্ষেপ (৮ নং প্রশ্নের উত্তর)
• সমঞ্জস্যতা: সমঞ্জস্য
• নির্ভরশীলতা: পরস্পর নির্ভরশীল
• সমাধানের সংখ্যা: অসীম সংখ্যক
৫. 3x + 2y = 0
9x - 6y = 0
৫.
3x + 2y = 0
9x - 6y = 0
সমঞ্জস্যতা পরীক্ষা
প্রথম সমীকরণ: 3x + 2y = 0
দ্বিতীয় সমীকরণ: 9x - 6y = 0
সহগ ও ধ্রুবকের অনুপাত নির্ণয় করি:
a1 a2 = 3 9 = 1 3 ,
b1 b2 = 2 -6 = - 1 3 ,
c1 c2 = 0 0 (অনির্ণেয়)
এখানে,
c1 = 0,
c2 = 0 — উভয় ধ্রুবক শূন্য।
কিন্তু a1 a2 ≠ b1 b2 (কারণ 1 3 ≠ - 1 3 ).
নির্ণায়ক পদ্ধতি
নির্ণায়ক:
Δ = a1 b2 - a2 b1
= 3 × (-6) - 9 × 2
= -18 - 18
= -36 ≠ 0
নির্ণায়ক অশূন্য হওয়ায় সমীকরণদ্বয় স্বাধীন এবং একটি অনন্য সমাধান থাকবে — যদি সমীকরণদ্বয় সমঞ্জস্য হয়।
সমাধান নির্ণয়
উভয় সমীকরণের ধ্রুবক পদ 0 হওয়ায় এরা সমজাতীয় (homogeneous) সমীকরণ।
প্রথম সমীকরণ:
3x + 2y = 0
⇒ y = - 3 2 x
দ্বিতীয় সমীকরণ:
9x - 6y = 0
⇒ 9x = 6y
⇒ y = 3 2 x
একইসাথে y = - 3 2 x এবং y = 3 2 x .
তাহলে
9x - 6y = 0
⇒ 9x - 6 . 3 2 x = 0
⇒ 9x - 9x = 0
⇒ y = 0
সুতরাং একমাত্র সমাধান (0, 0) .
নির্ভরশীলতা ও সমঞ্জস্যতা
- নির্ভরশীলতা: Δ ≠ 0 ⇒ সমীকরণদ্বয় অনির্ভরশীল (স্বাধীন)।
- সমঞ্জস্যতা: একটি সমাধান (শূন্য সমাধান) আছে ⇒ সমঞ্জস্য।
সারসংক্ষেপ (৫ নং প্রশ্নের উত্তর)
- সমঞ্জস্যতা: সমঞ্জস্য
- নির্ভরশীলতা: অনির্ভরশীল
- সমাধানের সংখ্যা: একটি অনন্য সমাধান (0, 0)
৬. 5x - 2y - 16 = 0
3x - 6 5 y = 2
6.
প্রথম সমীকরণ:
5x - 2y - 16 = 0
⇒ 5x - 2y = 16
এবং
দ্বিতীয় সমীকরণটি:
3x - 6 5 y = 2
⇒ 15x - 6y = 10 [ভগ্নাংশ দূর করার জন্য ৫ দিয়ে গুণ করি]
তাহলে সমীকরণগুলো হলো:
5x - 2y = 16 ..... (1)
15x - 6y = 10 ..... (2)
সমঞ্জস্যতা পরীক্ষা
সহগ ও ধ্রুবকের অনুপাত:
a1 a2 = 5 15 = 1 3 ,
b1 b2 = -2 -6 = 1 3 ,
c1 c2 = 16 10 = 8 5
এখানে
a1 a2 = b1 b2 = 1 3 ,
কিন্তু c1 c2 = 8 5 ≠ 1 3
সুতরাং সহগ অনুপাত সমান, কিন্তু ধ্রুবক পদ অনুপাত ভিন্ন।
সমাধানের সংখ্যা
এটি সমান্তরাল রেখার শর্ত:
প্রথম সমীকরণ: 5x - 2y = 16
দ্বিতীয় সমীকরণ:
15x - 6y = 10
v⇒ 5x - 2y = 10 3 [৩ দিয়ে ভাগ করলে]
দুটি রেখার ঢাল একই ( 5 2 ) কিন্তু ছেদক ভিন্ন ⇒ ছেদ করে না ⇒ কোনো সমাধান নেই।
নির্ভরশীলতা ও সমঞ্জস্যতা
- নির্ভরশীলতা: অনির্ভরশীল (ঢাল একই কিন্তু অভিন্ন নয় বলে নির্ভরশীল নয়)
- সমঞ্জস্যতা: অসমঞ্জস্য (কোন সমাধান নেই)
সারসংক্ষেপ (৬ নং প্রশ্নের উত্তর)
- সমঞ্জস্যতা: অসমঞ্জস্য
- নির্ভরশীলতা: অনির্ভরশীল
- সমাধানের সংখ্যা: ০ (শূন্য)
৭. - 1 2 x + y = - 1
x - 2y = 2
7.
প্রশ্নের প্রথম সমীকরণটি:
- 1 2 x + y = -1
⇒ - x + 2y = -2 [২ দিয়ে গুণ করি]
এবং দ্বিতীয় সমীকরণ:
x - 2y = 2
তাহলে সিস্টেমটি হলো:
-x + 2y = -2 ..... (1)
x - 2y = 2 ..... (2)
সমঞ্জস্যতা পরীক্ষা
দুটি সমীকরণ যোগ করি:
(-x + 2y) + (x - 2y) = -2 + 2
⇒ 0 = 0
সুতরাং সমীকরণদ্বয় পরস্পর অনুরূপ (দ্বিতীয় সমীকরণটি প্রথমটির -1 গুণিতক নয় বরং সরাসরি যোগ করলে ০=০ পাচ্ছি) — আসলে দেখা যাক:
(1) -x + 2y = -2
(2) x - 2y = 2
⇒ - x + 2y = -2 [সমীকরণটিকে -1 দিয়ে গুণ করি]
এটি (1) নং সমীকরণের সমান।
সুতরাং সমীকরণদ্বয় অভিন্ন।
সমাধানের সংখ্যা
অভিন্ন সমীকরণ ⇒ অসীম সংখ্যক সমাধান।
সমাধান সেট: x - 2y = 2 ⇒ x = 2 + 2y , অথবা y = t, x = 2 + 2t যেখানে t ∈ R .
নির্ভরশীলতা ও সমঞ্জস্যতা
- নির্ভরশীলতা: একটি সমীকরণ অপরটির ধ্রুব গুণিতক ⇒ পরস্পর নির্ভরশীল
- সমঞ্জস্যতা: অন্তত একটি সমাধান আছে ⇒ সমঞ্জস্য
সারসংক্ষেপ (৭ নং প্রশ্নের উত্তর)
- সমঞ্জস্যতা: সমঞ্জস্য
- নির্ভরশীলতা: পরস্পর নির্ভরশীল
- সমাধানের সংখ্যা: অসীম সংখ্যক
৮. - 1 2 x - y = 0
x - 2y = 0
৮.
- 1 2 x - y = 0
⇒ -x - 2y = 0 [২ দিয়ে গুণ করি]
তাহলে সমীকরণদ্বয় হলো :
-x - 2y = 0 ..... (1)
x - 2y = 0 ..... (2)
সমাধান নির্ণয়
(1) ও (2) যোগ করি:
(-x - 2y) + (x - 2y) = 0 + 0
⇒ -4y = 0
⇒ y = 0
y = 0 বসিয়ে (2) নং সমীকরণে:
x - 2(0) = 0
⇒ x = 0
সুতরাং একমাত্র সমাধান (0, 0) .
নির্ভরশীলতা পরীক্ষা
নির্ণায়ক পদ্ধতি:
a1 = - 1 2 ,
b1 = -1,
a2 = 1,
b2 = -2
Δ = a1 b2 - a2 b1
= (- 1 2 )(-2) - (1)(-1)
= 1 + 1
= 2 ≠ 0
নির্ণায়ক অশূন্য ⇒ সমীকরণদ্বয় অনির্ভরশীল (স্বাধীন)।
সমঞ্জস্যতা
একটি সমাধান (শূন্য সমাধান) আছে ⇒ সমঞ্জস্য।
সারসংক্ষেপ (৮ নং প্রশ্নের উত্তর)
- সমঞ্জস্যতা: সমঞ্জস্য
- নির্ভরশীলতা: অনির্ভরশীল
- সমাধানের সংখ্যা: একটি অনন্য সমাধান (0, 0)
৯. - 1 2 x + y = - 1
x + y = 5
৯.
- 1 2 x + y = -1
x + y = 5
প্রথম সমীকরণ থেকে ভগ্নাংশ দূর করা
প্রথম সমীকরণটিকে ২ দিয়ে গুণ করি:
- x + 2y = -2
তাহলে সিস্টেমটি হলো:
-x + 2y = -2 ..... (1)
x + y = 5 ..... (2)
সমাধান নির্ণয়
(1) ও (2) যোগ করি:
(-x + 2y) + (x + y) = -2 + 5
⇒ 3y = 3
⇒ y = 1
y = 1 বসিয়ে (2) নং সমীকরণে:
x + 1 = 5
⇒ x = 4
সুতরাং একমাত্র সমাধান (4, 1) .
নির্ভরশীলতা পরীক্ষা
নির্ণায়ক পদ্ধতি:
a1 = - 1 2 ,
b1 = 1,
a2 = 1,
b2 = 1
Δ = a1 b2 - a2 b1
= (- 1 2 )(1) - (1)(1)
= - 1 2 - 1
= - 3 2 ≠ 0
নির্ণায়ক অশূন্য ⇒ সমীকরণদ্বয় অনির্ভরশীল (স্বাধীন)।
সমঞ্জস্যতা
একটি সমাধান আছে ⇒ সমঞ্জস্য।
সারসংক্ষেপ (৯ নং প্রশ্নের উত্তর)
- সমঞ্জস্যতা: সমঞ্জস্য
- নির্ভরশীলতা: অনির্ভরশীল
- সমাধানের সংখ্যা: একটি অনন্য সমাধান (4, 1)
১০. ax - cy = 0
cx - ay = c2 - a2
১০.
ax - cy = 0
cx - ay = c2 - a2
এখানে a, c ধ্রুবক, সম্ভবত a ≠ 0, c ≠ 0 বা শর্ত দেওয়া নেই; আমরা সাধারণভাবে বিশ্লেষণ করব।
সমীকরণগুলো সাজানো
a x - c y = 0 ..... (1)
c x - a y = c2 - a2 ..... (2)
নির্ভরশীলতা ও নির্ণায়ক
নির্ণায়ক:
Δ = a · (-a) - c · c
= -a2 - c2
= -(a2 + c2)
এখানে a2 + c2 = 0 হবে শুধুমাত্র যদি a = 0 এবং c = 0 (বাস্তব সংখ্যার জন্য)।
ক্ষেত্র ১: a2 + c2 ≠ 0 (অন্তত একটি অশূন্য)
Δ ≠ 0 ⇒ একটি অনন্য সমাধান থাকবে (যদি সমঞ্জস্য হয়)
সমাধান বের করি:
(1) থেকে x = c a y (যদি a ≠ 0; তবে a=0 হলে আলাদা দেখব)
(2) তে বসাই:
c · c a y - a y = c2 - a2
⇒ c2 a y - a y = c2 - a2
⇒ y ( c2 - a2 a ) = c2 - a2
⇒ y = a(c2 - a2) c2 - a2
⇒ y = a
যদি y = a, তাহলে,
x = c a · a
= c
যদি c2 - a2 = 0 ⇒ c = ± a:
তখন বামপক্ষ y · 0 = 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ y যে কোনো মান হতে পারে, তবে (1) সমীকরণ a x - c y = 0 থেকে x নির্ধারিত হবে।
আমরা c = a এবং c = -a আলাদাভাবে পরীক্ষা করব।
বিশেষ ক্ষেত্র
(i) c = a (এবং a ≠ 0)
(1) a x - a y = 0
⇒ x - y = 0
⇒ x = y
(2) a x - a y
= a2 - a2
= 0
⇒ 0 = 0
সুতরাং অসীম সংখ্যক সমাধান: x = t, y = t
সমঞ্জস্য, নির্ভরশীল।
আবার,
(ii) c = -a
(1) a x - (-a) y
⇒ a x + a y = 0
⇒ x + y = 0
⇒ y = -x
(2) (-a)x - a y = (-a)2 - a2
⇒ -a x - a y = 0
⇒ -a(x + y) = 0
⇒ x + y = 0 ⇒ একই সমীকরণ।
তাই অসীম সমাধান: x = t, y = -t
সমঞ্জস্য, নির্ভরশীল।
ক্ষেত্র a=0, c≠ 0
(1) 0 · x - c y = 0
⇒ -c y = 0
⇒ y = 0
(2) c x - 0 · y
= c2 - 0
= c2
⇒ x = c
একটি সমাধান (c, 0) , অনির্ভরশীল, সমঞ্জস্য।
ক্ষেত্র a = 0, c = 0
উভয় সমীকরণ 0 = 0 এবং 0 = 0
সব (x,y) সমাধান, অসীম, নির্ভরশীল, সমঞ্জস্য।
মূল সাধারণ উত্তর (যখন a2 + c2 ≠ 0 ও c2 ≠ a2)
উপরে দেখলাম, c2-a2 ≠ 0 ⇒ অনন্য সমাধান (c, a) ।
সারসংক্ষেপ (১০ নং প্রশ্নের উত্তর)
সাধারণ ক্ষেত্র (a2 + c2 ≠ 0 ও c2 ≠ a2):
• সমঞ্জস্যতা: সমঞ্জস্য
• নির্ভরশীলতা: অনির্ভরশীল
• সমাধানের সংখ্যা: একটি অনন্য সমাধান (c, a)
যখন c = ± a (এবং a ≠ 0):
• সমঞ্জস্যতা: সমঞ্জস্য
• নির্ভরশীলতা: পরস্পর নির্ভরশীল
• সমাধানের সংখ্যা: অসীম সংখ্যক
যখন a = 0, c ≠ 0:
• সমঞ্জস্যতা: সমঞ্জস্য
• নির্ভরশীলতা: অনির্ভরশীল
• সমাধানের সংখ্যা: একটি (c, 0)
যখন a = 0, c = 0:
• সমঞ্জস্যতা: সমঞ্জস্য
• নির্ভরশীলতা: পরস্পর নির্ভরশীল
• সমাধানের সংখ্যা: অসীম
যেহেতু প্রশ্নে a, c ধ্রুবক কিন্তু মান উল্লেখ নেই, সাধারণ উত্তর হলো (সবচেয়ে সাধারণ ক্ষেত্র c2 ≠ a2, a2+c2 ≠ 0 ধরে):
সমঞ্জস্য, অনির্ভরশীল, একটি অনন্য সমাধান (c, a)
