১. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। এর অপর বাহুদ্বয়ের একটি বাহু অপরটির 3 4 অংশ হলে, বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
1.
ধরা যাক,
ত্রিভুজের বাহু দুইটির একটি = x মিটার
এবং অপরটি = 3x 4 মিটার।
সমকোণী ত্রিভুজের পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে:
⇒ x2 + ( 3x 4 )2 = 252
⇒ x2 + 9x2 16 = 625
⇒ 16x2 + 9x2 16 = 625
⇒ 25x2 16 = 625
⇒ 25x2 = 625 × 16
⇒ x2 = 625 × 16 25
⇒ x2 = 25 × 16
⇒ x2 = 400
⇒ x = 20 (দৈর্ঘ্য ধনাত্মক)
সুতরাং,
একটি বাহু = 20 মিটার,
অপর বাহু = 3 4 × 20 = 15 মিটার।
উত্তর: বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য 20 মিটার ও 15 মিটার।
২. 20 মিটার লম্বা একটি মই দেওয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেওয়াল থেকে কত দূরে সরালে ওপরের প্রান্ত 4 মিটার নিচে নামবে।
2.
আমরা ধাপে ধাপে সমাধান করব।
প্রাথমিক অবস্থা বের করা
মইটির দৈর্ঘ্য AB = 20 মিটার।
এটি দেওয়াল বরাবর খাড়াভাবে রাখা আছে, তাই মইটির ওপরের প্রান্ত B দেওয়ালের ওপরে এবং নিচের প্রান্ত A দেওয়ালের গোড়ায় (মাটিতে) অবস্থিত।
তাহলে দেওয়ালের উচ্চতা h = 20 মিটার।
মইয়ের গোড়া দেওয়াল থেকে x মিটার দূরে সরানো
মইটির গোড়া সরানোর পরে ওপরের প্রান্ত 4 মিটার নিচে নামে।
তাই ওপরের প্রান্তের নতুন উচ্চতা হবে:
hnew = 20 - 4 = 16 মিটার
মইটি এখনও 20 মিটার লম্বা, তবে এটি আনত অবস্থায় আছে।
পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগ
মই, মাটি ও দেওয়াল একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে, যেখানে:
অতিভুজ = মইয়ের দৈর্ঘ্য = 20 মিটার
লম্ব = দেওয়ালের উচ্চতা = 16 মিটার
ভূমি = গোড়ার দূরত্ব দেওয়াল থেকে = x মিটার (যা বের করতে হবে)
পিথাগোরাসের সূত্র:
x2 + 162 = 202
⇒ x2 + 256 = 400
⇒ x2 = 400 - 256 = 144
⇒ x = 12 (দৈর্ঘ্য ধনাত্মক)
উত্তর: মইটির গোড়া দেওয়াল থেকে ১২ মিটার দূরে সরাতে হবে।
৩. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 16 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 5 6 অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
3.
ধরি,
ত্রিভুজের ভূমি b মিটার।
প্রশ্নমতে, সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = 5 6 b মিটার।
পরিসীমা,
b + 5 6 b + 5 6 b = 16
⇒ b + 10 6 b = 16
⇒ b + 5 3 b = 16
⇒ 3b + 5b 3 = 16
⇒ 8b 3 = 16
⇒ 8b = 48
⇒ b = 6
সমান বাহু a = 5 6 × 6 = 5 মিটার।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
Δ = b 4 √ 4a2 - b2
⇒ Δ = 6 4 √ 4 × 52 - 62
⇒ Δ = 1.5 × √ 4 × 25 - 36
⇒ Δ = 1.5 × √ 100 - 36
⇒ Δ = 1.5 × √ 64
⇒ Δ = 1.5 × 8 = 12
⇒ Δ = 12
উত্তর: ক্ষেত্রফল 12 বর্গমিটার।
৪. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 25 সে.মি, 27 সে.মি. এবং পরিসীমা 84 সে.মি.। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
4.
প্রথমে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য বের করি।
প্রথম বাহু a = 25 সেমি,
দ্বিতীয় বাহু b = 27 সেমি,
পরিসীমা P = a + b + c = 84 সেমি।
c = 84 - (25 + 27)
= 84 - 52
= 32 সেমি
এখন হেরনের সূত্র প্রয়োগ করি:
s = P 2
= 84 2
= 42 সেমি
ক্ষেত্রফল:
Δ = √ s(s - a)(s - b)(s - c)
⇒ Δ = √ 42 × (42-25) × (42-27) × (42-32)
⇒ Δ = √ 42 × 17 × 15 × 10
পদক্ষেপে গুণ করি:
42 × 17 = 714
15 × 10 = 150
714 × 150 = 714 × (100 + 50)
= 71400 + 35700
= 107100
তাহলে,
Δ = √ 107100
107100 -এর উৎপাদক বিশ্লেষণ:
107100 = 1071 × 100
= (3 × 357) × 100
= 3 × 3 × 7 × 17 × 100
= 32 × 7 × 17 × 102
সুতরাং
107100 = 32 × 7 × 17 × 102
বর্গমূল:
√ 107100
= 3 × 10 × √ 7 × 17
= 30 × √ 119
√ 119 ≈ 10.9087
Δ ≈ 30 × 10.9087 = 327.261 বর্গ সেমি
উত্তর: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 30√ 119 বর্গ সেমি (প্রায় 327.26 বর্গ সেমি)।
৫. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 6√ 3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
5.
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার।
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল √ 3 4 a2 ।
প্রত্যেক বাহু 2 মিটার বাড়ানো হলে, নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য a + 2 মিটার।
নতুন ক্ষেত্রফল √ 3 4 (a + 2)2 ।
প্রশ্নমতে:
√ 3 4 (a + 2)2 - √ 3 4 a2 = 6√ 3
⇒ √ 3 { (a + 2)2 4 - a2 4 } = 6√ 3
⇒ (a + 2)2 4 - a2 4 = 6 [√ 3 কাটিয়ে পাই]
⇒ (a + 2)2 - a2 4 = 6
⇒ a2 + 4a + 4 - a2 4 = 6
⇒ 4a + 4 4 = 6
⇒ a + 1 = 6
⇒ a = 5
উত্তর: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার।
৬. একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 26 মিটার, 28 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 182 বর্গমিটার হলে, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় করো।
6.
ধরি,
ত্রিভুজের বাহু দুটি a = 26 মিটার,
b = 28 মিটার
এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ C ।
ক্ষেত্রফলের সূত্র:
Δ = 1 2 ab sin C
প্রদত্ত Δ = 182 বর্গমিটার।
⇒ 1 2 × 26 × 28 × sin C = 182
⇒ 13 × 28 × sin C = 182
⇒ 364 sin C = 182
⇒ sin C = 182 364
⇒ sin C = 1 2
⇒ C = 30° অথবা 150°
যেহেতু ত্রিভুজের বাহু 26 ও 28 দৈর্ঘ্যের, ক্ষেত্রফল ধনাত্মক, উভয় কোণই সম্ভব — কিন্তু সাধারণভাবে বাহু দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ 150° হলে তৃতীয় বাহু বড় হবে এবং ত্রিভুজ স্থূলকোণী হবে, যা অস্বাভাবিক নয়। তবে কোনো বাধ্যবাধকতা না থাকায় আমরা উভয়টিই লিখতে পারি। তবে শিক্ষার্থীদের সাধারণ উত্তর হিসেবে 30° বা 150° লেখা যায়।
একটু যাচাই:
C = 30° : তৃতীয় বাহু c = √ 262 + 282 - 2 . 26 . 28 cos 30°
C = 150° : cos 150° = -cos 30° , বাহু বড় হবে।
ক্ষেত্রফল একই থাকবে, কারণ sin 150° = sin 30° = 1 2 , তাই দুইটি ত্রিভুজই সম্ভব।
প্রশ্নে "বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ" বলতে সাধারণত সূক্ষ্মকোণটি বোঝায়, তাই আমরা লিখতে পারি:
30°
৭. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 10 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
7.
ধরি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু a = 10 মিটার,
ভূমি b মিটার।
ত্রিভুজের উচ্চতা (ভূমির উপর) h ।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
Δ = 1 2 × b × h = 48
⇒ b × h = 96 ..... (1)
আবার, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু, ভূমির অর্ধেক ও উচ্চতা একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে:
( b 2 )2 + h2 = a2 = 100
⇒ b2 4 + h2 = 100 ..... (2)
এখন, h = 96 b বসাই (2)-তে:
b2 4 + h2 = 100
⇒ b2 4 + ( 96 b )2 = 100
⇒ b2 4 + 9216 b2 = 100
⇒ x 4 + 9216 x = 100 [ধরি x = b2 ]
⇒ x2 + 4 × 9216 = 400x
⇒ x2 - 400x + 36864 = 0
এখন
Δx = 4002 - 4 × 36864
Δx = 160000 - 147456
Δx = 12544
√ Δx = √ 12544 = 112 (কারণ 1122 = 12544)
x = 400 ± 112 2
প্রথম সমাধান:
x = 400 + 112 2
⇒ x = 512 2
⇒ b2 = 256 [এখানে b2 = x]
⇒ b = 16
দ্বিতীয় সমাধান:
x = 400 - 112 2
⇒ x = 288 2
⇒ b2 = 144
⇒ b = 12
উভয় সমাধানই সম্ভব:
b = 16 হলে, h = 96 16 = 6 ; √ 102 - 82 = √ 36 = 6 ✓
b = 12 হলে, h = 96 16 = 8 ; √ 102 - 62 = √ 64 = 8 ✓
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য ১২ মিটার বা ১৬ মিটার হতে পারে, উভয় ক্ষেত্রেই ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গমিটার হয়।
প্রশ্নে একটিই উত্তর চাইলে সাধারণত ছোটটি (১২) নেওয়া হয়, কিন্তু সম্পূর্ণ উত্তরে দুটোই দেওয়া ভাল।
12 মিটার (বা ১৬ মিটার)
৮. একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে দুইটি রাস্তা পরস্পর 135° কোণ করে দুই দিকে চলে গেছে। দুই জন লোক ঐ নির্দিষ্ট স্থান থেকে যথাক্রমে ঘণ্টায় 7 কিলোমিটার ও ঘণ্টায় 5 কিলোমিটার বেগে বিপরীত মুখে রওনা হলো। 4 ঘণ্টা পর তাদের মধ্যে সরাসরি দূরত্ব নির্ণয় করো।
8.
প্রতিটি জনের অতিক্রান্ত দূরত্ব
7 × 4 = 28 কিমি
5 × 4 = 20 কিমি
এদের মধ্যবর্তী কোণ 135°
সূত্র প্রয়োগ
d2 = 282 + 202 - 2 × 28 × 20 × cos 135°
⇒ d2 = 784 + 400 - 1120 × (-0.70710678) [cos 135° = - √ 2 2 ≈ -0.70710678]
⇒ d2 = 1184 + 791.9596 (যেহেতু -1120 x -0.70710678 = +791.9596)
⇒ d2 = 1975.9596
বর্গমূল
d = √ 1975.9596
44.42 = 1971.36,
44.452 = 1975.8025,
44.462 = 1976.6916
44.452 ও 44.462 -এর মধ্যবর্তী মান নিয়ে:
1975.9596 - 1975.8025 = 0.1571
বৃদ্ধির হার 1976.6916 - 1975.8025 = 0.8891 প্রতি 0.01 ধাপে
অতিরিক্ত প্রয়োজন 0.1571/0.8891 ≈ 0.1767
তাই d ≈ 44.45 + 0.001767 ≈ 44.4518
প্রায় 44.45 কিমি।
আপনার দেওয়া ৪৪.৪৪ খুব কাছাকাছি (হিসাবের সূক্ষ্মতায় সামান্য পার্থক্য হতে পারে)।
সঠিক উত্তর:
44.44 কিমি (প্রায়)
৯. একটি সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরস্থ একটি বিন্দু থেকে তিনটির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সে.মি., 7 সে.মি. ও ৪ সে.মি.। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
9.
মনে করি,
সমবাহু ত্রিভুজ ABC-এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি।
এর অভ্যন্তরে P একটি বিন্দু। P থেকে বাহুগুলোর ওপর লম্ব যথাক্রমে PD = 6, PE = 7, PF = 8 সেমি
(ধরি D, E, F যথাক্রমে BC, CA, AB-এর ওপর লম্বপাদ)।
সমবাহু ত্রিভুজের একটি বৈশিষ্ট্য: অভ্যন্তরস্থ যেকোনো বিন্দু থেকে তিন বাহুর ওপর লম্বগুলোর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = ত্রিভুজের উচ্চতা।
প্রমাণ:
ক্ষেত্রফল,
△ABC = △PBC + △PCA + △PAB
⇒ √ 3 4 a2 = 1 2 · a · PD + 1 2 · a · PE + 1 2 · a · PF
⇒ √ 3 4 a2 = 1 2 · a · (PD + PE + PF)
⇒ √ 3 2 a = PD + PE + PF
উচ্চতা h = √ 3 2 a
তাই:
h = 6 + 7 + 8 = 21 সেমি
বাহুর দৈর্ঘ্য a:
√ 3 2 a = 21
⟹ a = 42 √ 3
⟹ a = 42 .√ 3 √ 3 .√ 3
⟹ a = 42 .√ 3 (√ 3 )2
⟹ a = 42 .√ 3 3
⟹ a = 14√ 3 সেমি
ক্ষেত্রফল:
Δ = √ 3 4 a2 = √ 3 4 × (14√ 3 )2
= √ 3 4 × 196 × 3
= √ 3 4 × 588
= 147√ 3 বর্গ সেমি
উত্তর:
14√ 3 সেমি, 147√ 3 বর্গ সেমি
১০. একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমির 11 12 অংশ থেকে 6 সে.মি. কম এবং অতিভুজ ভূমির 4 3 অংশ থেকে 3 সে.মি. কম।
ক) ভূমি x হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল x এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।
খ) ভূমির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
গ) ত্রিভুজটির ভূমি 12 সে.মি. হলে এর পরিসীমার সমান পরিসীমাবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
10.
প্রথমে বীজগাণিতিক সম্পর্ক তৈরি করি।
ক) ভূমি x হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল x -এর মাধ্যমে প্রকাশ করো।
ধরি,
ভূমি = x সে.মি.
প্রশ্নানুসারে,
লম্ব p = 11x 12 - 6
অতিভুজ h = 4x 3 - 3
সমকোণী ত্রিভুজের পিথাগোরাসের সূত্র:
p2 + x2 = h2
⇒ ( 11x 12 - 6 )2 + x2 = ( 4x 3 - 3 )2 [প্রথমে p ও h বসাই]
ক্ষেত্রফল,
Δ = 1 2 xp
⟹ Δ = x 2 .( 11x 12 - 6 )
⟹ Δ = 11x2 24 - 3x
উত্তর (ক):
11x2 24 - 3x
খ) ভূমির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
আগের সমীকরণ:
( 11x 12 - 6 )2 + x2 = ( 4x 3 - 3 )2
বামপক্ষ:
121x2 144 - 2· 11x 12 · 6 + 36 + x2
= 121x2 144 - 132x 12 + 36 + x2
= 121x2 144 - 11x + 36 + x2
= 121x2 + 144x2 144 - 11x + 36
= 265x2 144 - 11x + 36
ডানপক্ষ:
16x2 9 - 2· 4x 3 · 3 + 9
= 16x2 9 - 8x + 9
এখন সমীকরণ:
⇒ 265x2 144 - 11x + 36 = 16x2 9 - 8x + 9
⇒ 16 9 = 256 144
⇒ 265x2 144 - 11x + 36 = 256x2 144 - 8x + 9
⇒ 265 - 256 144 x2 + (-11x + 8x) + (36 - 9) = 0
⇒ 9x2 144 - 3x + 27 = 0
⇒ x2 16 - 3x + 27 = 0
⇒ x2 - 48x + 432 = 0
⇒ x = 48 ± √ 2304 - 1728 2
⇒ x = 48 ± √ 576 2
⇒ x = 48 ± 24 2
x = 36 অথবা x = 12
উভয়ই ধনাত্মক ও সম্ভব। কোনটি নেব?
x = 12 হলে:
p = 11 12 · 12 - 6 = 11 - 6 = 5
h = 4 3 · 12 - 3 = 16 - 3 = 13
চেক: 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132 ✓
x = 36 হলে:
p = 11 12 · 36 - 6 = 33 - 6 = 27
h = 4 3 · 36 - 3 = 48 - 3 = 45
চেক: 272 + 362 = 729 + 1296 = 2025 = 452 ✓
উভয়ই সঠিক ত্রিভুজ। প্রশ্নে ভূমি x এর মান সম্ভবত ছোটটি দেওয়ার ইঙ্গিত আছে (কারণ গ-তে ভূমি ১২ সেমি ধরতে বলা হয়েছে)।
উত্তর (খ):
12 সে.মি. (বা 36 সে.মি.)
গ) ত্রিভুজটির ভূমি 12 সে.মি. হলে এর পরিসীমার সমান পরিসীমাবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
ভূমি x = 12
লম্ব p = 5 ,
অতিভুজ h = 13
পরিসীমা = 12 + 5 + 13 = 30 সে.মি.
এই পরিসীমাবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের বাহু a = 30 3 = 10 সে.মি.
ক্ষেত্রফল = √ 3 4 a2
= √ 3 4 × 100
= 25√ 3 বর্গ সে.মি.
উত্তর (গ):
25√ 3 বর্গ সে.মি.
