১. ক্ষেত্রফলের মৌলিক ধারণা
- প্রত্যেক সীমাবদ্ধ সমতলক্ষেত্রের (যেমন ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বহুভুজ) একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রফল আছে ।
- ক্ষেত্রফল পরিমাপের জন্য একক বর্গক্ষেত্র ব্যবহার করা হয় (যেমন বর্গসেমি, বর্গমিটার) ।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু × বাহু = বাহু2
মনে রাখা জরুরি:
> ক্ষেত্রফল সমান হলে জ্যামিতিক চিত্র দুটি সর্বসম (congruent) নাও হতে পারে । যেমন, একই ভূমি ও সমান্তরাল রেখার মধ্যে অবস্থিত দুটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান হলেও তারা সর্বসম নাও হতে পারে ।
২. গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য (Theorems)
উপপাদ্য ৩৬: একই ভূমি ও একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে ত্রিভুজ
> বিবৃতি: একই ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে অবস্থিত সকল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান ।
প্রমাণের সারাংশ:
△ABC ও △DBC একই ভূমি BC ও সমান্তরাল রেখা BC ও AD - এর মধ্যে । B ও C বিন্দুতে BE ও CF লম্ব আঁকলে EBCF আয়তক্ষেত্র তৈরি হয় ।
△ABC - এর ক্ষেত্রফল = ½ × BC × BE
△DBC - এর ক্ষেত্রফল = ½ × BC × CF = ½ × BC × BE (যেহেতু BE = CF)
∴ ক্ষেত্রফল সমান ।
অনুসিদ্ধান্ত ১: উল্টোটাও সত্য — যদি একই ভূমির একই পাশের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান হয়, তবে তারা একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে অবস্থিত ।
অনুসিদ্ধান্ত ২: ত্রিভুজ ও সামান্তরিক একই ভূমি ও সমান্তরাল রেখার মধ্যে থাকলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ।
উপপাদ্য ৩৭: একই ভূমি ও একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে সামান্তরিক
> বিবৃতি: একই ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল রেখার মধ্যে অবস্থিত সামান্তরিকগুলোর ক্ষেত্রফল সমান ।
প্রমাণের সারাংশ:
ABCD ও ABEF সামান্তরিকদ্বয় একই ভূমি AB ও সমান্তরাল রেখা AB ও FC - এর মধ্যে অবস্থিত । প্রমাণে দেখা যায়, উভয়ের ক্ষেত্রফল একই আয়তক্ষেত্রের অর্ধেকের সমান ।
৩. পিথাগোরাসের উপপাদ্যের জ্যামিতিক প্রমাণ
অধ্যায়ের শেষ অংশে পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি a 2 + b 2 = c2 জ্যামিতিকভাবে প্রমাণ করা হয়েছে বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের মাধ্যমে ।
মূল কথা: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান ।
৪. সম্পাদ্য (Constructions)
সম্পাদ্য ১৩: ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট সামান্তরিক অঙ্কন> উদ্দেশ্য: একটি নির্দিষ্ট ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফল এবং একটি নির্দিষ্ট কোণবিশিষ্ট সামান্তরিক আঁকা ।
পদ্ধতি:
1. ত্রিভুজের ভূমির মধ্যবিন্দু নেওয়া হয় ।
2. সেই অর্ধেক ভূমির ওপর একটি ত্রিভুজ তৈরি করে সামান্তরিক আঁকা হয় ।
3. সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ২ × অর্ধেক ভূমির ত্রিভুজ = মূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ।
পদ্ধতি:
1. ত্রিভুজের ভূমির মধ্যবিন্দু নেওয়া হয় ।
2. সেই অর্ধেক ভূমির ওপর একটি ত্রিভুজ তৈরি করে সামান্তরিক আঁকা হয় ।
3. সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ২ × অর্ধেক ভূমির ত্রিভুজ = মূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ।
সম্পাদ্য ১৪: চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজ অঙ্কন
> উদ্দেশ্য: একটি চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ আঁকা ।
পদ্ধতি:
1. চতুর্ভুজের একটি কর্ণ আঁকতে হবে (যেমন BD) ।
2. কর্ণের সমান্তরাল করে একটি রেখা টানতে হবে ।
3. ফলে একটি ত্রিভুজ পাওয়া যায় যার ক্ষেত্রফল চতুর্ভুজের সমান ।
> বিশেষ দ্রষ্টব্য: এই পদ্ধতিতে অসংখ্য ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব ।
পদ্ধতি:
1. চতুর্ভুজের একটি কর্ণ আঁকতে হবে (যেমন BD) ।
2. কর্ণের সমান্তরাল করে একটি রেখা টানতে হবে ।
3. ফলে একটি ত্রিভুজ পাওয়া যায় যার ক্ষেত্রফল চতুর্ভুজের সমান ।
> বিশেষ দ্রষ্টব্য: এই পদ্ধতিতে অসংখ্য ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব ।
সম্পাদ্য ১৫: চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফল ও নির্দিষ্ট কোণবিশিষ্ট সামান্তরিক অঙ্কন
> উদ্দেশ্য: একটি চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফল এবং একটি নির্দিষ্ট কোণবিশিষ্ট সামান্তরিক আঁকা ।
পদ্ধতি:
1. প্রথমে চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ আঁকতে হবে (সম্পাদ্য ১৪ - এর মতো) ।
2. সেই ত্রিভুজের ভিত্তির মধ্যবিন্দু ব্যবহার করে সামান্তরিক তৈরি করতে হবে যার কোণ নির্দিষ্ট থাকবে ।
পদ্ধতি:
1. প্রথমে চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ আঁকতে হবে (সম্পাদ্য ১৪ - এর মতো) ।
2. সেই ত্রিভুজের ভিত্তির মধ্যবিন্দু ব্যবহার করে সামান্তরিক তৈরি করতে হবে যার কোণ নির্দিষ্ট থাকবে ।
