১. সূত্রের সাহায্যে বর্গ নির্ণয় করো:
ক) 2a + 3b
খ) x2 + 2 y2
গ) 4y - 5x
ঘ) 5x2 - y
ঙ) 3b - 5c - 2a
চ) ax - by - cz
ছ) 2a + 3x - 2y - 5z
জ) 1007
ক) (2a + 3b) এর বর্গ
(2a+3b)2 = (2a)2 + 2(2a)(3b) + (3b)2
= 4a2 + 12ab + 9b2
✅ উত্তর: (4a2 + 12ab + 9b2)
খ) (x2 + 2y2) এর বর্গ
(x2 + 2y2)2 = (x2)2 + 2(x2)(2y2) + (2y2)2
= x4 + 4x2y2 + 4y4
✅ উত্তর: (x4 + 4x2y2 + 4y4)
গ) (4y - 5x) এর বর্গ
(4y - 5x)2 = (4y)2 - 2(4y)(5x) + (5x)2
= 16y2 - 40xy + 25x2
✅ উত্তর: (16y2 - 40xy + 25x2)
ঘ) (5x2 - y) এর বর্গ
(5x2 - y)2 = (5x2)2 - 2(5x2)(y) + y2
= 25x4 - 10x2y + y2
✅ উত্তর: (25x4 - 10x2y + y2)
ঙ) (3b - 5c - 2a) এর বর্গ
ধাপে ধাপে:
= (3b)2 + (-5c)2 + (-2a)2 + 2(3b)(-5c) + 2(3b)(-2a) + 2(-5c)(-2a)
= 9b2 + 25c2 + 4a2 - 30bc - 12ab + 20ac
✅ উত্তর: (9b2 + 25c2 + 4a2 - 30bc - 12ab + 20ac)
চ) (ax - by - cz) এর বর্গ
= a2x2 + b2y2 + c2z2 - 2abxy - 2acxz + 2bcyz
✅ উত্তর: (a2x2 + b2y2 + c2z2 - 2abxy - 2acxz + 2bcyz)
ছ) (2a + 3x - 2y - 5z) এর বর্গ
ধাপে ধাপে (সবগুলোর বর্গ + cross term):
= 4a2 + 9x2 + 4y2 + 25z2
12ax - 8ay - 20az - 12xy - 30xz + 20yz
✅ উত্তর:
(4a2 + 9x2 + 4y2 + 25z2 + 12ax - 8ay - 20az - 12xy - 30xz + 20yz)
জ) (1007) এর বর্গ
সহজ ভাবে করি:
1007 = (1000 + 7)
(1007)2 = (1000+7)2
= 10002 + 2.7.1000 + 72
= 1000000 + 14000 +49
= 1014049
✅ উত্তর: 1014049
🔑 সহজভাবে মনে রাখো
২টি পদ → (a2 + 2ab + b2)
৩ বা বেশি পদ →
👉 সবগুলোর বর্গ
👉 + প্রতিটি জোড়ার 2 গুণ গুণফল
২. সরল করো:
ক) (7p + 3q - 5r)2 - 2(7p + 3q - 5r)(8p - 4q - 5r) + (8p - 4q - 5r)2
খ) (2m + 3n - p)2 + (2m - 3n + p)2 - 2(2m + 3n - p)(2m - 3n + p)
গ) 6.35 × 6.35 + 2 × 6.35 × 3.65 + 3.65 × 3.65
ঘ) 2345 × 2345 - 759 × 759 2345 - 759
ক)
(7p + 3q - 5r)2 - 2(7p + 3q - 5r)(8p - 4q - 5r) + (8p - 4q - 5r)2
এটা দেখলেই বুঝতে হবে এটা এই সূত্রের মতো 👇
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
এখানে,
a = 7p + 3q - 5r
b = 8p - 4q - 5r
তাহলে,
(a - b)2
এখন (a - b) বের করি:
(7p + 3q - 5r) - (8p - 4q - 5r)
= 7p + 3q - 5r - 8p + 4q + 5r
= -p + 7q
তাই,
= (-p + 7q)2 = (7q - p)2
✅ উত্তর: ((7q - p)2)
খ)
(2m + 3n - p)2 + (2m - 3n + p)2 - 2(2m + 3n - p)(2m - 3n + p)
এটাও একই ধরনের:
a2 + b2 - 2ab = (a - b)2
এখানে,
(a = 2m + 3n - p)
(b = 2m - 3n + p)
তাহলে,
(a - b)2
এখন,
(2m + 3n - p) - (2m - 3n + p)
= 2m + 3n - p - 2m + 3n - p
= 6n - 2p
তাই,
= (6n - 2p)2 = 4(3n - p)2
✅ উত্তর: 4(3n - p)2)
গ)
6.352 + 2 × 6.35 × 3.65 + 3.652
এটা সরাসরি এই সূত্র 👇
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
এখানে,
a = 6.35,
b = 3.65
তাই,
= (6.35 + 3.65)2
= (10)2
= 100
✅ উত্তর: 100
ঘ)
23452 - 7592 2345 - 759
এখানে ব্যবহার করি 👇
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
তাহলে,
= (2345 - 759)(2345 + 759) 2345 - 759
উপরে ও নিচে (2345 - 759) কেটে যাবে
= 2345 + 759 = 3104
✅ উত্তর: 3104
🔑 সহজভাবে মনে রাখো
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
⟹ a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
⟹ a2 - b2 = (a - b)(a + b)
(a - b)2
এখন (a - b) বের করি:
(7p + 3q - 5r) - (8p - 4q - 5r)
= 7p + 3q - 5r - 8p + 4q + 5r
= -p + 7q
তাই,
= (-p + 7q)2 = (7q - p)2
✅ উত্তর: ((7q - p)2)
খ)
(2m + 3n - p)2 + (2m - 3n + p)2 - 2(2m + 3n - p)(2m - 3n + p)
এটাও একই ধরনের:
a2 + b2 - 2ab = (a - b)2
এখানে,
(a = 2m + 3n - p)
(b = 2m - 3n + p)
তাহলে,
(a - b)2
এখন,
(2m + 3n - p) - (2m - 3n + p)
= 2m + 3n - p - 2m + 3n - p
= 6n - 2p
তাই,
= (6n - 2p)2 = 4(3n - p)2
✅ উত্তর: 4(3n - p)2)
গ)
6.352 + 2 × 6.35 × 3.65 + 3.652
এটা সরাসরি এই সূত্র 👇
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
এখানে,
a = 6.35,
b = 3.65
তাই,
= (6.35 + 3.65)2
= (10)2
= 100
✅ উত্তর: 100
ঘ)
23452 - 7592 2345 - 759
এখানে ব্যবহার করি 👇
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
তাহলে,
= (2345 - 759)(2345 + 759) 2345 - 759
উপরে ও নিচে (2345 - 759) কেটে যাবে
= 2345 + 759 = 3104
✅ উত্তর: 3104
🔑 সহজভাবে মনে রাখো
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
⟹ a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
⟹ a2 - b2 = (a - b)(a + b)
৩. a - b = 4 এবং ab = 60 হলে, a + b এর মান কত?
আমরা জানি:
a - b = 4,
ab = 60
আমাদের বের করতে হবে (a + b)।
🔑 গুরুত্বপূর্ণ সূত্র
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
দেওয়া মান বসাই:
(a + b)2 = 42 + 4 × 60
= 16 + 240
= 256
এখন,
a + b = √ 256 = 16
✅ চূড়ান্ত উত্তর:
a + b = 16
💡 সহজভাবে বুঝো
(a - b) ও (ab) জানা থাকলে
সরাসরি (a+b)2 বের করা যায়
তারপর বর্গমূল নিলেই (a + b)
8. a + b = 9m এবং ab = 18m2 হলে, a - b এর মান কত?
আমরা জানি:
a + b = 9m,
ab = 18m2
আমাদের বের করতে হবে (a - b)।
🔑 আমরা জানি: সূত্র
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
দেওয়া মান বসাই:
(a - b)2 = (9m)2 - 4 × 18m2
= 81m2 - 72m2
= 9m2
এখন বর্গমূল নিই:
a - b = √ 9m2 = 3m
✅ চূড়ান্ত উত্তর:
a - b = 3m
💡 সহজভাবে বুঝো
(a + b) ও (ab) জানা থাকলে
(a - b)2 সহজেই বের করা যায়
শেষে বর্গমূল নিলেই উত্তর
৫. x - 1 x = 4 হলে, প্রমাণ করো যে, x4 + 1 x4 = 322 ।
দেওয়া আছে:
x - 1 x = 4
প্রমাণ করতে হবে:
x4 + 1 x4 = 322
🔑 এখন,
x - 1 x = 4
⟹ (x - 1 x )2 = 42 [বর্গ করি:]
⟹ x2 + 1 x2 - 2 = 16
⟹ x2 + 1 x2 = 18
⟹ (x2 + 1 x2 )2 = 182 = 324 [আবার বর্গ করি]
⟹ x4 + 1 x4 + 2 = 324 [ (x2 + 1 x2 )2 = x4 + 1 x4 + 2 ]
🔑 চূড়ান্ত মান বের করি
x4 + 1 x4 = 324 - 2 = 322
✅ প্রমাণিত:
x4 + 1 x4 = 322
💡 সহজভাবে বুঝো
1. প্রথমে দেওয়া রাশিটাকে বর্গ করো
2. তারপর আবার বর্গ করে ধাপে ধাপে উপরের ঘাত বের করো
3. প্রতিবার একটা করে নতুন রাশি পাওয়া যায়
৬. 2x + 2 x = 3 হলে, x2 + 1 x2 এর মান কত?
দেওয়া আছে:
2x + 2 x = 3
🔑 সরল করি
পুরো সমীকরণকে 2 দিয়ে ভাগ করি:
x + 1 x = 3 2
🔑 বর্গ করি
আমরা জানি 👇
(x + 1 x )2 = x2 + 1 x2 + 2
এখন,
x + 1 x = 3 2
(x + 1 x )2 = ( 3 2 )2 [বর্গ করি]
⟹ x2 + 1 x2 + 2 = 9 4
⟹ x2 + 1 x2 = 9 4 - 2
⟹ x2 + 1 x2 = 9 4 - 8 4 = 1 4
⟹ x2 + 1 x2 = 1 4
✅ চূড়ান্ত উত্তর:
x2 + 1 x2 = 1 4
💡 সহজভাবে বুঝো
আগে (x + 1 x ) বের করো
তারপর বর্গ করলে (x2 + 1 x2 ) পাওয়া যায়
শেষে 2 বিয়োগ করতে হয়
৭. a + 1 a = 2 হলে, দেখাও যে, a2 + 1 a2 = a4 + 1 a4
দেওয়া আছে:
a + 1 a = 2
প্রমাণ করতে হবে:
a2 + 1 a2 = a4 + 1 a4
🔑 বর্গ করি
আমরা জানি 👇
(a + 1 a )2 = a2 + 1 a2 + 2
এখন,
a + 1 a = 2
⟹ (a + 1 a )2 = 22 [বর্গ করি]
⟹ a2 + 1 a2 + 2 = 4
⟹ a2 + 1 a2 = 2
⟹ (a2 + 1 a2 )2 = 22 = 4 [আবার বর্গ করি]
⟹ (a2 + 1 a2 )2 = 4
⟹ a4 + 1 a4 + 2 = 4 [আমরা জানি, (a2 + 1 a2 )2 = a4 + 1 a4 + 2]
⟹ a4 + 1 a4 + 2 = 4
⟹ a4 + 1 a4 = 2
🔑 তুলনা করি
আমরা পেয়েছি:
a2 + 1 a2 = 2
এবং
a4 + 1 a4 = 2
✅ প্রমাণিত:
a2 + 1 a2 = a4 + 1 a4
💡 সহজভাবে বুঝো
(a + 1 a = 2) হলে আসলে (a = 1)
তাই সবগুলোর মানই 2 হয়ে যায়
এজন্য দুই পাশ সমান
চাও তো আমি এই ধরনের proof-based shortcut tricks আলাদা করে বুঝিয়ে দিতে পারি 👍
৮. a + b = √ 7 এবং a - b = √ 5 হলে, প্রমাণ করো যে, 8ab(a2 + b2) = 24
দেওয়া আছে:
a + b = √ 7
a - b = √ 5
প্রমাণ করতে হবে:
8ab(a2 + b2) = 24
🔑 (ab) বের করি
আমরা জানি 👇
(a + b)2- (a - b)2 = 4ab
এখন মান বসাই:
4ab = 7 - 5 = 2
ab = 2 4 = 1 2
🔑 (a2 + b2) বের করি
আমরা জানি:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
⟹ 7 = a2 + b2 + 2 × 1 2
⟹ 7 = a2 + b2 + 1
⟹ a2 + b2 = 6
মান বসাই
8ab(a2 + b2)
= 8 × 1 2 × 6
= 4 × 6
= 24
✅ প্রমাণিত:
8ab(a2+b2)=24
💡 সহজভাবে বুঝো
প্রথমে (ab) বের করো
তারপর (a2 + b2) বের করো
শেষে বসিয়ে দিলেই উত্তর
চাও তো আমি এই ধরনের all-in-one shortcut formula list বানিয়ে দিতে পারি, যেটা দেখে তুমি সব সমস্যা খুব দ্রুত করতে পারবে 👍
৯. a + b + c = 9 এবং ab + bc + ca = 31 হলে, a2 + b2 + c2 এর মান নির্ণয় করো।
দেওয়া আছে:
a + b + c = 9
ab + bc + ca = 31
আমাদের বের করতে হবে:
a2 + b2 + c2
🔑 আমরা জানি: সূত্র
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⟹ (9)2 = a2 + b2 + c2 + 2 × 31
⟹ 81 = a2 + b2 + c2 + 62
⟹ a2 + b2 + c2 = 81 - 62
⟹ a2 + b2 + c2 = 19
✅ চূড়ান্ত উত্তর:
a2 + b2 + c2 = 19
💡 সহজভাবে বুঝো
(a + b + c) থাকলে → বর্গ করো
তারপর 2(ab + bc + ca)) বাদ দাও
বাকিটাই (a2 + b2 + c2)
১০. a2 + b2 + c2 = 9 এবং ab + bc + ca = 8 হলে, (a + b + c)2 এর মান কত?
দেওয়া আছে:
a2 + b2 + c2 = 9
ab + bc + ca = 8
আমাদের বের করতে হবে:
(a + b + c)2
🔑 আমরা জানি: সূত্র
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
দেওয়া মান বসাই:
(a + b + c)2 = 9 + 2 × 8
= 25
✅ চূড়ান্ত উত্তর:
(a + b + c)2 = 25
💡 সহজভাবে বুঝো
(a2+b2+c2) ও (ab + bc + ca) থাকলে
সরাসরি সূত্রে বসাও
খুব দ্রুত উত্তর পাওয়া যায়
চাও তো আমি এই ধরনের আরও কিছু board exam level tricky problems দিতে পারি 👍
১১. a + b + c = 6 এবং a2 + b2 + c2 = 14 হলে, (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = কত?
আমরা জানি,
(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 2(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
প্রদত্ত,
a + b + c = 6
a2 + b2 + c2 = 14
এখন,
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⟹ 62 = 14 + 2(ab + bc + ca)
⟹ 36 = 14 + 2(ab + bc + ca)
⟹ 2(ab + bc + ca) = 22
⟹ ab + bc + ca = 11
সুতরাং,
(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2
= 2[14 - 11]
= 2 x 3
= 6
উত্তর: 6
১২. x = 3, y = 4 এবং z = 5 হলে, 9x2 + 16y2 + 4z2 - 24xy - 16yz + 12zx = কত?
দেওয়া আছে:
x = 3
y = 4
z = 5
এবং রাশি:
9x2 + 16y2 + 4z2 - 24xy - 16yz + 12zx
আমরা এটাকে (3x - 4y + 2z)2 আকারে লেখার চেষ্টা করি:
প্রথমে (3x - 4y + 2z)2 বিস্তার করি:
(3x - 4y + 2z)2 = (3x)2 + (-4y)2 + (2z)2 + 2(3x)(-4y) + 2(-4y)(2z) + 2(2z)(3x)
= 9x2 + 16y2 + 4z2 - 24xy - 16yz + 12zx
অতএব রাশিটি (3x - 4y + 2z)2 এর সমান।
এখন x, y, z এর মান বসাই:
3x - 4y + 2z
= 3(3) - 4(4) + 2(5)
= 9 - 16 + 10
= 3
সুতরাং,
(3x - 4y + 2z)2
= 32
= 9
উত্তর: 9
১৩. (a + 2b)(3a + 2c) কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ করো।
আমরা (a + 2b)(3a + 2c) কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ করব।
একটি সাধারণ সূত্র:
pq = ( p + q 2 )2 - ( p - q 2 )2
এখানে,
p = a + 2b
q = 3a + 2c
তাহলে,
⟹ p + q = (a + 2b) + (3a + 2c) = 4a + 2b + 2c
⟹ p + q = 4a + 2b + 2c
⟹ p + q = 2(2a + b + c)
⟹ p + q 2 = 2a + b + c
⟹ p - q = (a + 2b) - (3a + 2c)
⟹ p - q = a + 2b - 3a - 2c
⟹ p - q = -2a + 2b - 2c
⟹ p - q = 2(-a + b - c)
⟹ p - q 2 = -a + b - c
সুতরাং,
(a + 2b)(3a + 2c) = (2a + b + c)2 - (-a + b - c)2
(-a + b - c)2 = (a - b + c)2 হওয়ায়,
(a + 2b)(3a + 2c) = (2a + b + c)2 - (a - b + c)2
এটিই নির্ণেয় দুইটি বর্গের বিয়োগফল।
উত্তর: (2a + b + c)2 - (a - b + c)2
১৪. x2 + 10x + 24 কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ করো।
আমরা x2 + 10x + 24 কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ করব।
প্রথমে এটিকে সম্পূর্ণ বর্গ আকারে লিখি:
x2 + 10x + 24
= (x2 + 10x + 25) - 1
= (x + 5)2 - 12
অতএব, (x + 5)2 - 12 হলো দুইটি বর্গের বিয়োগফল।
উত্তর: (x + 5)2 - 12
১৫. a4 + a2b2 + b4 = 8 এবং a2 + ab + b2 = 4 হলে, ক) a2 + b2 , খ) ab এর মান কত?
আমরা জানি,
a4 + a2 b2 + b4 = (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2)
প্রদত্ত,
a4 + a2 b2 + b4 = 8
a2 + ab + b2 = 4
ধরি, x = a2 + b2 এবং y = ab
তাহলে,
a2 + ab + b2 = x + y = 4 …(1)
a2 - ab + b2 = x - y
এবং
a4 + a2 b2 + b4
= (x + y)(x - y)
= x2 - y2
সুতরাং,
x2 - y2 = 8
⟹ (x - y)(x + y) = 8
⟹ (x - y) · 4 = 8
⟹ x - y = 2 …(2)
(1) ও (2) যোগ করে পাই:
(x + y) + (x - y) = 4 + 2
⟹ 2x = 6
⟹ x = 3
x + y = 4
⟹ 3 + y = 4
⟹ y = 1
সুতরাং:
(ক) a2 + b2 = x = 3
(খ) ab = y = 1
উত্তর:
a2+b2 = 3, ab = 1
