১. ƒ(x) = x2 - 4x + 4 হলে, ƒ(2) এর মান নিচের কোনটি?
ক) 4
খ) 2
গ) 1
ঘ) 0
এখানে ফাংশন দেওয়া আছে:
f(x) = x2 - 4x + 4
f(2) বের করতে x = 2 বসাই:
f(2) = (2)2 - 4(2) + 4
f(2) = 4 - 8 + 4
f(2) = 0
উত্তর: ঘ) 0 ✅
২. x + 2 x = 3 হলে, x3 + 8 x3 এর মান কত?
ক) 1
খ) 8
গ) 9
ঘ) 16
প্রদত্ত সমীকরণ:
x + 2 x = 3
আমরা x3 + 8 x3 এর মান বের করব।
লক্ষ্য করি:
x3 + 8 x3 = x3 + ( 2 x )3
আমরা জানি,
a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
এখানে a = x , b = 2 x
তাহলে,
x3 + 8 x3
= ( x + 2 x )3 - 3 · x · 2 x · ( x + 2 x )
= x · 2 x
= 2
এবং x + 2 x = 3
তাই,
x3 + 8 x3
= 33 - 3 · 2 · 3
= 27 - 18
= 9
উত্তর: গ) 9 ✅
৩. p4 + p2 + 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষায়িত রূপ নিচের কোনটি?
ক) (p2 - p + 1)(p2 + p - 1)
খ) (p2 - p - 1)(p2 + p + 1)
গ) (p2 + p + 1)(p2 + p + 1)
ঘ) (p2 + p + 1)(p2 - p + 1)
আমরা p4 + p2 + 1 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব।
p4 + p2 + 1
= p4 + 2p2 + 1 - p2
= (p2 + 1)2 - p2
= (p2 + 1 - p)(p2 + 1 + p)
= (p2 - p + 1)(p2 + p + 1)
এটি ঘ নং অপশনের সাথে মিলে যায়।
উত্তর: ঘ) (p2 + p + 1)(p2 - p + 1) ✅
৪. যদি x = 2 - √ 3 হয়, তবে x2 এর মান কত?
ক) 1
খ) 7 - 4√ 3
গ) 2 + √ 3
ঘ) 1 2 - √ 3
দেওয়া আছে,
x = 2 - √ 3 দেওয়া আছে।
x2 বের করি:
x2 = (2 - √ 3 )2
= 22 - 2 · 2 · √ 3 + (√ 3 )2
= 4 - 4√ 3 + 3
= 7 - 4√ 3
এটি খ নং অপশনের সাথে মিলে যায়।
উত্তর: খ) 7 - 4√ 3 ✅
৫. ƒ(x) = x2 - 5x + 6 এবং ƒ(x) = 0 হলে, x কত?
ক) 2, 3
খ) -5, 1
গ) -2, 3
ঘ) 1, -5
আমরা জানি,
f(x) = x2 - 5x + 6
এবং f(x) = 0
তাহলে,
x2 - 5x + 6 = 0
উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
x2 - 2x - 3x + 6 = 0
⇒ x(x - 2) - 3(x - 2) = 0
⇒ (x - 2)(x - 3) = 0
অতএব,
x - 2 = 0 ⇒ x = 2
x - 3 = 0 ⇒ x = 3
অর্থাৎ x = 2, 3
উত্তর: ক) 2, 3 ✅
৬. 9x2 + 16y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
ক) 6xy
খ) 12xy
গ) 24xy
ঘ) 144xy
রাশি: 9x2 + 16y2
পূর্ণবর্গের সাধারণ সূত্র: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 বা a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
এখানে 9x2 = (3x)2
এবং 16y2 = (4y)2
পূর্ণবর্গ (3x + 4y)2 পেতে হলে আমাদের আছে
9x2 + 16y2 + 2 · 3x · 4y
= 9x2 + 16y2 + 24xy
অর্থাৎ 24xy যোগ করলে (3x+4y)2 হবে। আবার -24xy যোগ করলে (3x-4y)2 হবে, কিন্তু অপশনে -24xy নেই।
প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে 24xy আছে গ) অপশনে।
তাই উত্তর: গ) 24xy ✅
۹۰ a2 + b2 = 9 এবং ab = 3 হলে-
(i) (a - b)2 = 3
(ii) (a + b)2 = 15
(iii) a2 + b2 + a2b2 = 18
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i, ii
খ) i, iii
গ) ii, iii
ঘ) i, ii ও iii
প্রদত্ত:
a2 + b2 = 9
ab = 3
প্রথম বিবৃতি (i):
(a - b)2
= a2 + b2 - 2ab
= 9 - 2 · 3 = 9 - 6
= 3
সত্য ✅
দ্বিতীয় বিবৃতি (ii):
(a + b)2
= a2 + b2 + 2ab
= 9 + 2 · 3
= 9 + 6
= 15
সত্য ✅
তৃতীয় বিবৃতি (iii):
a2 + b2 + a2 b2
= (a2 + b2) + (ab)2
= 9 + 32
= 9 + 9
= 18
সত্য ✅
তাই তিনটিই সঠিক।
উত্তর: ঘ) i, ii ও iii ✅
৮. p3 - 1 64 এর উৎপাদক-
(i) p - 1 4
(ii) p2 + p 4 + 1 8
(iii) p2 + p 4 + 1 16
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i, ii
খ) i, iii
গ) ii, iii
ঘ) i, ii ও iii
p3 - 1 64 এর উৎপাদক বের করি।
এটি a3 - b3 আকারে আছে,
যেখানে a = p এবং b = 1 4 , কারণ ( 1 4 )3 = 1 64 ।
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
এখানে:
p3 - 1 64 = (p - 1 4 ) (p2 + p · 1 4 + ( 1 4 )2)
= (p - 1 4 ) (p2 + p 4 + 1 16
উৎপাদকগুলো:
(i) p - 1 4 → সঠিক ✅
(ii) p2 + p 4 + 1 8 → এটি 1 16 না হয়ে 1 8 দেওয়া আছে → ভুল ❌
(iii) p2 + p 4 + 1 16 → সঠিক ✅
সুতরাং (i) ও (iii) সঠিক।
উত্তর: খ) i, iii ✅
৯. ক একটি কাজ p দিনে করে এবং খ, 2p দিনে করে। তারা একটি কাজ আরম্ভ করে এবং কয়েকদিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে গেল। বাকি কাজটুকু খ r দিনে শেষ করে। কাজটি কত দিনে শেষ হয়েছিল?
ধরি, পুরো কাজ = 1 একক।
ধরি,
ক-এর কাজের দিন = p দিনে পুরো কাজ
খ-এর কাজের দিন = 2p দিনে পুরো কাজ
ধরি,
ক ও খ একসাথে কাজ করে t দিন (এরপর ক চলে যায়)
তারপর খ একা বাকি কাজ শেষ করে r দিনে।
১ম ধাপ: ক ও খ একসাথে t দিনে কতটুকু কাজ করে?
ক ১ দিনে করে 1 p অংশ
খ ১ দিনে করে 1 2p অংশ
একসাথে ১ দিনে কাজ করে 1 p + 1 2p
= 2 + 1 2p
= 3 2p অংশ।
সুতরাং t দিনে তারা একসাথে করে, t x 3 2p
= 3t 2p অংশ
২য় ধাপ: বাকি কাজ খ একা r দিনে করে
খ ১ দিনে করে 1 2p অংশ
r দিনে করে r 2p অংশ
এই বাকি কাজটুকু = 1 - 3t 2p (যেহেতু মোট কাজ 1 অংশ)
তাই:
r 2p = 1 - 3t 2p
৩য় ধাপ: এখান থেকে t বের করি
r 2p + 3t 2p = 1
⇒ r + 3t 2p = 1
⇒ r + 3t = 2p
⇒ t = 2p - r 3
৪র্থ ধাপ: মোট সময়
মোট সময় = t + r
= 2p - r 3 + r
= 2p - r + 3r 3
= 2p + 2r 3
= 2(p + r) 3 দিন
এটাই সহজতম রূপ।
উত্তর: কাজটি শেষ হয় 2(p + r) 3 দিনে (যদি p ও r জানা থাকে)।
[তবে এখানে r এর মান না থাকলে আর সরলীকরণ সম্ভব না। প্রশ্নে সম্ভবত p-এর সাপেক্ষে r জানা থাকলে উত্তর সংখ্যায় আসত।]
১০. দৈনিক 6 ঘণ্টা পরিশ্রম করে 10 জন লোক একটি কাজ 7 দিনে করতে পারে। দৈনিক কত ঘণ্টা পরিশ্রম করে 14 জনে 6 দিনে ঐ কাজটি করতে পারবে?
এখানে কাজের পরিমাণ ধ্রুবক।
প্রথম অবস্থা:
লোক L1 = 10 জন
প্রতিদিন ঘণ্টা H1 = 6
দিন D1 = 7
মোট কাজ = L1 x H1 x D1
= 10 x 6 x 7
= 420 জন-ঘণ্টা
দ্বিতীয় অবস্থা:
লোক L2 = 14 জন
দিন D2 = 6
প্রতিদিন ঘণ্টা H2 = ?
তাহলে:
L2 x H2 x D2 = 420
⇒ 14 x H2 x 6 = 420 [প্রদত্ত মান বসিয়ে]
⇒ 84 x H2 = 420
⇒ H2 = 420 84
⇒ H2 = 5
উত্তর: দৈনিক ৫ ঘণ্টা পরিশ্রম করতে হবে। ✅
১১. মিতা একটি কাজ 10 দিনে করতে পারে। রিতা সে কাজ 15 দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কত দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?
প্রদত্ত তথ্য:
মিতা একটি কাজ করে = ১০ দিনে
রিতা একটি কাজ করে = ১৫ দিনে
১ম ধাপ: ১ দিনে যতটুকু কাজ করে
মিতা ১ দিনে করে 1 10 অংশ
রিতা ১ দিনে করে 1 15 অংশ
২য় ধাপ: একসাথে ১ দিনে কতটুকু কাজ করে
1 10 + 1 15
= 3 + 2 30 [ল.সা.গু. = ৩০]
= 3 30 + 2 30
= 5 30
= 1 6
অর্থাৎ, তারা একত্রে ১ দিনে করে পুরো কাজের 1 6 অংশ।
৩য় ধাপ: পুরো কাজ শেষ করতে কত দিন লাগে
1 6 অংশ করতে লাগে = ১ দিন
সুতরাং ১ (পুরো) অংশ করতে লাগবে 1 ÷ 1 6 = 6 দিন
উত্তর: তারা একত্রে কাজটি ৬ দিনে শেষ করতে পারবে। ✅
১২. বনভোজনে যাওয়ার জন্য 5700 টাকায় একটি বাস ভাড়া করা হলো এবং শর্ত হলো যে, প্রত্যেক যাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে। 5 জন যাত্রী না যাওয়ায় মাথাপিছু ভাড়া 3 টাকা বৃদ্ধি পেল। বাসে কতজন যাত্রী গিয়েছিল?
মনে করি,
ধরি, প্রকৃতপক্ষে বাসে যাওয়া যাত্রী সংখ্যা = x জন
তাহলে, প্রথমে যাত্রী ছিল = x + 5 জন (কারণ ৫ জন না যাওয়ায় x জন গিয়েছে)
মোট ভাড়া = ৫৭০০ টাকা
১. আগের মাথাপিছু ভাড়া = 5700 x + 5
২. পরের (যাওয়া) মাথাপিছু ভাড়া = 5700 x
শর্ত,
নতুন ভাড়া = আগের ভাড়া + ৩ টাকা
⇒ 5700 x = 5700 x + 5 + 3
⇒ 5700 x - 5700 x + 5 = 3
⇒ 5700 ( 1 x - 1 x + 5 ) = 3
⇒ 5700 . 5 x(x + 5) = 3
⇒ 28500 x(x + 5) = 3
⇒ x(x + 5) = 28500 3
⇒ x(x + 5) = 9500
⇒ x2 + 5x - 9500 = 0
⇒ x2 + 100x - 95x - 9500 = 0
⇒ x(x + 100) - 95(x - 100) = 0
⇒ (x + 100) (x - 95) = 0
(ঋণাত্মক মান বাদ)
তাহলে x = 95
উত্তর: বাসে গিয়েছিল ৯৫ জন ✅
প্রদত্ত:
প্রতিকূলে p ঘণ্টায় d কিমি → গতি = d p কিমি/ঘণ্টা
অনুকূলে q ঘণ্টায় d কিমি → গতি = d q কিমি/ঘণ্টা
১৩. একজন মাঝি স্রোতের প্রতিকূলে p ঘণ্টায় d কি.মি. যেতে পারে। স্রোতের অনুকূলে ঐ পথ যেতে তার q ঘণ্টা লাগে। স্রোতের বেগ ও নৌকার বেগ কত?
ধরি,
নৌকার গতি (স্থির পানিতে) = x
স্রোতের গতি = y
তাহলে,
x - y = d p ….. (1)
x + y = d q …...(2)
এখন সরাসরি যোগ ও বিয়োগ করে x ও y বের করি:
(1) + (2):
⇒ x - y - x + y = d p + d q
⇒ 2x = d ( 1 p + 1 q )
⇒ 2x = d · p + q pq
⇒ x = d(p + q) 2pq
(2) - (1):
x + y - (x - y) = d q - d p
⇒ 2y = d ( 1 q - 1 p )
⇒ 2y = d · p - q pq
⇒ y = d(p - q) 2pq
উত্তর:
নৌকার বেগ d(p + q) 2pq কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের বেগ d(p-q) 2pq কিমি/ঘণ্টা ✅
১৪. একজন মাঝির দাঁড় বেয়ে 15 কি.মি. যেতে এবং সেখান থেকে ফিরে আসতে 4 ঘণ্টা সময় লাগে। সে স্রোতের অনুকূলে যতক্ষণে 5 কি.মি. যায়, স্রোতের প্রতিকূলে ততক্ষণে 3 কি.মি. যায়। দাঁড়ের বেগ ও স্রোতের বেগ নির্ণয় করো।
ধরি,
নৌকার বেগ (স্থির পানিতে) = B কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের বেগ = W কিমি/ঘণ্টা
তাহলে,
অনুকূলে বেগ = B + W
প্রতিকূলে বেগ = B - W
১ম শর্ত:
15 কিমি অনুকূলে যেতে সময় = 15 B + W ঘণ্টা
15 কিমি প্রতিকূলে ফিরতে সময় = 15 B - W ঘণ্টা
মোট সময় = ৪ ঘণ্টা
15 B+W + 15 B-W = 4 …. (1)
২য় শর্ত:
সে স্রোতের অনুকূলে যতক্ষণে 5 কিমি যায়, স্রোতের প্রতিকূলে ততক্ষণে 3 কিমি যায়।
মানে, একই সময় t তে:
(B + W)t = 5 এবং (B - W)t = 3
দুটি ভাগ করে পাই:
⇒ B+W B-W = 5 3
⇒ 3(B+W) = 5(B-W)
⇒ 3B + 3W = 5B - 5W
⇒ 3W + 5W = 5B - 3B
⇒ 8W = 2B
⇒ B = 4W
B = 4W বসিয়ে (1) নং সমীকরণে:
⇒ 15 4W + W + 15 4W - W = 4
⇒ 15 5W + 15 3W = 4
⇒ 3 W + 5 W = 4
⇒ 8 W = 4
⇒ W = 2
তাহলে B = 4, W = 8
উত্তর:
নৌকার বেগ B = 8 কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের বেগ W = 2 কিমি/ঘণ্টা ✅
১৫. একটি চৌবাচ্চায় দুইটি নল সংযুক্ত আছে। প্রথম নল দ্বারা চৌবাচ্চাটি t1 মিনিটে পূর্ণ হয় এবং দ্বিতীয় নল দ্বারা t2 মিনিটে খালি হয়। নল দুইটি একত্রে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে? (এখানে t2>t1)
ধরি, চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা = 1 একক (আয়তন)।
প্রথম নল (পূর্ণ করে):
1 মিনিটে পূর্ণ করে 1 t1 অংশ
সময় t1 মিনিটে পুরো চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়।
দ্বিতীয় নল (খালি করে):
1 মিনিটে খালি করে 1 t2 অংশ
সময় t2 মিনিটে পুরো চৌবাচ্চা খালি হয়।
দুটি নল একত্রে খুললে:
পূর্ণ করার হার = 1 t1
খালি করার হার = 1 t2
নেট পূর্ণ করার হার (যদি t2 > t1 হয়, অর্থাৎ দ্বিতীয় নলটি প্রথম নলের চেয়ে ধীরে খালি করে, তাহলে নেট হার ধনাত্মক হবে):
1 t1 - 1 t2 = t2 - t1 t1 t2
পুরো চৌবাচ্চা (1 একক) পূর্ণ হতে সময় লাগবে:
T = 1 t2 - t1 t1 t2 = t1 t2 t2 - t1 মিনিট
উত্তর:
t1 t2 t2 - t1
মিনিট (শর্ত: t2 > t1 ) ✅
১৬. একটি নল দ্বারা 12 মিনিটে একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়। অপর একটি নল দ্বারা 1 মিনিটে তা থেকে 15 লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসঙ্গে খুলে দেওয়া হয় এবং চৌবাচ্চাটি 48 মিনিটে পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?
ধরি, চৌবাচ্চাটির ধারণক্ষমতা = C লিটার।
প্রথম নল: ১২ মিনিটে পুরো চৌবাচ্চা পূর্ণ করে।
অর্থাৎ, ১ মিনিটে পূর্ণ করে C 12 লিটার।
দ্বিতীয় নল: ১ মিনিটে ১৫ লিটার পানি বের করে দেয় (খালি করে)।
দুটি নল একসঙ্গে খুললে, ১ মিনিটে নেট পানি জমে = C 12 - 15 লিটার।
প্রশ্নানুসারে, চৌবাচ্চাটি খালি থেকে শুরু করে ৪৮ মিনিটে পূর্ণ হয়।
সুতরাং, নেট পানির পরিমাণ সমীকরণ:
48 ( C 12 - 15 ) = C
⇒ 48 · C 12 - 48 · 15 = C
⇒ 4C - 720 = C
⇒ 4C - C = 720
⇒ 3C = 720
⇒ C = 240
উত্তর: চৌবাচ্চাটিতে ২৪০ লিটার পানি ধরে। ✅
১৭. ক, খ ও গ এর মধ্যে 260 টাকা এরূপে ভাগ করে দাও যেন ক এর অংশের 2 গুণ, খ এর অংশের 3 গুণ এবং গ এর অংশের 4 গুণ পরস্পর সমান হয়।
আরও সহজ পদ্ধতি:
মনে করি, ক-এর অংশের ২ গুণ = খ-এর অংশের ৩ গুণ = গ-এর অংশের ৪ গুণ = x (ধরি)
তাহলে:
ক-এর অংশ = x 2
খ-এর অংশ = x 3
গ-এর অংশ = x 4
মোট টাকা = x 2 + x 3 + x 4 = 260
ভগ্নাংশগুলোর যোগ:
x 2 + x 3 + x 4
= x ( 1 2 + 1 3 + 1 4 )
= x ( 1 2 + 1 3 + 1 4 )
= x . 6 + 4 + 3 12
= x . 13 12
তাহলে,
x × 13 12 = 260
⇒ x = 260 x 12 13
= 20 x 12
= 240
অতএব,
ক = 240 2 = 120
খ = 240 3 = 80
গ = 240 4 = 60
উত্তর: ক ১২০, খ ৮০, গ ৬০ টাকা পাবে। ✅
১৮. একটি দ্রব্য x% ক্ষতিতে বিক্রয় করলে যে মূল্য পাওয়া যায়, 3x% লাভে বিক্রয় করলে তার চেয়ে 18x টাকা বেশি পাওয়া যায়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত ছিল?
ধরি, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য C টাকা।
১ম শর্ত: x% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য
S1 = C x (1 - x 100 )
২য় শর্ত: 3x% লাভে বিক্রয়মূল্য
S2 = C x (1 + 3x 100 )
প্রশ্নমতে, S2 = S1 + 18x
⇒ C (1 + 3x 100 ) = C (1 - x 100 ) + 18x
⇒ C (1 + 3x 100 ) - C (1 - x 100 ) = 18x [বামপাশ থেকে ডানপাশের প্রথম অংশ বিয়োগ করে পাই]
⇒ C [ (1 + 3x 100 ) - (1 - x 100 ) ] = 18x
⇒ C [ 3x 100 + x 100 ] = 18x
⇒ C [ 4x 100 ] = 18x
⇒ C · 4x 100 = 18x [ধরি x ≠ 0 (ক্ষতি-লাভের শর্তে অর্থপূর্ণ), তাহলে উভয়পক্ষকে x দিয়ে ভাগ করি]
⇒ C · 4 100 = 18
⇒ C = 18 x 100 4
⇒ C = 18 x 25
⇒ C = 450
উত্তর: দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য ৪৫০ টাকা। ✅
১৯. একটি কলম 11 টাকায় বিক্রয় করলে 10% লাভ হয়। কলমটির ক্রয়মূল্য কত?
মনে করি, কলমটির ক্রয়মূল্য = C টাকা।
১০% লাভে বিক্রয়মূল্য = C + C এর ১০%
= C x (1 + 10 100 )
= C x 1.10
প্রশ্নমতে,
এই বিক্রয়মূল্য = ১১ টাকা:
C x 1.10 = 11
⇒ C = 11 1.10
= 11 11 10
= 11 x 10 11
= 10
উত্তর: কলমটির ক্রয়মূল্য ১০ টাকা। ✅
২০. একটি খাতা 36 টাকায় বিক্রয় করায় যত ক্ষতি হলো, 72 টাকায় বিক্রয় করলে তার দ্বিগুণ লাভ হতো, খাতাটির ক্রয়মূল্য কত?
ধরি, খাতাটির ক্রয়মূল্য C টাকা।
১ম শর্ত: ৩৬ টাকায় বিক্রয় করায় ক্ষতি হয়।
ক্ষতি = C - 36 টাকা।
২য় শর্ত: ৭২ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ হয়, এবং সেটি ঐ ক্ষতির দ্বিগুণ।
লাভ = 72 - C টাকা।
প্রশ্নমতে:
লাভ = 2 x ক্ষতি
72 - C = 2 x (C - 36)
সমাধান:
⇒ 72 - C = 2C - 72
⇒ 72 + 72 = 2C + C
⇒ 144 = 3C
⇒ C = 48
উত্তর: খাতাটির ক্রয়মূল্য ৪৮ টাকা। ✅
২১. মুনাফার একই হারে 300 টাকার 4 বছরের সরল মুনাফা ও 400 টাকার 5 বছরের সরল মুনাফা একত্রে 128 টাকা হলে, শতকরা মুনাফার হার কত?
ধরি, বার্ষিক সরল মুনাফার হার r% ।
১ম ক্ষেত্র:
মূলধন P1 = 300 টাকা,
সময় t1 = 4 বছর
মুনাফা I1 = P1 x r 100 x t1
= 300 x r 100 x 4
= 12r টাকা।
২য় ক্ষেত্র:
মূলধন P2 = 400 টাকা,
সময় t2 = 5 বছর
মুনাফা I2 = 400 x r 100 x 5
= 20r টাকা।
প্রশ্নমতে,
I1 + I2 = 128
⇒ 12r + 20r = 128
⇒ 32r = 128
⇒ r = 4
উত্তর: শতকরা মুনাফার হার ৪%। ✅
২২. 4% হার মুনাফায় কোনো টাকার 2 বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য 1 টাকা হলে, মূলধন কত?
ধরি, মূলধন C টাকা,
বার্ষিক মুনাফার হার r = 4% = 0.04 ,
সময় n = 2 বছর।
সরল মুনাফা (SP):
SP = C . r . n
= C . 0.04 . 2 [প্রদত্ত মান বসিয়ে]
= 0.08C
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা (CP):
CP = C (1 + r)n - C
= C (1 + 0.04)2 - C
= C(1.042 - 1)
1.042 = 1.0816 . CP
= C(1.0816 - 1)
= 0.0816C
প্রশ্নমতে, পার্থক্য
CP - SP = 1 :
⇒ 0.0816C - 0.08C = 1
⇒ 0.0016C = 1
⇒ C = 1 0.0016
⇒ C = 1 x 10000 0.0016 x 10000
⇒ C = 10000 16
⇒ C = 625
উত্তর: মূলধন ৬২৫ টাকা। ✅
২৩. কোনো আসল 3 বছরে সরল মুনাফাসহ 460 টাকা এবং 5 বছরে সরল মুনাফাসহ 600 টাকা হলে, শতকরা মুনাফার হার কত?
ধরি,
আসল P টাকা,
বার্ষিক সরল মুনাফার হার r% ।
t বছরে সরল মুনাফাসহ সুদ-আসল = A = P + P x r 100 x t
১ম শর্ত: ৩ বছরে সুদ-আসল = ৪৬০ টাকা
P + P x r 100 x 3 = 460
P ( 1 + 3r 100 ) = 460 …. (1)
২য় শর্ত: ৫ বছরে সুদ-আসল = ৬০০ টাকা
P + P x r 100 x 5 = 600
P ( 1 + 5r 100 ) = 600 …. (2)
(2) ÷ (1):
p(1 + 5r 100 ) p(1 + 3r 100 ) = 600 460
⇒ (1 + 5r 100 ) (1 + 3r 100 ) = 30 23 [লব ও হর কে ২০ দিয়ে ভাগ]
⇒ (1 + 5r 100 ) ÷ (1 + 3r 100 ) = 30 23
⇒ (1 + 5. r 100 ) ÷ (1 + 3. r 100 ) = 30 23
[ধরি, x = r 100 ]
⇒ (1 + 5x) ÷ (1 + 3x) = 30 23
⇒ (1 + 5x) x 1 1 + 3x = 30 23
⇒ 1 + 5x 1 + 3x = 30 23
⇒ 23(1 + 5x) = 30(1 + 3x)
⇒ 23 + 115x = 30 + 90x
⇒ 115x - 90x = 30 - 23
⇒ 25x = 7
⇒ x = 7 25
⇒ x = 0.28
বার্ষিক সরল মুনাফার হার r = 100x = 28
উত্তর: শতকরা মুনাফার হার ২৮%। ✅
২৪. শতকরা বার্ষিক 5 টাকা হার সরল মুনাফায় কত টাকা 13 বছরে সবৃদ্ধিমূল 990 টাকা হবে?
প্রশ্ন: “শতকরা বার্ষিক 5 টাকা হার সরল মুনাফায়” — সাধারণত “শতকরা বার্ষিক 5 টাকা হার” বলতে বোঝায় 100 টাকার উপর 1 বছরের মুনাফা 5 টাকা, অর্থাৎ r = 5% .
মনে করি,
আসল = P টাকা,
সময় t = 13 বছর, r = 5% .
সরল মুনাফাসহ সবৃদ্ধিমূল (সুদ-আসল):
A = P + P x r 100 x t
⇒ 990 = P ( 1 + 5 100 x 13 )
⇒ 990 = P ( 1 + 65 100 )
⇒ 990 = P ( 1 + 0.65 )
⇒ 990 = P x 1.65
⇒ P = 990 1.65
⇒ P = 990 x 100 1.65 x 100 [লব ও হর কে 100 দিয়ে গুণ]
⇒ P = 990 x 100 165
⇒ P = 990 x 20 33
⇒ P = 600
উত্তর: আসল ৬০০ টাকা। ✅
২৫. 5% হার মুনাফায় 8000 টাকার 3 বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য নির্ণয় করো।
দেওয়া আছে:
মূলধন P = 8000 টাকা
বার্ষিক মুনাফার হার r = 5% = 0.05
সময় n = 3 বছর
সরল মুনাফা (SI):
SI = P x r x n
SI = 8000 x 0.05 x 3
= 8000 x 0.15
= 1200 টাকা
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা (CI):
CI = P(1 + r)n - P
⇒ CI = 8000 x (1.053 - 1)
⇒ CI = 8000 x (1.157625 - 1)
⇒ CI = 8000 x 0.157625
⇒ CI = 1261 টাকা
পার্থক্য:
CI - SI = 1261 - 1200 = 61 টাকা
উত্তর: ৩ বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য ৬১ টাকা। ✅
২৬. মিষ্টির উপর মূল্য সংযোজন কর (VAT) x%। একজন বিক্রেতা ভ্যাটসহ p টাকার মিষ্টি বিক্রয় করলে তাকে কত ভ্যাট দিতে হবে? X = 15, P = 2300 হলে, ভ্যাটের পরিমাণ কত?
প্রশ্ন: মিষ্টির উপর ভ্যাটের হার x% , বিক্রেতা ভ্যাটসহ p টাকার মিষ্টি বিক্রয় করলে তাকে কত ভ্যাট দিতে হবে-
সূত্র নির্ণয়:
ধরি,
মিষ্টির ভ্যাটবিহীন মূল্য = M টাকা।
ভ্যাটসহ মূল্য = M + M x x 100
= M (1 + x 100 )
প্রশ্নমতে, ভ্যাটসহ মূল্য p :
P = M (1 + x 100 )
⇒ M = P 1 + x 100
ভ্যাটের পরিমাণ = P - M
= P - P 1 + x 100
VAT = P [ 1 - 1 1 + x 100 ]
= P . 1 + x 100 - 1 1 + x 100
= P . x 100 1 + x 100
= p x 100 + x
মান বসানো:
x = 15 ,
P = 2300
VAT = 2300 . 15 100 + 15
= 2300 x 15 115
= 2300 x 3 23 (যেহেতু 15 115 = 3 23 )
= 100 x 3
= 300
উত্তর:
সাধারণ সূত্র: VAT = p x 100 + x
x = 15, p = 2300 হলে, ভ্যাটের পরিমাণ ৩০০ টাকা। ✅
Alternative Method
ভ্যাটের হার x% মানে, ভ্যাটবিহীন মূল্য ১০০ টাকা হলে ভ্যাটসহ মূল্য = 100 + x টাকা।
এখন, বিক্রেতা ভ্যাটসহ p টাকায় মিষ্টি বিক্রয় করেছেন।
তাহলে, ভ্যাটসহ 100 + x টাকায় ভ্যাট = x টাকা
∴ ভ্যাটসহ ১ টাকায় ভ্যাট = x 100 + x টাকা
∴ ভ্যাটসহ p টাকায় ভ্যাট = p x x 100 + x টাকা
x = 15, p = 2300 বসাই:
VAT = 2300 x 15 100 + 15
= 2300 x 15 115
= 2300 x 3 23
= 100 x 3
= 300
উত্তর: একই — ৩০০ টাকা ভ্যাট দিতে হবে। ✅
এই পদ্ধতিতে সরাসরি শতকরা অনুপাত ব্যবহার করে সূত্র ছাড়াই করা গেল।
২৭. দাঁড় বেয়ে একটি খালের A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে যেয়ে ফিরে আসতে হবে। দাঁড়ের বেগ ধ্রুব হলে স্রোত থাকলে সময় বেশি লাগবে না স্রোত না থাকলে সময় বেশি লাগবে?
এখানে দাঁড়ের বেগ ধ্রুব (স্থির পানিতে নৌকার গতি u , এবং খালের A ও B বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব d ।
ধরা যাক:
স্রোতের বেগ v (ধনাত্মক)
স্রোত থাকলে অনুকূল ও প্রতিকূল উভয় দিকেই যেতে হবে।
স্রোত না থাকলে v = 0
স্রোত না থাকলে ( v = 0 ):
যেতে সময় = d u ,
ফিরতে সময় = d u
মোট সময় T0 = 2d u
স্রোত থাকলে ( v > 0 ):
অনুকূলে বেগ = u + v → সময় = d u + v
প্রতিকূলে বেগ = u - v → সময় = d u - v
মোট সময়,
Tv = d u + v + d u - v
⇒ Tv = d · (u - v) + (u + v) (u + v) (u - v)
⇒ Tv = d · u - v + u + v u2 - v2
⇒ Tv = 2du u2 - v2
তুলনা:
Tv T0 = 2du u2 - v2 2d u
⇒ Tv T0 = 2du u2 - v2 x u 2d
⇒ Tv T0 = u2 u2 - v2
যেহেতু u2 - v2 < u2 , সুতরাং Tv > T0
সিদ্ধান্ত:
স্রোত থাকলে বেশি সময় লাগবে।
বাস্তব কারণ: প্রতিকূলে সময় বেশি লাগে, এবং সেই বৃদ্ধি অনুকূলের সময় কমার চেয়ে বেশি হয়।
উত্তর: স্রোত থাকলে সময় বেশি লাগে। ✅
২৮. একটি মাঠে ধ্রুব হারে ঘাস বৃদ্ধি পায়। 17টি গরু 30 দিনে সব ঘাস খেয়ে ফেলতে পারে। তবে 19টি গরুর লাগে 24 দিন। একদল গরু 6 দিন ঘাস খাওয়ার পর 4টি গরু বিক্রয় করা হলে ঘাস খাওয়া শেষ করতে আরও 2 দিন লাগলো। দলটিতে শুরুতে কতগুলো গরু ছিল?
এটি একটি “ক্রমবর্ধমান ঘাস” সংক্রান্ত সমস্যা।
ধরি,
মাঠে প্রারম্ভিক ঘাসের পরিমাণ = G একক (গরু-দিন এককে)
ঘাসের বৃদ্ধির হার = r একক/দিন
প্রতিটি গরুর খাওয়ার হার = 1 একক/দিন (ধরি, ১ গরু ১ দিনে ১ একক ঘাস খায়)
১ম শর্ত:
১৭টি গরু ৩০ দিনে সব ঘাস শেষ করে
মোট খাওয়া = 17 x 30 = 510 একক
প্রাথমিক ঘাস + ৩০ দিনে বৃদ্ধি = G + 30r
G + 30r = 510 …... (1)
২য় শর্ত: ১৯টি গরু ২৪ দিনে সব ঘাস শেষ করে
মোট খাওয়া = 19 x 24 = 456 একক
G + 24r = 456 …... (2)
এখন,
(1) - (2):
⟹ G + 30r - (G + 24r) = 510 - 456
⟹ G + 30r - G - 24r = 54
⟹ 6r = 54
⟹ r = 9
(2) থেকে
⟹ G + 24 x 9 = 456
⟹ G + 216 = 456
⟹ G = 456 - 216
⟹ G = 240
৩য় শর্ত:
মনে করি, শুরুতে n টি গরু ছিল।
প্রথম ৬ দিন:
খাওয়া হয় = 6n একক, বৃদ্ধি = 6 x 9 = 54 একক
৬ দিন পর অবশিষ্ট ঘাস = G + 54 - 6n
= 240 + 54 - 6n
= 294 - 6n
এরপর ৪টি গরু বিক্রি করায় গরু সংখ্যা = n - 4 , আরও ২ দিন লাগে।
এই ২ দিনে:
বৃদ্ধি = 2 x 9 = 18 একক
মোট উপলব্ধ ঘাস = অবশিষ্ট + বৃদ্ধি
= (294 - 6n) + 18
= 312 - 6n
গরু খায় = (n - 4) x 2 একক
সমীকরণ:
(n - 4) x 2 = 312 - 6n
2n - 8 = 312 - 6n
2n + 6n = 312 + 8
8n = 320
n = 40
উত্তর: শুরুতে ৪০টি গরু ছিল। ✅
২৯. দুই ভাইয়ের একটি প্রশিক্ষিত ঘোড়া ছিল যা যেকোনো নির্দেশই পালন করতে পারে। দুই ভাই একই সময়ে বাসা থেকে রওয়ানা হয়ে 20 মাইল দূরে একটি বৈশাখী মেলায় যেতে চায়। ঘোড়া যেকোনো মুহূর্তে মাত্র একজন ভাইকে বহন করতে পারে। ভাইদের বেগ ঘণ্টায় 4 মাইল এবং ঘোড়ার বেগ ঘণ্টায় (মানুষসহ কিংবা ছাড়া) 10 মাইল হলে সর্বনিম্ন কত সময়ে তারা মেলায় পৌঁছতে পারবে? প্রত্যেক ভাই কতটা পথ হাঁটবে?
এটি একটি সর্বনিম্ন সময়ের সমস্যা, যেখানে ঘোড়া ও ভাইদের গতিবেগ ধ্রুব। উদ্দেশ্য: দুই ভাইকে ২০ মাইল দূরের মেলায় পৌঁছানো, যেখানে ঘোড়া একসঙ্গে একজনকে নিতে পারে, এবং যে হাঁটে তার বেগ ৪ মাইল/ঘণ্টা, ঘোড়ার বেগ ১০ মাইল/ঘণ্টা।
কৌশল
সর্বনিম্ন সময়ের জন্য তারা একসঙ্গে পৌঁছাতে চায়, এবং ঘোড়া পুরো সময় চলতে থাকে, কখনও অপেক্ষা করে না (যদি না অন্য ভাইকে নিতে ফিরে আসার প্রয়োজন হয়)। আদর্শ সমাধান:
1. প্রথম ভাই (A) ঘোড়ায় চড়ে কিছুদূর যায়, নামে, বাকি পথ হাঁটে।
2. ঘোড়া ফিরে এসে দ্বিতীয় ভাই (B)-এর সাথে মিলিত হয়, তাকে নিয়ে মেলায় পৌঁছে।
সমান সময়ে পৌঁছানোর জন্য তারা একটি নির্দিষ্ট স্থানে (drop-off point) নামে এবং ঘোড়া ফিরে গিয়ে B-কে নেয়।
চলক নির্ধারণ
ধরি:
a ঘোড়ায় চড়ে x মাইল যায় (বাকি 20 - x মাইল হাঁটে)
A নামার সময় B কিছুদূর হেঁটে অগ্রসর হয়। ঘোড়া ফিরে এসে B-এর সাথে মিলিত হয়। মিলিত হওয়ার পর B ঘোড়ায় চড়ে বাকি পথ যায়।
A-এর যাত্রা (ঘোড়া + হাঁটা)
A ঘোড়ায় চড়ে x মাইল সময় নেয় = x 10 ঘণ্টা
এখন A হাঁটবে 20-x মাইল বেগে 4 মাইল/ঘণ্টা → সময় = 20 - x 4 ঘণ্টা
A-এর মোট সময়:
TA = x 10 + 20 - x 4
B-এর যাত্রা (হাঁটা + ঘোড়া)
A যাত্রা শুরুর পর B হাঁটতে থাকে। ঘোড়া A-কে নামিয়ে ফিরে আসে B-এর সাথে মিলিত হওয়ার জন্য।
A নামার সময় B-এর অবস্থান:
A নামতে সময় = x 10 ,
B হাঁটে 4 মাইল/ঘণ্টায়,
তাই B অতিক্রম করে 4 x x 10 = 2x 5 মাইল।
তখন A ও B-এর মধ্যবর্তী দূরত্ব = x - 2x 5 = 3x 5 মাইল।
ঘোড়া ফিরে আসার বেগ 10 মাইল/ঘণ্টা, B হাঁটার বেগ 4 মাইল/ঘণ্টা, এরা পরস্পরের দিকে অগ্রসর হয়, আপেক্ষিক বেগ 10+4=14 মাইল/ঘণ্টা।
মিলিত হতে সময় = 3x 5 10
= 3x 50 x 1 10 ঘণ্টা।
= 3x 50 ঘণ্টা।
B এই সময়ে আরও হাঁটে 4 x 3x 50
= 12x 50
= 6x 25 মাইল।
সুতরাং A নামার সময় থেকে মিলিত হওয়া পর্যন্ত মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব (A নামার স্থান থেকে) B হেঁটে আসে, = 2x 5 + 6x 25 মাইল।
= 10x + 6x 25
= 16x 25
মিলিত হওয়ার স্থান থেকে মেলার দূরত্ব 20 - 16x 25 মাইল।
B এই বাকি পথ ঘোড়ায় চড়ে 10 মাইল/ঘণ্টায় যায়, সময় লাগে= 20 - 16x 25 10
= 500 - 16x 25 x 1 10 ঘণ্টা।
= 2(250 - 8x) 250 ঘণ্টা।
= (250 - 8x) 125 ঘণ্টা।
B-এর মোট সময়:
A যাত্রা শুরুর পর থেকে B-এর সময়:
1. প্রথম x 10 ঘণ্টা (A ঘোড়ায় থাকা অবস্থায় B হাঁটে)
2. মিলিত হতে সময় 3x 50 ঘণ্টা
3. মেলা পর্যন্ত ঘোড়ায় সময় (250 - 8x) 125
মোট:
TB = x 10 + 3x 50 + (250 - 8x) 125
সুতরাং, TB = 24x + 500 250
সমান সময়ের শর্ত,
TA = TB
⇒ x 10 + 20 - x 4 = x 10 + 3x 50 + (250 - 8x) 125
⇒ 20 - x 4 = 3x 50 + 250 - 8x 125 [উভয় পাশে x 10 বাদ দেই]
⇒ 20 - x 4 = 15x + 500 - 16x 250
⇒ 20 - x 4 = 500 - x 250
⇒ 250(20 - x) = 4(500 - x)
⇒ 125(20 - x) = 2(500 - x)
⇒ 2500 - 125x = 1000 - 2x
⇒ 2500 - 1000 = 125x - 2x
⇒ 1500 = 123x
⇒ 123x = 1500
⇒ x = 1500 123
⇒ x = 500 41
সর্বনিম্ন সময় নির্ণয়
A-এর মোট সময়-
T = TA = x 10 + 20 - x 4
= 500 41 . 1 10 + (20 - 500 41 ) . 1 4
= 500 410 + 820 - 500 41 . 1 4
= 500 410 + 320 41 . 1 4
= 500 410 + 80 41
= 500 + 800 410
= 1300 410
= 130 41 ঘণ্টা
A-এর মোট সময় = 130 41 ঘণ্টা
= 3 ঘণ্টা , 17 x 60 100 মিনিট
= 3 ঘণ্টা 10 মিনিট
প্রত্যেক ভাইয়ের হাঁটার দূরত্ব:
A হাঁটে, 20 - x = 20 - 500 41
= 820 - 500 41 মাইল
= 320 41 মাইল
≈ 7.8 মাইল
উত্তর:
সর্বনিম্ন সময় = 3 ঘণ্টা 10 মিনিট।
প্রত্যেক ভাই হাঁটে ≈ 7.8 মাইল। ✅
নমুনা প্রশ্ন
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
১. 1 2 {(a + b)2 - (a - b)2} এর মান নিচের কোনটি?
ক) 2(a2 + b2)
খ) a2 + b2
গ) 2ab
ঘ) 4ab
আমরা রাশিটি সহজ করি:
1 2 [ (a + b)2 - (a - b)2 ]
আমরা জানি,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
বিয়োগ করে:
(a + b)2 - (a - b)2 = (a2 + 2ab + b2) - (a2 - 2ab + b2)
= a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2
= 4ab
তাহলে,
1 2 x 4ab = 2ab
উত্তর: গ) 2ab ✅
২. 3a5 - 6a4 + 3a + 14 একটি বীজগাণিতিক রাশি হলে-
(i) রাশিটির চলক a
(ii) রাশিটির মাত্রা 5
(ii) a4 এর সহগ 6
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i, ii
খ) i, iii
গ) ii, iii
ঘ) i, ii ও iii
প্রদত্ত রাশি: 3a5 - 6a4 + 3a + 14
বিশ্লেষণ:
(i) রাশিটির চলক a → স্পষ্টতই চলক a (ধ্রুবক 14 ছাড়া সব পদে a আছে) → সঠিক ✅
(ii) রাশিটির মাত্রা 5 → সর্বোচ্চ সূচক 5, তাই মাত্রা 5 → সঠিক ✅
(iii) a4 এর সহগ → পদ -6a4 এর সহগ -6 , প্রশ্নে বলা 6 → ভুল ❌
সুতরাং (i) ও (ii) সঠিক।
উত্তর: ক) i, ii ✅
x + 1 x = √ 3 হলে, নিচের ৩ ও ৪নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
৩. x2 + 1 x2 এর মান কত?
ক) 4
খ) 2
গ) 1
ঘ) 0
আমরা জানি,
x + 1 x = √ 3
দুই পাশে বর্গ করে পাই:
(x + 1 x )2 = (√ 3 )2
⇒ x2 + 2 · x · 1 x + 1 x2 = 3
⇒ x2 + 2 + 1 x2 = 3
⇒ x2 + 1 x2 = 3 - 2 = 1
⇒ x2 + 1 x2 = 1
তাই, x2 + 1 x2 = 1
উত্তর: গ) 1 ✅
8. x3 + 1 x3 এর মান কত?
ক) 3
খ) 2
গ) 1
ঘ) 0
আমরা জানি:
x + 1 x = √ 3
এবং x3 + 1 x3 = (x + 1 x )3 - 3(x + 1 x )
তাহলে:
x3 + 1 x3 = (√ 3 )3 - 3(√ 3 )
= 3√ 3 - 3√ 3 = 0
উত্তর: ঘ) 0 ✅
সৃজনশীল প্রশ্ন
৫. x + 1 x = 3 এবং p2 + 1 p2 = 7
(ক) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: a4 - 7a2 - 18
(খ) (x3 - 1 x3 )-এর মান নির্ণয় করো; যখন x > 1
(গ) প্রমাণ করো যে, p5 + 1 p5 = 123, যখন p > 0
ধরি, আমরা ধাপে ধাপে সমাধান করছি।
(ক) a4 - 7a2 - 18 উৎপাদকে বিশ্লেষণ
ধরি a2 = z , তাহলে
z2 - 7z - 18
= z2 - 9z + 2z - 18
= z(z - 9) + 2(z - 9)
= (z - 9)(z + 2)
অতএব,
z = a2 বসাই:
(a2 - 9)(a2 + 2)
= (a - 3)(a + 3)(a2 + 2)
✅ উত্তর (ক): (a - 3)(a + 3)(a2 + 2)
(খ) x + 1 x = 3 এবং x > 1 হলে x3 - 1 x3
আমরা জানি:
( x - 1 x )2 = ( x + 1 x )2 - 4
= 9 - 4
= 5
x - 1 x = √ 5 ( x>1 বলে ধনাত্মক)
সূত্র:
x3 - 1 x3 = ( x - 1 x )3 + 3( x - 1 x )
= (√ 5 )3 + 3√ 5
= 5√ 5 + 3√ 5 = 8√ 5
✅ উত্তর (খ): 8√ 5
(গ) p2 + 1 p2 = 7 এবং p > 0 হলে প্রমাণ কর p5 + 1 p5 = 123
p + 1 p বের করি:
( p + 1 p )2 = p2 + 1 p2 + 2
= 7 + 2
= 9
p + 1 p = 3 ( p > 0 বলে ধনাত্মক)
এখন,
p3 + 1 p3 = ( p + 1 p )3 - 3( p + 1 p )
= 27 - 9
= 18
আবার,
p5 + 1 p5
= ( p2 + 1 p2 ) ( p3 + 1 p3 ) - ( p + 1 p )
(কারণ a5 + b5 = (a2+b2)(a3+b3) - a2b2(a+b) এবং এখানে ab = 1 )
= 7 x 18 - 3
= 126 - 3
= 123
✅ প্রমাণিত।
সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন
৬. ক) a2 + b2 = 25 এবং ab = 12 হলে, (a2-b2)-এর মান নির্ণয় করো।
খ) x3 - y3 = 208 এবং x - y = 4 হলে, xy-এর মান নির্ণয় করো।
গ) শতকরা বার্ষিক 5 টাকা হার মুনাফায় কত টাকা 12 বছরে সবৃদ্ধিমূল 1280 টাকা হবে?
ঘ) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: 2x3 - 4x2 + 3x - 1
৬. ক)
a2 + b2 = 25 , ab = 12
আমরা জানি,
(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab
⇒ (a - b)2 = 25 - 24 = 1
⇒ (a - b)2 = 1
অতএব
a - b = ± 1
একইভাবে,
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
⇒ (a + b)2 = 25 + 24
⇒ (a + b)2 = 49
অতএব
a + b = ± 7
এখন, a2 - b2 = (a - b)(a + b)
দুটি সম্ভাব্য মান:
(a-b)(a+b) = (-1)(7) = -7 বা(a-b)(a+b) = (1)(7) = 7
সাধারণত উত্তর ধনাত্মক ধরলে:
a2 - b2 = ± 7
উত্তর: ± 7 (বা শুধু 7 ধরতে পারেন, তবে বাস্তবে চিহ্ন অনির্ধারিত)।
৬. খ)
x3 - y3 = 208 , x - y = 4
সূত্র:
x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2)
⇒ 208 = 4 · (x2 + xy + y2)
⇒ x2 + xy + y2 = 52
আবার, x2 + y2 = (x - y)2 + 2xy
= 16 + 2xy
বসাই:
(16 + 2xy) + xy = 52
⇒ 16 + 3xy = 52
⇒ 3xy = 36
⇒ xy = 12
✅
