১. x কে চলক ধরে a2 x + b = 0 সমীকরণটির ঘাত নিচের কোনটি?
ক) 3
খ) 2
গ) 1
ঘ) 0
1.
প্রদত্ত সমীকরণ:
a2 x + b = 0
এখানে x চলক, a2 ও b ধ্রুবক।
x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 1 (কারণ a2 x পদটি x1 আকারে আছে)।
সুতরাং সমীকরণটির ঘাত = 1।
উত্তর: গ) 1
২. নিচের কোনটি অভেদ?
ক) (x + 1)2 + (x - 1)2 = 4x
খ) (x + 1)2 + (x - 1)2 = 2(x2 + 1)
গ) (a + b)2 + (a - b)2 = 2ab
ঘ) (a - b)2 = a2 + 2ab + b2
2.
প্রতিটি অপশন পরীক্ষা করব:
ক)
(x + 1)2 + (x - 1)2 = 4x
⇒ x2 + 2x + 1 + x2 - 2x + 1 = 4x
⇒ 2x2 + 2 = 4x
⇒ 2x2 - 4x + 2 = 0
⇒ x2 - 2x + 1 = 0
⇒ (x-1)2 = 0
এটি সব x-এর জন্য সত্য নয় → অভেদ নয়।
খ)
(x + 1)2 + (x - 1)2 = 2(x2 + 1)
বামপক্ষ: 2x2 + 2 = 2(x2 + 1) = ডানপক্ষ
সব x-এর জন্য সত্য → অভেদ ✅
গ)
(a + b)2 + (a - b)2 = 2ab
⇒ a2 + 2ab + b2 + a2 - 2ab + b2 = 2ab
⇒ 2a2 + 2b2 = 2ab
⇒ a2 + b2 = ab
সব a,b-এর জন্য সত্য নয় → অভেদ নয়।
ঘ)
(a - b)2 = a2 + 2ab + b2
বামপক্ষ: a2 - 2ab + b2
ডানপক্ষ: a2 + 2ab + b2
সমান হলে -2ab = 2ab ⇒ ab = 0 → সব a,b-এর জন্য সত্য নয় → অভেদ নয়।
উত্তর: খ)
খ
৩. x2 - x - 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় নিচের কোনটি?
ক) 3, 4
খ) 3, -4
গ) -3, 4
ঘ) -3, -4
3.
সমীকরণটি হলো:
x2 - x - 12 = 0
⇒ x2 - 4x + 3x - 12 = 0
⇒ x(x - 4) + 3(x - 4) = 0
⇒ (x - 4)(x + 3) = 0
সুতরাং:
x - 4 = 0
⇒ x = 4
অথবা,
x + 3 = 0
⇒ x = -3
মূলদ্বয়: 4 ও -3।
উত্তর: গ) -3, 4
8. 3x2 - x + 5 = 0 সমীকরণে এর সহগ কত?
ক) 3
খ) 2
গ) 1
ঘ) -1
4.
সমীকরণ:
3x2 - x + 5 = 0
এখানে 3x2 পদটির সহগ 3, -x পদটির সহগ -1, ধ্রুবক পদ 5।
প্রশ্নে "এর সহগ" বলতে সাধারণত x-এর সহগ বোঝায় (মধ্য পদের সহগ)।
সুতরাং x-এর সহগ = -1
উত্তর: ঘ) -1
৫. x2 - (a + b)x + ab = 0 সমীকরণের সমাধান সেট নিচের কোনটি?
ক) {a, b}
খ) {a, -b}
গ) {-a, b}
ঘ) {-a, -b}
5.
আমরা সমীকরণটি লক্ষ করি:
x2 - (a + b)x + ab = 0
⇒ x2 - ax - bx + ab = 0
⇒ x(x - a) - b(x - a) = 0
⇒ (x - a) (x - b) = 0
সুতরাং,
(x - a)(x - b) = 0
⇒ x - a = 0 অথবা x - b = 0
⇒ x = a অথবা x = b
অতএব সমাধান সেট = a, b
উত্তর: ক) {a, b}
সমাধান করো (৬-১২):
৬. (y + 5)(y - 5) = 24
6.
সমীকরণটি হলো:
(y + 5) (y - 5) = 24
সমাধান:
(y + 5) (y - 5) = 24
⇒ y2 - 25 = 24 [বামপক্ষ a2 - b2 সূত্রে বিস্তার]
⇒ y2 = 24 + 25 [25 ডানপক্ষে নিয়ে]
⇒ y2 = 49
⇒ y = ± √ 49 [উভয়পক্ষের বর্গমূল]
⇒ y = ± 7 [√ 49 = 7]
সমাধান সেট:
7, -7
৭. (√ 2 x + 3)(√ 3 x - 2) = 0
7.
সমীকরণটি হলো:
(√ 2 , x + 3)(√ 3 , x - 2) = 0
সমাধান:
(√ 2 , x + 3)(√ 3 , x - 2) = 0
দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে, যেকোনো একটি রাশি শূন্য হবে।
১ম রাশি শূন্য হলে:
√ 2 , x + 3 = 0
√ 2 , x = -3
x = - 3 √ 2
= - 3 . √ 2 √ 2 . √ 2
= - 3√ 2 2 [হরের করণীমূল সরালাম]
২য় রাশি শূন্য হলে:
√ 3 , x - 2 = 0
√ 3 , x = 2
x = 2 √ 3
x = 2√ 3 3 [হরের করণীমূল সরালাম]
সমাধান সেট:
{- 3√ 2 2 , 2√ 3 3 }
৮. 2(z2 - 9) + 9z = 0
8.
সমীকরণটি হলো:
2(z2 - 9) + 9z = 0
সমাধান:
2z2 - 18 + 9z = 0
⇒ 2z2 + 9z - 18 = 0 [পুনর্বিন্যাস]
⇒ 2z2 + 12z - 3z - 18 = 0 [দুটি সংখ্যা খুঁজি যাদের গুণফল -36 এবং যোগফল 9]
⇒ 2z(z + 6) - 3(z + 6) = 0
⇒ (z + 6)(2z - 3) = 0
১ম উৎপাদক শূন্য হলে:
z + 6 = 0
⇒ z = -6
২য় উৎপাদক শূন্য হলে:
2z - 3 = 0
⇒ z = 3 2
সমাধান সেট:
-6, 3 2
৯. 3 2z + 1 + 4 5z - 1 = 2
9.
সমীকরণটি হলো:
3 2z + 1 + 4 5z - 1 = 2
সংজ্ঞার এলাকা:
2z + 1 ≠ 0 ⇒ z ≠ - 1 2
5z - 1 ≠ 0 ⇒ z ≠ 1 5
সমাধান:
3 2z + 1 + 4 5z - 1 = 2
⇒ 3(5z-1) + 4(2z+1) (2z+1)(5z-1) = 2 [বামপক্ষের সাধারণ হর (2z+1)(5z-1)]
⇒ 15z - 3 + 8z + 4 (2z+1)(5z-1) = 2 [লব বিস্তার ]
⇒ 23z + 1 (2z+1)(5z-1) = 2 [লব সরল ]
⇒ 23z + 1 = 2(2z+1)(5z-1) [আড়াআড়ি গুণ]
⇒ 23z + 1 = 2(2z+1)(5z-1)
⇒ 23z + 1 = 2(10z2 - 2z + 5z - 1)
⇒ 23z + 1 = 12(0z2 + 3z - 1)
⇒ 23z + 1 = 2 x (10z2 + 3z - 1)
⇒ 23z + 1 = 20z2 + 6z - 2
⇒ 0 = 20z2 + 6z - 2 - 23z - 1 [সকল রাশি একপাশে আনা হলো]
⇒ 0 = 20z2 - 17z - 3
⇒ 20z2 - 17z - 3 = 0
⇒ 20z2 - 20z + 3z - 3 = 0 [উৎপাদকে বিশ্লেষণ]
⇒ 20z(z - 1) + 3(z - 1) = 0
⇒ (z - 1)(20z + 3) = 0
১ম উৎপাদক:
z - 1 = 0
⇒ z = 1
২য় উৎপাদক:
20z + 3 = 0
⇒ z = - 3 20
সংজ্ঞার এলাকার সাথে মিলিয়ে দেখি:
z = 1 → 2(1) + 1 = 3 ≠ 0, 5(1) - 1 = 4 ≠ 0 → বৈধ
z = - 3 20 → 2(- 3 20 ) + 1 = - 3 10+1 = 7 10 ≠ 0) ,
5(- 3 20 ) - 1 = - 15 20 - 1 = - 15 20 - 20 20 = - 35 20 ≠ 0 → বৈধ
সমাধান সেট:
1, - 3 20
১০. x - 2 x + 2 + 6(x - 2) x - 6 = 1
10.
সমীকরণটি হলো:
x - 2 x + 2 + 6(x - 2) x - 6 = 1
সংজ্ঞার এলাকা:
x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ -2
x - 6 ≠ 0 ⇒ x ≠ 6
সমাধান:
⇒ x - 2 x + 2 + 6(x - 2) x - 6 = 1
⇒ (x - 2)[ 1 x + 2 + 6 x - 6 ] = 1 [এখানে, x-2 কমন নিলাম]
⇒ (x - 2)[ 1 x + 2 + 6 x - 6 ] = 1
⇒ (x - 2)[ (x - 6) + 6(x + 2) (x + 2)(x - 6) ] = 1 [বন্ধনীর ভিতরের অংশের সাধারণ হর (x+2)(x-6)]
⇒ (x - 2) x - 6 + 6x + 12 (x+2)(x-6) =1
⇒ (x - 2) 7x + 6 (x + 2)(x - 6) = 1
⇒ (x - 2) · 7x + 6 (x + 2)(x - 6) = 1
⇒ (x - 2)(7x + 6) (x + 2)(x - 6) = 1
⇒ (x - 2)(7x + 6) = (x + 2)(x - 6) [আড়াআড়ি গুণ]
⇒ 7x2 + 6x - 14x - 12 = x2 - 6x + 2x - 12
⇒ 7x2 - 8x - 12 = x2 - 4x - 12
⇒ 7x2 - 8x - 12 - x2 + 4x + 12 = 0
⇒ 6x2 - 4x = 0
⇒ 2x(3x - 2) = 0
এখানে,
2x = 0
⇒ x = 0
অথবা
3x - 2 = 0
⇒ x = 2 3
সংজ্ঞার এলাকা যাচাই:
x = 0 ≠ -2, 6 → বৈধ
x = 2 3 ≠ -2, 6 → বৈধ
সমাধান সেট:
0, 2 3
১১. x a + a x = x b + b x
11.
সমীকরণটি হলো:
x a + a x = x b + b x
সংজ্ঞার এলাকা:
x ≠ 0, a ≠ 0, b ≠ 0
সমাধান:
x a + a x = x b + b x
⇒ x a - x b + ( a x - b x ) = 0 [পুনর্বিন্যাস]
⇒ x( 1 a - 1 b ) + 1 x (a - b) = 0
⇒ x · b - a ab + a - b x = 0
⇒ x · b - a ab - b - a x = 0 [লক্ষ করি a - b = -(b - a)]
⇒ (b - a)( x ab - 1 x ) = 0
১ম উৎপাদক শূন্য হলে:
b - a = 0
⇒ a = b
তাহলে মূল সমীকরণটি x a + a x = x a + a x অর্থাৎ 0 = 0 হয়, যা সব x ≠ 0 এর জন্য সত্য (এবং a ≠ 0)।
২য় উৎপাদক শূন্য হলে:
x ab - 1 x = 0
⇒ x ab = 1 x
⇒ x2 = ab
⇒ x = ± √ ab
(এখানে ab > 0 হলে বাস্তব সমাধান, নাহলে জটিল; a=b না ধরে a ≠ b)
শর্ত: x ≠ 0 স্বয়ংক্রিয়ভাবে পূর্ণ।
সুতরাং সমাধান:
যদি a = b (এবং a ≠ 0), তবে সব x ≠ 0 সমাধান।
যদি a ≠ b ও ab > 0 (বাস্তব x চাইলে),
তবে:
x = √ ab অথবা x = -√ ab
x = ±√ ab (যখন a≠ b ও ab>0); a=b হলে সব x≠ 0
১২. x - a x - b + x - b x - a = a b + b a
12.
সমীকরণটি হলো:
x - a x - b + x - b x - a = a b + b a
সংজ্ঞার এলাকা:
x ≠ b, x ≠ a, a ≠ 0, b ≠ 0
সমাধান:
মনে করি,
t = x - a x - b
তাহলে,
x - b x - a = 1 t
সমীকরণটি দাঁড়ায়:
t + 1 t = a b + b a
⇒ t2 + 1 t = a2 + b2 ab
⇒ ab(t2 + 1) = t(a2 + b2) [আড়াআড়ি গুণ]
⇒ ab t2 + ab = (a2 + b2)t
⇒ ab t2 - (a2 + b2)t + ab = 0
⇒ ab t2 - a2 t - b2 t + ab = 0
⇒ at(b - a) - b(b - a) = 0
⇒ (b - a) (at - b) = 0
⇒ (at - b)(bt - a) = 0
১ম উৎপাদক শূন্য হলে:
at - b = 0
⇒ t = b a
২য় উৎপাদক শূন্য হলে:
bt - a = 0
⇒ t = a b
প্রথম ক্ষেত্রে,
t = b a :
⇒ x - a x - b = b a
⇒ a(x - a) = b(x - b)
⇒ ax - a2 = bx - b2
⇒ ax - bx = a2 - b2
⇒ x(a - b) = (a - b)(a + b)
⇒ x = a + b [যদি a ≠ b হয়, তবে]
যদি a = b হয়, তবে মূল সমীকরণে a = b বসালে:
x - a x - a + x - a x - a = 1 + 1 = 2
ডানপক্ষ: a a + a a = 1 + 1 = 2 → সব x ≠ a এর জন্য সত্য।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে t = a b :
⇒ x - a x - b = a b
⇒ b(x - a) = a(x - b)
⇒ bx - ab = ax - ab
⇒ bx = ax
⇒ x(b - a) = 0
যদি a ≠ b হয়, তবে x = 0 (শর্ত: 0 ≠ a, b অর্থাৎ a,b ≠ 0)
যদি a = b হয়, আগের মতোই সব x ≠ a সমাধান।
সুতরাং সাধারণ সমাধান (a ≠ b, a,b ≠ 0):
x = a + b বা x = 0
বিশেষ ক্ষেত্রে a = b ≠ 0:
সব x ≠ a সমাধান।
x = 0, x = a+b (যখন a≠ b, ab≠ 0); a=b≠ 0 হলে সব x≠ a
সমাধান সেট নির্ণয় করো (১৩ - ১৭):
১৩. 3 x + 4 x + 1 = 2
13.
সমীকরণটি হলো:
3 x + 4 x + 1 = 2
সংজ্ঞার এলাকা:
x ≠ 0, x ≠ -1
সমাধান:
3 x + 4 x + 1 = 2 [প্রদত্ত সমীকরণ]
⇒ 3(x + 1) + 4x x(x + 1) = 2
⇒ 3x + 3 + 4x x(x + 1) = 2 [লব বিস্তার ]
⇒ 7x + 3 x(x + 1) = 2 [লব সরল ]
⇒ 7x + 3 = 2x(x+1) [আড়াআড়ি গুণ]
⇒ 7x + 3 = 2x2 + 2x [ডানপক্ষ বিস্তার]
⇒ 0 = 2x2 + 2x - 7x - 3
⇒ 0 = 2x2 - 5x - 3
⇒ 2x2 - 5x - 3 = 0
⇒ 2x2 - 6x + x - 3 = 0 [দুটি সংখ্যা খুঁজি যাদের গুণফল -6 ও যোগফল -5]
⇒ 2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0
⇒ (x - 3)(2x + 1) = 0
১ম উৎপাদক শূন্য হলে:
x - 3 = 0
⇒ x = 3
২য় উৎপাদক শূন্য হলে:
2x + 1 = 0
⇒ x = - 1 2
সংজ্ঞার এলাকা যাচাই:
x = 3 ≠ 0, -1 → বৈধ
x = - 1 2 ≠ 0, -1 → বৈধ
সমাধান সেট:
3, - 1 2
১৪. x + 7 x + 1 + 2x + 6 2x + 1 = 5
14.
সমীকরণটি হলো:
x + 7 x + 1 + 2x + 6 2x + 1 = 5
সংজ্ঞার এলাকা:
x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1
2x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ - 1 2
সমাধান:
x + 7 x + 1 + 2x + 6 2x + 1 = 5
প্রথম ভগ্নাংশটিকে এভাবে লেখা যায়:
x + 7 x + 1
= (x + 1) + 6 x + 1
= 1 + 6 x + 1
দ্বিতীয় ভগ্নাংশটিকে এভাবে লেখা যায়:
2x + 6 2x + 1
= (2x + 1) + 5 2x + 1
= 1 + 5 2x + 1
তাহলে সমীকরণ দাঁড়ায়:
⇒ (1 + 6 x + 1 ) + (1 + 5 2x + 1 ) = 5
⇒ 2 + 6 x + 1 + 5 2x + 1 = 5
⇒ 6 x + 1 + 5 2x + 1 = 3 [2 ডানপক্ষে নিয়ে]
⇒ 6(2x + 1) + 5(x + 1) (x + 1)(2x + 1) = 3
⇒ 12x + 6 + 5x + 5 (x + 1)(2x + 1) = 3
⇒ 17x + 11 (x + 1)(2x + 1) = 3
⇒ 17x + 11 = 3(x + 1)(2x + 1) [আড়াআড়ি গুণ]
⇒ 17x + 11 = 3(2x2 + x + 2x + 1)
⇒ 17x + 11 = 3(2x2 + 3x + 1)
⇒ 17x + 11 = 6x2 + 9x + 3
⇒ 6x2 + 9x + 3 - 17x - 11 = 0
⇒ 6x2 - 8x - 8 = 0
⇒ 3x2 - 4x - 4 = 0 [উভয়পক্ষকে ২ দিয়ে ভাগ করি]
⇒ 3x2 - 6x + 2x - 4 = 0 [উৎপাদকে বিশ্লেষণ]
⇒ 3x(x - 2) + 2(x - 2) = 0
⇒ (x - 2)(3x + 2) = 0
১ম উৎপাদক:
x - 2 = 0
⇒ x = 2
২য় উৎপাদক:
3x + 2 = 0
⇒ x = - 2 3
সংজ্ঞার এলাকা যাচাই:
x = 2 ≠ -1, - 1 2 → বৈধ
x = - 2 3 ≠ -1, - 1 2 → বৈধ
সমাধান সেট:
2, - 2 3
১৫. 1 x + 1 a + 1 b = 1 x + a + b
15.
সমীকরণটি হলো:
1 x + 1 a + 1 b = 1 x + a + b
সংজ্ঞার এলাকা:
x ≠ 0, a ≠ 0, b ≠ 0, x + a + b ≠ 0
সমাধান:
1 x + 1 a + 1 b = 1 x + a + b
⇒ 1 a + 1 b = 1 x + a + b - 1 x
⇒ a + b ab = x - (x + a + b) x(x + a + b)
⇒ a + b ab = x - x - a - b x(x + a + b)
⇒ a + b ab = - a - b x(x + a + b)
⇒ a + b ab = - (a + b) x(x + a + b)
⇒ a + b x(x + a + b) + a + b ab = 0
⇒ (a + b)[ 1 x(x + a + b) + 1 ab ] = 0
১ম উৎপাদক শূন্য হলে:
a + b = 0
⇒ b = -a
তাহলে মূল সমীকরণে b = -a বসাই:
1 x + 1 a - 1 a = 1 x + a - a
⇒ 1 x = 1 x
যা সব x ≠ 0 এর জন্য সত্য (এবং x + a + b = x ≠ 0 শর্তে)।
এক্ষেত্রে সমাধান সব x ≠ 0 (যদি a ≠ 0, b = -a ≠ 0)।
২য় উৎপাদক শূন্য হলে (a + b ≠ 0 ধরে):
1 x(x + a + b) + 1 ab = 0
⇒ 1 x(x + a + b) = - 1 ab
⇒ ab = -x(x + a + b)
⇒ ab = -x2 - x(a + b)
⇒ x2 + (a + b)x + ab = 0
⇒ (x + a)(x + b) = 0 [উৎপাদকে বিশ্লেষণ]
এখানে,
x = -a অথবা x = -b
শর্ত: x ≠ 0 → -a ≠ 0 ⇒ a ≠ 0 ও
-b ≠ 0 ⇒ b ≠ 0 (ইতিমধ্যে আছে)
এখন,
x + a + b ≠ 0
⇒ -a + a + b
= b ≠ 0
ও
-b + a + b
= a ≠ 0 → স্বয়ংক্রিয়ভাবে সত্য।
সারাংশ:
যদি a + b = 0 (এবং a ≠ 0, b ≠ 0), তবে সব x ≠ 0 সমাধান।
অন্যথায় (a + b ≠ 0, a ≠ 0, b ≠ 0), সমাধান x = -a ও x = -b (যদি a ≠ b হয়; a = b হলে x = -a একটিই)।
x = -a, x = -b (যখন a+b ≠ 0); a+b=0 হলে সব x ≠ 0
১৬. x + 1 x = 2
16.
সমীকরণটি হলো:
x + 1 x = 2
সংজ্ঞার এলাকা:
x ≠ 0
সমাধান:
x + 1 x = 2
⇒ x2 + 1 = 2x [উভয়পক্ষকে x দ্বারা গুণ করি ]
⇒ x2 - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)2 = 0
⇒ x - 1 = 0
⇒ x = 1
সংজ্ঞার এলাকা যাচাই:
x = 1 ≠ 0 → বৈধ
সমাধান সেট:
1
১৭. (x + 1)3 - (x - 1)3 (x + 1)2 - (x - 1)2 = 2
17.
সমীকরণটি হলো:
(x + 1)3 - (x - 1)3 (x + 1)2 - (x - 1)2 = 2
সমাধান:
আমরা আগেই লব ও হর সরল করেছি:
লব
(x + 1)3 - (x - 1)3
= 6x2 + 2
হর
(x + 1)2 - (x - 1)2
= 4x
সুতরাং সমীকরণ দাঁড়ায়:
⇒ 6x2 + 2 4x = 2 [x ≠ 0]
⇒ 6x2 + 2 = 8x
⇒ 6x2 - 8x + 2 = 0
⇒ 3x2 - 4x + 1 = 0 [উভয়পক্ষকে ২ দিয়ে ভাগ করি]
⇒ 3x2 - 3x - x + 1 = 0 [উৎপাদকে বিশ্লেষণ]
⇒ 3x(x - 1) - 1(x - 1) = 0
⇒ (x - 1)(3x - 1) = 0
এখানে,
x - 1 = 0
⇒ x = 1
অথবা
3x - 1 = 0
⇒ x = 1 3
সংজ্ঞার এলাকা যাচাই:
x = 1 ≠ 0 → বৈধ
x = 1 3 ≠ 0 → বৈধ
সমাধান সেট:
1, 1 3
সমীকরণ গঠন করে সমাধান করো (১৮ - ২৬):
১৮. দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 15 এবং এদের গুণফল 56; সংখ্যাটি কত?
18.
ধরি,
সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x
এবং একক স্থানীয় অঙ্ক = y
তাহলে সংখ্যাটি = 10x + y
প্রথম শর্ত:
অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 15
x + y = 15
⇒ y = 15 - x
দ্বিতীয় শর্ত:
অঙ্কদ্বয়ের গুণফল 56
x · y = 56
⇒ x(15 - x) = 56 [y-এর মান বসাই]
⇒ 15x - x2 = 56
⇒ 0 = x2 - 15x + 56
⇒ x2 - 15x + 56 = 0
⇒ x2 - 7x - 8x + 56 = 0 [উৎপাদকে বিশ্লেষণ]
⇒ x(x - 7) - 8(x - 7) = 0
⇒ (x - 7)(x - 8) = 0
x = 7 অথবা x = 8
যদি x = 7:
y = 15 - 7 = 8
→ সংখ্যা = 10 x 7 + 8 = 78
যদি x = 8:
y = 15 - 8 = 7
→ সংখ্যা = 10 x 8 + 7 = 87
উভয় ক্ষেত্রেই অঙ্কের যোগফল 15 ও গুণফল 56 হয়।
সুতরাং সংখ্যাটি 78 অথবা 87
78 বা 87
১৯. একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল 192 বর্গমিটার। মেঝের দৈর্ঘ্য 4 মিটার কমালে ও প্রন্থ 4 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। মেঝের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো।
19.
ধরি,
ঘরের দৈর্ঘ্য L মিটার
এবং প্রস্থ W মিটার।
প্রথম শর্ত:
ক্ষেত্রফল 192 বর্গমিটার
L x W = 192 …. (1)
দ্বিতীয় শর্ত:
দৈর্ঘ্য 4 মিটার কমালে = L - 4
প্রস্থ 4 মিটার বাড়ালে = W + 4
নতুন ক্ষেত্রফল = আগের ক্ষেত্রফলের সমান (192)
(L - 4)(W + 4) = 192 ….. (2)
(2) নং সমীকরণ বিস্তার করি:
⇒ (L - 4)(W + 4) = 192
⇒ LW + 4L - 4W - 16 = 192
(1) থেকে LW = 192 বসাই:
⇒ 192 + 4L - 4W - 16 = 192
⇒ 4L - 4W - 16 = 0
⇒ 4(L - W) = 16
⇒ L - W = 4
⇒ L = W + 4 ….. (3)
(3) কে (1)-এ বসাই:
⇒ (W + 4) x W = 192
⇒ W2 + 4W - 192 = 0
⇒ W2 + 16W - 12W - 192 = 0 [উৎপাদকে বিশ্লেষণ]
⇒ W(W + 16) - 12(W + 16) = 0
⇒ (W + 16)(W - 12) = 0
W = -16 (গ্রহণযোগ্য নয়), W = 12
তাহলে L = W + 4 = 16
উত্তর:
16 মিটার ও 12 মিটার
২০. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 15 সে.মি. ও অপর বহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অন্তর 3 সে.মি.। ঐ বহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
20.
ধরি,
সমকোণী ত্রিভুজের বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য a
ও b সেমি, যেখানে a > b।
প্রশ্নানুসারে,
a - b = 3 (অন্তর) ....... (i)
এবং অতিভুজ c = 15 সেমি।
পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে:
a2 + b2 = c2
⇒ a2 + b2 = 152 = 225
⇒ a2 + b2 = 225
⇒ (b + 3)2 + b2 = 225 [(i) প্রথম সমীকরণ থেকে a = b + 3 বসাই]
⇒ b2 + 6b + 9 + b2 = 225
⇒ 2b2 + 6b + 9 - 225 = 0
⇒ 2b2 + 6b - 216 = 0
⇒ b2 + 3b - 108 = 0 [উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে]
⇒ b2 + 12b - 9b - 108 = 0 [উৎপাদকে বিশ্লেষণ]
⇒ b(b + 12) - 9(b + 12) = 0
⇒ (b + 12)(b - 9) = 0
b = -12 (গ্রহণযোগ্য নয়) অথবা b = 9
তাহলে,
a = b + 3
= 9 + 3
= 12
উত্তর:
বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য 12 সেমি
ও 9 সেমি।
12 সেমি, 9 সেমি
২১. একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সে.মি. বেশি। ত্রিভুজ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?
21.
ধরি,
ত্রিভুজের উচ্চতা h সেমি।
প্রশ্নানুসারে,
ভূমি = 2h + 6 সেমি (যেহেতু ভূমি উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 বেশি)।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1 2 × ভূমি × উচ্চতা
তাহলে,
1 2 × (2h + 6) × h = 810
⇒ h(2h + 6) 2 = 810
⇒ h(2h + 6) = 1620
⇒ 2h2 + 6h - 1620 = 0
⇒ h2 + 3h - 810 = 0 [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করি]
⇒ h2 + 30h - 27h - 810 = 0 [উৎপাদকে বিশ্লেষণ]
⇒ h(h + 30) - 27(h + 30) = 0
⇒ (h + 30)(h - 27) = 0
h = -30 (গ্রহণযোগ্য নয়), h = 27
উত্তর:
27 সেমি
২২. একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দেওয়ায় মোট 420 টাকা চাঁদা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত এবং প্রত্যেকে কত টাকা করে চাঁদা দিল?
22.
ধরি,
শ্রেণিতে মোট ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা n জন।
প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দেয়।
অর্থাৎ, প্রত্যেকে দেয় (n - 1) টাকা (যেহেতু নিজেকে বাদ দিয়ে বাকিরা সহপাঠী)।
মোট চাঁদা = n x (n - 1) টাকা।
প্রশ্নানুসারে:
n(n - 1) = 420
⇒ n2 - n - 420 = 0
⇒ n2 - 21n + 20n - 420 = 0
⇒ n(n - 21) + 20(n - 21) = 0
⇒ (n - 21)(n + 20) = 0
n = -20 (গ্রহণযোগ্য নয়) অথবা n = 21
তাহলে ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা 21 জন।
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় n - 1 = 20 টাকা।
মোট চাঁদা = 21 × 20 = 420 টাকা ✅
উত্তর:
21 জন, 20 টাকা করে
২৩. একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে, প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও 30 পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়াতে মোট 70 টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?
23.
ধরি,
শ্রেণিতে মোট ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা n জন।
প্রত্যেকে “তত পয়সা” বলতে n পয়সা বোঝায় (যেহেতু প্রত্যেকে তার সংখ্যার সমান পয়সা দিলে)।
সেখানে আরও 30 পয়সা বেশি দেয়, অর্থাৎ প্রত্যেকে দেয় n + 30 পয়সা।
মোট চাঁদা = n × (n + 30) পয়সা।
প্রশ্নানুসারে,
মোট চাঁদা 70 টাকা = 70 × 100 = 7000 পয়সা।
সুতরাং:
n(n + 30) = 7000
⇒ n2 + 30n - 7000 = 0
⇒ n2 + 100n - 70n - 7000 = 0 [উৎপাদকে বিশ্লেষণ]
⇒ n(n + 100) - 70(n + 100) = 0
⇒ (n + 100)(n - 70) = 0
n = -100 (গ্রহণযোগ্য নয়) অথবা n = 70
উত্তর:
70
শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা 70 জন।
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় 70 + 30 = 100 পয়সা = 1 টাকা,
মোট 70 x 1 = 70 টাকা ✅
২৪. দৃশ্যকল্প ১: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 7; অন্তদ্বয়ের স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে 9 বেশি।
দৃশ্যকল্প ২: করিম সাহেব 6400 টাকার কিছু টাকা বিনিয়োগ করেন বার্ষিক ৪% মুনাফায় এবং বার্ষিক 9% মুনাফায় অবশিষ্ট টাকা বিনিয়োগ করেন। 2 বছর পরে তিনি 1092 টাকা মুনাফা পান।
ক) সমাধান সেট নির্ণয় করো: 3 x + 4 x + 1 = 2
খ) দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটি নির্ণয় করো।
গ) বার্ষিক ৪% ও 9% মুনাফায় বিনিয়োগ করা মূলধনের অনুপাত নির্ণয় করো।
24.
(ক) সমীকরণ সমাধান:
3 x + 4 x + 1 = 2
সংজ্ঞার এলাকা: x ≠ 0, x ≠ -1
বামপক্ষের সাধারণ হর x(x + 1):
⇒ 3(x + 1) + 4x x(x + 1) = 2
⇒ 3x + 3 + 4x x(x + 1) = 2
⇒ 7x + 3 x(x + 1) = 2
⇒ 7x + 3 = 2x(x + 1)
⇒ 7x + 3 = 2x2 + 2x
⇒ 0 = 2x2 + 2x - 7x - 3
⇒ 2x2 - 5x - 3 = 0
⇒ 2x2 - 6x + x - 3 = 0 [উৎপাদকে বিশ্লেষণ]
⇒ 2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0
⇒ (x - 3)(2x + 1) = 0
অতএব,
x = 3 অথবা x = - 1 2
উভয় মান সংজ্ঞার এলাকায় আছে।
{3, - 1 2 }
(খ) দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা (দৃশ্যকল্প ১):
ধরি,
সংখ্যাটির দশক অঙ্ক x,
একক অঙ্ক y
সংখ্যাটি 10x + y
১ম শর্ত: অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 7
x + y = 7 ….. (1)
২য় শর্ত: অঙ্ক বিনিময় করলে সংখ্যা হয় 10y + x যা মূল সংখ্যা থেকে 9 বেশি।
⇒ 10y + x = (10x + y) + 9
⇒ 10y + x - 10x - y = 9
⇒ 9y - 9x = 9
⇒ y - x = 1 ….. (2)
(1) ও (2) যোগ করে:
⇒ (x + y) + (y - x) = 7 + 1
⇒ 2y = 8
⇒ y = 4
(i) এ y এর মান বসিয়ে
⇒ x + y = 7
⇒ x + 4 = 7
⇒ x = 7 - 4
⇒ x = 3
সংখ্যা = 10x + y
= 30 + 4
= 34
বিপরীত সংখ্যা 43 যা 34 + 9 = 43 ✅
34
(গ) মূলধনের অনুপাত (দৃশ্যকল্প ২):
ধরি,
৪% হারে বিনিয়োগ করা মূলধন = P1 টাকা
৯% হারে বিনিয়োগ করা মূলধন = P2 টাকা
P1 + P2 = 6400
৪% হারে ২ বছরের মুনাফা = P1 x 4 100 × 2
= 8P1 100
= 0.08 P1
৯% হারে ২ বছরের মুনাফা = P2 × 9 100 × 2
= 18P2 100
= 0.18 P2
মোট মুনাফা = 0.08P1 + 0.18P2
P2 = 6400 - P1 বসাই:
⇒ 0.08P1 + 0.18(6400 - P1) = 1092
⇒ 0.08P1 + 1152 - 0.18P1 = 1092
⇒ -0.10P1 + 1152 = 1092
⇒ -0.10P1 = - 60
⇒ P1 = 600
P2 = 6400 - 600 = 5800
অনুপাত,
P1 : P2
= 600 : 5800
= 6 : 58
= 3 : 29
0.145138888888889
সর্বশেষ উত্তর:
(ক) 3, - 1 2
(খ) 34
(গ) 3 : 29
২৫. নাবিলের বয়স যখন শুভর বর্তমান বয়সের সমান ছিল তখন শুভর যে বয়স ছিল নাবিলের বর্তমান বয়স তার দ্বিগুণ। শুভর বয়স যখন নাবিলের বর্তমান বয়সের সমান হবে তখন তাদের দুইজনের বয়সের যোগফল 63 হলে প্রত্যেকের বর্তমান বয়স কত?
25.
ধরি,
নাবিলের বর্তমান বয়স = N বছর
শুভর বর্তমান বয়স = S বছর
প্রথম শর্ত:
নাবিলের বয়স যখন শুভর বর্তমান বয়সের সমান ছিল — অর্থাৎ N থেকে বয়স কমিয়ে S করলে কত বছর আগে যেতে হবে?
সময় পার্থক্য = N - S বছর আগে (যদি N > S হয়, নাবিল বড় হবে; কিন্তু বয়সের সম্পর্ক পরে দেখা যাবে)
নাবিলের বয়স = S ছিল t = N - S বছর আগে।
সেই সময় শুভর বয়স ছিল S - t = S - (N - S) = 2S - N
দেওয়া আছে, তখন শুভর বয়স ছিল নাবিলের বর্তমান বয়সের দ্বিগুণ।
অর্থাৎ:
2S - N = 2N (নাবিলের বর্তমান বয়স N এর দ্বিগুণ)
⇒ 2S - N = 2N
⇒ 2S = 3N
⇒ S = 3N 2 …... (1)
এখন S > N (যেহেতু 3N 2 > N যখন N>0 ), অর্থাৎ শুভ নাবিলের চেয়ে বড়। তাহলে t = N - S ঋণাত্মক হবে — অর্থাৎ ভবিষ্যতের কথা বোঝাতে হবে।
লক্ষ করি, N - S = N - 3N 2 = - N 2 , অর্থাৎ এখানে বয়স কমিয়ে নয়, বরং ভবিষ্যতে N 2 বছর পরে নাবিলের বয়স S হবে। তখন শুভর বয়স হবে S + N 2 এবং তা 2N এর সমান।
প্রথম শর্তটি তাই বোঝায়:
নাবিল যখন S হবে (অর্থাৎ N 2 বছর পরে), তখন শুভর বয়স S + N 2 হবে, যা 2N এর সমান।
S + N 2 = 2N
⇒ S = 2N - N 2
⇒ S = 3N 2
এটাই (1) এর সাথে মিলে যায়। কোনো দ্বন্দ্ব নেই, তবে বয়সের ছবি পরিষ্কার: শুভ বড়, নাবিল ছোট।
দ্বিতীয় শর্ত:
শুভর বয়স যখন নাবিলের বর্তমান বয়সের সমান হবে — অর্থাৎ শুভর বয়স N হবে।
বর্তমানে শুভর বয়স S , তাই সময় লাগবে S - N বছর (এটা ধনাত্মক, কারণ S > N )।
সেই সময় নাবিলের বয়স হবে = N + (S - N) = S
শুভর বয়স হবে = S + (S - N) = 2S - N
তখন তাদের বয়সের যোগফল:
S + (2S - N) = 63
⇒ 3S - N = 63 ….. (2)
এখন
(1) S = 3N 2 বসাই (2)-এ:
⇒ 3 × 3N 2 - N = 63
⇒ 9N 2 - N = 63
⇒ 9N - 2N 2 = 63
⇒ 7N 2 = 63
⇒ 7N = 126
⇒ N = 18
⇒ S = 3 × 18 2
⇒ S = 27
উত্তর:
নাবিলের বর্তমান বয়স 18 বছর, শুভর বর্তমান বয়স 27 বছর।
18, 27
২৬. বাসে ওঠার লাইনে সোহাগের পিছনে যতজন দাঁড়িয়ে আছে সামনে তার থেকে দুইজন বেশি দাঁড়িয়ে আছে। তার পিছনে যতজন দাঁড়িয়ে আছে সম্পূর্ণ লাইনে তার তিনগুণ যাত্রী। লাইনে কতজন যাত্রী দাঁড়িয়ে আছে?
26.
ধরি,
সোহাগের পিছনে যতজন দাঁড়িয়ে আছে, সেই সংখ্যা = x জন।
সুতরাং সামনে দাঁড়ানো যাত্রী সংখ্যা = x + 2 জন (প্রশ্নানুসারে পিছনের চেয়ে ২ বেশি)।
তাহলে লাইনে মোট যাত্রী সংখ্যা = (সামনে দাঁড়ানো) + (সোহাগ) + (পিছনে দাঁড়ানো)
= (x + 2) + 1 + x
= 2x + 3 জন।
প্রশ্নানুসারে:
“পিছনে যতজন দাঁড়িয়ে আছে সম্পূর্ণ লাইনে তার তিনগুণ যাত্রী” →
⇒ 3x = 2x + 3
⇒ 3x - 2x = 3
⇒ x = 3
তাহলে মোট যাত্রী = 2x + 3
= 2 x 3 + 3
= 6 + 3
= 9
উত্তর
9
নমুনা প্রশ্ন
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
M-১. (x - 4)2 = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?
ক) 1 টি
খ) ২ টি
গ) 3 টি
ঘ) 4 টি
M-1.
প্রদত্ত সমীকরণ:
(x - 4)2 = 0
এটি সমাধান করলে পাই:
x - 4 = 0
⇒ x = 4
এখানে x = 4 একটি মাত্র মূল, তবে এর বীজগণিতিক গুণিতক 2 (যেহেতু দ্বিঘাত সমীকরণ)।
প্রশ্নে "মূল কয়টি?" সাধারণত স্বতন্ত্র (অভিন্ন নয়) মূল বোঝায়।
সুতরাং উত্তর: 1 টি।
ক
M-২. দুইটি বীজগাণিতিক রাশি x ও y এর গুণফল xy = 0 হলে
(i) x = 0 অথবা y = 0
(ii) x = 0 যখন y ≠ 0
(iii) y = 0 যখন x ≠ 0
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii
M-2.
আমরা জানি,
xy = 0 হলে অন্তত একটি রাশি শূন্য হবে।
(i) x = 0 অথবা y = 0 → এটি সবসময় সত্য।
(ii) x = 0 যখন y ≠ 0 → এটিও সত্য হতে পারে, কিন্তু এটি সবসময় সত্য নয়, কারণ x = 0 এবং y = 0 হলেও xy = 0 হয়। তবে প্রশ্নের ভাষায় "x = 0 যখন y ≠ 0" মানে y ≠ 0 শর্তে x = 0, যা xy = 0 এর একটি সম্ভাব্য অবস্থা, সুতরাং সঠিক।
(iii) y = 0 যখন x ≠ 0 → একই যুক্তি, এটি xy = 0 এর একটি সম্ভাব্য অবস্থা, সুতরাং সঠিক।
যেহেতু (i) সাধারণভাবে সঠিক, (ii) ও (iii) প্রতিটি সঠিক, তাই সবগুলো সঠিক।
ঘ
দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক x। এই তথ্যের আলোকে নিচের ৩ ও ৪নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
M-৩. সংখ্যাটি কত?
ক) 2x
খ) 3x
গ) 12x
ঘ) 21x
M-3.
দেওয়া আছে,
একক স্থানীয় অঙ্ক x
দশক স্থানীয় অঙ্ক = এককের দ্বিগুণ = 2x
সংখ্যা = 10 × (2x) + x
= 20x + x
= 21x
সুতরাং উত্তর: ঘ) 21x
ঘ
দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক একক স্থানীয় অঙ্কের দ্বিগুণ। সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক x। এই তথ্যের আলোকে নিচের ৪নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
M-৪. অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি কত হবে?
ক) 3x
খ) 4x
গ) 12x
ঘ) 21x
M-4.
মূল সংখ্যাটির একক অঙ্ক = x , দশক অঙ্ক = 2x ।
সংখ্যাটি = 21x
অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে নতুন সংখ্যায়:
একক অঙ্ক হবে 2x
দশক অঙ্ক হবে x
তাহলে নতুন সংখ্যা = 10 × x + 2x
= 10x + 2x
= 12x
সুতরাং উত্তর: গ) 12x
গ
সৃজনশীল প্রশ্ন
M-৫. একটি জমির ক্ষেত্রফল 192 বর্গমিটার। জমিটির দৈর্ঘ্য 4 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 4 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। আবার জমিটির মাঝখানে 20 সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট একটি বৃত্ত আঁকা হলো। বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে একটি জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা এর অর্ধেকের চেয়ে 2 সে.মি. কম।
ক) সমাধান করো: 3x 2 - 5 3 = 2x 3
খ) জমিটির পরিসীমা নির্ণয় করো।
গ) বৃত্তটির জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
M-5.
ক) সমীকরণ সমাধান:
3x 2 - 5 3 = 2x 3
সমাধান:
⇒ 3x 2 - 2x 3 = 5 3
⇒ 9x - 4x 6 = 5 3
⇒ 5x 6 = 5 3
⇒ x 6 = 1 3
⇒ x = 2
2
খ) জমিটির পরিসীমা নির্ণয়:
ধরি,
দৈর্ঘ্য l মি,
প্রস্থ w মি।
১ম শর্ত: l × w = 192
২য় শর্ত: (l - 4)(w + 4) = 192
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে:
⇒ lw + 4l - 4w - 16 = 192
⇒ 192 + 4l - 4w - 16 = 192 [lw = 192 বসাই]
⇒ 4l - 4w - 16 = 0
⇒ l - w = 4
তাহলে l = w + 4
প্রথম সমীকরণে বসাই:
⇒ (w + 4)w = 192
⇒ w2 + 4w - 192 = 0
⇒ w = -4 ± √ 16 + 768 2
= -4 ± 28 2
ধনাত্মক: w = 12 , l = 16
পরিসীমা = 2(l + w)
= 2(16 + 12)
= 56 মি।
56
গ) বৃত্তের জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
ব্যাস 20 সেমি → ব্যাসার্ধ r = 10 সেমি।
মনে করি,
কেন্দ্র O থেকে জ্যা AB -এর উপর লম্ব OM ।
OM কে m ধরলে, জ্যা-এর অর্ধেক AM = ।
প্রশ্নে বলা হয়েছে:
লম্ব = (জ্যা-এর অর্ধেক) − 2
m = - 2
ধরি,
= t → t ≥ 0
তাহলে m = t - 2
বর্গ করি:
⇒ 100 - (t - 2)2 = t2
⇒ 100 - (t2 - 4t + 4) = t2
⇒ 100 - t2 + 4t - 4 = t2
⇒ 96 + 4t - t2 = t2
⇒ 96 + 4t - 2t2 = 0
⇒ t2 - 2t - 48 = 0
⇒ (t - 8)(t + 6) = 0
⇒ t = 8 (ঋণাত্মক বাদ)
তাহলে m = t - 2 = 6 সেমি
জ্যা-এর অর্ধেক = √ 100 - 36
= √ 64
= 8 সেমি
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2 x 8 = 16 সেমি।
16 সেমি
সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন
M-৬. ক) সমাধান করো: 1 x + 1 + 1 x + 2 = 2 x + 3
খ) একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা অপর একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার 2 5 অংশ থেকে 3 বেশি হলে, সংখ্যাটি নির্ণয় করো।
গ) দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 7 এবং গুণফল 10 হলে, সংখ্যাটি নির্ণয় করো।
M-6.
(ক) সমীকরণ সমাধান:
1 x + 1 + 1 x + 2 = 2 x + 3
সংজ্ঞার এলাকা: x ≠ -1, -2, -3
বামপক্ষের সাধারণ হর (x + 1)(x + 2):
(x + 2) + (x + 1) (x + 1)(x + 2) = 2 x + 3
⇒ 2x + 3 (x + 1)(x + 2) = 2 x + 3
⇒ (2x + 3)(x + 3) = 2(x+1)(x+2) [আড়াআড়ি গুণ]
⇒ 2x2 + 6x + 3x + 9 = 2(x2 + 3x + 2)
⇒ 2x2 + 9x + 9 = 2x2 + 6x + 4
⇒ 9x - 6x = 4 - 9
⇒ 3x = -5
⇒ x = - 5 3
x = - 5 3 সংজ্ঞার এলাকায় আছে (-1.666... ≠ -1,-2,-3)
- 5 3
(খ) সংখ্যা নির্ণয় (ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা):
ধরি,
একটি সংখ্যা m,
অপর সংখ্যা n
প্রশ্ন: “একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা অপর একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার 2 5 অংশ থেকে 3 বেশি”
এটির দুই রকম অর্থ হতে পারে, তবে সাধারণ বোধে:
মনে করি,
m = 2 5 n + 3
m, n ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
একটিমাত্র সমীকরণ, অসীম সমাধান। সম্ভবত লেখক n = 5k ধরতে বলেছেন?
ধরি,
n = 5t (যাতে 2 5 n পূর্ণসংখ্যা হয়):
m = 2t + 3
উদাহরণ:
t = 1 ⇒ n = 5, m = 5
t = 2 ⇒ n = 10, m = 7
সুনির্দিষ্ট সমাধান দিতে পারেন t = 1 ধরে: n = 5, m = 5।
5 ও 5 (অনেক সমাধান)
(গ) দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা:
ধরি,
দশক অঙ্ক x,
একক অঙ্ক y।
শর্ত:
x + y = 7
xy = 10
সমাধান: x ও y সমীকরণ t2 - 7t + 10 = 0 এর মূল:
⇒ t2 - 7t + 10 = 0
⇒ t2 - 5t - 2t + 10 = 0
⇒ t(t - 5) - 2 (t - 5) = 0
⇒ (t - 5)(t - 2) = 0
t = 5, t = 2
তাহলে সংখ্যা = 10 × 5 + 2 = 52
অথবা 10 x 2 + 5 = 25
উভয়ই দুই অঙ্কের, যোগফল 7, গুণফল 10।
25 বা 52
সংক্ষেপে উত্তর:
(ক) - 5 3
(খ) 5, 5 (উদাহরণস্বরূপ)
(গ) 25 বা 52
