সেট ও ফাংশন - Set and Function (অনুশীলনী ২.২)

• 📚 Topics
• 📝 MCQ Test
• ✍️ Exercise Solution

১. ৪ এর গুণনীয়ক সেট কোনটি?

ক) {8, 16, 24....}

খ) {1, 2, 4, 8}

গ) {2.4.8}

ঘ) {1.2}

8 এর গুণনীয়ক সেট কোনটি?

গুণনীয়ক (divisor/factor) হলো সেই সংখ্যা যেটি দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ০ থাকে।

8 এর গুণনীয়ক:

- 8 ÷ 1 = 8 (ভাগশেষ 0)

- 8 ÷ 2 = 4 (ভাগশেষ 0)

- 8 ÷ 4 = 2 (ভাগশেষ 0)

- 8 ÷ 8 = 1 (ভাগশেষ 0)

সুতরাং গুণনীয়কগুলো হলো: 1, 2, 4, 8

এখন অপশন দেখি:

ক) {8, 16, 24 ... → এগুলো  8 এর গুণিতক (multiples), গুণনীয়ক (Factors) নয়।}

খ) {1, 2, 4, 8} → সঠিক 

গ) {2, 4, 8} → 2 , 4 , 8 আছে, কিন্তু ১ নেই।

ঘ) {1, 2} → ৪ নেই।



সম্পর্ক (Relation) এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:

যদি R সেট C থেকে সেট B -তে একটি সম্পর্ক হয়, তাহলে R হলো C x B এর একটি উপসেট। অর্থাৎ R ⊆ C x B ।

এখন অপশনগুলো দেখি:

ক) R ⊂ C → ভুল, কারণ R -এর উপাদান ক্রমজোড়, কিন্তু C -এর উপাদান একক উপাদান।

খ) R ⊂ B → ভুল, একই কারণে।

গ) R ⊆ C x B → সঠিক, কারণ সম্পর্ক হলো C x B -এর উপসেট।

ঘ) C x B ⊆ R → ভুল, কারণ সম্পর্ক পুরো C x B -এর সমান হওয়ার প্রয়োজন নেই।

সুতরাং সঠিক উত্তর:

গ

২. সেট C হতে সেট B এ একটি সম্পর্ক R হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) R ⊂ C

খ) R ⊂ B

গ) R ⊆ C × B

ঘ) C × B ⊆ R

সমাধান:

A = {1, 2} , B = {2, 5}

A ∩ B = {2} (উভয় সেটে সাধারণ উপাদান)

এখানে, P(A ∩ B) মানে {2} সেটটির পাওয়ার সেট।

2 এর উপসেটগুলো:

→ ∅

→ {2}

উপসেটের সংখ্যা = 2

অপশন অনুযায়ী:

খ

৩. A = {1, 2}, B = {2, 5} হলে P(A ∩ B) এর সদস্য সংখ্যা নিচের কোনটি?

ক) 1

খ) 2

গ) 3

ঘ) 8

4

সেটটি হলো:

{ x ∈ ℕ : 13 < x < 17 এবং x মৌলিক সংখ্যা }

শর্ত 13 < x < 17 অনুসারে x এর সম্ভাব্য মান: 14, 15, 16

এদের মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কারা?

• 14 → মৌলিক না (2 দিয়ে বিভাজ্য)

• 15 → মৌলিক না (3 ও 5 দিয়ে বিভাজ্য)

• 16 → মৌলিক না (জোড় ও 2 দিয়ে বিভাজ্য)

তাই কোনোটিই মৌলিক সংখ্যা নয় → সেটটি খালি সেট ∅ (∅)

তালিকা পদ্ধতিতে খালি সেট প্রকাশ করা হয় বা ∅

অপশনগুলো:

ক) ∅ → এটি ঠিক আছে (খালি সেট)

খ) {∅} → এটি খালি সেটের সেট (একটি উপাদান আছে যেটি ∅)

গ) {13, 17} → এরা শর্ত 13 < x < 17 মানে না

ঘ) {14, 15, 16} → মৌলিক নয়

তাই সঠিক উত্তর ক।

ক

৪. নিচের কোনটি {x ∈ N : 13 < x < 17 এবং x মৌলিক সংখ্যা} সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে?

ক) ∅

খ) {∅}

গ) {13, 17}

ঘ) {14, 15, 16}

প্রদত্ত:

A = {3, 4}

B = {2, 4}

x ∈ A, y ∈ B

সম্পর্ক R = {(x, y) : x > y}

সম্ভাব্য সব ক্রমজোড় A x B বের করি

A x B = {(3,2), (3,4), (4,2), (4,4)}

শর্ত x > y প্রয়োগ করি

→ (3, 2) : 3 > 2 → সত্য

→ (3, 4) : 3 > 4 → মিথ্যা

→ (4, 2) : 4 > 2 → সত্য

→ (4, 4) : 4 > 4 → মিথ্যা

অন্বয় (সম্পর্ক) R নির্ণয়

R = {(3,2), (4,2)}

R = {(3,2), (4,2)}

৫. যদি A = {3, 4}, B = {2, 4}, x ∈ A এবং y ∈ B হয়, তবে A ও B এর উপাদানগুলোর মধ্যে x > y সম্পর্ক বিবেচনা করে অন্বয়টি নির্ণয় করো।

প্রদত্ত:

C = {2, 5}

D = {4, 6, 7}

x ∈ C, y ∈ D

সম্পর্ক R = {(x, y) : x + 1 < y}

C x D নির্ণয় করি

C x D = {(2,4), (2,6), (2,7), (5,4), (5,6), (5,7)}

প্রতিটি ক্রমজোড়ে x + 1 < y পরীক্ষা

• (2, 4) : 2+1 = 3 < 4 → সত্য

• (2, 6) : 3 < 6 → সত্য

• (2, 7) : 3 < 7 → সত্য

• (5, 4) : 6 < 4 → মিথ্যা

• (5, 6) : 6 < 6 → মিথ্যা (সমান হলে হবে না, কঠিন ছোট চিহ্ন)

• (5, 7) : 6 < 7 → সত্য

শর্ত পূরণকারী জোড়গুলো সংগ্রহ করি

R = {(2,4), (2,6), (2,7), (5,7)}

R = {(2,4), (2,6), (2,7), (5,7)}

৬. যদি C = {2, 5}, D = {4, 6, 7}, x ∈ C এবং y ∈ D হয়, তবে C ও D এর উপাদানগুলোর মধ্যে x + 1 < y সম্পর্কটি বিবেচনায় থাকে তবে অন্বয়টি নির্ণয় করো।

আমরা f(x) = x⁴ + 5x - 3 -এর বিভিন্ন মান বের করব।

f(-1)

f(-1) = (-1)⁴ + 5(-1) - 3

        = - 7


f(2)

f(2) = (2)⁴ + 5(2) - 3

       = 23


f(  1   2  )

f(  1   2  ) = (  1   2  )⁴ + 5 ·   1   2   - 3

          =    1   16   +   5   2   - 3

          =   1 + 40 - 48          16  

          =   -7   16  

f(-1) = -7,    

f(2) = 23,   

f(  1   2  ) = -   7   16  

৭. ƒ(x) = x⁴ + 5x - 3 হলে, ƒ(- 1), ƒ(2) এবং ƒ( 1  2 ) এর মান নির্ণয় করো।

আমরা f(y) = y³ + k y² - 4y - 8 এর f(-2) = 0 থেকে k এর মান নির্ণয় করব।

y = -2 বসাই

f(-2) = (-2)³ + k(-2)² - 4(-2) - 8

         = -8 + k(4) + 8 - 8

         = -8 + 4k + 8 - 8

         = 4k - 8

শর্ত,  f(-2) = 0

4k - 8 = 0

4k = 8

k = 2

k = 2

৮. যদি ƒ(y) = y³ + ky² - 4y - 8 হয়, তবে k এর কোন মানের জন্য ƒ(- 2) = 0 হবে?

আমরা f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 এর জন্য f(x) = 0 সমীকরণটি সমাধান করব।

সম্ভাব্য মূল পরীক্ষা

x = 1 বসাই:

f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0

সুতরাং x - 1 একটি উৎপাদক।

ভাগ করে উৎপাদক নির্ণয়

x³ - 6x² + 11x - 6 কে x - 1 দিয়ে ভাগ করি।

(x³ - 6x² + 11x - 6) ÷ (x - 1)

• প্রথম পদ x² গুণ → x³ - x² বিয়োগ করি → -5x² + 11x

• দ্বিতীয় পদ -5x গুণ → -5x² + 5x বিয়োগ করি → 6x - 6

• তৃতীয় পদ +6 গুণ → 6x - 6 বিয়োগ করি → 0

ভাগফল: x² - 5x + 6

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান

x² - 5x + 6 = 0

(x - 2)(x - 3) = 0

x = 2, x = 3

সবগুলো সমাধান

x = 1, 2, 3

1, 2, 3

৯. ƒ(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 হয়, তবে x এর কোন মানের জন্য ƒ(x) = 0 হবে?

দেওয়া আছে:

f(x) =   2x + 1   2x - 1  

বের করতে হবে:

  f(  1   x²  ) + 1   f(  1   x²  ) - 1  

f(  1   x²  ) নির্ণয় করি

f(   1  x²  ) =   2 ·   1  x²   + 1    2 ·   1  x²   - 1  

লব ও হরকে x² দিয়ে গুণ করি:

=   2 + x²    2 - x²  

f + 1 ও f - 1 বের করি

এখানে f =   2 + x²   2 - x²  

f + 1 =   2 + x²   2 - x²   + 1 =   2 + x² + 2 - x²          2 - x²   =     4  2 - x²  

f - 1 =   2 + x²   2 - x²   - 1 =   2 + x² - 2 + x²         2 - x²   =   2x²  2 - x²  

ভাগ করি

 f + 1  f - 1  =       4  2 - x²        2x²  2 - x²     =   4  2x²   =   2  x²  

  2   x²  

এটিই নির্ণেয় মান।

১০. যদি ƒ(x) =  2x + 1  2x - 1  হয়, তবে   ƒ( 1  x² ) + 1    ƒ( 1  x² ) - 1  এর মান নির্ণয় করো।

দেওয়া আছে:

g(x) =   1 + x² + x⁴          x²  

আমরা g(  1   x²  ) এবং g(x²) বের করে দেখাবো যে তারা সমান।

g(  1   x²  ) নির্ণয়

g(  1   x²  ) =   1 + (   1   x²  )² + (   1   x²  )⁴            (   1   x²  )²  

এখন:

(    1  x²  )² =     1  x⁴  , (    1  x²  )⁴ =     1  x⁸  

g(    1  x²  ) =   1 +    1   x⁴   +    1   x⁸               1    x⁴    


             =   x⁸ + x⁴ + 1            x⁴   [লব ও হরকে x⁸ দিয়ে গুণ করি]

g(x²) নির্ণয়

g(x²) =   1 + (x²)² + (x²)⁴            (x²)²  

         =   1 + x⁴ + x⁸          x⁴  

তুলনা

উভয়ক্ষেত্রেই আমরা পাই:

g(  1   x²  ) =   x⁸ + x⁴ + 1         x⁴  

g(x²) =   x⁸ + x⁴ + 1         x⁴  

অতএব,

g(  1   x²  ) = g(x²)

দেখানো হলো

১১. g(x) =  1+ x² + x²       x²  হলে, দেখাও যে g( 1  x² ) = g(x²)

প্রতিটি অন্বয়ের জন্য ডোমেন (প্রথম উপাদানগুলোর সেট) ও রেঞ্জ (দ্বিতীয় উপাদানগুলোর সেট) নির্ণয় করি।

ক) R = {(2, 1), (2, 2), (2, 3)}

ডোমেন: {2}

রেঞ্জ: {1, 2, 3}

ডোমেন: {2}, রেঞ্জ: {1, 2, 3}

খ) S = {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}

ডোমেন (প্রথম উপাদান): {-2, -1, 0, 1, 2}

রেঞ্জ (দ্বিতীয় উপাদান): {4, 1, 0} (এখানে 4 দুইবার এসেছে, সেটে একবার হবে)

ডোমেন: {-2, -1, 0, 1, 2}, রেঞ্জ: {0, 1, 4}

গ) F = {(  1   2  , 0), (1, 1), (1, -1), (  5   2  , 2), (  5   2  , -2)}

ডোমেন: {  1   2  , 1,   5   2  }

রেঞ্জ: {0, 1, -1, 2, -2}

ডোমেন: {  1   2  , 1,   5   2   , রেঞ্জ: {-2, -1, 0, 1, 2}

সব উত্তর একসাথে:

ক) ডোমেন 2, রেঞ্জ 1, 2, 3

খ) ডোমেন -2, -1, 0, 1, 2, রেঞ্জ 0, 1, 4

গ) ডোমেন  1  2 , 1,  5  2 , রেঞ্জ -2, -1, 0, 1, 2

১২. নিচের অন্বয়গুলো থেকে ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় করো।

ক) R = {(2, 1), (2, 2), (2, 3)}

খ) S = {(- 2, 4), (- 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}

গ) F = {( 1  2 , 0), (1, 1), (1, - 1), ( 5  2 , 2), ( 5  2 , - 2)}

সমাধান-

ক) A = {-2, -1, 0, 1, 2} ,

R = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ A এবং x + y = 1}

x + y = 1 থেকে y = 1 - x

x ∈ A এর জন্য y বের করি এবং দেখি y ∈ A কিনা

► x = -2 → y = 1 - (-2) = 3 (3 ∈ A? না, A তে 3 নেই) → বাদ

► x = -1 → y = 1 - (-1) = 2 (2 ∈ A) → (-1, 2)

► x = 0 → y = 1 (1 ∈ A) → (0, 1)

► x = 1 → y = 0 (0 ∈ A) → (1, 0)

► x = 2 → y = -1 (−1 ∈ A) → (2, -1)

তালিকা পদ্ধতিতে R

R = {(-1, 2), (0, 1), (1, 0), (2, -1)}

ডোমেন D_R = {-1, 0, 1, 2}

রেঞ্জ R_R = {2, 1, 0, -1} = {-1, 0, 1, 2}

R = {(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}, 

D_R={-1,0,1,2}, 

R_R={-1,0,1,2}

খ) C = {-1, 0, 1, 2, 3}

F = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ C এবং y = 2x}

y = 2x দিয়ে x ∈ C এর জন্য y বের করি এবং y ∈ C কিনা দেখি

► x = -1 → y = -2 (−2 ∈ C? না) → বাদ

► x = 0 → y = 0 (0 ∈ C) → (0, 0)

► x = 1 → y = 2 (2 ∈ C) → (1, 2)

► x = 2 → y = 4 (4 ∈ C? না) → বাদ

► x = 3 → y = 6 (6 ∈ C? না) → বাদ

তালিকা পদ্ধতিতে F

F = {(0, 0), (1, 2)}

ডোমেন D_F = {0, 1}

রেঞ্জ R_F = {0, 2}

F = {(0,0),(1,2)}, 

D_F={0,1}, 

R_F={0,2}

সব উত্তর একসাথে:

ক) R = {(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}, D_R={-1,0,1,2}, R_R={-1,0,1,2

খ) F = {(0,0),(1,2)}, D_F={0,1}, R_F={0,2}

১৩. নিচের অন্বয়গুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো এবং ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করো।

ক) R = {(x, y): x ∈ A, y ∈ A এবং x + y = 1} যেখানে A = {- 2, - 1, 0, 1, 2}

খ) F= {(x, y): x ∈ C, y ∈ C এবং y = 2x} যেখানে C = {- 1, 0, 1, 2, 3}

ছক কাগজে বিন্দু স্থাপনের জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করো:

Insert graph

অক্ষদ্বয় আঁকো:

- একটি অনুভূমিক রেখা X-অক্ষ (ভুজ বা x-অক্ষ)

- একটি উল্লম্ব রেখা Y-অক্ষ (কোটি বা y-অক্ষ)

- এরা পরস্পর লম্বভাবে (0,0) বিন্দুতে ছেদ করবে।

বিন্দুগুলো চিহ্নিতকরণ:

(ক) (-3, 2)

→ x = -3: মূলবিন্দু থেকে বামে ৩ ঘর

→ y = 2: উপরে ২ ঘর

বিন্দুটি হবে ২য় চতুর্থাংশে (বাম-উপর)

(খ) (0, -5)

→ x = 0: Y-অক্ষের ওপর

→ y = -5: নিচে ৫ ঘর

 বিন্দুটি Y-অক্ষের ওপর (নিচের দিকে)

(গ) (  1   2  , -   5   6  )

→ x =   1  2  : ডানে আধা ঘর (ছক কাগজের ছোট ঘরগুলো ০.৫ হিসেবে নিতে পারো)

→ y = -  5  6   ≈ -0.833: নিচে  5  6  অংশ (প্রায় ০.৮৩৩ ঘর নিচে, অর্থাৎ ১ ঘরের কম)

বিন্দুটি ৪র্থ চতুর্থাংশে (ডান-নিচ), Y-অক্ষের খুব কাছে।

ছক কাগজের সুবিধা:

ছক কাগজে সাধারণত ১ সেমি = ১ একক ধরা হয়। তবে এখানে ভগ্নাংশের জন্য ছোট ঘর ব্যবহার করতে পারো, অথবা ২ সেমি = ১ একক স্কেল নিলে অর্ধেক বোঝা সহজ হয়।

তবে সরাসরি লিখতে বললে:

(-3,2), (0,-5), ( 1  2 ), - 5  6 ) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করতে হবে}

যদি তোমাকে কাগজে আঁকতে বলে, তাহলে উপরের বর্ণনা অনুযায়ী স্থাপন করবে।

১৪. ছক কাগজে (- 3, 2), (0, - 5), ( 1  2 , -  5  6 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করো।

আমরা প্রতিটি ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য প্রয়োজনীয় ধাপ ও তথ্য দেব, যাতে তুমি ছক কাগজে আঁকতে পারো।

ক) y = 3x + 5

এটি ঢাল-আকারে লেখা: y = mx + c , যেখানে

ঢাল,  m = 3

y -ছেদ,  c = 5

অঙ্কনের ধাপ:

→ y -অক্ষের ওপর (0, 5) বিন্দু চিহ্নিত করো।

→ ঢাল 3 মানে x ১ বাড়লে y ৩ বাড়ে।

- (0,5) থেকে (1, 8)

- আবার (0,5) থেকে (-1, 2) (বামে গেলে y ৩ কমে)

→ অন্তত ৩টি বিন্দু নিয়ে তাদের মধ্য দিয়ে সরলরেখা টানো।

কিছু বিন্দু:

x = -2 → y = 3(-2) + 5 = -1 → (-2, -1)

x = 0 → y = 5 → (0, 5)

x = 1 → y = 8 → (1, 8)

খ) x + y = 2

y = -x + 2

ঢাল,  m = -1

y -ছেদ c, = 2

অঙ্কনের ধাপ:

→ (0, 2) বিন্দু চিহ্নিত করো।

→ ঢাল -1 মানে x ১ বাড়লে y ১ কমে।

- (0, 2) থেকে (1, 1)

- (0, 2) থেকে (-1, 3)

→ অন্তত ৩টি বিন্দু নিয়ে সরলরেখা টানো।

কিছু বিন্দু:

x = -1 → y = -(-1) + 2 = 3 → (-1, 3)

x = 0 → y = 2 → (0, 2)

x = 2 → y = 0 → (2, 0)

Table

উপসংহার:

উপরের বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে প্রতিটি সেটের বিন্দুগুলোর মধ্য দিয়ে সরলরেখা টানলেই লেখচিত্র পাওয়া যাবে।

প্রদত্ত নির্দেশনা অনুযায়ী ছক কাগজে অঙ্কন করতে হবে

১৫. ছক কাগজে (1, 2), (- 1, 1), (11, 7) বিন্দু তিনটি স্থাপন করে দেখাও যে, বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় অবস্থিত।

প্রদত্ত:

A = {2, 3, 4} → মোট উপাদান সংখ্যা |A| = 3

B = {1, 2} → মোট উপাদান সংখ্যা |B| = 2

A x B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}

ক্রুশ গুণনের মোট উপাদান সংখ্যা:

|A x B| = |A| x |B| = 3 x 2 = 6

অপশন অনুযায়ী:

গ) 6টি → সঠিক

গ

১৬. নিচের ফাংশনগুলোর লেখচিত্র অঙ্কন করো।

ক) y = 3x + 5

খ) x + y = 2

আমরা প্রতিটি ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য প্রয়োজনীয় ধাপ ও তথ্য দেব, যাতে তুমি ছক কাগজে আঁকতে পারো।

ক) y = 3x + 5

এটি ঢাল-আকারে লেখা: y = mx + c , যেখানে

ঢাল,  m = 3

y -ছেদ,  c = 5

অঙ্কনের ধাপ:

→ y -অক্ষের ওপর (0, 5) বিন্দু চিহ্নিত করো।

→ ঢাল 3 মানে x ১ বাড়লে y ৩ বাড়ে।

- (0,5) থেকে (1, 8)

- আবার (0,5) থেকে (-1, 2) (বামে গেলে y ৩ কমে)

→ অন্তত ৩টি বিন্দু নিয়ে তাদের মধ্য দিয়ে সরলরেখা টানো।

কিছু বিন্দু:

x = -2 → y = 3(-2) + 5 = -1 → (-2, -1)

x = 0 → y = 5 → (0, 5)

x = 1 → y = 8 → (1, 8)

খ) x + y = 2

y = -x + 2

ঢাল,  m = -1

y -ছেদ c, = 2

অঙ্কনের ধাপ:

→ (0, 2) বিন্দু চিহ্নিত করো।

→ ঢাল -1 মানে x ১ বাড়লে y ১ কমে।

- (0, 2) থেকে (1, 1)

- (0, 2) থেকে (-1, 3)

→ অন্তত ৩টি বিন্দু নিয়ে সরলরেখা টানো।

কিছু বিন্দু:

x = -1 → y = -(-1) + 2 = 3 → (-1, 3)

x = 0 → y = 2 → (0, 2)

x = 2 → y = 0 → (2, 0)

Table

উপসংহার:

উপরের বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে প্রতিটি সেটের বিন্দুগুলোর মধ্য দিয়ে সরলরেখা টানলেই লেখচিত্র পাওয়া যাবে।

প্রদত্ত নির্দেশনা অনুযায়ী ছক কাগজে অঙ্কন করতে হবে

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

১. A= {2, 3, 4} ও B = {1, 2} হলে, (A x B) সেটের উপাদান সংখ্যা কয়টি?

ক) 16টি

খ) ৪টি

গ) 6টি

ঘ) 5টি

প্রদত্ত:

A = {2, 3, 4} → মোট উপাদান সংখ্যা |A| = 3

B = {1, 2} → মোট উপাদান সংখ্যা |B| = 2

A x B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}

ক্রুশ গুণনের মোট উপাদান সংখ্যা:

|A x B| = |A| x |B| = 3 x 2 = 6

অপশন অনুযায়ী:

গ) 6টি → সঠিক

গ

২. A U B = {a, b, c} হলে-

(i) A = {a, b}, B = {a, b, c}

(ii) P(A U B) এর উপাদান সংখ্যা আটটি।

(iii) A একটি সসীম সেট।

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii

খ) i ও iii

গ) ii ও iii

ঘ) i, ii ও iii

প্রতিটি বিবৃতি যাচাই করব।

দেওয়া আছে:

A ∪ B = {a, b, c}

(i) A = {a, b}, B = {a, b, c}

A ∪ B = {a, b} ∪ {a, b, c} = {a, b, c} → এটি সত্য।

তবে এটি একমাত্র সম্ভাবনা নয়; A, B অন্যরকমও হতে পারে (যেমন A={a}, B={b,c} )।

কিন্তু বিবৃতি (i) তে বলা হয়েছে " A = {a,b}, B={a,b,c} " — এটি একটি সম্ভাব্য উদাহরণ মাত্র, এটি শর্তের জন্য মিথ্যা নয় বরং সত্য কারণ শর্ত A ∪ B = {a,b,c} পূরণ করে।

বাংলা পরীক্ষায় সাধারণত একে সত্য ধরা হয় (কারণ এটি একটি সঠিক সম্ভাবনা)।

(ii) P(A ∪ B) এর উপাদান সংখ্যা আটটি।

A ∪ B = {a, b, c} , উপাদান সংখ্যা n = 3

|P(A ∪ B)| = 2³ = 8 → সত্য।

(iii) A একটি সসীম সেট।

A ⊂ A ∪ B = {a,b,c} , তাই A -এর উপাদান সংখ্যা সর্বোচ্চ 3, যা সসীম → সত্য।

তিনটিই সত্য।

ঘ

A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} হলে, নিচের ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

৩. সেট গঠন পদ্ধতিতে A সেটের সঠিক প্রকাশ কোনটি?

ক) {x ∈ N : 6 < x < 13}

খ) {x ∈ N : 6 ≤ x < 13}

গ) {x ∈ N : 6 ≤ x ≤ 13}

ঘ) {x ∈ N : 6 < x ≤ 13}

A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

সেটটিতে 6 থেকে 13 পর্যন্ত সব স্বাভাবিক সংখ্যা আছে, 6 ও 13 দুই-ই অন্তর্ভুক্ত।

অপশনগুলো যাচাই:

ক) {x ∈ N : 6 < x < 13} → অর্থ 7 থেকে 12 পর্যন্ত, 6 ও 13 নেই → মিলে না।

খ) {x ∈ N : 6 ≤ x < 13} → অর্থ 6 থেকে 12 পর্যন্ত, 13 নেই → মিলে না।

গ) {x ∈ N : 6 ≤ x ≤ 13} → অর্থ 6, 7, 8, ..., 13 → মিলে যায়।

ঘ) {x ∈ N : 6 < x ≤ 13} → অর্থ 7 থেকে 13 পর্যন্ত, 6 নেই → মিলে না।

গ

৪. 4 সেটের মৌলিক সংখ্যাগুলোর সেট কোনটি?

ক) {6, 8, 10, 12}

খ) {7, 9, 11, 13}

গ) {7, 11, 13}

ঘ) {9, 12}

A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

এখন সেটের মৌলিক সংখ্যা বের করি:

• 6 → মৌলিক না (2 ও 3 দ্বারা বিভাজ্য)

• 7 → মৌলিক (শুধু 1 ও 7 দ্বারা বিভাজ্য)

• 8 → মৌলিক না (জোড়)

• 9 → মৌলিক না (3 দ্বারা বিভাজ্য)

• 10 → মৌলিক না (2 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য)

• 11 → মৌলিক

• 12 → মৌলিক না (2, 3, 4, 6 দ্বারা বিভাজ্য)

• 13 → মৌলিক

মৌলিক সংখ্যাগুলো = {7, 11, 13}

অপশন অনুযায়ী:

ক) {6, 8, 10, 12} → জোড় সংখ্যা (ভুল)

খ) {7, 9, 11, 13} → 9 মৌলিক না (ভুল)

গ) {7, 11, 13} → সঠিক

ঘ) {9, 12} → ভুল

গ

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. y = ƒ(x) =  4x - 7  2x - 4  একটি ফাংশন।

ক) ƒ(-  1  2 ) এর মান নির্ণয় করো।

খ)  ƒ(x) + 2  ƒ(x) - 1  এর মান নির্ণয় করো।

গ) দেখাও যে, ƒ(y) = x

প্রদত্ত:

f(x) =   4x - 7   2x - 4  

ক) f(-   1   2  ) এর মান নির্ণয়

f(-  1   2  ) =   4(- 1  2  ) - 7  2(-  1  2  ) - 4  

            =   -2 - 7   -1 - 4  

            =   -9   -5  

            =   9   5  





খ)   f(x) + 2   f(x) - 1   এর মান নির্ণয়

প্রথমে f(x) + 2 ও f(x) - 1 বের করি:

f(x) + 2 =   4x - 7   2x - 4   + 2 =   4x - 7 + 2(2x - 4)           2x - 4  

=   4x - 7 + 4x - 8          2x - 4  

=   8x - 15   2x - 4  

f(x) - 1 =   4x - 7   2x - 4   - 1 

            =   4x - 7 - (2x - 4)         2x - 4  

            =   4x - 7 - 2x + 4           2x - 4  

            =   2x - 3   2x - 4  

অতএব:

  f(x) + 2   f(x) - 1   =     8x - 15   2x - 4        2x - 3   2x - 4     =   8x - 15   2x - 3  

  8x - 15    2x - 3  

গ) দেখাও যে, f(y) = x যেখানে y = f(x)

মানে, যদি y = f(x) =   4x - 7   2x - 4   , তাহলে প্রমাণ করতে হবে f(y) = x

# y =   4x - 7   2x - 4   থেকে x -কে y -এর মাধ্যমে প্রকাশ করি

y(2x - 4) = 4x - 7

2xy - 4y = 4x - 7

2xy - 4x = 4y - 7

x(2y - 4) = 4y - 7

x =   4y - 7   2y - 4  

# f(y) =   4y - 7   2y - 4  

কিন্তু উপরের থেকে   4y - 7   2y - 4   = x

সুতরাং f(y) = x (প্রমাণিত)

দেখানো হলো

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬. ক) সার্বিক সেট U- এর দুটি উপসেট A এবং B হলে (A U B)'-কে ভেনচিত্র অঙ্কনের মাধ্যমে চিহ্নিত করো।

খ) 10 ও 21 এর মৌলিক গুণনীয়কের সেট যথাক্রমে A এবং B হলে, দেখাও যে, (A ∩ B) একটি নিশ্ছেদ সেট।

গ) ƒ(x) = x³ - 3x² + 3x - 1 এবং ƒ(a) = 0 হলে, a-এর মান নির্ণয় করো।

ঘ) A = {a, b, c} সেটের উপসেটগুলো নির্ণয় করে তা থেকে প্রকৃত উপসেটগুলো লিখ।

৬. ক)

সার্বিক সেট U এর উপসেট A ও B হলে (A ∪ B)'-কে ভেনচিত্রে চিহ্নিত করো।

Insert diagram

ভেনচিত্র বর্ণনা:

- একটি আয়তক্ষেত্র U আঁকো।

- তার ভিতরে দুটি পরস্পরচ্ছেদী বৃত্ত A ও B আঁকো।

- (A ∪ B) মানে A ও B বৃত্তের ভেতরের সব অংশ (ছেদসহ)।

- (A ∪ B)' = U-এর এমন অংশ যা A ∪ B-এর বাইরে, অর্থাৎ U-এর মধ্যে কিন্তু A ও B-এর বৃত্তের বাইরে।

চিত্রে শেড করো আয়তক্ষেত্রের অংশ যেটি A ও B বৃত্তের বাইরে।

ভেনচিত্রে ছায়াঙ্কিত অংশ = (A ∪ B)'

৬. খ)

10-এর মৌলিক গুণনীয়কের সেট A = 2, 5

21-এর মৌলিক গুণনীয়কের সেট B = 3, 7

A ∩ B = ∅ → কোনো মৌলিক সংখ্যা উভয়ের ভাগফলে নেই।

A ∩ B = ∅ হওয়ায় এটি একটি নিশ্ছেদ সেট (disjoint set)।

দেখানো হলো

৬. গ)

f(x) = x³ - 3x² + 3x - 1

লক্ষ করো:

x³ - 3x² + 3x - 1 = (x - 1)³

শর্ত f(a) = 0 ⟹ (a - 1)³ = 0 ⟹ a - 1 = 0 ⟹ a = 1

a = 1

৬. ঘ)

A = {a, b, c}

সমস্ত উপসেট:

∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}

প্রকৃত উপসেট (proper subset) = সেটটি বাদে বাকি সব:

∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}

উপসেট: ৮টি, প্রকৃত উপসেট: ৭টি (উপরের তালিকা)