১. নিচে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব (সংখ্যাগুলো দৈর্ঘ্যের এককে)?
ক) 5, 6, 7
খ) 5, 7, 14
গ) 3, 4, 7
ঘ) 2, 4, 8
1.
ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব কি না তা নির্ণয়ের জন্য ত্রিভুজের অসমতা (Triangle Inequality) ব্যবহার করতে হবে।
নিয়ম:
যে কোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল অবশ্যই তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি হতে হবে।
অর্থাৎ,
a + b > c
b + c > a
c + a > b
ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব হওয়ার শর্ত হলো— যে কোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি হতে হবে।
ক) 5, 6, 7
5 + 6 = 11 > 7 ✓
6 + 7 = 13 > 5 ✓
5 + 7 = 12 > 6 ✓
∴ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।
খ) 5, 7, 14
5 + 7 = 12 < 14 ✗
∴ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
গ) 3, 4, 7
3 + 4 = 7 (তৃতীয় বাহুর সমান) ✗
∴ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
ঘ) 2, 4, 8
2 + 4 = 6 < 8 ✗
∴ ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
উত্তর:
ক) সম্ভব
খ) সম্ভব নয়
গ) সম্ভব নয়
ঘ) সম্ভব নয়
২. চিত্রে ∠RPS এর মান কত?
ক) 40°
খ) 70°
গ) 90°
ঘ) 110°
2.
সমাধান:
ত্রিভুজ PQR-এ,
∠PQR = 30°
∠PRQ = 40°
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
সুতরাং,
∠QPR = 180° − (30° + 40°)
= 180° − 70°
= 110°
এখন, PS হলো PQ-এর বর্ধিত অংশ। তাই ∠RPS হলো ∠QPR-এর সম্পূরক কোণ।
অতএব,
∠RPS = 180° − 110°
= 70°
উত্তর: খ) 70° ✅
৩. একটি ত্রিভুজকে অপর একটি ত্রিভুজের উপর স্থাপন করলে যদি ত্রিভুজ দুইটি সর্বতোভাবে মিলে যায় তবে-
(i) ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম
(ii) ত্রিভুজ দুইটির অনুরূপ বাহু সমান
(iii) অনুরূপ কোণ সমান
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i, ii
খ) i, iii
গ) ii, iii
ঘ) i, ii ও iii
3.
সমাধান:
যদি একটি ত্রিভুজকে অপর একটি ত্রিভুজের উপর স্থাপন করলে তারা সর্বতোভাবে মিলে যায়, তবে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম।
তাই,
(i) ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম — সঠিক ✔️
(ii) ত্রিভুজ দুইটির অনুরূপ বাহু সমান — সঠিক ✔️
(iii) অনুরূপ কোণ সমান — সঠিক ✔️
অতএব, সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii ✅
৪. প্রমাণ করো যে, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুসমূহ যোগ করলে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়, তা সমবাহু হবে।
4.
প্রমাণ:
ধরি,
△ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
এবং D, E, F যথাক্রমে AB, BC ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু।
যোগ করি DE, EF ও FD।
প্রমাণ করতে হবে, △DEF একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ:
যেহেতু D ও E যথাক্রমে AB ও BC-এর মধ্যবিন্দু,
∴ মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুযায়ী,
DE = AC 2
আবার, E ও F যথাক্রমে BC ও AC-এর মধ্যবিন্দু,
∴ EF = AB 2
এবং, F ও D যথাক্রমে AC ও AB-এর মধ্যবিন্দু,
∴ FD = BC 2
এখন, যেহেতু △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ,
∴ AB = BC = AC
অতএব,
DE = AC 2 = AB 2 = BC 2
অর্থাৎ,
DE = EF = FD
সুতরাং, △DEF-এর তিনটি বাহু সমান।
∴ △DEF একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণিত। ∎
৫. প্রমাণ করো যে, সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি পরস্পর সমান।
5.
প্রমাণ:
ধরি,
△ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
এবং AD, BE ও CF যথাক্রমে BC, AC ও AB বাহুর মধ্যমা।
প্রমাণ করতে হবে, AD = BE = CF।
প্রমাণ:
যেহেতু △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ,
∴ AB = BC = AC
এছাড়া,
D হলো BC-এর মধ্যবিন্দু ⇒ BD = DC = BC 2
E হলো AC-এর মধ্যবিন্দু ⇒ AE = EC = AC 2
F হলো AB-এর মধ্যবিন্দু ⇒ AF = FB = AB 2
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি মধ্যমা একই সঙ্গে লম্ব ও কোণদ্বিখণ্ডক।
তাই,
△ABD, △BCE এবং △CAF তিনটি সমকোণী ত্রিভুজ।
এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AD² = AB² − (qqqq BC/2)²
BE² = BC² − (AC/2)²
CF² = AC² − (AB/2)²
যেহেতু,
AB = BC = AC
অতএব,
AD² = BE² = CF²
সুতরাং,
AD = BE = CF
অর্থাৎ, সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি পরস্পর সমান।
প্রমাণিত। ∎
৬. প্রমাণ করো যে, ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তর।
6.
প্রমাণ:
ধরি,
△ABC-এর BC বাহু D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো।
তাহলে, ∠ACD হলো C বিন্দুর বহিঃস্থ কোণ।
একইভাবে, AB বাহু E পর্যন্ত বর্ধিত করলে ∠CBE হলো B বিন্দুর বহিঃস্থ কোণ।
প্রমাণ করতে হবে,
∠ACD + ∠CBE > 180°
প্রমাণ:
ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণের উপপাদ্য অনুযায়ী,
∠ACD = ∠A + ∠B
এবং,
∠CBE = ∠A + ∠C
অতএব,
∠ACD + ∠CBE
= (∠A + ∠B) + (∠A + ∠C)
= 2∠A + (∠B + ∠C)
আবার, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°,
অর্থাৎ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠B + ∠C = 180° − ∠A
সুতরাং,
∠ACD + ∠CBE
= 2∠A + (180° − ∠A)
= 180° + ∠A
যেহেতু ∠A > 0°,
∴ 180° + ∠A > 180°
অতএব,
∠ACD + ∠CBE > 180°
অর্থাৎ, ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ (180°) অপেক্ষা বৃহত্তর।
প্রমাণিত। ∎
৭. △ABC এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু D হলে, প্রমাণ করো যে, AB + AC > 2AD
7.
প্রমাণ:
ধরি,
△ABC-এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু D।
প্রমাণ করতে হবে,
AB + AC > 2AD
D যেহেতু BC-এর মধ্যবিন্দু,
∴ BD = DC
এখন,
△ABD-এ, ত্রিভুজের অসমতা অনুযায়ী,
AB + AD > BD ………… (১)
আবার,
△ACD-এ, ত্রিভুজের অসমতা অনুযায়ী,
AC + AD > DC ………… (২)
(১) ও (২) যোগ করলে,
AB + AD + AC + AD > BD + DC
অর্থাৎ,
AB + AC + 2AD > BC
যেহেতু,
BD = DC = BC 2
∴ BD + DC = BC
এবং,
BC > 0
অতএব, (১) ও (২)-এর যোগফল থেকে পাই,
AB + AC > 2AD
সুতরাং, প্রমাণিত যে,
AB + AC > 2AD
৮. চিত্রে, দেওয়া আছে, ∠C = এক সমকোণ এবং ∠B = 2∠A I প্রমাণ করো যে, AB = 2BC
8.
প্রমাণ:
দেওয়া আছে,
∠C = 90°
∠B = 2∠A
প্রমাণ করতে হবে, AB = 2BC
প্রমাণ:
△ABC-এ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + ∠B + 90° = 180°
⇒ ∠A + ∠B = 90°
আবার, ∠B = 2∠A
∴ ∠A + 2∠A = 90°
⇒ 3∠A = 90°
⇒ ∠A = 30°
এবং,
∠B = 60°
অতএব, △ABC একটি 30°–60°–90° সমকোণী ত্রিভুজ।
আমরা জানি, 30°–60°–90° সমকোণী ত্রিভুজে 30°-এর বিপরীত বাহু অতিভুজের অর্ধেক।
এখানে,
∠A = 30°
∠A-এর বিপরীত বাহু = BC
অতিভুজ = AB
অতএব,
BC = AB 2
অর্থাৎ,
AB = 2BC
প্রমাণিত।
৯. প্রমাণ করো যে, ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
9.
প্রমাণ:
ধরি,
△ABC-এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো।
তাহলে, ∠ACD হলো ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ।
প্রমাণ করতে হবে,
∠ACD = ∠A + ∠B
△ABC-এ,
∠A + ∠B + ∠C = 180° ………… (১)
আবার, ∠ACD ও ∠C একটি সরল কোণ গঠন করে।
অতএব,
∠ACD + ∠C = 180° ………… (২)
(১) ও (২) থেকে পাই,
∠A + ∠B + ∠C = ∠ACD + ∠C
⇒ ∠A + ∠B = ∠ACD [উভয় পক্ষ থেকে ∠C বিয়োগ করলে]
অর্থাৎ,
∠ACD = ∠A + ∠B
সুতরাং, প্রমাণিত যে, ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
১০. প্রমাণ করো যে, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
10.
প্রমাণ:
ধরি,
△ABC-এর তিনটি বাহু AB, BC ও AC।
প্রমাণ করতে হবে,
AB − AC < BC
(একইভাবে প্রমাণ করা যায়, BC − AB < AC এবং AC − BC < AB)
ত্রিভুজের অসমতা অনুযায়ী,
AB < AC + BC
⇒ AB − AC < BC [উভয় পক্ষ থেকে AC বিয়োগ করলে]
আবার,
AC < AB + BC
⇒ AC − AB < BC [উভয় পক্ষ থেকে AB বিয়োগ করলে]
অতএব,
|AB − AC| < BC
অর্থাৎ, AB ও AC বাহুর অন্তর BC অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
একইভাবে প্রমাণ করা যায়,
|BC − AB| < AC
এবং
|AC − BC| < AB
সুতরাং, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
প্রমাণিত।
১১. চিত্রে, ABC ত্রিভুজের ∠B = এক সমকোণ এবং D, অতিভুজ AC এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করো যে, BD = 1 2 AC
11.
প্রমাণ:
ধরি,
△ABC-এ ∠B = 90° এবং D হলো অতিভুজ AC-এর মধ্যবিন্দু।
প্রমাণ করতে হবে,
BD = ½ AC
যেহেতু D হলো AC-এর মধ্যবিন্দু,
∴ AD = DC = ½ AC
আবার, সমকোণী ত্রিভুজের একটি উপপাদ্য অনুযায়ী,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দু তিনটি শীর্ষবিন্দু থেকে সমদূরত্বে থাকে।
অতএব,
AD = BD = CD
কিন্তু,
AD = ½ AC
সুতরাং,
BD = ½ AC
অতএব, প্রমাণিত যে,
BD = ½ AC। ∎
নমুনা প্রশ্ন
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
১. সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের বিয়োগফল কত?
ক) 0°
খ) 120°
গ) 180°
ঘ) 240°
M-1.
সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ = 60°
একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উভয় প্রান্তে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ হবে,
180° − 60° = 120°
অতএব, বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের বিয়োগফল,
120° − 120° = 0°
সঠিক উত্তর: ক) 0° ✅
২. পাশের চিত্রে-
(i) ∠AOC একটি সূক্ষ্মকোণ
(ii) ∠AOB একটি সমকোণ
(iii) ∠AOD একটি প্রবৃদ্ধকোণ
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i
খ) ii
গ) i ও ii
ঘ) ii ও iii
M-2.
সমাধান:
চিত্র থেকে দেখা যায়,
∠AOC একটি সূক্ষ্মকোণ (< 90°) ✔️
∠AOB একটি সমকোণ (= 90°) ✔️
∠AOD একটি প্রশস্তকোণ (> 90° এবং < 180°) ✔️
অতএব,
(i) সঠিক ✔️
(ii) সঠিক ✔️
(iii) সঠিক ✔️
সঠিক উত্তর: ঘ) i, ii ও iii ✅
উপরের চিত্রে AB || EF || CD এবং BD ⟂ CD । প্রদত্ত চিত্রের আলোকে ৩ ও ৪নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
৩. ∠AEF এর মান কত?
ক) 30°
খ) 60°
গ) 240°
ঘ) 270°
M-3.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
AB ∥ EF ∥ CD
এবং ∠A = 120°
যেহেতু AB ∥ EF, তাই AE ছেদক হলে একই পাশে অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°।
অতএব,
∠AEF = 180° − 120°
= 60°
সঠিক উত্তর: খ) 60° ✅
উপরের চিত্রে AB || EF || CD এবং BD ⟂ CD । প্রদত্ত চিত্রের আলোকে ৩ ও ৪নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
৪. ∠BFE এর মান নিচের কোনটি?
ক) 30°
খ) 60°
গ) 90°
ঘ) 120°
M-4.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
AB ∥ EF
BD ⟂ CD
যেহেতু EF ∥ CD, তাই BD ⟂ EF
অর্থাৎ,
∠BFE = 90°
সঠিক উত্তর: গ) 90° ✅
সৃজনশীল প্রশ্ন
৫. ABC ত্রিভুজের ∠A = এক সমকোণ। BC বাহুর মধ্যবিন্দু D।
ক) ∠DEF ও ∠PEF কোণদ্বয় পরস্পর সন্নিহিত ও পূরক কোণ হলে, চিত্র অঙ্কন করে কোণদ্বয় চিহ্নিত করো।
খ) দেখাও যে, AB+ AC > 2AD
গ) প্রমাণ করো যে, AD = 1 2 BC
M-5.
ক) ∠DEF ও ∠PEF কোণদ্বয় পরস্পর সন্নিহিত ও পূরক কোণ হলে, চিত্র অঙ্কন করে কোণদ্বয় চিহ্নিত করো।
∠DEF এবং ∠PEF একটি সাধারণ বাহু EF বিশিষ্ট, তাই তারা সন্নিহিত কোণ।
ED ও EP একই সরলরেখার বিপরীত রশ্মি, তাই
∠DEF + ∠PEF = 180°।
অতএব, কোণদ্বয় পূরক কোণ।
খ) দেখাও যে, AB + AC > 2AD
প্রমাণ:
যেহেতু D হলো BC-এর মধ্যবিন্দু,
∴ BD = DC
△ABD-এ,
AB + AD > BD ………… (১)
△ACD-এ,
AC + AD > DC ………… (২)
(১) ও (২) যোগ করলে,
AB + AC + 2AD > BD + DC
আবার,
BD + DC = BC
অতএব,
AB + AC > 2AD
প্রমাণিত। ∎
গ) প্রমাণ করো যে, AD = ½BC
প্রমাণ:
দেওয়া আছে,
∠A = 90°
D হলো অতিভুজ BC-এর মধ্যবিন্দু।
সমকোণী ত্রিভুজের উপপাদ্য অনুযায়ী,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দু তিনটি শীর্ষবিন্দু থেকে সমদূরত্বে থাকে।
অতএব,
AD = BD = CD
আবার,
যেহেতু D হলো BC-এর মধ্যবিন্দু,
∴ BD = CD = ½BC
সুতরাং,
AD = ½BC
প্রমাণিত। ∎
৬. △ABC এর D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু এবং ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় o বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
ক) △PQR সমবাহু ত্রিভুজের QR বাহুকে S পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে R বিন্দুতে উৎপন্ন সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ নির্ণয় করো।
খ) প্রমাণ করো যে, DE || BC এবং DE = 1 2 BC
গ) প্রমাণ করো যে, ∠BOC = 90° + 1 2 ∠A
M-6.
ক) △PQR সমবাহু ত্রিভুজের QR বাহুকে S পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে R বিন্দুতে উৎপন্ন সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ নির্ণয় করো।
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান 60°।
অতএব,
∠PRQ = 60°
উত্তর: 60°
খ) প্রমাণ করো যে, DE ∥ BC এবং DE = ½BC
প্রমাণ:
দেওয়া আছে, D ও E যথাক্রমে AB ও AC-এর মধ্যবিন্দু।
অর্থাৎ,
AD = DB এবং AE = EC
ত্রিভুজের মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুযায়ী,
দুটি বাহুর মধ্যবিন্দু যোগকারী রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং তার অর্ধেক।
অতএব,
DE ∥ BC
এবং,
DE = ½BC
প্রমাণিত। ∎
গ) প্রমাণ করো যে, ∠BOC = 90° + ½∠A
প্রমাণ:
যেহেতু BO ও CO যথাক্রমে ∠B ও ∠C-এর সমদ্বিখণ্ডক,
∴ ∠OBC = ½∠B
এবং
∠OCB = ½∠C
এখন, △BOC-এ,
∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°
⇒ ∠BOC + ½∠B + ½∠C = 180°
⇒ ∠BOC = 180° − ½(∠B + ∠C)
আবার, △ABC-এ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠B + ∠C = 180° − ∠A
সুতরাং,
∠BOC = 180° − ½(180° − ∠A)
= 180° − 90° + ½∠A
= 90° + ½∠A
প্রমাণিত। ∎
সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন
৭. ক) ∆ABC-এ AB = AC, ∠BAC = 80° এবং BC-কে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে, ∠ACD নির্ণয় করো।
খ) △PQR-এ PQ = PR এবং QR, PR ও PQ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, DE = DF.
গ) ∠C ও ∠D পরস্পর সম্পূরক এবং ∠C - ∠D = 60° হলে, ∠C-এর মান নির্ণয় করো।
ঘ) ∆ABC-এর BC বাহুর উপর যেকোনো বিন্দু D হলে প্রমাণ করো যে, AB + BC + AC > 2AD.
M-7.
ক) ∆ABC-এ AB = AC, ∠BAC = 80° এবং BC-কে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলে, ∠ACD নির্ণয় করো।
যেহেতু,
AB = AC,
∴ ∠B = ∠C
△ABC-এ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 80° + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠B + ∠C = 100°
যেহেতু, ∠B = ∠C,
∴ ∠C = 50°
অতএব,
∠ACD = 180° − 50° = 130°
উত্তর: 130°
খ) △PQR-এ PQ = PR এবং QR, PR ও PQ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে দেখাও যে, DE = DF।
প্রমাণ:
মধ্যবিন্দু উপপাদ্য অনুযায়ী,
DE = ½PQ
এবং
DF = ½PR
আবার, PQ = PR
∴ ½PQ = ½PR
অতএব,
DE = DF
প্রমাণিত। ∎
গ) ∠C ও ∠D পরস্পর সম্পূরক এবং ∠C − ∠D = 60° হলে, ∠C-এর মান নির্ণয় করো।
দেওয়া আছে,
∠C + ∠D = 180°
∠C − ∠D = 60°
দুই সমীকরণ যোগ করলে,
2∠C = 240°
∴ ∠C = 120°
উত্তর: 120°
ঘ) ∆ABC-এর BC বাহুর উপর যেকোনো বিন্দু D হলে প্রমাণ করো যে, AB + BC + AC > 2AD।
প্রমাণ:
△ABD-এ,
AB + BD > AD ………… (১)
△ACD-এ,
AC + CD > AD ………… (২)
(১) ও (২) যোগ করলে,
AB + AC + BD + CD > 2AD
আবার,
BD + CD = BC
অতএব,
AB + BC + AC > 2AD
প্রমাণিত। ∎
