দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ - Simple Simultaneous Equations in Two Variables (অনুশীলনী ১২.৪)

• 📚 Topics
• 📝 MCQ Test
• ✅ Exercise Solution

১. নিচের কোন শর্তে ax + by + c = 0 ও px + qy + r = 0 সমীকরণজোটটি সমঞ্জস্য ও পরস্পর অনির্ভরশীল হবে?

ক)  a  p  ≠  b  g 

খ)  a  p  =  b  q  =  c  r 

গ)  a  p  =  b  q  ≠  c  r 

ঘ)  a  p  =  b  q 

1.

প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণদ্বয়:

ax + by + c = 0

px + qy + r = 0




এদের সমঞ্জস্য (consistent) অর্থাৎ অন্তত একটি সমাধান থাকবে, আর পরস্পর অনির্ভরশীল (independent) অর্থাৎ একে অপরের গুণিতক হবে না (দুটি ভিন্ন সরলরেখা, ছেদ করবে)।

সমঞ্জস্যতার শর্ত

দুটি সরলরেখার সমীকরণ সমঞ্জস্য (consistent) হবে যদি তারা সমান্তরাল না হয় অথবা সমান্তরাল হলেও একই রেখা হয়।




ছেদ করে (unique solution) :

  a   p   ≠   b   q  




অসীম সমাধান (একই রেখা) :

  a   p   =   b   q   =   c   r  




কোনো সমাধান নেই (সমান্তরাল, পৃথক) :

  a   p   =   b   q   ≠   c   r  





পরস্পর অনির্ভরশীল

পরস্পর অনির্ভরশীল মানে একটি সমীকরণ অপরটির ধ্রুবক গুণিতক নয়।

এটি হবে যদি   a   p   ≠   b   q   (তাহলে ছেদ করে, একক সমাধান) অথবা



  a   p   =   b   q   =   c   r   হলে নির্ভরশীল (একই রেখা)।




তাই পরস্পর অনির্ভরশীল ও সমঞ্জস্য হওয়ার শর্ত:

  a   p   ≠   b   q  




এটি ক) অপশনে লেখা আছে:

  a   p   ≠   b   q  



✅ সঠিক উত্তর: ক)

২. x + y = 4, x - y = 2 হলে (x, y) এর মান নিচের কোনটি?

ক) (2 , 4)

খ) (4 , 2)

গ) (3 , 1)

ঘ) (1 , 3)

2.

আমরা সমীকরণদ্বয় যোগ ও বিয়োগ করে সমাধান করি:

x + y = 4 ..... (1)

x - y = 2 ..... (2)




(1) + (2):

(x + y) + (x - y) = 4 + 2

⇒ 2x = 6 

⇒ x = 3





(1) থেকে:

3 + y = 4 

⇒ y = 1



∴ (x, y) = (3, 1)


✅ সঠিক উত্তর: গ) (3, 1)

৩. নিচের কোনটির জন্য নিম্নের ছকটি সঠিক?

image data

ক) y = x - 4

খ) y = 8 - x

গ) y = 4 - 2x

ঘ) y = 2x - 4

3.

ছকের মানগুলো:

x = 0 → y = -4

x = 2 → y = 0

x = 4 → y = 4





এখন প্রতিটি অপশন যাচাই করি:

ক) y = x - 4

x = 0 → y = -4 ✅

x = 2 → y = -2 ❌ (ছকে 0)





খ) y = 8 - x

x = 0 → y = 8 ❌ (-4 দরকার)





গ) y = 4 - 2x

x = 0 → y = 4 ❌





ঘ) y = 2x - 4

x = 0 → y = -4 ✅

x = 2 → y = 0 ✅

x = 4 → y = 4 ✅





✅ সঠিক উত্তর: ঘ) y = 2x - 4

৪. 2x - y = 8 এবং x - 2y = 4 হলে, x + y = কত?

ক) 0

খ) 4

গ) ৪

ঘ) 12

4.

প্রথমে সমীকরণদ্বয় সমাধান করি:

2x - y = 8 ..... (1)

x - 2y = 4 ..... (2)





(2) থেকে পাই।
 
x - 2y = 4

⇒ x = 4 + 2y





এটি (1)-এ বসাই:

2(4 + 2y) - y = 8

⇒ 8 + 4y - y = 8

⇒ 8 + 3y = 8

⇒ 3y = 0 

⇒ y = 0





তাহলে,

  x = 4 + 2 × 0 

     = 4 




x + y = 4 + 0 

         = 4





✅ উত্তর: খ) 4 

সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান করো (৫ - ১১):

৫. কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরের প্রত্যেকটির সাথে 1 যোগ করলে ভগ্নাংশটি  4  5  হবে। আবার, লব ও হরের প্রত্যেকটি থেকে 5 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি  1  2  হবে। ভগ্নাংশটি নির্ণয় করো।

5.

ধরি, 


ভগ্নাংশটি =   x   y   (যেখানে x = লব, y = হর)।



প্রথম শর্ত: লব ও হরের সাথে 1 যোগ করলে ভগ্নাংশ   4   5   হয়:

  x + 1   y + 1   =   4   5  

⇒ 5(x + 1) = 4(y + 1)

⇒ 5x + 5 = 4y + 4

⇒ 5x - 4y = -1 ..... (1)





দ্বিতীয় শর্ত: লব ও হর থেকে 5 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশ   1   2   হয়:
  x - 5   y - 5   =   1   2  

⇒ 2(x - 5) = 1(y - 5)

⇒ 2x - 10 = y - 5

⇒ 2x - y = 5 ..... (2)





এখন সমীকরণদ্বয়:

5x - 4y = -1 ..... (1)

2x - y = 5 ..... (2)





(2) থেকে পাই।

2x - y = 5

⇒ y = 2x - 5
   



এটি (1)-এ বসাই:

5x - 4(2x - 5) = -1

⇒ 5x - 8x + 20 = -1

⇒ -3x + 20 = -1

⇒ -3x = -21

⇒ x = 7





তাহলে,  y = 2(7) - 5 

                 = 14 - 5 

                 = 9




ভগ্নাংশ =   7   9  

  7   9  

৬. কোনো ভগ্নাংশের লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটি  1  2  হয়। আর লব থেকে 7 বিয়োগ এবং হর থেকে 2 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি  1  3  হয়। ভগ্নাংশটি নির্ণয় করো।

6.

ধরি, 

ভগ্নাংশটি =   x   y   , যেখানে x = লব, y = হর।



প্রথম শর্ত: 

লব থেকে 1 বিয়োগ, হরে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশ =   1   2   :

  x - 1   y + 2   =   1   2  

⇒ 2(x - 1) = 1(y + 2)

⇒ 2x - 2 = y + 2

⇒ 2x - y = 4 ..... (1)





দ্বিতীয় শর্ত: 

লব থেকে 7 বিয়োগ, হর থেকে 2 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশ =   1   3   :
  x - 7   y - 2   =   1   3  

⇒ 3(x - 7) = 1(y - 2)

⇒ 3x - 21 = y - 2

⇒ 3x - y = 19 ..... (2)





এখন সমীকরণ (1) ও (2):

⇒ 2x - y = 4

⇒ 3x - y = 19




বিয়োগ করি: (2) − (1):

⇒ (3x - y) - (2x - y) = 19 - 4

⇒ x = 15




(1) থেকে: 

2x - y = 4

⇒ 2(15) - y = 4 

⇒ 30 - y = 4 

⇒ y = 26




∴ ভগ্নাংশ =   15   26  

  15   26  

৭. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ অপেক্ষা 1 বেশি। কিন্তু অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির আটগুণের সমান। সংখ্যাটি কত?

7.

ধরি, 

সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x , 

একক স্থানীয় অঙ্ক = y ।



তাহলে সংখ্যাটি = 10x + y , 


অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি = x + y 



প্রথম শর্ত:

একক স্থানীয় অঙ্ক = y = দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ + 1 অর্থাৎ

y = 3x + 1





দ্বিতীয় শর্ত:

অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যা হয় 10y + x




এটি অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির ৮ গুণ:

10y + x = 8(x + y)

⇒ 10y + x = 8x + 8y

⇒ 10y - 8y + x - 8x = 0

⇒ 2y - 7x = 0 ..... (1)





প্রথম শর্ত y = 3x + 1 বসাই (1)-এ:

2(3x + 1) - 7x = 0

⇒ 6x + 2 - 7x = 0

⇒ -x + 2 = 0 

⇒ x = 2



y = 3(2) + 1 = 7



সংখ্যাটি 10x + y = 10(2) + 7 = 27 




✅ উত্তর: 27

৮. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তর 4। সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তার ও মূল সংখ্যাটির যোগফল 110। সংখ্যাটি নির্ণয় করো।

8.

ধরি, 

সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x , 


একক স্থানীয় অঙ্ক = y 

তাহলে মূল সংখ্যা = 10x + y

অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যা = 10y + x ।




প্রথম শর্ত:

অঙ্কদ্বয়ের অন্তর = 4। তবে কে বড় সেটা বলা নেই, তাই দুটি সম্ভাবনা:

x - y = 4 অথবা y - x = 4





দ্বিতীয় শর্ত:

মূল সংখ্যা + বিনিময়কৃত সংখ্যা = 110

⇒ (10x + y) + (10y + x) = 110

⇒ 11x + 11y = 110

⇒ x + y = 10






কেস 1: 

 x - y = 4 এবং 


 x + y = 10




যোগ করে: 

x - y + x + y= 4 + 10

⇒ 2x = 14 

⇒ x = 7



এখন,

x + y = 10

⇒ 7 + y = 10

⇒ y = 3



সংখ্যা = 73





কেস 2: 

 y - x = 4 এবং x + y = 10



যোগ করে: 

y - x + x + y  = 4 + 10

⇒ 2y = 14 

⇒ y = 7





এখন,
x + y = 10

⇒ x + 7 = 10

⇒ x = 10 - 7

⇒ x = 3



সংখ্যা = 37



উভয় ক্ষেত্রেই শর্ত পূর্ণ হয় (অন্তর 4, যোগফল 110)।



[প্রশ্নে “দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যা” বলে একটিমাত্র উত্তর চায় না, সাধারণত 73 ও 37 উভয়ই সঠিক। তবে যদি একটি উত্তর চায়, সাধারণভাবে x > y ধরে 73 ধরা হয়।

তবে এখানে উভয়ই বৈধ, যেকোনোটি দিলে চলবে।]

73 অথবা 37

৯. মাতার বর্তমান বয়স তার দুই কন্যার বয়সের সমষ্টির চারগুণ। 5 বছর পর মাতার বয়স ঐ দুই কন্যার বয়সের সমষ্টির দ্বিগুণ হবে। মাতার বর্তমান বয়স কত?

9.

ধরি,

মাতার বর্তমান বয়স = M

দুই কন্যার বর্তমান বয়সের সমষ্টি = S




প্রথম শর্ত:

M = 4S ..... (1)




দ্বিতীয় শর্ত: 5 বছর পরে

মাতার বয়স হবে M + 5

প্রত্যেক কন্যার বয়স 5 বছর বাড়ে, তাই দুই কন্যার বয়সের সমষ্টি হবে S + 10





তখন মাতার বয়স = দুই কন্যার বয়সের সমষ্টির দ্বিগুণ:

M + 5 = 2(S + 10)

⇒ M + 5 = 2S + 20

⇒ M = 2S + 15 ..... (2)




(1) ও (2) সমান করি:

4S = 2S + 15

⇒ 2S = 15 

⇒ S = 7.5



তাহলে,  M = 4S = 30

 

✅ মাতার বর্তমান বয়স: 30 বছর

১০. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 5 মিটার কম ও প্রস্থ 3 মিটার বেশি হলে ক্ষেত্রফল 9 বর্গমিটার কম হবে। আবার দৈর্ঘ্য 3 মিটার বেশি ও প্রস্থ 2 মিটার বেশি হলে ক্ষেত্রফল 67 বর্গমিটার বেশি হবে। ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় করো।

10.

ধরি, 

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = L মিটার, 

প্রস্থ = W মিটার।

বর্তমান ক্ষেত্রফল = LW




প্রথম শর্ত:

দৈর্ঘ্য 5 মিটার কম = L - 5

প্রস্থ 3 মিটার বেশি = W + 3

ক্ষেত্রফল হয় (L - 5) (W + 3)




এটি বর্তমান ক্ষেত্রফল থেকে 9 বর্গমিটার কম:

(L - 5)(W + 3) = LW - 9

⇒ LW + 3L - 5W - 15 = LW - 9

⇒ 3L - 5W - 15 = -9

⇒ 3L - 5W = 6 ..... (1)






দ্বিতীয় শর্ত:

দৈর্ঘ্য 3 মিটার বেশি = L + 3

প্রস্থ 2 মিটার বেশি = W + 2

ক্ষেত্রফল হয় (L + 3)(W + 2)





এটি বর্তমান ক্ষেত্রফল থেকে 67 বর্গমিটার বেশি:

(L + 3)(W + 2) = LW + 67

⇒ LW + 2L + 3W + 6 = LW + 67

⇒ 2L + 3W + 6 = 67

⇒ 2L + 3W = 61 ..... (2)






এখন সমীকরণ (1) ও (2):

3L - 5W = 6

⇒ 2L + 3W = 61





(2) থেকে 

2L + 3W = 61

⇒ 3W = 61 - 2L 

⇒ W =   61 - 2L        3  







এটি (1)-এ বসাই:

3L - 5W = 6

⇒ 3L - 5(  61 - 2L        3  ) = 6

⇒ 3L -   305 - 10L          3   = 6

⇒   9L - 305 + 10L               3   = 6

⇒   19L - 305          3   = 6

⇒ 19L - 305 = 18

⇒ 19L = 323

⇒ L = 17



তারপর,  


W =   61 - 2 × 17            3   


     =   61 - 34        3   


      =   27    3   


      = 9




✅ উত্তর: দৈর্ঘ্য 17 মিটার, প্রস্থ 9 মিটার।




17 মিটার, 9 মিটার

১১. একজন গার্মেন্টস শ্রমিক মাসিক বেতনে চাকরি করেন। প্রতিবছর শেষে একটি নির্দিষ্ট বেতনবৃদ্ধি পান। তার মাসিক বেতন 4 বছর পর 4500 টাকা ও ৪ বছর পর 5000 টাকা হয়। তার চাকরি শুরুর বেতন ও বার্ষিক বেতন বৃদ্ধির পরিমাণ নির্ণয় করো।

11.

ধরি,

চাকরি শুরুর মাসিক বেতন = a টাকা

বার্ষিক বেতন বৃদ্ধির পরিমাণ = d টাকা (প্রতি বছর মাসিক বেতনে d টাকা যোগ হয়)




৪ বছর পর মাসিক বেতন = ৪৫০০ টাকা



৪ বছর পর অর্থাৎ শুরু থেকে ৪টি বাৎসরিক বৃদ্ধি হয়েছে:

a + 4d = 4500 ..... (1)





৮ বছর পর মাসিক বেতন = ৫০০০ টাকা

৮ বছর পর অর্থাৎ শুরু থেকে ৮টি বাৎসরিক বৃদ্ধি হয়েছে:

a + 8d = 5000 ..... (2)





(2) − (1) করে পাই:

(a + 8d) - (a + 4d) = 5000 - 4500

⇒ 4d = 500

⇒ d = 125





(1) এ বসাই:

a + 4 × 125 = 4500

⇒ a + 500 = 4500

⇒ a = 4000





উত্তর:

শুরুর বেতন = 4000 টাকা

বার্ষিক বৃদ্ধি = 125 টাকা (মাসিক বেতনে)



4000, 125

১২. কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান পূর্ণসংখ্যা 2 হয়। আবার হর হতে 2 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান পূর্ণসংখ্যা 1 হয়।

ক) ভগ্নাংশটি  x  y  ধরে সমীকরণজোট গঠন করো।

খ) সমীকরণজোটটি আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান করে (x , y) নির্ণয় কর। ভগ্নাংশটি কত?

গ) সমীকরণজোটটির লেখ অঙ্কন করে (x , y) এর প্রাপ্ত মানের সত্যতা যাচাই করো।

12.

প্রশ্নের ভাষ্য অনুযায়ী, ভগ্নাংশটি   x   y   (লব = x, হর = y, y ≠ 0)।



ক) সমীকরণজোট গঠন


১ম শর্ত: 

লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশের মান 2 হয়।

⇒   x + 7      y   = 2

⇒ x + 7 = 2y

⇒ x - 2y = -7 ..... (1)





২য় শর্ত: 

হর থেকে 2 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশের মান 1 হয়।

⇒     x  y - 2   = 1

⇒ x = y - 2

⇒ x - y = -2 ..... (2)





সমীকরণজোট:

x - 2y = -7 ..... (1)

x - y = -2 ..... (2)










খ) আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান

আড়গুণন সূত্র (Cramer’s rule অথবা cross-multiplication method):



সাধারণ আকারে:

a₁ x + b₁ y + c₁ = 0 


• x - 2y + 7 = 0



a₂ x + b₂ y + c₂ = 0 


• x - y + 2 = 0





এখানে, 

a₁ = 1, b₁ = -2, c₁ = 7; 

a₂ = 1, b₂ = -1, c₂ = 2





আড়গুণন সূত্র:

          x  b₁ c₂ - b₂ c₁   =          y  c₁ a₂ - c₂ a₁   =          1  a₁ b₂ - a₂ b₁  



b₁ c₂ - b₂ c₁ 


= (-2)(2) - (-1)(7) 


= -4 + 7 


= 3



এবং
c₁ a₂ - c₂ a₁ 


= 7 · 1 - 2 · 1 


= 7 - 2 


= 5



এবং
a₁ b₂ - a₂ b₁ 


= 1 · (-1) - 1 · (-2) 


= -1 + 2 


= 1





অতএব:

  x   3   =   y   5   =   1   1  



তাই,  
x = 3, 

y = 5



∴ ভগ্নাংশ =   3   5  












গ) লেখ অঙ্কন করে সত্যতা যাচাই

সমীকরণ দুটি লিখি:
 

(1) x - 2y = -7 

⇒ y =   x + 7     2  




(2) x - y = -2 

⇒ y = x + 2



প্রথম সরলরেখা:

x = -7 → y = 0, 


x = -5 → y = 1, 


x = -3 → y = 2, 


x = 3 → y = 5





দ্বিতীয় সরলরেখা:

x = -2 → y = 0, 


x = 0 → y = 2, 


x = 3 → y = 5


ছেদবিন্দু (3, 5) মিলে যায়।



লেখচিত্রে দেখা যায়, (3,5) বিন্দুতে ছেদ করে, যা (খ) এর সমাধানের সাথে মিলে যায়।



উত্তর:

ক) x - 2y = -7 ও x - y = -2

খ) x = 3, y = 5, ভগ্নাংশ =   3   5  

গ) লেখ অঙ্কন করলে ছেদবিন্দু (3, 5) পাওয়া যায় → সত্যতা প্রমাণিত।

১৩. শিক্ষক বললেন একটি কাজ একা অথবা ছাত্র-ছাত্রীর জুটি করতে পারবে। ছাত্রদের  2  3  এবং ছাত্রীদের  3  5  অংশ জুটি বেঁধে কাজটি করলো। শ্রেণির কত ভাগ ছাত্র-ছাত্রী একা কাজটি করলো?

13.

ধরি, 

শ্রেণিতে মোট ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা N ।




প্রদত্ত তথ্য:

ছাত্রদের   2   3   অংশ ও 


ছাত্রীদের   3   5   অংশ জুটি বেঁধে কাজ করে।

বাকিরা একা কাজ করে।



প্রশ্নে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যা পৃথক না বলে শুধু শ্রেণির মোট শিক্ষার্থীর কত ভাগ একা কাজ করে তা জানতে চাওয়া হয়েছে।



তবে সমাধানের জন্য ধরে নিতে হবে মোট ছাত্র b ও মোট ছাত্রী g সমানুপাতিক বা কোনো একটি ধ্রুবক।



এটি আসলে অনুপাতের সমস্যা — উত্তর পেতে হলে মনে রাখতে হবে যে   2   3   b +   3   5   g জন জুটিবদ্ধ, বাকিরা একা।





কিন্তু এখানে b + g = N , তবে b ও g আলাদাভাবে জানা নেই।

এমন সমস্যায় যদি নির্দিষ্ট উত্তর চায়, তাহলে ধরে নেওয়া হয় b : g এমন যাতে ভগ্নাংশগুলো সঠিক থাকে — সাধারণত ধরা হয় b = g =   N   2   (ছাত্র ও ছাত্রী সমান)।



ধরি ছাত্র = ছাত্রী =   N   2  




জুটিবদ্ধ ছাত্র =   2   3   ×   N   2   


                      =   N   3  




জুটিবদ্ধ ছাত্রী =   3   5   ×   N   2   


                       =   3N   10  





মোট জুটিবদ্ধ =   N   3   +   3N   10   


                       =   10N + 9N         30   


                       =   19N    30  





একা কাজ করে = N -   19N    30   


                          =   11N    30  





অর্থাৎ শ্রেণির   11   30   অংশ একা কাজ করে।




✅ উত্তর:

  11   30  

১৪. 100 ও 200 মিটার দীর্ঘ দুইটি ট্রেন সমবেগে সামনাসামনি অতিক্রম করতে 5 সেকেন্ড সময় লাগে কিন্তু একই দিকে চললে অতিক্রম করতে 15 সেকেন্ড সময় লাগে। ট্রেন দুইটির বেগ নির্ণয় করো।

14.

ধরি,

প্রথম ট্রেনের দৈর্ঘ্য L₁ = 100 m

দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য L₂ = 200 m




মোট দৈর্ঘ্য L = 100 + 200 = 300 m





প্রথম ট্রেনের বেগ v₁ , m/s

দ্বিতীয় ট্রেনের বেগ v₂ , m/s






সামনাসামনি (বিপরীত দিকে) চললে

আপেক্ষিক বেগ v₁ + v₂





সময়, 

 t₁ = 5

⇒       L  v₁ + v₂   = 5

⇒     300  v₁ + v₂   = 5

⇒ v₁ + v₂ = 60 ..... (1)



একই দিকে চললে



ধরি,  v₁ > v₂


আপেক্ষিক বেগ v₁ - v₂



সময়, 


 t₂ = 15 

⇒       L  v₁ - v₂   = 15

⇒     300  v₁ - v₂   = 15

⇒ v₁ - v₂ = 20 ..... (2)







সমীকরণ সমাধান

(1) ও (2) যোগ করে পাই:

(v₁ + v₂) + (v₁ - v₂) = 60 + 20

⇒ 2v₁ = 80 

⇒ v₁ = 40





(1) থেকে: 

 40 + v₂ = 60 

⇒ v₂ = 20



✅ ট্রেন দুইটির বেগ:

প্রথম ট্রেন 40 , m/s ( 144 , km/h )

দ্বিতীয় ট্রেন 20 , m/s ( 72 , km/h )

40 m/s, 20 m/s




উত্তর:

5040 = 2⁴ × 3² × 5 × 7

১৫. কমপক্ষে কতগুলো ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নিলে তার গুণফল অবশ্যই 5040 দ্বারা বিভাজ্য হবে?

15.

যেকোনো n সংখ্যক ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল

7 থাকতে হলে n ≥ 7

3² থাকতে হলে n ≥ 6

5 থাকতে হলে n ≥ 5

2⁴ থাকতে হলে n ≥ 6



সর্বোচ্চ শর্ত n ≥ 7।



✅ কমপক্ষে ৭টি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নিলে গুণফল 5040 দ্বারা বিভাজ্য হবে নিশ্চিত।

7

১৬. ঘড়ির ঘণ্টা এবং মিনিটের কাঁটা পরস্পরের সঙ্গে 30 ডিগ্রি কোণ করে কত বার? সময়গুলো নির্ণয় করো।

16.

ধরা যাক, আপনি একটি এনালগ ঘড়ি দেখছেন। ঘণ্টার কাঁটা আর মিনিটের কাঁটার মধ্যেকার কোণটা সব সময় বদলায়।




আমরা জানি,

মিনিটের কাঁটা每分钟 চলে 6° (৩৬০°/৬০ মিনিট)

ঘণ্টার কাঁটা每分钟 চলে 0.5° (৩৬০°/(১২×৬০) মিনিট)




আপেক্ষিক গতি

মিনিটের কাঁটার সাপেক্ষে ঘণ্টার কাঁটার আপেক্ষিক কৌণিক বেগ = 6 - 0.5 = 5.5°মিনিট।

৩০° কোণ কখন হয়?





দুটি কাঁটার মধ্যে 30° কোণ মানে কাঁটাগুলোর মধ্যে অবস্থানগত পার্থক্য 30° অথবা 360° - 30° = 330° (ছোট কোণ হিসেবে 30°)।

তবে 330° কে আমরা ৩০° ধরি, কারণ আমরা সবসময় ছোট কোণ নিই।




ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যেকার সূত্র:

θ = |30H - 5.5M|

এখানে H ঘণ্টা (0–11), M মিনিট (0–60)।





শর্ত θ = 30°:

30H - 5.5M = 30 

বা 30H - 5.5M = -30





প্রতিটি ঘণ্টায় কতবার?

একটি নির্দিষ্ট H (যেমন ১টা) নিলে, উপরের সমীকরণ দুটি থেকে ২টি ভিন্ন M পাওয়া যায় (একটি ৩০°, আরেকটি ৩৩০° যা ছোট কোণ ৩০° দেয়)।

শুধু একটি ব্যতিক্রম: যখন দুটি সমাধান একই সময়ে মিলে যায় (যেমন H=0, M=0) সেটি একটি বার মিলবে? না, সেটা 30° নয়; 0°।

তবে H = 0, M = 5.454 আর H = 0, M = 54.545 আলাদা সময়।





খেয়াল করি: যখন M = 0 এবং H = 11: 30 × 11 = 330°, ছোট কোণ 30° — কিন্তু এই সময়টি একটাই।

গণনা:

H = 0 থেকে H = 10 → ১১টি ভিন্ন H → প্রতিটি H এর জন্য ২টি M → 11 × 2 = 22 বার।

এখন H = 11: শুধু একটি M দেয় 30° (অপরটি ৬০-এর বেশি)। তাহলে ১ বার।





মোট = 22 + 1 = 23 বার প্রতি ১২ ঘণ্টায়।



সময়গুলো

M =   60(H - 1)       11  

H=0: 12:00 ও 12:05.4545 → 12:05:27

H=1: 1:05:27 ও 1:10:54.5

H=2: 2:10:55 ও 2:16:22

H=3: 3:16:22 ও 3:21:49

H=4: 4:21:49 ও 4:27:16

H=5: 5:27:16 ও 5:32:43.6

H=6: 6:32:44 ও 6:38:11

H=7: 7:38:11 ও 7:43:38

H=8: 8:43:38 ও 8:49:05

H=9: 9:49:05 ও 9:54:33

H=10: 10:54:33 ও 11:00

H=11: 11:54:33 (শুধু একটি)





সংক্ষেপে:

- প্রতি ১২ ঘণ্টায় ২৩ বার ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা ৩০° কোণ করে।

- সময়: উপরের তালিকায় ২৩টি সময় আছে।

নমুনা প্রশ্ন

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

১. x + y = 6 ও 2x = 4 হলে, y মান কত?

ক) 2

খ) 4

গ) 6

ঘ) 8

M-1.

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে:

2x = 4 

⇒ x = 2




প্রথম সমীকরণে বসাই:

x + y = 6 

⇒ 2 + y = 6 

⇒ y = 4



✅ সঠিক উত্তর: খ) 4

২. x - y - 4 = 0 এবং 3x - 3y - 10 = 0 সমীকরণদ্বয়-

(i) পরস্পর নির্ভরশীল।

(ii) পরস্পর সমঞ্জস্য।

(iii) সমাধানযোগ্য নয়।

উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) ii

খ) iii

গ) i ও iii

ঘ) ii ও iii

M-2.

প্রথম সমীকরণ:

x - y - 4 = 0 

⇒ x - y = 4





দ্বিতীয় সমীকরণ:

3x - 3y - 10 = 0 

⇒ 3x - 3y = 10 

⇒ x - y =   10   3  



দুটি সমীকরণের বামপক্ষ x - y সমান হলেও ডানপক্ষ 4 ও   10    3   ভিন্ন।



এটির কোনো সমাধান নেই (অসমঞ্জস্য)।

তাই (i) মিথ্যা (নির্ভরশীল না, কারণ নির্ভরশীল হলে x-y = 4 ও x-y = 4 হতো),

(ii) মিথ্যা (সমঞ্জস্য না),

(iii) সত্য (সমাধানযোগ্য নয়)।




সঠিক: খ) iii

নিচের তথ্যের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

আয়তাকার একটি ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ অপেক্ষা 2 মিটার বেশি এবং মেঝের পরিসীমা 20 মিটার। ঘরটির মেঝে মোজাইক করতে প্রতি বর্গমিটারে 900 টাকা খরচ হয়।

৩. ঘরটির মেঝের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক) 10

খ) 8

গ) 6

ঘ) 4

M-3.

ধরি, 

প্রস্থ = x মিটার

দৈর্ঘ্য = x + 2 মিটার




পরিসীমা = 2 × (x + x + 2) 


               = 2(2x + 2) 


               = 4x + 4





প্রশ্নমতে,

4x + 4 = 20

4x = 16 

⇒ x = 4




∴ দৈর্ঘ্য = 4 + 2 = 6 মিটার


 

✅ সঠিক উত্তর: গ) 6

৪. ঘরটির মেঝে মোজাইক করতে মোট কত খরচ হবে?

ক) 72000

খ) 43200

গ) 28800

ঘ) 21600

M-4.

আমরা আগেই পেয়েছি:

দৈর্ঘ্য = ৬ মিটার,  


প্রস্থ = ৪ মিটার।




ক্ষেত্রফল = ৬ × ৪ = ২৪ বর্গমিটার।




প্রতি বর্গমিটারে খরচ = ৯০০ টাকা।




মোট খরচ = ২৪ × ৯০০ 

                 = ২১৬০০ টাকা।


 

✅ সঠিক উত্তর: ঘ) 21600

সৃজনশীল প্রশ্ন

৫. একটি সরল সমীকরণজোট x + y = 10, 3x - 2y = 0.

ক) সরল সমীকরণজোট সমঞ্জস্য কিনা তা যাচাই করো।

খ) আড়গুণন পদ্ধতিতে সমীকরণজোটটি সমাধান করো।

গ) লেখচিত্রের সাহায্যে সমীকরণজোটটি সমাধান করো।

M-5.

ক) সমঞ্জস্য যাচাই

সমীকরণজোট:

(1) x + y = 10

(2) 3x - 2y = 0

 


সহগ ও ধ্রুবকের অনুপাত:

  a₁   a₂   =   1   3  ,

  b₁   b₂   =    1   -2  ,

  c₁   c₂   =   10    0   (অসঙ্গায়িত)





এখানে   a₁   a₂   ≠   b₁   b₂   (কারণ   1   3   ≠    1   -2   )।

∴ সমীকরণজোটটির একটি অনন্য সমাধান আছে, তাই সমঞ্জস্য।

















খ) আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান

a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = -10 (সাধারণ আকারে: x+y-10=0)


a₂ = 3, b₂ = -2, c₂ = 0 (3x - 2y + 0 = 0)




আড়গুণন সূত্র:

          x  b₁ c₂ - b₂ c₁   =           y  c₁ a₂ - c₂ a₁   =           1  a₁ b₂ - a₂ b₁  





b₁ c₂ - b₂ c₁ 

= (1)(0) - (-2)(-10) 

= 0 - 20 

= -20



c₁ a₂ - c₂ a₁ 

= (-10)(3) - (0)(1) 

= -30 - 0 

= -30




a₁ b₂ - a₂ b₁ 

= (1)(-2) - (3)(1)

= -2 - 3 = -5




অতএব:

    x   -20   =     y   -30   =    1   -5  


x =   -20    -5   = 4, 


y =   -30    -5   = 6


∴ সমাধান: (4, 6)
















গ) লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান

প্রথম সমীকরণ 


 x + y = 10 :


x = 0 ⇒ y = 10 → বিন্দু (0, 10)


y = 0 ⇒ x = 10 → বিন্দু (10, 0)





এই দুই বিন্দু দিয়ে রেখা আঁকি।





দ্বিতীয় সমীকরণ 

 3x - 2y = 0

⇒ 3x - 2y = 0
⇒ y =   3   2  x :



x = 0 ⇒ y = 0 → বিন্দু (0, 0)


x = 2 ⇒ y = 3 → বিন্দু (2, 3)





এই দুই বিন্দু দিয়ে দ্বিতীয় রেখা আঁকি।

দুটি রেখার ছেদবিন্দু: (4, 6)

[ছবি আঁকলে দেখা যাবে: (0,10) ও (10,0) দিয়ে রেখা, (0,0) ও (2,3) দিয়ে আরেক রেখা; ছেদবিন্দু (4,6) মিলে যাবে খ-এর সাথে]






চূড়ান্ত উত্তর:

ক) সমঞ্জস্য

খ) x = 4, y = 6

গ) লেখচিত্রে ছেদবিন্দু (4, 6)

সংক্ষিপ্ত-উত্তর প্রশ্ন

৬. ক) একটি নৌকা দাঁড় বেয়ে স্রোতের অনুকূলে ঘণ্টায় 15 কি.মি. যায় এবং স্রোতের প্রতিকূলে যায় ঘণ্টায় 5 কি.মি.। নৌকার বেগ নির্ণয় করো।

খ) দুইটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা 17 এবং এদের কর্ণের সংখ্যা 53 হলে, প্রত্যেক বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

গ) $$ \left. \begin{aligned} -x + 2y &= 1 \\ 2x + y &= 4 \end{aligned} \right\} $$ সমীকরণজোট সমঞ্জস কিনা যাচাই করো।

ঘ) দুইটি সংখ্যার যোগফল ও বিয়োগফল যথাক্রমে 31 এবং 13 হলে, বড় সংখ্যাটি নির্ণয় করো।

M-6.

ক) নৌকার বেগ নির্ণয়


ধরি,

নৌকার বেগ = v কিমি/ঘণ্টা

স্রোতের বেগ = u কিমি/ঘণ্টা



স্রোতের অনুকূলে: v + u = 15



স্রোতের প্রতিকূলে: v - u = 5



যোগ করে: 

v + u + v - u = 15 + 5

 ⇒ 2v = 20 

 ⇒ v = 10 কিমি/ঘণ্টা



✅ নৌকার বেগ = ১০ কিমি/ঘণ্টা







খ) বহুভুজের বাহুর সংখ্যা


ধরি, 

বহুভুজ দুইটির বাহুর সংখ্যা m ও n




শর্ত ১: 

 m + n = 17


কর্ণের সংখ্যার সূত্র:   n(n - 3)        2  





শর্ত ২:

    m(m - 3)        2   +   n(n - 3)        2   = 53





দ্বিতীয় সমীকরণ:

m(m-3) + n(n-3) = 106

⇒ m² - 3m + n² - 3n = 106

⇒ (m² + n²) - 3(m + n) = 106

⇒ (m² + n²) - 3 × 17 = 106

⇒ m² + n² = 106 + 51 

⇒ m² + n² = 157






আবার, 

 m + n = 17

⇒ (m + n)² = (17)²  

⇒ m² + n² + 2mn = 289

⇒ 157 + 2mn = 289

⇒ 2mn = 289 - 157

⇒ 2mn = 132

⇒ mn = 66




এখন, m, n সমীকরণ t² - 17t + 66 = 0 এর মূল।

t =   17 ± √ 289 - 264                  2   

⇒ t =   17 ± 5       2  



t =   17 + 5       2   =    22    2   = 11 




t =   17 - 5       2   =    12    2   = 6




t = 11, 6

✅ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৬ ও ১১















গ) সমীকরণজোট:

-x + 2y = 1 ..... (1)

2x + y = 4 ..... (2)




সমঞ্জস্যতা যাচাই

সাধারণ আকারে লিখি:

a₁x + b₁y = c₁ 

⇒ -x + 2y = 1 


 a₁ = -1, b₁ = 2, c₁ = 1




a₂x + b₂y = c₂ 

⇒ 2x + y = 4 


 a₂ = 2, b₂ = 1, c₂ = 4





অনুপাত নির্ণয়

  a₁   a₂   =   -1    2   = -   1   2  


  b₁   b₂   =   2   1   = 2


  c₁   c₂   =   1   4  






এখানে,

  a₁   a₂   ≠   b₁   b₂   (-   1   2   ≠ 2)





সিদ্ধান্ত

  a₁   a₂   ≠   b₁   b₂   হলে সমীকরণজোটটির একটি অনন্য সমাধান থাকে। 


অর্থাৎ এটি সমঞ্জস্য।

















ঘ) বড় সংখ্যা নির্ণয়


ধরি 

সংখ্যা দুইটি a ও b ( a > b )।



যোগফল: 

 a + b = 31




বিয়োগফল: 

 a - b = 13




যোগ করে: 

a + b + a - b = 31 +13

⇒ 2a = 44 

⇒ a = 22




b = 31 - 22 = 9 



✅ বড় সংখ্যা = ২২